Регуляризация вырожденного оператора Шредингера и минимизация семейства полунорм Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

В. Ж. Сакбаев

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Регуляризация вырожденного оператора Шредингера и минимизация

*

семейства полунорм

В работе изучается задача Коши для уравнения Шредингера с вырожденным гамильтонианом, заданным дифференциальным выражением второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Указаны необходимые и достаточные условия корректной разрешимости задачи Коши, в случае нарушения которой обобщенная постановка задачи изучается с помощью метода эллиптической регуляризации и метода квазирешений. Получено согласование двух указанных подходов в том смысле, что всякая последовательность решений регуляризованных задач и любая минимизирующая последовательность семейства функционалов невязки имеют общий предел.

Ключевые слова: оператор с неотрицательной характеристической формой, эллиптическая регуляризация, квазирешение.

В настоящей работе изучается влияние вырождения характеристической формы гамильтониана L квантовой системы на некотором подмножестве координатного пространства на корректность задачи Коши для уравнения Шредингера:

i d u(t) = Lu(t), t > 0. (1)

dt

u(+0) = u0, u0 G H. (2)

L

тор второго порядка с неотрицательной характеристической формой в гильбертовом пространстве H = L2(К). Нарушение корректности задачи Коши проявляется в том, что оператор Шредин-L

мой является симметрическим, но не самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве H

индексами дефекта n± = dim(Ker(L ± il)). Это приводит к разложению гильбертова пространства H

пространства корректности и подпространства некорректности задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения Шредингера (1), (2) с вырожденным гамильтонианом L

д д i i д Lu(x) = — (g(x) — u +2 a(x)u) + ^ a(x) ^ V‘ (3)

на области определения:

D(L) = ju G W21 : u|r_ G W22(R_),

(g(x) дх+2 a(x'u g W21 (R)}. (4)

Здесь и далее R_ = (-<x>, 0), R+ = (0, +œ). Согласование метода квазирешений (см. [1]) и метода эллиптической регуляризации (см. [2]) исследова-

ния задачи Коши (1), (2) рассмотрим на модельной задаче с вырожденным на полупрямой гамильтонианом, в котором функции д(х) и а(х) заданы равенствами д(х) = в(-х), а(х) = ав(х), где а £ М и в(х) — функция Хевисайда. Оператор Ь является плотно определенным замкнутым симметрическим оператором с индексами дефекта (1,0) при а < 0, (0,0) при а = 0 и (0,1) при а > 0 (см. [4]).

Под регуляризацией вырождающегося линейного дифференциального оператора второго порядка понимается такая последовательность операторов второго (или более высокого) порядка, каждый член которой является равномерно эллиптическим самосопряженным оператором в пространстве И, и такая, что последовательность характеристических форм (символов) регуляризованных операторов сходится к характеристической форме вырожденного оператора равномерно на каждом компакте. В работах [3], [4], [5] исследовано поведение последовательности решений регуляризованных задач и получены необходимые и достаточные условия ее сходимости (или компактности) в сильной и в слабой топологиях простИ

С другой стороны, существует подход к определению квазирешений некорректно поставленных задач вида Ах = / (где х — неизвестный, а /

— заданный вектор некоторого банахова пространства X, а А — линейный оператор в пространстве X), связанный с минимизацией функционалов невязки — функционалов, измеряющих от-

Ах - /

мым значениям х £ П(А). Задача Коши с вырожденным гамильтонианом может быть различными

Ах = /

в различных банаховых пространствах. От ука-

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 09-01-265 и № 10-01-395, при поддержке АВЦП РНПВШ проект № 2.1.1/11133 и при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.

занного произвола в выборе функционала невязки зависит как поведение минимизирующей последовательности (сходимость, компактность), так и ее предельная точка (если существует) (см. [6], [7]).

В связи с указанными свойствами последовательностей решений регуляризованных задач и минимизирующих последовательностей функционалов невязки возникает задача согласовать метод невязки и метод аппроксимаций в следующем смысле. Связать выбор последовательности регуляризованных операторов задачи Коши, аппроксимирующих вырожденный, с выбором функционала невязки так, чтобы последовательность регуляризованных решений и минимизирующая последовательность функционала невязки имели общий предел.

