CC BY
13
УДК 517.946, 517.98
В.Ж. Сакбаев
Московский физико-технический институт (государственный университет) Российский университет дружбы народов
Ои и
динамике вырожденной квантовой системы в пространстве функций, интегрируемых по конечно-аддитивной мере
Изучается пополнение пространства векторнозначных ограниченных функций на измеримом пространстве с конечно аддитивной мерой по норме, задаваемой интегралом. Проведено сравнение введённого банахова пространства с классическим пространством интегрируемых по Бохнеру векторнозначных функций, являющимся пополнением пространства простых функций. Исследовано свойство сепарабельности пространства интегрируемых функций. Введённые функциональные пространства применяются к изучению задачи Коши для уравнения Шредингера с разрывными вырождающимися коэффициентами и её эллиптической регуляризацией. Применение метода исчезающей вязкости приводит к появлению расходящейся последовательности решений регуляризованных задач и многозначному отображению, принимающему значения во множестве её частичных пределов. Расходящаяся последовательность регуляризованных полугрупп представлена как унитарное преобразование введеного гильбертова пространства. Установлена выпуклость множества частичных пределов и определено параметрическое задание множества его крайних точек и совокупности непрерывных селекций многозначного отображения. Изучаются случайные процессы со значениями в пространстве квантовых состояний, связанные с задачей Коши для уравнения Шредингера с вырождением. Математическое ожидание рассматриваемых процессов определяется как интеграл Петтиса по конечно-аддитивной мере. Установена возможность определить процесс по его математическому ожиданию в произвольный момент времени и предложена процедура аппроксимации неизвестного начального состояния решениями конечного множества вариационных задач.
Ключевые слова: стохастический процесс, конечно-аддитивная мера, квантовое состояние, динамическая полугруппа.
I. Введение
Изучение асмптотического поведения квантовых систем с зависящей от положения в координатном пространстве массой [31, 33] приводит к необходимости исследования систем с вырожденным гамильтонианом и влияния вырождения на свойства динамики таких систем. Понятие квантового гамильтониана расширяется с класса самосопряженных операторов на класс симметрических.
Для того чтобы установить, какое динамическое преобразование фазового пространства задает гамильтониан с вырождением, изучаются невырожденные гамильтонианы из окрестности вырожденного и связанные с ними динамические преобразования. Динамическое преобразова-
ние, задаваемое вырожденным гамильтонианом, определяется с помощью процедуры регуляризации — предельного перехода по последовательности преобразований, заданных невырожденными гамильтонианами (см. [16,19]). В случае сходимости последовательности регуляризо-ванных преобразований динамика вырожденной системы определена однозначно. Однако такая сходимость не всегда имеет место. Существование нетривиального множества частичных пределов последовательности динамических преобразований рассматривается как проявление стохастических свойств системы с вырожденным гамильтонианом.
Исследованию стохастических свойств динамики квантовых систем с сингулярными гамильтонианами посвящена работа [19], в которой задача Коши для урав-
нения Шредингера
С
г—иіі) = Ьи(Ь), і > 0, (1)
а
и(+0) = ио, щ Є Н, (2)
с вырожденным симметрическим, но не самосопряженным гамильтонианом Ь изучается методом эллиптической регуляризации.
Рассмотрим модельный пример такой задачи с пространством начальных данных Н = Ь2 (Я) и гамильтонианом Ь, действие которого на элемент и(Ь) Є Н как на функцию и(Ь,х) от переменной х задано дифференциальным выражением
д д і ід Ьи(і,х) = —(а(х)—и-\—а(;г)м)Н—а(х) — и
дх дх 2 2 дх
на максимальной области определения О(Ь) = {у Є Н : Ьь Є Н}. Здесь функции д(х) и а(х) заданы равенствами д(х) = 9(-х),а(х) = ав(х), где а Є Я и в(х) — функция Хевисайда. Тогда
Б(Ь) = {и Є : и\п_ Є Ш22(Я-),
+ є (4) где Я+ и Я- — полуоси х > 0 и х < 0 координатного пространства Я. Как показано в работе [22], оператор Ь является плотно определённым замкнутым симметрическим оператором с индексами дефекта (1,0) при а < 0, (0,0) при а = 0 и (0,1) при а > 0 (см. [22]). Там же установлено следующее утверждение.
Предложение 1. При а ^ 0 оператор - іЬ является генератором изометрической полугруппы и^(І) = е-гЬі,Ь > 0, в пространстве Н и задача Коши имеет единственное решение иь(і)и0. Если же а > 0, то оператор іЬ генерирует изометрическую полугруппу Ц-ь(і) = егЬі,Ь > 0, в пространстве Н, сопряженная к которой является сжимающей полугруппой (и-ь(і))* = в-гЬЧ,Ь > 0, с генератором
-іЬ*. Задача Коши в этом случае некорректна — имеет решение тогда и только тогда, когда вектор начальных данных ио лежит в подпространстве
Ho = П 4U-L(t)).
t> o
В этом случае решение единственно и u(t) = UL* (t)uo.
Наряду с некорректной задачей Коши с вырожденным гамильтонианом рассматривается последовательность корректных задач Коши для уравнения
d
i—u(t) = L£u(t), t > 0,e G E,s —> 0, (5)
с начальным условием (2) и с равномерно эллиптическими гамильтонианами. Множество параметров регуляризации E С R имеет предельную точку 0. Изучается сходимость последовательности решений ре-гуляризованных задач и последовательности регуляризованных операторов плотности при е ^ 0.
Примером регуляризации оператора L задачи Коши (1) — (3) является последовательность операторов {L£,е Е E}, задаваемых в пространстве H = L2(R) дифференциальным выражением
д д i id L£u(x) = —(g£(x)—u+-a(x)u)+-a(x)—u
X (6)
на максимальной области определения
D(L£) = {и Е W2 : u\R± Е W2(R±),
du i
Ы*)ш + £»(*)«) e w;m. (7)
Здесь g(x) = g(x) + е,е Е E.
Напомним, что симметрический оператор L называется максимальным симметрическим, если он не имеет нетривиальных симметрических расширений, то есть хотя бы один из его индексов дефекта равен нулю. В статье [22] доказано следующее утверждение.
Предложение 2. Если оператор L является максимальным симметрическим оператором, то последовательность {u£(t)} решений регуляризованных задач (2), (5), (6) сходится в пространстве H равномерно на любом отрезке [0,Т],Т > 0, тогда и только тогда, когда задача Коши (1), (2) для вырожденного оператора имеет решение u(t), причём решение задачи Коши (1), (2) является пределом последовательности решений вырожденных задач, то есть
lim sup \\u£(t) — u(t)\\H = 0 £^0 te[o,T ]
для любого T > 0.
В случае отсутствия решения задачи Коши (1), (2) последовательность {u£(t)} решений регуляризованных задач сходится слабо в пространстве H равномерно на любом отрезке [0,Т],Т > 0, к вектор-функции u*(t) = Ul* (t)u0, которая является решением задачи Коши для уравнения Шре-дингера с сопряженным оператором L* и начальным условием (2), то есть для любых Т > 0 и p Е H выполняется равенство
lim sup \(u£(t) — u*(t),p)H\ = 0.
£^° te[o,T ]
Всюду далее будем полагать, что оператор L есть максимальный симметрический оператор с индексами дефекта (n- ,n+) = (0,m) вида (3), а L£,е Е E, — его регуляризация вида (6).
Для получения дополнительной информации о поведении слабо сходящейся последовательности {u£(t)} решений регуля-ризованных задач рассматривается соответствующая последовательность регуля-ризованных операторов плотности {p£(t), t > 0, е Е E, е ^ 0}, где при каждом е Е E функция р£ (t) : R+ ^ B*(H) определена равенством (р£(t),A) = (u£(t),Au£(t))H. Здесь B(H) есть банахово пространство линейных ограниченных операторов в пространстве H и B*(H) — его сопряженное. Далее через T.(H) обозначается множество квантовых состояний — части единичной сферы пространства B*(H), лежащей в положительном конусе функционалов из B*(H), принимающих неотрицательные значения на положительных операторах из пространства B(H). Через T,n(H) обозначим множество нормальных квантовых состояний — функционалов из T,(H), непрерывных не только по норме, но и в сильной операторной топологии. Эквивалентным условием принадлежность квантового состояния к множеству нормальных состояний является его включение в пространство ядерных операторов (см. [24]). Через T.p(H) будем обозначать множество чистых квантовых состояний — множество крайних точек пространства T,n(H), задаваемых проекторами на одномерные подпространства пространства H (см. [7]). Каждое чистое квантовое состояние, отвечающее проектору на единичный вектор u Е H, задает на пространстве B(H) линейный непрерывный функционал по правилу (pu,A) = (u,Au)h.
