CC BY
51
УДК 621.391
РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАЗРЯДА. Ч. I.
Ю.Е. Воскобойников*, Ю.Н. Исаев, В.А. Литасов*, В.А. Колчанова, Е.О. Кулешова
Томский политехнический университет * Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет E-mail: [email protected], [email protected]
Предлагается новый алгоритм идентификации параметров эквивалентной схемы замещения электрического разряда. Подход основан на решении интегрального уравнения I рода относительно функции переходной проводимости, по которой затем происходит определение параметров схемы замещения. Использование сглаживающих сплайнов и оригинального регуляризирую-щего алгоритма, учитывающего погрешности задания ядра интегрального уравнения позволило получить устойчивый алгоритм идентификации параметров. Проведенные исследования алгоритма показали высокую вычислительную эффективность и хорошую точность идентификации параметров.
1. Введение
Одно из наиболее интересных с физической точки зрения и практически важных направлений в различных областях техники является барьерный разряд. В частности барьерный разряд используется для очистки воды, плазменных технологий, травления и т. д. Однако сильная пространственная неоднородность и малая длительность физических процессов, протекающих в барьерном разряде, крайне затрудняет изучение этого явления.
При феноменологическом описании электрических разрядов (в частности и барьерного разряда) широко используется их описание как объектов электрической цепи [1]. В основе таких подходов лежит замена электрофизических явлений, происходящих в разряде, явлениями, происходящими в электрической цепи, состоящей из определенных электрических элементов (сопротивления, емкости, индуктивности). Такую электрическую цепь будем называть эквивалентной схемой замещения электрического разряда.
При исследовании физики разрядов доступными для измерения являются напряжение Щ) и ток ДО в цепи с разрядным промежутком. Поэтому возникает задача определения параметров эквивалентной схемы замещения по зарегистрированным значениям функций Щ), /(/). По сути, имеем задачу идентификации параметров эквивалентной схемы замещения.
В работах [2, 3] значения параметров находятся по переходной проводимости g(t). В свою очередь функция g(t) определяется как решение интегрального уравнения-свертки Вольтера I рода, что является некорректно поставленной задачей [4, 5]. Однако в этих работах не учитывается ряд важных моментов, связанных с решением этой некорректно поставленной задачи, что отрицательно сказалось на точности идентификации параметров. К таким моментам можно отнести: недостаточная устойчивость используемого алгоритма дифференцируемого зашумленной функции Щ) при вычислении ядра интегрального уравнения; не учет случайной погрешности задания ядра уравнения, как на этапе
построения регуляризированного решения, так и при выборе параметра регуляризации.
Поэтому в данной работе предполагается устойчивый алгоритм идентификации параметров схемы замещения, основанный на регуляризирующем алгоритме решения интегрального уравнения-свертки с неточно заданным ядром [6] и в полной мере учитывающей вышеназванные моменты.
2. Постановка задачи
Если действующее в цепи напряжение имеет импульсную форму, то переходный процесс, происходящий в разрядном промежутке в терминах Щ) и /(/) удобно описать с помощью интеграла Дюамеля [7]. Если действующее напряжение является финитной функцией, т. е. вне интервала [0,Ги] обращается в нуль, то для тока в цепи справедливо выражение
I (Г) = и (0) g (Г) + _[с1и g (Г-т)Ст,
0 Ст
где g(t) - переходная проводимость. Как правило, значение и(0)=0 и поэтому приходим к интегральному уравнению-свертки Вольтерра I рода:
I(О = ]^(-т) Ст. (1)
0 Ст
Функцию g(t—т) называют ядром интегрального уравнения, Щ - правой частью уравнения.
Интегральное уравнение (1) необходимо решить относительно функции g(t), что является некорректно поставленной задачей, а затем по функции g(t) определить параметры эквивалентной схемы замещения электрического разряда.
Таким образом, задача идентификации параметров эквивалентной схемы замещения включает следующие этапы:
Этап 1. Вычисление производной Си(т) по изме-
Ст
ренным (с погрешностями) значениям функции Щ).