I. Постановка задачи Коши. Условия корректной разрешимости

Оператор L, заданный равенством (3) на области определения (4) является плотно определенным замкнутым симметрическим оператором в пространстве H. Это позволяет превратить его область определения D(L) в гильбертово прост-

L

L

оператор L* имеет более широкую область определения D(L*) (см. [3]).

Определение 1. Решением (сильным) задачи (1), (2) назовем функцию u(t,x) е

е C(R+, D(L))nC1 (R+, L2 (R)), которая удовлетворяет уравнению (1) почти всюду наR+ хRh условию (2) в том смысле, что \\u(t,x) —uo(x)||L2(R) ^ 0 при t ^ +0.

Функцию u(t,x) е C(R+,L2(R)) назовем обобщенным решением задачи (1), (2), если су-

ществует последовательность начальных условий {uo,n(x)}, lim \\uo,n(x) — uo(x)||L2(R) = 0 такая,

n—tt

что при каждом n е N существует решение un(t,x) задачи (1), (2) с начальными данными u0 n(x) и выполняется условие lim \\un(t,x) —

’ n—

— u(t, x)||c(R+ ,L2(R)) = °-

Заметим, что если u(t, x) есть обобщенное решение задачи (1), (2), то тогда ^lirno \\u(t,x) —

— uo(x)||l2(r) = 0. Действительно, u(t,x) — uo(x) = = u(t, x) — un(t, x) + un(t, x) — uo,n(x) + uo,n(x) —

— uo(x), откуда следует требуемое утверждение.

Из определения 1 вытекает, что обобщенное ре-

u(t, x) ра. н.пому тождеству

T

[ д

i l((^Trv(t) + L*v(t)),u(t)) dt =

J dt

o

= (v(T),u(T)) — (v(0), u(0)) VT> 0 (5)

при любом выборе v(t,x) е C(R+, D(L*)) П П C 1(R+,L2(R)^, где через v(t) и u(T) обозна-

чены функции у(Ь, х) и и(Т, х) как элементы пространства Ь2(М),& через (и(Т), у(Т)) — их скалярное произведение в указанном пространстве.

В работе [3] доказана приведенная ниже теИ

в прямую ортогональную сумму двух подпространств Но и Н1, причем для любого и0 £ И0 задача Коши имеет единственное решение со значениями Ио ио £ И1

не существует.

Теорема 1. При а ^ 0 оператор —¿Ь является генератором изометрической полугруппы иь(Ь) = = в-гЬ\ Ь > 0, в пространстве И и задача Коши имеет единственное решение иь(Ь)и0. Если же а > 0, то оператор гЬ генерирует изометрическую полугруппу и_ь(Ь) = вгЬг, Ь > 0, в простИ

мающей полугруппой (Ц-Ь(Ь))* = е-гЬ \ Ь > 0, с генератором —¿Ь*. Задача Коши в этом случае имеет решение тогда и только тогда, когда вектор начальна данных и0 лежит в подпространстве

Н0 = р| 1ш(и_ь(Ь)). Если и0 £ Н0, то решение

г>о

единственно, и и(Ь) = (Ь)и0. □

II. Аппроксимационный подход.

О понятии регуляризации

Различные определения регуляризации некорректных краевых задач изучались в работах [8], [9]. Следуя подходу указанных работ, мы дадим следующее определение регуляризации задачи Коши (1), (2).

Наряду с задачей (1), (2) с вырожденным оператором рассмотрим семейство регуляризованных задач Коши (2), (3), аппроксимирующих задачу (1), (2) при п ^ ж:

¿ — и(Ь) = Ьпи(Ь), Ь> 0, п £ N. (6)

Определение 2. Будем называть последовательность линейных операторов Ьп, п £ М, дейст-

И

ряженной (максимальной симметрической) регуляризацией порядка д £ N вырождающегося оператора Ь, если выполнены условия:

Ш) для любого п £ N оператор Ьп является самосопряженным (максимальным симметриИ

рирующим полугруппу изометрических операторов в-гЬп*, Ь > 0;