В статье [19] исследована поточечная сходимость последовательности операторов плотности {р£(^} на пространстве В(Н). Естественно, в случае сходимости последовательности {п£(1)} решений регу-ляризованных задач по норме имеет место поточечная на пространстве В(Н) сходимость соответствующей последовательности регуляризованных операторов плотности {р£ (£)}. Согласно теореме 1 работы [29] в случае слабой сходимости последовательности {п£(1)} и её расходимости по норме пространства Н соответствующая последовательность операторов плотности {р£(I)} расходится в топологии поточечной сходимости на пространстве В(Н) (см. [19]).
Для исследования поведения последовательностей регуляризованных полугрупп в методе исчезающей вязкости применяется процедура интегрирования векторных функций по конечно-аддитивной мере. Указанной проблеме анализа посвящен ряд статей и монографий (см. [1,11,30,33]). Настоящая работа посвящена применению интегралов Петтиса и Гельфанда от векторнозначной функции по конечно адиитивной мере к проблеме исследования свойств последовательности решений регуляризованных задач в методе эллиптической регуляризации вырожденных операторов.
В настоящей работе расходящаяся последовательность р£(Ь),£ Е Е,е ^ 0, регу-ляризованных операторов плотности рассматривается как случайный процесс со значениями во множестве квантовых состояний Т,(Н) на пространстве с неотрицательной нормированной мерой (Е,2е,^). Здесь Е = (0,1) — множество параметров регуляризации, 2е — алгебра всех его подмножеств, ц — конечно-аддитивная нормированная неотрицательная мера на множестве Е, заданная на алгебре 2е и сосредоточенная в произвольной проколотой окрестности предельной точки 0 множества Е.
Исследуются свойства математических ожиданий процесса р£(1) и усреднённое динамическое преобразование совокупности квантовых состояний. Для этой цели вводятся и изучаются банаховы пространства векторнозначных функций, интегрируемых в смысле Петтиса (см. [8,25]) по конечно-аддитивной мере.
Исследовано свойство сепарабельности гильбертова пространства интегрируемых с квадратом функций и его представимости в виде тензорного произведения (см. [18]). Для пополнения пространства простых функций со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве, интегрируемых с квадратом по мере из указанного класса, установлена сепарабельность и представимость в виде тензорного произведения. Доказана несепарабельность и непредставимость в виде тензорного произведения пополнения пространства ограниченных функций со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве, интегрируемых с квадратом по любой мере из класса Ш(Е).
Регуляризация задачи Коши представлена как унитарное преобразование гильбертова пространства функций на пространстве с мерой (Е ,2е ,/1) и значениями в
Н, квадратично интегрируемых в смысле Петтиса. Установлено, что частичный след состояния системы в расширенном гильбертовом пространстве совпадает с математическим ожиданием случайного процесса ре (Ь).
С последовательностью регуляризован-ных операторов плотности связано многозначное отображение (см. [19]), сопоставляющее каждому ограниченному линейному оператору А множество частичных пределов последовательности {{р£(Ь) ,А)} значений на этом операторе регуляризован-ных операторов плотности. С помощью введённых случайных процессов изучаются такие свойства указанного отображения, как множество крайних точек его значений и множество его непрерывных селекций.
Изучается свойство наблюдаемости процесса — возможность определения процесса по совокупности значений некоторого семейства функционалов. Установлена инъективность усреднённого динамического преобразования совокупности нормальных квантовых состояний. Предложен алгоритм восстановления начального состояния процесса по значениям последовательности функционалов.
II. Пространства интегрируемых по конечно-аддитивной мере функций
П.1. Конечно-аддитивные меры
Пусть Е — некоторое множество. Через V(Е) обозначим совокупность мер (конечно-аддитивных функций множества), определённых на алгебре 2е всех подмножеств множества Е, неотрицательных и нормированных на единицу. Тогда V(Е) является непустым, выпуклым и замкнутым множеством в банаховом пространстве Ьа(Е) конечно-аддитивных мер на измеримом пространстве (Е,2е). Первое утверждение может быть доказано методом трансфинитной индукции либо с помощью теоремы Хана-Банаха (см. [5,32]), второе и третье очевидно.
Пусть Е — некоторое направленное множество с отношением порядка (см. [11]). Обозначим через Ш(Е) совокупность мер I Е V(Е), обладающих следующим свойством: для любого Ь Е Е выполняется равенство ц(Е^ = 0, где
Е1 = {е Е Е : £ -< Ь}. Например, если Е = N — направленное множество с естественным порядком натуральных чисел, то множество ШN) составляют такие меры из V N), значения которых равны нулю на любом конечном подмножестве множества N. Очевидно, что Ш(Е) также является выпуклым замкнутым подмножеством банахова пространства Ьа(Е).
Изучение конечно-аддитивных мер и обобщённых пределов началось с работ С. Банаха (см. [4]). Следуя [4] и [23] (см. также [16]), регулярным обобщённым пределом числовой последовательности будем называть линейный непрерывный функционал, инвариантный относительно сдвига номера последовательности, и сопоставляющий сходящейся последовательности её предел. В работе [23] установлена связь инвариантных относительно сдвига конечно-аддитивных мер Шх N) с инвариантными относительно сдвига неотрицательными нормированными линейными непрерывными функционалами на пространстве 1^, называемыми обобщённы-
ми пределами числовых последовательностей (банаховыми пределами). Любая мера ц Е N) определяет банахов предел и, наоборот, всякий банахов предел задает меру ц Е N).
П.2. Крайние точки класса
конечно-аддитивных мер №(Е)
На измеримом пространстве (Е,2е) существуют конечно-аддитивные меры I Е Ш(Е), множество значений которых состоит из двух точек {0,1}. Множество 2е разлагается такой мерой ц на два непере-секающихся подмножества Б и Т так, что для любого А Е Бц(А) = 0, для любого
А Е Т^(А) = 1.
Обозначим через Бо кольцо всех конечных подмножеств множества Е, а через То — совокупность всех подмножеств, дополнения к которым конечны. С помощью метода трансфинитной индукции может быть доказано следующее утверждение: существует функция /1(х) : 2е ^ {0,1}, удовлетворяющая условиям:
1) если с,Ь Е 2е и е[)Ь = 0, то
МС1)Ь) = 1(с) + ц(Ь),
2) если Ь Е Б0, то Ца(Ь) = 0,
3) если Ь Е Т0, то 1а(Ь) = 1.
Справедливость указанного утверждения впервые была услановлена, по-видимому, в работе Тарского (см. п. 1.8 и п. 4.1 и библиографию в статье [32]).
Обозначим через Ш0(Е) совокупность всех двухзначных мер из класса Ш(Е). Множество Ш0(Е) изучалось в работе [32], в которой доказано, что любая мера I Е Ш(Е) есть слабый предел последовательности выпуклых линейных комбинаций мер из класса Ш0(Е) (см. теорему 4.6 в [32]). В работе [9] исследовано пространство М\(Х) всех неотрицательных нормированных конечно-аддитивных и конечных мер на а-поле бэровских подмножеств произвольного топологического пространства X. Было установлено (см. [9], теорема 33), что совокупность крайних точек выпуклого замкнутого множества М\(Х) является множеством двухзначных мер из М\(Х). Аналогичое утверждение имеет место и для выпуклого замкнутого множества Ш(Е) в банаховом пространстве Ьа(Е).
Теорема 2.1. Множество Ш0(Е) образует совокупность крайних точек выпуклого замкнутого множества Ш(Е).
Действительно, если ц Е W°(E), то найдется множество A Е 2Е такое, что l(A) Е (0,1). Следовательно, мера ц является выпуклой комбинацией двух мер из класса V(E) с носителями на множестве A и на множестве E\A.
Если же мера ц Е W(E) принимает значение 0 на любом множестве из некоторого подмножества S° С 2Е и значение 1 на любом множестве из класса S1 = 2е\S°, то она является крайней точкой множества W(E). Ибо если ц = а^1 + (1 — а)^2 при некоторых а Е (0,1) и ц1,12 Е W(E), то для любого A Е S° справедливо равенство a^1(A) + (1 — a)i2(A) = 0, поэтому Hi\so = I2S0 = 0. Если же A Е Si, то a^1(A) + (1 — a)i2(A) = 1, и поэтому 11\Sl = 12\s1 = 1. Следовательно,
1i = 12 = 1. Теорема 2.1 доказана.
II.3. Интегрирование
Пространство числовых функций, интегрируемых по конечно-аддитивной мере. Конструкция интеграла от числовой функции f (t),t Е E, по конечно-аддитивной мере ц Е W(E), называемая интегралом Радона, изложена в монографиях [11,10,30]. Напомним, что любая определённая на множестве E числовая функция измерима относительно алгебры 2е и для любой ограниченной числовой функции на множестве E определён интеграл Радона I^(f) по любой мере 1 Е V(E) (см. [10,13]). Две числовые функции f,g на множестве E называются ^-эквивалентными, если I^(\f — g\) = 0, что эквивалентно условию: для любого е > 0 выполняется равенств 1({t Е E : \fi(t) — f2(t)\ > е}) = °.