Этап 2. Решение интегрального уравнения (1) относительно функции g(t).
Этап 3. Определение (возможно и по виду функции g(t)) структуры эквивалентной схемы замещения и параметризации функции g(t).
Этап 4. Оценивание параметров функции g(t) и вычисление по этим оценкам величин сопротивлений, емкостей и индуктивностей, входящих в эквивалентную схему замещения.
Решение сформулированной задачи идентификации будем рассматривать при следующих предположениях:
1. Функция П(^ отлична от нуля на интервале (0,ТП] (т. е. является финитной) и измеряется на этом интервале в моменты t¡=A.j, ¡'=0,1,...,Ии-1, где ЛЦ=еп1;[Ги/А] + 1, А - шаг дискретизации, еп1[г] -целая часть вещественного числа г. Измеренные значения Ц допускают представление
и, = ис/А)+С;, , = 0,1,..., ли -1,
где ^ - случайные величины с математическим ожиданием М(^)=0, дисперсией Б(^)=8^ и отображающие погрешности измерения напряжения.
2. Функция g(t) отличается от нуля на интервале [0,Т].
При этих предположениях функция Щ является финитной с интервалом определения [0,7}], где Т1=Ти+Т1.
3. Функция Щ измеряется на интервале [0,7}] в моменты t¡=A.j, ¡=0,1,...,N1 1, где А}=еп1[7/Д] + 1. Измеренные значения допускают представление
I, = I((/) +П/, / = 0,1,...,Ы, -1,
где п - случайные величины с числовыми характеристиками М(п)=0, Б(п])=8п2.
Кратко остановимся на алгоритмах решения каждого этапа рассматриваемой задачи идентификации параметров эквивалентной схемы замещения.
3. Вычисление производной
по измеренным значениям напряжения
Ядром интегрального уравнения (2) является сСи (/)
производная -------- напряжения П(^. Известно,
с1т
что операция дифференцирования является некорректно поставленной задачей (в частности малые ошибки могут вызвать сколь угодно большие ошибки в производной).
Для устойчивого дифференцирования функции П(0, заданной измеренными в моменты значениями Щ) в качестве приближения для Щ) примем сглаживающий кубический сплайн (СКС) 3(). Напомним, что кубическим сглаживающим сплайном называется кубический полином, удовлетворяющий условиям:
1. На каждом интервале ¡¡+1] 8() имеет следующее представление
$х(*) = а, + Ь, (: - Г,) + с, (/ - Г,)2 + С, (Г - ,)3, где t]<t<t¡n.
2. Функция 8(1) имеет непрерывную вторую производную на всем отрезке [0,7П].
Вычисление коэффициентов а, Ь, с, ^ СКС (которые зависят от параметров сглаживания X) подробно изложено в работах [5, 8] и для их однозначного вычисления примем краевые условия вида:
Я/ (0) = 0; Я/ (Ти) = 0. (2)
Эти условия соответствуют типичной форме импульса напряжения Щ) (см. рисунок). Можно показать, что СКС с условиями (2) доставляет минимум функционалу
Ти Ы-1
| (/" (/ ))2 л+x■^ р, (I а,) - и, )2
0 ,=0
среди всех функций ДО с интегрируемым квадратом второй производной и удовлетворяющих условию (2).
После вычисления коэффициентов СКС первую производную 8'() (являющуюся оценкой для
производной Си) можно вычислить по формуле Ст
Я/ (Г) = Ь, + 2с, (/ - tj) + 3С, (/- , )2, (3)
где t¡<t<t¡+1.
Основной сложностью при построении СКС является выбор параметра сглаживания X, который может изменяться в пределах от 0 (сглаживающий сплайн становиться интерполяционным, проходящим через значения Ц, т. е. 50(^)= Ц) до ж (СКС становиться прямой линией). Если X окажется малым, то в сплайне будут присутствовать высокочастотные составляющие, обусловленные погрешностями ^, которые будут особенно проявляться в производных сплайна в виде высокочастотных осцилляций. Если этот параметр будут слишком большим, построенный сплайн окажется «переглаженный» и в нем будут сильно сглажены передний и задний фронты импульса Щ), что отрицательно скажется на точности вычисления первой производной.