211) линейное многообразие

оч = В(Ъ) п( П ОД)

\п£М

И

311) Иш || (Ьп — Ь) и\\н = 0 для любого и £ Бч;

п—

411) для любого п £ N существует линейный оператор Рп в гильбертовом пространстве И с областью определения Б(Цп) = В(Ьч-1),

который отображает линейное многообразие В(Ь) с В(Рп) в гильбертово пространство В(Ьп), при этом последовательность операторов {Рп} такова, что существует бесконечно малая последовательность положительных чисел {Ъп}, удовлетворяющая при любых и£ В(Ь) и п £ N неравенству

\\рпи — и\\н + ||ЬпРпи — РпЬи||н ^ Ьп||и||.0(Ь ).

Ь

мальную симметрическую (самосопряженную) регуляризацию {Ьп }, то его график лежит в сильном граф-пределе (см. [10], гл. 8) последовательности {Ьп}.

Примеры самосопряженных регуляризаций вырожденного дифференциального оператора в гильбертовом пространстве приведены в работах [3], [4], [11]. В качестве примера регуляризации Ь

последовательность операторов {Ь0 е £ Е}, задаваемых в пространстве И = Ь2(М) равенством

Ьеи(х) =

д д г г д

= дх (д£(х) З^и + 2 а(х)и) + 2 а(х) з^и (7

на области определения

В(Ье) = |и £ W21 : и|к± £ W2(М±),

ди г \

д,(х) зх + 2 а(х)и) £ ^(М

Здесь д(х) = д(х) + е, е £ (0,1). В статье [4] доказано следующее утверждение.

Для любого еп £ (0,1) оператор Ь€п самосопряжен и генерирует унитарную полугруппу е-гЬ‘п Ь > 0 в пространстве И. Нетрудно прове-

рить, что для последовательности гамильтонианов {Ь£п } выполнены условия определения 2 при д = 2 (проверка условий в подобной ситуации проведена подробно в работах [3], [4], [5]).

В работе [3] исследована сходимость семейства решений задач (2), (6) при еп ^ 0 и является ли решение задачи (1), (2) пределом решений семейства задач (2), (6).

Ь

мальным симметрическим оператором, то последовательность {ие(Ь)} решений регуляризованных

И

номерно на любом отрезке [0,Т], Т > 0, тогда и только тогда, когда задача Коши (1), (2) для вырожденного оператора имеет решение и(Ь), причем решение задачи Коши (1), (2) является пределом последовательности решений вырожденных задач, т.е. Иш яир \ие(Ь)—и(Ь)\н = 0 для любого Т > 0.

—10 ге[0,т ]

В случае отсутствия решения задачи Коши (1), (2) последовательность {ие(Ь)} решений регуляризованных задач сходится слабо в пространстве И равномерно на любом отрезке [0,Т], Т > 0, к вектор-функции и*(Ь) = Ць*(Ь)и0, кото-

рая является решением задачи Коши для уравнения Шредингера с сопряженным оператором L* и начальным условием (2), т.е. для любых T > 0 и Ф G И выполняется равенство lim sup \(ue(t) —

е^0 te[0,T]

— u*(t), ф)н\ = 0. □

L

Коши (1), (2) является симметрическим с конечными индексами дефекта (n-, n+) и пусть {L„, n G N} — самосопряженная регуляризация некоторого порядка q G N. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Если последовательность регуляризованных полугрупп {e-iLnt, t > 0} сходится в сильной операторной топологии равномерно на любом отрезке [0, T], то предельная операторнозначная функция F(t), t > 0, является изометрической полугруппой в пространстве И, генератором которой служит одно из максимальных симмет-

L

полняется неравенство n- ^ n+.