Если мера 1 счетно-аддитивна, то функции f,g Е b(E,C) являются
^-эквивалентными тогда и только тогда, когда i({t Е E : f (t) = g(t)}) = 0. Как отмечено в [11], последнее замечание не верно для конечно-аддитивных мер, что иллюстрирует и приведённый ниже пример.
Пример 2.1. Пусть E = N, функция fit) задана равенством fit) = j,t G N, и 1 — такая неотрицательная нормированная на единицу конечно-аддитивная мера на множестве всех подмножеств натуральных чисел, что мера любого конечного множества равна нулю. Тогда np,^(f) = 0, но 1({t : f (t) = 0}) = 1.
Линейное пространство классов определённых на множестве Е^-эквивалентных функций (отождествляемых с каким-либо представителем класса), с заданным на нём функционалом является линейным нормированным функционалом с нормой
II/1| 1 = !^(\11). Пополнение указанного линейного пространства будем обозначать Ь1(Е,2е,0,1) и называть пространством интегрируемых по мере 1 числовых функций. Заметим, что плотным в банаховом пространстве Ь1(Е,2е,0,1) линейным многообразием является не только пространство классов ^-эквивалентных ограниченных функций, но и пространства классов
1-эквивалентных простых функций (принимающих конечное множество значений), поскольку всякая ограниченая числовая функция может быть приближена равномерно на Е последовательностью простых, а мера множества Е конечна.
П.4. Пространство интегрируемых функций со значениями в банаховом пространстве
Интегрированию векторнозначных функций на пространстве с конечно-аддитивной мерой по Бохнеру и описанию свойств пространств интегрируемых векторнозначных функций посвящены главы 3 и 4 монографии [11]. Для построения пространства интегрируемых функций сначала интеграл определяется для простых измеримых функций со значениями в банаховом пространстве, с помощью интеграла на пространстве простых измеримых функций вводится норма, пополнение по которой пространства простых функций образует банахово пространство интегрируемых функций. Петтисом и Гельфандом (см. [25]) описана процедура слабого интегрирования векторнозначных функций на пространстве со счетно аддитивной мерой (см. также работу [28]).
Конструкция интеграла Радона от числовой функции по конечно-аддитивной мере использована в работах Натансона и Канторовича для построения и исследования пространства интегрируемых функций, снабженного топологией сходимости в среднем и интегральной нормой. Теория интеграла по конечно-аддитивной мере и банаховых пространств интегрируемых функций создавалась в работах [1,32,34] и изложена в монографиях [8,10,11] и [30].
Для построения интеграла по конечно-аддитивной мере от векторнозначной функции используется либо конструкция слабого интеграла, предложенная Петтисом и Гельфандом (см. [8,25,30]), либо конструкция интеграла Бохнера (см. [11,30]). Банахово пространство вектор-функций со значениями в банаховом пространстве X, интегрируемых по конечно-аддитивной мере в смысле Бохне-ра, есть пополнение пространства простых функций (см. [11]). В монографии [8] банахово пространство вектор-функций со значениями в пространстве X, интегрируемых по конечно-аддитивной мере в смысле Петтиса, строится как пополнение пространства непрерывных функций с компактным носителем. Поскольку всякая непрерывная на компакте функция со значениями в метрическом пространстве может быть приближена в равномерной топологии последовательностью простых функций, то в случае метризуемого пространства X обе конструкции приводят к построению одного банахова пространства Ь1(Е,2е XI).
Пусть X — банахово пространство, а Е — некоторое множество, (Е,2е) — измеримое пространство всех его подмножеств,
V(Е) — множество всех неотрицательных нормированных конечно-аддитивных мер на (Е,2е). Пусть (E,X) есть линейное пространство функций, определённых на пространстве Е со значениями в X.
Назовём две функции /(Ь),д(Ь) Е (E,X) ^-эквивалентными, если числовая функция I/(Ь) — д(Ь)Цх удовлетворяет равенству ^(1/(Ь) — дШх) = °. Две функции ^-эквивалентны тогда и только тогда, когда выполняется условие: для любого £ > 0 выполняется равенство 1({Ь Е Е :
1/(Ь) — д(Ь)^х >£}) =0 (см.[11]). Отношение ^-эквивалентности обладает свойствами транзитивности, симметричности и рефлексивности и поэтому разбивает линейное пространство (E,X) на непересекаю-щиеся классы эквивалентных функций.
Обозначим через В(Е,2е X,!) линейное пространство классов /^-эквивалентных ограниченных функций / из (E,X); а через Б(Е,2еX,1) — линейное пространство классов / функций / из (E,X), ^-эквивалентных простым функциям, то есть принимающим конечное число значений функциям вида / = ^™=1 с3 Ха^, где
Сз Е X; А1, ..., Ат — разбиение множества Е на конечную совокупность непересека-ющихся подмножеств, ха — характеристическая функция множества А Е 2е .
Следуя конструкциям интеграла в [8] и [11], определим при каждом р ^ 1
функционал на линейном пространстве В(Е,2е X»:
п
■р,^
(I) = [
е
где / — некоторый представитель класса / , а интеграл от вещественнозначной функции II/СО IX,Ь Е Е,^-эквивалентной ограниченной, определён как интеграл Радона I^. Поскольку для
двух ^-эквивалентных функций /1 и
II (/1 — /2) IXФ = 0, то определение
е
функционала пр,^ корректно.
Функция пр,^, определённая на линейном пространстве В(Е,2еX,1) (на линейном пространстве Б(Е,2еX,!)), является нормой указанного пространства и превращает его в линейное нормированное пространство Вр(Е,2е X,1) (Бр(Е,2е X,!)).
Через Лр(Е,2е^,1) обозначим пополнение пространства Вр(Е,2е X,l), а через Ьр(Е,2е^,1) обозначим пополнение Бр(Е,2еX,I). Пространство Ь1 (Е,2е,X,I) является пространством интегрируемых по Бохнеру векторных функций на измеримом пространстве (Е,2е,1), введённым в главе 3 монографии [11] и в главе 1 монографии [30].
В указанных монографиях конструкция построения интеграла от векторнозначной функции на пространстве с мерой содержит этап рассмотрения линейного пространства Гх(E,I)X-значных функций на множестве Е, для которых функционал ^^(/) = §Ц/(Ь)Цх принимает е
конечные значения, превращая Гх(Е,1) в локально выпуклое линейное топологическое пространство.
На пространстве Гх(Е,1) в монографии [8] (см. раздел 4.3) определён интеграл (слабый интеграл в смысле Гель-фанда [31]), являющийся линейным отображением пространства Гх(Е,1) в пространство X **.
Однако далее в известных автору исследованиях для построения пространства
интегрируемых векторнозначных функций рассматриваются подпространства простых Б(Е,2еX) или компактнозначных измеримых отображений Е в X. В настоящей работе в основу построения пространства интегрируемых функций в слабом смысле Гельфанда и Петтиса положено локально выпуклое пространство Гх(Е,1), полунорма в котором превращается в норму с помощью факторизации, после чего банахово пространство Л1(Е,2еXV) определяется как пополнение полученного линейного нормированного пространства классов эквивалентности.
Заметим, что
Ьр(Е,2е^ С Лр(Е,2Е,X,1),
что пространства Ьр (Е,2е ,X,l) и
Лр(Е,2еXV) совпадают в случае конечномерного пространства X, а также в случае счётной аддитивности меры 1 в сочетании с сепарабельностью пространства X. Действительно, если пространство X конечномерно, то любую ограниченную функцию на множестве Е можно равномерно на Е приблизить последовательностью ступенчатых. Если же мера 1 является счетно аддитивной, а пространство X — сепарабельным, то любую ограниченную функцию со значениями в X можно приблизить конечной линейной комбинацией характеристических функций со значениями в X по п^-норме. Но если пространство X бесконечномерно, то существуют функции из Лр(Е,2еX,l), не принадлежащие Ьр(Е,2еX,»), как показывает следующий пример.
Пример 2.2. Для множества Е = N и сепарабельного гильбертова пространства Н с базисом {еп} функция и(п) = еп является элементом пространства Л2(Е,2еX,»), но не является элементом пространства Ь2(Е,2е,X,l). Действительно, для любой функции у(п) Е s(N,H) вида у(п) = ^2т=1 СкХАк(п), где Си Е Н, а А1 ,..,Ат — разбиение множества N на конечное число непересекающихся подмножеств, неравенство |и(??.) — у(п)\ ^ | может быть выполнено не более чем в конечном числе (т) точек (действительно, если при некотором т Е N и некотором с Е Н выполнено неравенство ||с — ет|| ^ то тогда для любого к = т справедлива оценка
||с — ет|| ^ |). Поэтому выполняется неравенство || и„ — V ('/?■) || ^ |.