Можно выделить два подхода к выбору параметра X: оценивания X из условия минимума среднеквадратичной ошибкой сглаживания [5] и выбор X по точностным характеристикам сплайна [9]. Остановимся на втором подходе, более подходящем для решаемой задачи дифференцирования П(^.
В этом подходе сглаживающий сплайн интерпретируется как выходной сигнал некоторого фильтра (сплайн-фильтра), на вход которого поступает дискретная последовательность, состоящая из измеренных значений ¿¡функции Щ). При такой трактовке сглаживающие свойства сплайна можно определить через его аппаратную функцию Н(), которая характеризует систематическую ошибку сглаживания и дифференцирования: чем меньше «ширина» функции Н(), тем меньше систематическая ошибка. В качестве числовой характеристики аппаратной функции принимается ее ширина А^):
0 0,02 0,04 0,06
а
Рисунок. Вычисление производных функции U(t)
dU(t) dSÄ(t) 105 dt dt
0 0,02 0 04 0,06
’ t
6
A h A) = -
J\hA(t)| dt
*a(0) '
Физическая трактовка этой характеристики для задачи дифференцирования достаточно проста: в сглаживающем сплайне и его производной сохраняются (с небольшими амплитудными искажениями) составляющие функции U(t) и производной U'(t), если их ширина больше ширины аппаратной функции hA(t). Задавая «предельный» размер A„p составляющих, которые должны сохраниться в сплайне, значение A можно определить из решения нелинейного уравнения:
Ah (A) = Aip. (4)
Аппаратная функция hA(t) вычисляется по формуле
hx(t ) = -1-} Hx(m)eimtdm.
2п
Частотная характеристика Hx(a) сплайна, определяется выражением [9]
H(m) =
Am
“У1
mT
~Y
1 - cos(mA)
q0 + 2q1 cos(mA) + 2q2 cos(2®A)
2A 6Ap A
где q„ =—+——; qi = --
4Ap Ap
-q, = —; Pj = p
казан график функции 100 П(0 (кривая 1) и ее «точной» производной Си^) (кривая 2). Значения
Л
функции умножаются на 100 для того, чтобы в масштабе рисунка эта функция отличалась от нуля. Кривая 3 соответствует производной интегрального сплайна £0(0, построенного по измеренным (с погрешностью) значениям Ц,¡=1,2,...,N¿=240. Относительный уровень погрешностей ^ задавался равным 0,05. На рисунке, б, показан график «точной» проси (О
изводной
dz
и значения производной, вычи-
3 А2 6 А2 А
- весовые множители функционала, А - шаг дискретизации.
Проиллюстрируем изложенный подход к выбору параметра сглаживания X результатами следующего вычислительного эксперимента. На рисунке, а, по-
сленной по интерполяционному кубическому сплайну. Видны значительные осцилляции этой производной, характерные для дифференцирования неточно заданных функций. На рисунке, б, приведен
, „ Сии)
график производной -----— и значения производ-
Ст
ной £/(0, вычисленной по сглаживающему кубическому сплайну 5,(0, см. (3). Видно достаточно хорошее (по сравнению с производной интерполяционного сплайна) совпадение этих производных.
Параметр сглаживания выбирается из решения ур. (4) при А„р=5.10-3 с (интервал дискретизации А„р=2,5.10-4 с). Величина А„р задавалась равной половине ширины переднего фронта импульса напряжения Щ), что позволило в производной 8;0) сохранить «тонкие» детали производной П(0 (в частности на интервале [0, 0.01]). Небольшие колебания ,^я(?) производной на интервале [0.01, 0.03] будут на втором этапе интерпретирования как погрешности задания ядра интегрального уравнения и будут учтены при построении регуляризированного решения этого интегрального уравнения. Для этого представим значения производной сплайна ,^я(?) в узлах I в виде:
^' (tj) = dU (t) dt
, Nu -1.