2) Если n- ^ n+, то для любого максимального симметрического расширения Л оператора L

ческая регуляризация {L„}, что последовательность регуляризованных полугрупп {e-iLnt} сходится к полугруппе e-iAt, t > 0, в сильной операторной топологии равномерно на любом отрезке [0,T]. □

Следствие 1. Если n- < n+, то тогда не существует такой максимальной симметрической регуляризации, чтобы последовательность регуляризованных полугрупп {e-iLnt} сходилась в сильной операторной топологии равномерно на любом [0, T] □

III. Квазирешения как точки минимума функционалов невязки. Вариационный подход

Несколько иные свойства проявляют вариационные методы минимизации функционалов невязки. Естественно ожидать, что минимизирующий элемент и свойства минимизирующей последовательности зависят от выбора банахова пространства, в котором рассматривается уравнение. Определим функционалы невязки для случая некорректности задачи Коши (см. теорему 1), когда L

ким оператором с индексами дефекта (n-,n+) = = (0, m), m G N.

T > 0

рим гильбертово пространство HT = L2([0, T], И). Задача Коши для уравнения (1) на интервале (0, T)

ставлена уравнением вида

Au — f = 0,

(8)

где вектор u G HT представляет неизвестную функцию из уравнения (1), A G L(HT) — неко-

торый линейный оператор в пространстве Нт, f

— определяемый начальным условием (2) элемент пространства Нт. Изучению начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в форме абстрактного уравнения (8) посвящена монография [1]. Ниже рассмотрены два различных представления задачи Коши (1), (2) уравнением (8), использующие дифференциальную и интегральную форму уравнения (1).

Пусть функционал невязки задачи Коши (1), (2), представленной уравнением (8) с замкнутым линейным оператором A в гильбертовом пространстве Нт, определен на линейном многообразии D(J) = D(A) равенством

J(u) = \\Au — f \\нт,u Є D(J). (9)

Определение 3. Квазирешением задачи

J

J

Согласно результатам работы [1, п. 2.3, гл. 1] справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть f0 и fi есть проекции вектора f Є Нт на ортогональные подпространства Hit = Ker A* и H0T = Нт 0 Hit- Тогда точная нижняя грань функционала есть inf J = \\fi Неточная грань достигается на элементе u*(t) Є Є D(J), являющимся решением уравнения Au = = fo тогда и только тогда, когда f0 Є Im A. Стационарная точка u функционала JT,U0 является точкой его локального минимума (строгого, если Ker(A) = {0}, и нестрогого — в противном случае). □

В частности, если множество значений опера-A

J

Функционал невязки в интегральной форме. Задачу Коши (1), (2) можно представить в форме уравнения (8) различными способами. Рассмотрим задачу (1), (2) в форме интегрального уравнения

t

u(t) — uo + i j Lu(s) ds = 0, t Є [0, T].

0

На плотном в пространстве Нт линейном многообразии D(A) = {u Є Нт: u(t) Є L2([0,T],D(L))}

A

пространстве Нт по правилу:

t

Au(t) = u(t) + ij Lu(s) ds.

0

Рассмотрим связанный с задачей Коши (1), (2) в форме интегрального уравнения функционал невязки

jT,U0 (u) = \\Au — f IIHj u Є D(A)1 где f Є Нт — постоянная функция f (t) = u0, t Є Є [0,T].

Сопряженный оператор A* включает в свою область определения D(A*) плотное в прост-

ранстве Нт линейное многообразие В* = {и(Ь) £ £ С([0, Т],В(Ь*))} и определен на линейном мно-В*

т

А*и(Ь) = и(Ь) — г ! Ь*и(в) ds. г

Следовательно, оператор А замыкаем, его замыкание обозначим через Д. Оператор А шире опе-А а < 0 и0 £ И

и(Ь) = Ць(Ь)и0, Ь £ [0,Т], лежит в области определения и в ядре оператора А, но в области опре-А

если и0 £ В(Ь).

Определим функционал

^т,ио (и) = \\Аи — /\\н (Ю)

на линейном многообразии В(1Тиа) = В (А), где /(Ь) = и0, Ь £ [0,Т]. Функционал (10) назовем функционалом невязки задачи Коши (1), (2) в интегральной форме.

Функционал невязки в дифференциальной форме. Задаче Коши (1), (2) сопоставляется линейный оператор г ^ — Ь в пространстве Н, заданный на плотном линейном многообразии достаточно гладких функций. Замыкание указанного оператора определяет функционал невязки вида (9) задачи Коши (1), (2) в дифференциальной форме.