Если / Е Ьр(Е,2е,X,l), то / является классом фундаментальных по норме пр^ последовательностей простых функций ип(Ь) = сП^А1 (Ь) Е s(E,X),
то есть функций, принимающих конечное множество значений сП, ..., с^^п Е X на множествах АП, ..., Атп Е 2е. Тогда для любой функции / Е Ьр(Е,2е,X,l) интегралом Г = § /й1 по Бохнеру нае
зывается предел в топологии нормы пространства X последовательности элементов Гп = Е 1т=п1 сП1(АП). При этом сходимость последовательности {Гп} в пространстве X следует из фундаментальности последовательности {ип} в пространстве Ьр(Е,2е ,X,l).
Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство. Для произвольного элемента /(п) пространства Л2(Е,2е,Н,1) может быть не определено интегрирование по мере 1 в топологии нормы пространства Н — интеграл Радона (см. [10]) /(е)й1 не опре-
е
делён в том смысле, что для любого разбиения Е на конечную совокупность множеств Аз,] = 1, ..., т, и найдутся две различные выборки ^,п : к\г,Пг Е Аг, такие, что
ж,) ./>'/,) // > 1 / д.• (в
качестве примера может быть выбрана все та же функция и(п) = еп,п Е N из примера 2.2). Пример 2.2 также показывает, что функции из пространства Л2(Е,2е,Н,1) нельзя аппроксимировать последовательностью простых функций и поэтому в указанном пространстве не определён интеграл Бохнера. Использование конструкции интеграла Лебега для функций из пространства Л2(Е,2е,Н,1) невозможно за счёт отсутствия счётной аддитивности меры 1.
Поэтому для интегрирования элементов пространства Лр (Е,2е ,X,l) потребуется ослабление топологии сходимости интегральных сумм и мы используем конструкцию интеграла Петтиса (см. [8,25]) для определения слабого интеграла для функций из банахова пространства Лр(Е,2е,X,l).
Пусть / Е Лр(Е,2Е ,X,I), тогда существует такая последовательность функций /к Е В(Е,2е ,X,l), что
11/к — / 1Лр(Е,2е ,х,у) ^ 0 при к ^ Ж.
Для произвольного элемента ф Е X* и элемента /к Е Вр (Е ,2е ,X,l) функция фк(Ь) = ф(/к(Ь)),Ь Е Е, определена на Е и является элементом пространства Ь(Е,2е ,0,1) С Ьр(Е,2е ,0,1). Поэтому для каждого к Е N определён интеграл фк(Ь)й1. Поскольку последовательность
Е
/к фундаментальна в Лp(E,X,l), то последовательность фк фундаментальна в Ьр(Е,2Е,0,1), ибо
||фк — фт)^Ьр(Е,2Е,С,р) ^
^ 1МВ* 1/к — /т^Лр (Е,2Е ,X,^),
а поэтому фундаментальна и числовая последовательность фк dl, предел кото-
Е
рой обозначим через § ф(/)д>1. Значение
Е
предела последовательности § фкЛ1 не за-
Е
висит от выбора фундаментальной последовательности, сходящейся к элементу / Е Лр(Е,2е^,1). Таким образом, на пространстве X* корректно определён линейный ограниченный функционал, то есть элемент Г Е X** : Г(ф) = § ф(/)б,1. СлеЕ
дуя работе [31] (см. также 8.14 в [25]), дадим следующее
Определение 1. Элемент Г Е X** будем называть слабым интегралом от функции / Е Лр(Е,2е,X,l) по мере 1 в смысле Гельфанда, если для любой функции ф Е X * выполняется соотношение Г(ф) = § ф(/)д>1. В этом случае будем пи-
Е
сать Г = | /в,1.
Е
Определение 2. Если банахово пространство X имеет предсопряженное пространство X* (сопряженным к которому является пространство X), то элемент Ф Е X будем называть *-слабым интегралом от функции / Е Лр(Е,2е,X,l) по мере 1 в смысле Петтиса, если для любой функции ф Е X* выполняется соотношение Ф(ф) = I /(ф)д>1. В этом случае будем
Е
*
писать Г = § /dl.
Е
Из приведённых выше рассуждений вытекает следующее утверждение.
Для любой функции / Є Лр(Е,2е,Х,ф) существует слабый интеграл
/ф Є X*
е
Если банахово пространство X имеет пред-сопряженное пространство X*, то для любой функции / Е Лр(Е,2е,X,l) существует *-слабый интеграл
/бі Є X.
е
По определению интеграл Гельфанда является сильно непрерывным функционалом на пространстве X*. Согласно [25]. 8.14, с. 774, если интеграл является слабо непрерывным функционалом на пространстве X*, то он называется интегралом Петтиса и является элементом пространства X. В монографии [8] изучается интеграл Гельфанда от векторной функции по счетно аддитивной мере и получены условия, достаточные для принадлежности его значений пространству X.
П.5. О сепарабельности пространств
Ь2(Е,2е,И,») и Л2(Е,2е,И,»)
Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство. Исследуем влияние конечности или счетности аддитивности меры і на сепарабельность гильбертова пространства Ь2(Е,2е,Н,і). В случае счётной аддитивности имеет место следующий результат (см. [11], с. 387; [5], с. 370):
Счетно аддитивная мера і на некотором измеримом пространстве (Е,А) имеет счётный базис тогда и только тогда, когда пространство Ь2(Е,А,С,і) является сепарабельным. Если при этом гильбертово пространство Н сепарабельно, то сепарабельно и пространство Ь2(Е,А,Н,і).
Ниже приведён пример несепарабельного пространства Л2(Е,2е,Н,і) функций, принимающих значения в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, квадратично интегрируемых по конечно-аддитивной мере і с конечным базисом.
Лемма 2.1. Если ц Є Ш0(Е), то пространство Ь2(Е,2е,С,і) одномерно.
Доказательство. Пусть ц — мера на измеримом пространстве (Е,2е),
принимающая два значения. Положим Б = {А Е 2е : 1(А) = 0} и Т = 2е\Б. Тогда пространство Ь2(Е,2е,0,1) сепарабельно, более того, одномерно в том смысле, что существует полная система элементов этого пространства, состоящая из одного элемента Ха(Ь), где А — произвольный элемент множества Т и ха (Ь) — его характеристическая функция. Действительно, пусть В Е 2е. Тогда ||ха — Хв Ць2(е,2е,с,^) = 0, если В Е Т, и IIХвЦь2(е,2е,с,») = 0, если В Е Б. Лемма 2.1 доказана.
Лемма 2.2. Если пространство Н конечномерно и имеет базис {е1, ..., еп}, а в пространстве Ь2(Е,2е,0,1) существует конечный или счётный базис Т = и ■ /з, то тогда система функций ез х /к полна в пространстве Ь2(Е,2е ,Н,1).
Действительно, если и(£) Е Б(Е,2е,Н,1), то для каждого £ Е Е выполнено равенство и(£) = Еп= аз (£)ез, причём
Еп=1 \аз (£)\2 = Ци(£)Ци. Поэтому все п функций аз(£),£ Е Е, ограничены и, следовательно, принадлежат Ь2 (Е,2е ,0,1). Поскольку Т — конечный или счётный базис в пространстве Ь2(Е,2е,0,1), то аз (£ Е к сзк/к (£), где сзк (/к ,аз )ь2.
При этом и(£) = Еп^Ек сзкез/к(£) и
ЦиЦь2,1, = Еп=^к \сзк\2. Лемма 2.2 доказана.
Теорема 2.2. Пусть 1 Е Ш(Е). Если бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство Н имеет ортонор-мированный базис Е = {ез} а в про-
странстве Ь2(Е,2е,0,1) существует конечный или счётный ортонормированный базис Т = из=1 /з, то ортонормированная система ез х /к является полной в пространстве Ь2(Е,2е,Н,1) и не является полной в пространстве Л2(Е,2е,Н,1).
Доказательство. Любую функцию в пространстве Ь2(Е,2е ,Н,1) по определению можно приблизить простой функцией, которая в свою очередь может быть приближена линейной комбинацией базисных функций ез х /к,] Е N,/k Е Т. Следовательно, система функций ез х /к,] Е N,/k Е Т полна в Ь2 (Е ,2е ,Н,1), а пространство Ь2(Е,2е,Н,1) является тензорным произведением (см. [18]) пространств Ь2(Е,2е,0,1) и Н.