Случайные величины ^ отображают ошибки в
вычислении производной по сглаживающему
сплайну 8(). Если погрешности ^ измерения П(ф
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Самойлович В.И., Гибалов К.В., Козлов В.К. Физическая химия барьерного разряда. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 360 с.
2. Исаев Ю.Н., Колчанова В.А. Алгоритм определения параметров электротехнической схемы замещения озонатора при воздействии импульсного напряжения // Известия Томского политехнического университета. - 2006. - Т. 309. - № 1. -С. 59-65.
3. Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова ТЕ. Определение параметров двухполюсника при воздействии импульсного напряжения // Электричество. - 2003. - № 11. - С. 64-67.
4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986. - 285 с.
5. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. - Новосибирск: Наука, 1984. - 238 с.
имеют одинаковую дисперсию, то случайные ошибки дифференцирования также имеют дисперсию Б(^])=а^2.
6. Воскобойников Ю.Е., Литасов В.А. Регуляризирующий алгоритм непараметрической идентификации при неточных исходных данных // Научный вестник НГТУ. - 2005. - № 2(20).
- С. 33-45.
7. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Гардарики, 1999. - 638 с.
8. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. - М.: Наука, 1980. - 321 с.
9. Воскобойников Ю.Е. Частотный подход к оценке точности сглаживания и дифференцирования экспериментальных данных на основе сглаживающих сплайнов // Автометрия. - 1986.
- № 1. - С. 38-43.
Поступила 18.07.2006 г.
УДК 621.315.592
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ СТРИМЕРНОГО ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ЛАЗЕРА
В.В. Паращук, К.И. Русаков*, Р.Б. Джаббаров**
Институт физики им. Б.И. Степанова НАНБ, г. Минск *Брестский государственный технический университет **Институт физики НАНА, г. Баку E-mail: [email protected]
Исследовано влияние интенсивных электрического и оптического полей, создаваемых стримерным разрядом в широкозонных полупроводниках, на их спектроскопические свойства. Данный эффект проявляется в возникновении обратимой перестройки люминесцентных характеристик активной среды. Предложены методы существенного повышения срока службы и эффективности стримерного лазера при предельных режимах, основанные на использовании полупроводниковых защитных слоев определенной кристаллографической ориентации и кристаллического микрорельефа с размером элементов порядка длины волны света. Обнаружено и изучено стримерное свечение в новых перспективных соединениях CaGa2S4:Eu, Ca4Ga2S7:Eu.
Введение
Стримерный разряд в полупроводниках является высокоэффективным методом получения лазерного действия в однородных средах при возбуждении короткими импульсами электрического поля [1]. Исследование свойств стримерных разрядов открывает новые возможности для изучения нелинейных оптических, электрических, акустических и других явлений в твердых телах [1, 2]. Длительное время развитие исследований по физике и технике полупроводниковых стримерных лазеров (ПСЛ) тормозилось отсутствием однозначного понимания роли излучательных процессов в формировании стримера, в том числе воздействия сильных оптических и электрических полей, сопровождающих разряд, на активную среду. Кроме того, практическое использование стримерных технологий сдерживалось рядом других причин, среди которых следует отметить деградацию приэлектродной области, су-
щественную в случае предельных режимов работы и обуславливающую относительно невысокие ресурс и эффективность реальных ПСЛ.
Цель настоящей работы - установление закономерностей воздействия стримерного разряда на активную среду как сложного явления - в условиях интенсивного излучения и сильного электрического поля, разработка методов существенного повышения ресурса и мощности (КПД) лазера при предельных режимах, включая пакетно-импульсный [3], а также поиск новых перспективных активных сред.
Разработка методов улучшения характеристик
лазера при предельных режимах эксплуатации
Повышение ресурса, стабильности и некоторых других базовых характеристик стримерного излучения является одной из проблем, которая полностью не решена до настоящего времени и требует учета взаимодействия разряда со средой (обратная