На линейном многообразии В(Т) =

= С([0, Т],В(Ь)) П С1((0,Т),И) определим линейный оператор Т £ С(Н), сопоставляющий вектору у(Ь) £ В(Т) вектор Ту(Ь) = г ^ у(Ь) — Ьу(Ь) прост-НТ

Т*

Следовательно, оператор Т имеет замыкание Т в Нт

Для каждого и0 £ В(Ь) положим В(БТи0) = = {и £ В(Т): и(+0) = и0} и на множестве

В(Ят,и0) определим функционал

&Т,ио (и) = \\Ти\\нт = т

= !dt|| ±и(Ь) + гЬи(Ь)\\Н. (11)

0

Функционал Ят,и0 (и) назовем функционалом невязки задачи Коши (1), (2) в дифференциальной форме.

Замечание 1. Понятию квазирешения некорректной краевой задачи посвящены монографии [1, гл. 1.2], и [12, гл. 2.1], в которых для абстрактного линейного уравнения в банаховом пространстве определяется функционал невязки. Функционалы невязки из [1] совпадают с функционалом (11) для линейных дифференциальных

Нт

риационная задача минимизации функционала невязки (11) решена с помощью методов спектральной теории операторов.

Общее утверждение теоремы 2 для замкнутого линейного оператора в гильбертовом пространстве Нт

реализаций представления задачи Коши (1), (2) в форме уравнения (8). В работе [7] рассмотрены функционалы невязки для уравнения Шре-дингера в дифференциальной форме (1) и для этого же уравнения в интегральной форме. При этом поведение минимизирующей последовательности функционалов в дифференциальной и в интегральной формах существенно отличаются друг от друга и от поведения последовательности решений регуляризованных задач.

IV. Согласование выбора функционала невязки с методом эллиптической регуляризации

В настоящей работе предлагается вместо одного функционала невязки определить семейство функционалов невязки таким образом, что любая минимизирующая последовательность семейства функционалов невязки является последовательностью решений регуляризованных задач и наоборот.

Ь

симметрическим: п_п+ = 0. Через М =

= С0([0, +<х>), В(Ь)) обозначим банахово пространство непрерывных финитных отображений полуоси [0, +ж) в гильбертово пространство В(Ь), а для каждого Т > 0 через Мт обозначим его подпространство, состоящее из функций, обращающихся в нуль на полуоси [Т, +ж). Через Нт и Н обозначим гильбертовы пространства Ь2([0,Т],И) и Ь2(К+,И) соответственно.

С задачей Коши (1), (2) свяжем следующее семейство функционалов:

Рн, Н £ М, (12)

определенных на банаховом пространстве С([0, +ж),И) и принимающих на векторах и £ £ С([0, +<х>),И) значения

Ри(и) = Ци, КН) — (и0,Н)12, Н £М, (13)

где линейный оператор К £ С(Н) определен на линейном многообразии М равенством КН(Ь) =

= Н(Ь) — г / ЬН(в) ds, Ь > 0. Здесь {и, КН) = г

-Нею т

= / (и(Ь), КН(Ь))н ^ = /(и(Ь), КН(Ь))н ^ и

00 -Ню т

{и0, Н) = / (и0, Н(Ь))н dt = /(и0, Н(Ь))н dt, где от-

00 резок [0, Т] содержит носитель функции и.

Определение 4. Будем говорить, что точка и £ С([0, +ж), И) является точкой минимума (стационарной точкой) семейства функционалов (12), если она является точкой минимума (стационарной точкой) функционала Ри для каждого Н £ М.

Замечание 2. Пусть на пространстве C([0, +<х>),И) задано семейство полунорм gh, h G G M, принимающих значения gh(x) = \ {x, h)\, x G

G C([0, +<x>),H), где (x,h) = f (u(t),h(t))H dt.

0

Тогда значение функционала (13) на функции u(t) G C([0, T], D(L)) есть квадрат полунормы gh невязки (10) для функции u(t) (учитывается то, что D(L) с D(L*) и L*h = Lh hG

G D(L)).