Пусть Е — направленное множество. Тогда в пространстве Л2(Е,2е,Н,1) с мерой 1 Е Ш(Е) существует функция и(£) с единичной нормой, ортогональная всем функциям вида ег х /к — это такая функция и(£) : Е ^ Н, что для любого £ Е Е справедливо равенство ||и(£)||н = 1 и
при этом обобщённая последовательность {ие ,£ Е Е} слабо сходится к нулю в пространстве Н при £ Е Е. Тогда для каждого а > 0 существует Е Е такое, что \(ег,и£)н\ < а для любого £ Е Е, следующего за Ь0. То есть \(ег,и£)н\ < а на множестве полной меры, с одной стороны, и, с другой стороны, ||и(£)||^ = 1(Е) = 1. Следовательно, существуют нетривиальные элементы пространства Л2(Е,2е,Н,1), ортогональные всем элементам вида ег 0 /к, и пространство Л2(Е,2е,Н,1) не является тензорным произведением пространств Ь2(Е,2е,0,1) и Н. Теорема 2.2 доказана.
Следствие 2.1. Пусть 1 Е Ш(Е) и Н — сепарабельное гильбертово пространство. Тогда пространство Ь2(Е,2е,Н,1) является тензорным произведением пространств Ь2(Е,2е,0,1) и Н, а пространство Л2(Е,2е,Н,1) является тензорным произведением пространств Ь2(Е,2е,0,1) и Н тогда и только тогда, когда пространство Н конечномерно.
Теорема 2.3. Пусть 1 Е Ш(Е). Тогда если сепарабельное гильбертово пространство Н бесконечномерно, то пространство Л2(Е,2е,Н,1) не сепарабельно.
Доказательство. Для сепарабельного пространства Н с ортонормирован-ным базисом {ез} укажем континуальное семейство попарно ортогональных нормированных элементов в пространстве Л2(Е,2е ,Н,1).
Рассмотрим сначала случай Е = N и 1 Е Ш N) и определим семейство функций иа на множестве Е со значениями в пространстве Н.
Пусть а Е (0,1) и положим иа(к) = е[ак2],к Е N, где [а] есть целая часть числа а. Тогда Ци0,(к)Цл2(Е,2Е,н,^) = 1 для любого а Е (0,1), а для любых
а,в Е (0,1) таких, что а = в выполняется соотношение ортогональности: (иа,ив )л2(Е,2Е ,н,») = 0. Действительно,
ак2 — вк2 = (а — в)к2, и, следовательно, для любых а,в Е (0,1) таких, что а = в, существует к0 такое, что для
всех к > к0 выполняется неравенство \(а — в)к2\ > 2. Поэтому [ак2] = [вк2], а значит, (иа(к),ир(к))н = 0 при всех к > к0, то есть на множестве полной меры. Итак, для любых а,в Е (0,1) таких, что а = в, (иа,ив )л2 (Е,2Е ,н,») = 0 ив пространстве Л2(Е,2е,Н,1) существует континуальная ортонормированная система элементов.
Пусть Е — произвольное направленное множество и £к — строго монотонно возрастающая последовательность его элементов. Положим Ек = {£ Е Е : £к ^ £}\{£ Е Е : £к+1 ^ £},к Е N, тогда Ек = 0 для любого к Е N.
Пусть а Е (0,1) и положим
иа(£) е[ак2],£ Е Ек,к Е . Тогда еЮ-
ли 1 Е Ш(Е), то иа(£) Е Л2(Е,2е,Н,1) и Циа(к)Цл2(Е,2Е ,н,») = 1 для любого
а Е (0,1), а для любых а,в Е (0,1) таких, что а = в, как доказано выше, выполняется соотношение ортогональности (иа,ив)л2(Е,2Е,н,») = 0. Теорема 2.3 доказана.
III. Анализ последовательности решений регуляризованных задач
Ш.1. Регуляризация задачи Коши с вырожденным оператором
При изучении методом исчезающей вязкости некорректной задачи Коши для уравнения Шредингера
d
г—и(Ь) = Ьи(Ь)$ > 0, (8)
и(+0) = ио,ио Е Н = Ь2(Я), (9)
с симметричным в пространстве Н вырожденным производящим оператором Ь наряду с вырожденной задачей Коши рассматривается её регуляризация — семейство корректных задач Коши для регуля-ризованного уравнения
d
г—и(Ь) = Ь£и(Ь)$ > 0,£ Е Е = (0,1),е —> 0, dt
(10)
с тем же начальным условием. При каждом £ Е Е оператор Ь£ является самосопряженным оператором в пространстве Н, и направленное по убыванию параметра £
множество регуляризованных операторов Ь£ аппроксимирует оператор Ь при £ ^ 0.
Пример 3.1. Если симметрический оператор Ь задан дифференциальным выражением Ьи = с функ-
цией Хевисайда в качестве функции д(х), то регуляризованный оператор Ь£ — дифференциальным выражением ьеи = £(д£(х)£и), где дЕ(х) = д{х) + е.
Определение 3. Обобщенную последовательность линейных операторов Ь£,£ Е (0,1) = Е,£ ^ +0, назовем самосопряженной регуляризацией симметрического оператора Ь, если выполняются следующие условия:
1) для любого £ Е Е линейный оператор Ь£ самосопряжен в пространстве Н;
2) существует число д Е N такое, что
2А) оператор Ь плотно определён и линейное многообразие
б, = г>(ь,+1) гкгиЕ Б(Ь£)) плотно в пространстве Н;
2В) для каждого £ Е Е существует линейный ограниченный оператор Q£ из гильбертова пространства Б(Ьд) в гильбертово пространство Б(Ь£), причём Q£u = и для любого и Е Б,, а последовательность ВД£} удовлетворяет условию: |^£и — и||н + ЦЬ^еи — ЬиЦн ^ 0 при £ ^ 0 для любого и Е Б(Ьд);
3) оператор-функция Ь£,£ Е Е, непрерывна на интервале (0,1) в топологии сильной резольвентной сходимости.
Напомним (см. [18]), что непрерывность оператор-функции в топологии резольвентной сходимости означает непрерывную в сильной операторной топологии зависимость резольвент операторов Ь£ от параметра £ Е (0,1).
Замечание 3.1. Регуляризация из приведённого выше примера является самосопряженной. Другие примеры самосопряженных регуляризаций вырожденных симметричных операторов приведены в работе [21].
В работе [21] установлено, что если задача Коши имеет единственное решение, то последовательность решений регуляри-зованных задач сходится к нему равномерно на каждом отрезке. Принятое нами определение самосопряженной регуляризации расширяет класс эллиптических регуляризаций вырожденного оператора Ь второго порядка с неотрицательной характеристической формой (см. [17,22]) и вы-
являет спектральные аспекты процедуры регуляризации.
Согласно [7,24], квантовым состоянием называется неотрицательный нормированный функционал из пространства В*(Н) линейных непрерывных функционалов на банаховом пространстве В(Н). Обозначим через В+ конус неотрицательных функционалов на В(Н)), через В* — подпространство линейных функционалов на В(Н), непрерывных не только в топологии нормы, но и в сильной операторной топологии, а через В*(Н) — множество линейных функционалов на В(Н), представимых в виде 1и(А) = (и,Аи) с некоторым вектором и Е Н. Через Вза(Н) обозначим совокупность ограниченных самосопряженных операторов пространства В(Н).
При каждом £ > 0 оператор Ь£ является генератором регуляризованной унитарной полугруппы Ць£(Ь) = е-гЬ£*,Ь > 0, в пространстве Н и определяет полугруппу динамических преобразований пространства квантовых состояний В*(Н), задаваемой соотношением Т£(Ь)р = р£(Ь),Ь > 0. для каждого р Е В * (Н), где
{р£(Ь),А} = (р,иьЕ(Ь)Аиь£(Ь)*}. Исследования сходимости полугрупп и£(Ь) и Т£(Ь) показывают (см. [19, 20, 22]), что если dimKer(L* + II) > dimKer(L* — II), то любая последовательность унитарных полугрупп Ц£к (Ь), где £к ^ +0 при к ^ ю, расходится в сильной операторной топологии, а соответствующая последовательность преобразований Т£к (Ь) пространства В*(Н) расходится в ^-слабой операторной топологии пространства В(В*(Н)): найдутся такие число Ь > 0 и вектор и0 Е Н, что для любой бесконечно малой последовательности £к существует оператор А Е В(Н) такой, что числовая последовательность {{Т£к(Ь)ри0,А)} расходится. Здесь вектор ри0 Е В*(Н) задается равенствами (ри0 ,А) = (ио,Аио).
Таким образом, если {Ь£,£ Е Е,} — самосопряженная регуляризация оператора Ь и dimKer(L* + II) > dimKer(L* — II), то для любого Ь > 0 найдется та-
кой вектор и0 Е Н, что множество частичных пределов последовательности регуляризованных операторов плотности {р£(Ь,Рио) = Т£(Ь)ри0 ,£ Е Е,} в *-слабой топологии пространства В*(Н) пусто. Тем не менее множество частичных пределов чис-
ловых последовательностей
{(Т£(Ь)р,А),А Е В(Н),}
при любых (Ь,р,А) Е Я х В*(Н) х В(Н) непусто, ограничено и замкнуто. Наша задача — описать структуру множества частичных пределов указанных числовых последовательностей, и с помощью свойств указанного множества охарактеризовать поведение расходящейся последовательности {р£(Ь,ри0) = Те(Ь)ри0,£ Е Е,} в *-слабой топологии пространства В*(Н).