L

рический оператор в пространстве с индексами дефекта H (n_,n+) = (0, m), то точка u*(t) = = UL* (t)u0 есть точка минимума семейства функционалов Ph, h G M. □

Доказательство. Утверждение леммы сле-Ph (u* (t)) = 0 h G M L

максимальным симметрическим, поэтому оператор —iL* есть генератор сжимающей полугруппы H

u0 G D(L*)

ция u*(t) = UL* (t)u0 принадлежит прост-

ранству C(R+,D(L*)) П C 1(R+,H) и удовлетворяет равенству (u*(t),h(t)) — (u0,h(0)) + t

+ i(f L*u* (s) ds,h(t)) = 0 для любого элемента

0

h G M и любого t > 0. Следовательно, из условий u0 G D(L*) и h G MT следует, что

t / t \

I dt lu* (t), h(t) — i Lh(s) ds J —

0 V t ) h

— (u0,h(t))H = ° t G [0, TL (14)

и поэтому Ph(u*(t)) = 0 при люб ом h G M.

Если u0 G H я u*(t) = UL* (t)u0, то функция u*(t) есть обобщенное решение задачи Коши с опе-L*

ранстве C (R+, H) последовательности сильных решений u*k(t) = UL*(t)u0k, каждое из которых при любом выборе элемента h G MT удовлетворяет равенству вида (14) с неоднородным слагаемым (u0k, h(t))H. В пределе при к ^ ж получаем, что для любого h G MT выполняется равенство

T

(u(t), h(t))uT +i(u(t)J Lh(s) ds)nT — (щ, h(t))nT =

t

= 0, то есть Ph(u*(t)) = 0 при любом h G M. Лемма 2. Если n_ = 0, то ядро оператора K

□

h

дественно равен нулю на полуоси [T, +ж) при некотором T > 0, а на отрезке [0,T] удовлетворяет

i 1 u(t) = Lu(t) и

условию u(T) = 0. Поскольку при n_ =0 опера-—iL

e_lLt, t < 0, то тогда решение указанной задачи единственно и тривиально, поэтому тривиально и K

Лемма 3. Если п- = 0, то стационарная точка семейства функционалов Ри, Н £ М, удовлетворяет семейству равенств

{и, КН) — {и0,Н) =0 V Н £М. □ (15)

и£

£ С([0, +ж),И) является стационарной точкой каждого из функционалов Ри, Н £ М, то тогда Н £ Мт

вариация

5Ри(и, 5и) = {5и, КН) [{и, КтН) — {щ, Н)]+

+ {5и, КН)[{и, КН) — {и0, Н)].

Эти условия выполняются тогда и только тогда, когда

{и, КН) — {и0, Н) = 0.

Достаточность очевидна, докажем необходимость.

и£

£ Н Н £ М {и, КН) — {и0, Н) = 0

Поскольку Кег(К) = {в}, то для любого Н £ £ М Н = 0 КН = 0

этому найдется такой вектор Зи £ С([0, +го), И) П П Н, что 5Ри(и,5и) = 2||Зи||н||КН||н|{и, КН) —

— {и0, Н)1 = 0 и, следовательно, точка и(Ь) не является стационарной для семейства функционалов Ри, Н £ М. Полученное противоречие доказывает лемму 3.

п- = 0

ционалов Ри, Н £ М, имеет единственную стацио-

и* (Ь) □

Доказательство. Существование указанной точки минимума установлено в лемме 1. Если предположить, что семейство функционалов имеет две различные стационарные точки, то в силу леммы 3 их разность ад £ С([0, +го), И) удовлетворяет семейству равенств

{т(Ь), КН(Ь)) =0, Н £М. (16)

Лемма 4. Функция •ю(Ь) £ С([0, +ж),И), удовлетворяющая семейству равенств (16), равна

□

Доказательство. Покажем, что образ опера-КН К

зие С0 (М+, В(Ь))

финитных функций, значения которых и произ-

В(Ь)

Пусть функция д £ С0(М+,В(Ь)) и ее производная д' £ С(М+,В(Ь)). При этом существует Т > 0 д

д' лежат в отрезке [0,Т]. Тогда уравнение Н(Ь) — т

— г! ЬН( s) ds = д(Ь) Ь £ [0,Т], имеет единствен-

г

д(Т) = 0

т

н(ь) = ! и-ь ^—Ь)д'^) ds, Ь £ [0, Т], так как опера-

г

—Ь

лугруппы и-Ь(Ь^ Ь > 0. Продолженная нулем на интервал (Т, +гс>) функция Н является элементом

множества М КН = д

т

линейное многообразие функций Н(Ь)—г§ ЬН^) ds,

г

Н £ М, плотно в пространстве Н, поэтому у(Ь) = 0. Лемма 4 доказана.

Таким образом, семейство интегральных тождеств (15) определяет точку минимума семейства функционалов невязки полунорм Рн()-, Н £ М, однозначно. Теорема 3 доказана.

Ь

п- = 0

Н£М

шение задачи Коши с начальным условием (2) для уравнения

г — и(Ь) = Ь*и(Ь), Ь > 0.

Поэтому его выполнение для всех пробных функ-Н£М

шения задачи Коши. Такое определение решения является операторной формулировкой определения обобщенного решения краевой задачи с помощью интегрального тождества, выполнение которого справедливо для всех пробных функций из подходящего класса (см. [2]), в данном случае из М

Ь

п- = 0

воряющих семейству равенств (15) при всевозмож-Н £ М

А*т

Ь

мейству интегральных тождеств вида (15) при все-Н

функций М* = С([0,Т],В(Ь*)), состоит не более чем из одного элемента. Этот факт нетрудно доказать теми же аргументами, что и лемму 4.

Ь

п- = 0

летворяющих семейству равенств вида (15) при всевозможных Н £ М*, состоит из единственного элемента — обобщенного решения задачи Коши (1), (2) (см. (5) и теорему 1).

Таким образом, установлено следующее утверждение.

Ь

ные индексы дефекта и является максимальным

п- > 0

вательность регуляризованных решений сходится И

резке, а семейство функционалов невязки {Ри, Н £ £ М} имеет единственную точку минимума, которая совпадает с пределом последовательности регуляризованных решений.

п- = 0

ляризованных решений сходится по норме простИ

щенному решению задачи Коши (1), (2), а семейство функционалов невязки {Ри, Н £ М*}

имеет единственную точку минимума, которая совпадает с обобщенным решением задачи Коши. □

Литература

1. Тихонов A.H., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986.

2. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Итоги науки. Серия: Математика. Математический анализ. - М.: ВИНИТИ, 1969.

3. Сакбаев В.Ж. О свойствах решений задачи Коши для вырождающегося вне отрезка уравнения Шредингера и спектральных аспектах регуляризации // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2007. - Т. 21. - С. 87-113.

4. Сакбаев В.Ж. О спектральных аспектах регуляризации задачи Коши для вырожденного уравнения // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. -2008. - 261. - С. 258-267.

5. Сакбаев В. Ж. Динамика квантовых систем с вырожденным гамильтонианом: диссертация на соискание ученой степени доктора физикоматематических наук. - М., 2010.

6. Сакбаев В.Ж. Аппроксимационные и вариационные методы регуляризации некорректных задач // Доклады РАН. - 2008. - Т. 419, JV« 2. -С. 174-178.

7. Сакбаев В. Ж. Вариационные методы исследования некорректных задач // Современные проблемы фундаментальной и прикладной математики: сб. науч. тр. / Моск. физ.-техн. ин-т. - М.: МФТИ, 2007. - С. 173-201.

8. Жиков В.В. К проблеме предельного перехода в дивергентных неравномерно эллиптических уравнениях // Функ. ан. и его прил. - 2001. - Т. 35, № 1. - С. 23-39.

9. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филин-ков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. - М.: Наука: Физмат-лит, 1995.

10. Рид М., Саймон Б. Современные методы математической физики. Т. 1. - М.: Мир, 1977.

11. Плотников П.И., Саженков С.А. Задача Коши для ультрапараболического уравнения Гратца-Нуссельта // Доклады РАН. - 2005.

- Т. 401, № 4. - С. 455-458.

12. Вакушинский A.B., Кокурин М.Ю. Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами. - М.: УРСС, 2002.

13. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.

Поступила в редакцию 10.01.2011