Множество всех частичных пределов числовых последовательностей {(Т£(Ь)р,А)} значений регуляризованных квантовых состояний на ограниченных операторах определяет многозначное отображение Г метрического пространства (X = Я х В+ х Ва(Н),гх), с метрикой
Гх ((Ь1,Р1,А1),(Ь1,Р1,А1)) =
= \Ь1 — Ь2 \ + ||Р1 — Р2 || В* (н) + ||А1 — А2^В(н)
в метрическое пространство (2к,с1 ,гн), замкнутых подмножеств числовой прямой с метрикой Хаусдорфа гн (см. [3]). Многозначное отображение Г метрического пространства (X,Гх) в метрическое пространство (2к,с1 ,гн) сопоставляет каждой точке £ = (Ь,р,А) Е X ограниченное замкнутое множество Г(Ь,р,А) = Ьв£^о(Т£(Ь)р,А) всех частичных пределов числовой последовательности {(Т£(Ь)р,А),£ Е Е}.
Замечание 3.2. Фиксируем элементы и0 Е Н и > 0 такие, что последовательность решений {и£(Ь0)} сходится лишь слабо в Н, и рассмотрим отображение Г(Ьо,рио,•) банахова пространства Вза(Н) в метрическое пространство (2я,с1,гн). Очевидно, это отображение обладает следующими свойствами.
1. Если А Е В * (Н) и а Е Я, то Г (Ьо,Рио ,аА) = аГ (Ь0,ри0 ,А).
2. Если А1,А2 е В*(Н) и аг Е Г(Ь0,ри0,Аг),г = 1,2, то включение а1 + а2 Е Г(Ь0,рио,А1 + А2) может не иметь места, но для любого Ь Е Г(Ь0,рио,А1 + А2) найдутся такие аг Е Г(Ьо,ри0,Аг),г = 1,2, что Ь = а1 + а2.
Теорема 3.1. Если {Ь£,£ Е Е,} самосопряженная регуляризация оператора Ь, то значение многозначного отображения Г в каждой точке
£ Е Xs = Я х (В+П В*) х Ва(Н) является отрезком. Многозначное отображение Г метрического пространства (X,гх) в метрическое пространство (2к,с1 ,гн) непрерывно на метрическом подпространстве (Xs ,гн ).
Доказательство теоремы 3.1 можно найти в работе [36].
Ш.2. Непрерывные селекции многозначных отображений
Пусть множество Е С (0,1) параметров регуляризации направлено по убыванию параметра £ и через Ш(Е) обозначен класс неотрицательных нормированных конечно-аддитивных мер на измеримом пространстве (Е,2е), сосредоточенных в произвольной проколотой окрестности нуля (см. п. 11.1). Тогда для произвольной функции р(£),£ Е Е, со значениями в пространстве В * (Н) определён интеграл
*
Петтиса р^ | р(£)01 Е В*(Н) ( см. опре-
Е
деление 2).
Теорема 3.2. Пусть {Ь£,£ Е Е} — самосопряженная регуляризация оператора Ь и 1 Е Ш(Е). Тогда функция ^(Ь,р,А) = 1(Т£(ь)р,а)01(£),(ь,р,а) е X
Е
обладает следующими свойствами:
1) при любом Ь > 0 является непрерывной билинейной формой на пространстве В*(Н) х В(Н);
2) сужение /фхв непрерывно на пространстве Xs;
3) сужение / \ха является непрерывной ветвью непрерывного многозначного отображения Г\ха Е 0(Xs,2R’cl).
Доказательство. Пусть Ь > 0. Тогда билинейность функции
/и(Ь,Р,А),(р,А) Е В*(Н) х В(Н)
следует из линейности интеграла и билинейности по переменным (р,А) функции (Т£(Ь)р,А) при каждом £ Е Е и Ь > 0.
Непрерывность функции /^(Ь,Р,А)\хв следует из непрерывности отображения Г\ха и монотонности интеграла.
При фиксированном (Ь,р,А) Е Xs множество Г(Ь,р,А) есть ограниченное замкнутое множество числовой прямой и по свойству монотонности интеграла значение /(Ь,р,А) лежит на отрезке между крайними точками множества Г(Ь,р,А). Поэтому
/ч(£) Е Г(£) для всех £ Е Xs. Теорема 3.2 доказана.
Следствие 3.2. Если {Ь£,£ Е Е} — самосопряженная регуляризация оператора
Ь, то для любого £ = (Ь,р,А) Е X справедливо равенство Г(£) = 0/**(£).
Доказательство. Из теоремы 3.1 вытекает, что /*(Ь,Ро,А) С Г(Ь,Р,А).
Наоборот, каждая точка Р множества Г(£) является пределом некоторой подпоследовательности /£п (£). Тогда если мера 1 Е Ш (Е) сосредоточена на множестве К значений последовательности £п, то Р = /*(£), откуда следует включение Г(Ь,ро,А) С ичеш /ч(Ь,Ро,А). Следствие 3.2 доказано.
Пусть {Ь£,£ Е Е} — самосопряженная регуляризация оператора Ь и 1 Е Ш(Е). Для каждого Ь > 0 и р Е В*(Н) функция /ч(Ь,р,А),А Е В(Н), является непрерывным линейным функционалом на пространстве В(Н). Следовательно, для всех Ь > 0 и р Е В*(Н) определён единствен*
ный элемент рч(Ь,р) = / р£(Ь)01 Е В*(Н)
Е
такой, что (рч(Ь,р),А) = /ч(Ь,р,А) при всех А Е В(Н).
Если, кроме того, р0 Е В*(Н), то, как следует из установленной в теореме 3.1 непрерывности функции / на метрическом пространстве Xs, отображение рч(Ь,и0) метрического пространства Я х В*(Н) в пространство В*(Н) является непрерывным в слабой-* топологии.
Определение 4. Ограниченный линейный оператор Т Е В (В * (Н)) будем называть *-слабым интегралом оператор-функции Т£,£ Е Е, со значениями в пространстве B(B*(X)) по конечно-аддитивной мере 1 Е V(Е) и обозначать
*
Т = Т£01, если для любых векторов
Е
р Е В*(Н),А Е В(Н) выполняется равенство (Тр,А) = | (Т£(Ь)р,А}01.
Е
Для каждого 1 Е Ш(Е) определим следующее семейство отображений:
Тогда для любого р0 Е В*(Н) справедливо равенство
рч (Ь,ро)
Т£(Ь)ро01 = Т4(Ь)ро,Ь > 0.
Е
При любом Ь > 0 соответствие Тч (Ь) : р ^ рч(Ь,р), является линейным отображением пространства В*(Н) в себя, сохраняющим норму и свойство положительности элемента рч (Ь) = Тч (Ь)р для р Е В+.
Многозначное отображение Г : X ^ 2^с1 определяет многозначное отображение Т(Ь) : Я+ ^ 2в(в* (н)) такое, что для каждого р Е В*(Н) выполнено равенство
Т (Ь)р = и ТЧ (Ь)р.
Согласно следствию 3.2 для любых (Ь,р0,А) Е X выполняется равенство
Г (Ь,р,А) = (Т (Ь)ро,А}.
Следствие 3.3. Для каждого Ь > 0 отображение : Ш (Е) ^ В (В* (Н)), сопоставляющее каждой мере 1 Е Ш(Е) линейный оператор Тч (Ь) в пространстве В*(Н), является отображением множества Ш(Е) С Ьа(Е) на множество Т(Ь), сохраняющим выпуклые комбинации.
Доказательство. Свойство сохранения выпуклых комбинаций следует из линейности интеграла.
Из теорем 2.1, 3.1 и следствия 3.3 вытекает следующее утверждение
Следствие 3.4. При каждом Ь > 0 множество Т(Ь) выпукло. В топологии, определяемой на пространстве В (В*(Н)) совокупностью полунорм р(рЛ),(р,А) Е В*(Н) х В(Н) :
Р(р,а)(Т) = \(Тр,А)\,Т Е В(В*(Н)), множество Т(Ь) является ограниченным и замкнутым. Совокупность крайних точек выпуклого множества Т(Ь) принадлежит множеству {Тч(Ь),1 Е Ш0}.
Таким образом, многозначная динамика Т : Ь ^ Т(Ь) задается совокупностью преобразований {Тч(Ь),Ь > 0}чеш0(Е), определяющих крайние точки множества Т(Ь)(р) вместе с замыканием их выпуклой оболочки.
Тч (Ь)
Т£(Ь)01,Ь > 0.
Е
Ш.3. Регуляризация как динамика в расширенном пространстве
Семейство регуляризованных задач Коши (9), (10) с мерой 1 Е V(Е) (см. п. 11.1), заданной на множестве всех подмножеств параметров регуляризации, определяет в пространстве Н = С2(Е,2е,1,Н) унитарную группу преобразований и(Ь),Ь Е Я, действующую по правилу
и (Ь)и(£) = иЬЕ (Ь)и(£).
Действительно, для любых и(£),у(£) из плотного в пространстве Н линейного многообразия Ь(Е,Н) ограниченных функций на множестве Е со значениями в пространстве Н справедливо равенство
(и (Ь)и(£),и (Ь)ь(£))п =
= (иь£ (Ь)и(£),иЬ£ (Ы£))Н =
Е
(иьЕ (Ь)и(е),иЬе (і)у(є))п йр =
= {и{є),у{є))п
для любого і Є Я, поэтому преобразование изометрично и, очевидно, любой вектор и(є) Є Ь(Е,Н) имеет прообраз иь£(-)и(є) Є Ь(Е,Н).
Генератором полугруппы Ы(ї)і Є Я, является самосопряженный в пространстве Н оператор С такой, что любая функция и(є), удовлетворяющая условию и(є) Є Б(ЬЄ) при р-почти всех є Є Е, принадлежит области определения Б (С) оператора С и для любого є Є Е справедливо равенство Си(є) = ЬЄи(є).
Каждому единичному вектору и = и (є) ЄН соответствует квантовое состояние в пространстве Н — оператор плотности Яи Є В*(Н), действующий на произвольный оператор А Є В(Н) по правилу 'Яи (А) = (и,Аи)н.
Таким образом, самосопряженная регуляризация задачи Коши (8), (9)
определяет унитарную динамику векторов пространства Н и динамическую полугруппу %і > 0, действующую
в пространстве В *(Н) согласно правилу %Я = Я(і),Я Є В*(Н), где (Я(і),А) = (Я,Ы (ї)Аи * (і)) для всех
А Є В(Н).
Замечание 3.3. Существование расширений симметрического оператора Ь до
самосопряженного оператора С в гильбертовом пространстве Н, содержащем пространство Н как подпространство, следует из теоремы Наймарка (см. [2]). В настоящей работе предложена конкретная реализация такого расширения.
Обозначим через В0(Н) линейное подпространство пространства В(Н), состоящее из операторов А, удовлетворяющих условию: существует такой оператор А0 Е В(Н), что если и(£) Е Ь(Е,Н), то (Аи)(£) = А0(и(£)) для любого £ Е Е. Тем самым ограниченный оператор А определён на плотном в Н линейном многообразии Ь(Е,Н), и, следовательно, однозначно определено его продолжение по непрерывности на пространство Н. В этом случае будем говорить, что оператор А не зависит от переменной £ и обозначать этот факт символом А = А0 х 11. Подпространство В0(Н) является также и подалгеброй, как нетрудно убедиться по действию его элементов на векторы из плотного в Н под-простанства Ь(Е,Н).
Следуя [6] и [24], частичным следом состояния / Е В*(Н) по подпространству С2(Е,2е,1,0) назовем сужение функционала / на подпространство операторов В0(Н). Из теоремы 3.2 следует следующее утверждение:
Теорема 3.3. Пусть {Ь£,£ Е Е} — самосопряженная регуляризация оператора Ь и пусть 1 Е Ш(Е). Тогда квантовое состояние р*ч(Ь,и0) = § р£(Ь,и0)й1 есть
Е
частичный след чистого состояния ^(Ь) из пространства В*(Нч) по пространству С2(Е,2е ,1,0).
Таким образом, меры класса Ш(Е) позволяют определить регуляризацию задачи Коши (8), (9) как унитарное преобразование гильбертовых пространств С2(Е,2е,1,Н) и задать параметрически множество частичных пределов последовательностей {(Т£(Ь)ри0,А)} и непрерывные ветви многозначного отображения Т(Ь). При этом меры класса Ш0(Е) определяют параметрическое задание совокупности крайних точек множества Т(Ь).
IV. Обратимость семейства усреднённых динамических преобразований
Выберем некоторую меру 1 С Ш(Е) и рассмотрим математическое ожидание р^(Ь,р0) процесса р£(Ь,р0),£ Е Е, на пространстве с мерой (Е,2е,1) (см. (п. 111.2 и п. 11.1)), а также связанное с ним однопараметрическое семейство линейных преобразований пространства В*(Н):
Т?,Ь > 0,
действующих по правилу Т^р0 = р^(Ь,р0).
Очевидно, что при каждом Ь > 0 множество квантовых состояний Т,(Н) инвариантно относительно преобразования Т^. Поставим следующие вопросы.
1. Является ли отображение Т^ инъективным преобразованием множества Е(Н)?
2. Как определить состояние р0 по известным значениям функционала р^(Ь,р0) на пространстве В(Н)?
Напомним, что Ь — максимальный симметрический оператор с индексами дефекта (п-,п+) = (0,т),т = 0, и
имеет место разложение Н = Н0 (Ь) Ф Нг(1), где Н0(Ь) = 1т([1-Ь(1)) и
Н1 (Ь) = Кег(и)ь* (Ь)) (см. предложение 1 введения).
Фиксируем некоторое число Ь > 0. Тогда для любого и0 Е Н0(Ь) последовательность регуляризованных решений и£ (Ь),£ Е Е, сходится при £ ^ 0
в пространстве 0([0,Т],Н) к функции и(Ь) = и-ь(Ь)*и0. Поэтому для любой
меры 1 Е Ш(Е) и любого оператора А Е В(Н0(Ь)) справедливо равенство
Р (Ь,Р0),А} = (и(Ь),Аи(Ь)).
Определение вектора и0 из подпространства Н0(Ь). Для определения вектора состояния и0 Е Н0(Ь) с заданной точностью а > 0 достаточно знать значения функционала р^(Ь,ри0) на множестве 51(Н0(Ь)), где Б1(Н0(Ь)) есть совокупность ортогональных проекторов на единичные векторы пространства Н0 (Ь), а 1 — некоторый элемент множества Ш(Е).
Действительно, пусть система векторов {ук,к Е N} есть ортонормированный базис в сепарабельном гильбертовом пространстве Н0(Ь), ,тк = и-ь(Ь)*Ук а Рк есть
ортогональный проектор на вектор Шк. Поскольку и-Е(ї) есть изометрическое отображение пространства Н0(і), то для любого т Є N выполнено равенство
Р (і,Рио ),Рк ) =
= (и(і),Рки(і)) = \(и-Ь(г)*Ук Д-Ь (г)*ио)\2 = = \(и0,Ьк )\2.
Тогда Е 7=ір (і,рио ),рк) = і.
Определим значения
р(г,рио),Рк) = ак,к Є і,..,т,
для такого т Є N, что Е/г=і ак ^ 1 — \<у2-Пусть Б°{и>ъ и>т) есть конечная |-сеть единичной сферы в т-мерном пространстве, натянутом на векторы ш1, ..., шт. Элемент сети ш Є Б®(ш1, ..., шт), на котором достигает максимального значения функция Р(і,Рио),Рт), где Рш есть ортогональный проектор на вектор ш, обеспечивает оценку ||и(і) — IV||я ^ §, поэтому ||и0 — и-Е(і)ш^н ^ о. Таким образом, найден вектор ш Є Б1 (ш1, ..., шт), приближающий вектор и0 по норме с точностью до
о.
Определение вектора и0 из подпространства Н1(і). Пусть система векторов {ек ,к Є N} есть ортонормированный базис в сепарабельном гильбертовом пространстве Н1(і), которое будем далее обозначать через Н1.
Фиксируем некоторое число о > 0. Пусть є1 Є Е и /1 = иєі (і)е1. Поскольку \ІШє^о(Іі,иє(і)Є2) = 0, то существует є2 Є (0,єі) такое, что \(/1,/2)\ ^ 2-3о, где /2 = иє2 (і)е1. Пусть определены числа Єї, ..., єп такие, что 0 < єп < ... < є і и для любых Є 1 ,п^ ф г, выполняется неравенство \(/г,/і)\ ^ 2-(г+іV (здесь /3 = иЄі (і)е1). В силу слабой сходимости к нулю вектор-функции иє(і)е1,є Є Е, при є ^ 0, найдется такое число єп+1 Є (0,єп), что неравенство \(/г,/п+1)\ ^ 2-(г+п+1)о (где /п+1 = иєп+1 (і)е1) выполняется для всех г Є 1 ,/г. Согласно принципу математической индукции справедливо следующее утверждение.
Лемма 4.1. Для любого числа о > 0 существует положительная бесконечно малая последовательность {єп} такая, что последовательность векторов {/п}, где
/п = и£п (Ь)е1,п Е N, образует нормированную систему векторов в пространстве Н, квадратично близкую к ортогональной и удовлетворяющую оценке \(/г,/3)| ^ 2-2(г+з)а для всех г = ].
Пусть система векторов {ди},к Е N, получена из системы векторов {/к} с помощью стандартной процедуры ортогонали-зации. Тогда {ди} — ортонормированная система, и для любого к Е N выполняется оценка ||дк — /к|| ^ 2-ка. Определим ортогональный проектор Р1 как сумму в сильной операторной топологии пространства
>* ( ТТ\ ________________
{£]!?} последовательности {£к}, что выполнены утверждения леммы 4.2. Положим Ет = и £1к при каждом т Е N. Тогда
последовательность {Ет} есть последовательность вложенных счетных множеств, каждое из которых имеет единственную предельную точку 0.
Обозначим через Нт линейную оболочку первых т базасных векторов е1, ..., ет.
Следствие 4.2. Пусть 1и1,..,1ир — ор-тонормированная система векторов в пространстве Нт. Тогда система векторов /г|'(?в) = иь^тф)и>1,1 Е 1,р,к Е М, явля-
B (H) операторноного ряда Еk=l Pgk, где ется квадратично близкой к ортонормиро-
РЯк — оператор ортогонального проекторо-вания на вектор дк.
Следствие 4.1. Пусть выполнены условия леммы 4.1 и р Є Ш(Е) — мера с носителем на множестве IX _л є к. Тогда
(p1 (tel),Pl)) = Шt)el,P^є(t)el) ^ І-а2
E
Действительно, для любого k Є N выполнено неравенство
(Uk(t)el,PX(t)el) > mk(t)el,gk)\2 =
= \(fk,gk)\2 ^ І - 2-2kа2.
Лемма 4.2. Пусть {en} — ортонорми-рованный базис в гильбертовом пространстве H1 и {єk} — бесконечно малая последовательность положительных чисел. Тогда для любого числа m Є N найдется такая подпоследовательность {єm} последовательности {єk}, что выполняются следующие утверждения:
1) для всех k,l Е 1 ,т и любых i,j Е N,i ф j, выполнено неравенство
\(ULmek,ULmei)\ < 2-(i+j +m); (ІІ)
2) для каждого I Е {1,т} последовательность {£} является подпоследовательностью {£1г-1}, где £°° = £г,г Е N.
Доказательство утверждения леммы
4.2, основанное на применении метода математической индукции, по структуре повторяет доказательство леммы 4.1.
Пусть выбран базис {ек} пространства Н1 и {£к} — бесконечно малая последовательность положительных чисел. Тогда каждому фиксированому числу т Е N соответствует такая подпоследовательность
ванной в том смысле, что
\(кк(т),кі(т))\ < 2-т, при всех 1,к,в,з таких, что
(I — в)2 + (к — з )2 = 0.
Теорема 4.2. Для любого базиса {ек} пространства Н1 и любой бесконечно малой последовательности положительных чисел {єк} существует мера р Є Ш(Е) такая, что для любого т Є N выполнено равенство р(Ет) = 1.
Определим функцию множества О на следующей совокупности Б подмножеств множества Е. Положим О = 0 на конечных множествах и О = 1 на их дополнениях; О = 1 на всех множествах Ет и О = 0 на их дополнениях. Тогда функционал д определён на совокупности характеристических функций указанных подмножеств по следующему правилу: д(£л) = О(А),А Є Б. Обозначим через Ь(Б) линейную оболочку совокупности функций из Б. Тогда Ь(Б) есть линейное подпространство банахова пространства В(Е) ограниченных функций на множестве Е с зир-нормой, а д есть линейный функционал на линейном подпространстве Ь(Б), ограниченный единицей по норме. По теореме Хана-Банаха функционал д допускает продолжение 7 на все пространство В(Е) с сохранением нормы. Тогда 7 Є В* (Е), 7 — неотрицательный линейный функционал с единичной нормой на банаховом пространстве В(Е), причём ^(^,Ет) = 1 при любом т Є N. Поэтому сужение р функционала 7 на алгебру характеристических функций множеств из 2е является неотрицательной нормированной конечно-аддитивной мерой на измеримом пространстве
(Е,2е), причём р(Ет) = 1 при любом т Є N. Определенная выше мера р принадлежит классу Ш(Е), поскольку мера дополнения любой окрестности предельной точки є* = 0 равна нулю. Теорема 4.2 доказана.
Для дальнейших исследований выберем и фиксируем меру р Є Ш(Е), существование которой установлено в теореме 4.2.
Фиксируем некоторое число т Є N. Согласно лемме 4.2, существует такая бесконечно малая последовательность {єт}, что система векторов
їі(т) = Ub.ru (і)еі,1 Є 1;т,к Є ІУ, является к
квадратично близкой к ортонормирован-ной в том смысле, что
—т—к—і
\(/і(т),/і(т))\ < 2 при всех І,к,в,з таких, что
(І — в)2 + (к — з )2 = 0.
Пусть система векторов {дк (т)}, І Є 1 ,т, к Є N, получена из системы векторов {/к(т)} с помощью стандартной процедуры ортогонализации. Тогда {дк(т)} — ортонормированная система и для любого к Є N выполняется оценка ||дгк(т) — / к(т)Ц ^ 2—к—т. Определим ортогональный проектор Р (т) как предел в сильной операторной топологии пространства В(Н) последовательности частичных сумм операторноного ряда '^2'к>=1 Рдк(т) (здесь Рдк (т) — ортогональный проектор
на вектор дк (т)).
Тогда операторный ряд
її (т)
(12)
к=1
также сходится в сильной оператор-
любого оценка
ной топологии
причем для вектора V Е Н выполнена ||(Р(т) — дг(т)фЦ ^ 2-т^||.
Носитель меры 1 согласно теореме 4.2
и ОО т
к=1 £т при каждом т € N. Тогда для любого I € 1 ;т справедлива оценка
(р1(Ь,ег),Р (т)} =
(иє(і)еіР(т)иє(і)еі)йр ^ 1 — 4-
поскольку для любого п Є N выполнено неравенство
(иєТ (і)еі,Р (т)иєт (і)еі) ^
^ \(иєт(і)еі,дп(т))\2 > 1 — 4—т.
Аналогично, для любых І,і Є 1 ,?п,г ф І, справедливы соотношения
(р^(і,еі),Рг(т)) =
(иє(і)еі,Рг(т)1ф(і)еі)йр ^
Е
\(ді(т),/к(т))\2 ^
к=1 і=1 ЕЕ -
2~2(к+] +т) = 4-
Е
і=1 к=1
Теорема 4.3. Пусть р Є Ш(Е) — мера, существование которой установлено в теореме 4.2. Если и01,и02 и и01 = и02, то для любого Ь > 0 существует ортогональный проектор Р Є В(Н) такой, что
{р^(іри0і ),Р) = Р (і,Рио2 ),Р).
Доказательство. Пусть V есть составляющая вектора и02, ортогональная вектору ио1 и 6 = Щн.
Выберем некоторое число о > 0. Для каждого т >Є N обозначим через ит1 и ит2 проекции векторов и01 и и02 на подпространство Нт и через vm — составляющую вектора ит2, ортогональную вектору ит1. Тогда найдется такое число т Є N, что 2—т < о, и справедливы неравенства ^т|| > 6(1 — о), ||ио1 — ит1ІІН < о и Ци02 — ит2Цн < о. Для подпоследовательности {єт} последовательности {єп} выполняется условие: система векторов
{/к(т),дк(т)}, где /к(т) = иЬ т (і)ит1
к
и дк(т) = иь^т (і)йф-пУт, является квад-
к II тИ
ратично близкой к ортонормированной в смысле неравенства (11).
Согласно свойствам меры р её носитель лежит на множестве значений последовательности {єт}. Пусть Я(т) — ортогональный проектор, являющийся суммой операторного ряда У]сф=1 Рдк(т) в сильной операторной топологии. Тогда согласно лемме 4.2, (р^(і,ри01 ),Я(т)) ^ о и
(р^(і,ри02 ,Я(т)) ^ (6(1 — о) — о)2. Поскольку число о > 0 может быть выбрано произвольно, то (р^(гри01),Р)) = (р^(і,рио2),Р). Теорема 4.3 доказана.
Лемма 4.3. Пусть p0 Є T,n(H^ ратор плотности. Тогда
опе-
lim
sup
JveHn
(^(t)P uo , Qv(m))dp - po(v)
E
0, (13)
где для каждого V Е Нт оператор ^ (т) определен сходящимся в сильной операторной топологии рядом (12).
Доказательство. Выберем некоторое число а > 0. Рассмотрим сначала случай, когда квантовое состояние является чистым р0 = ри0. Тогда найдется такое число М Е М, что 2~м < | и
,М _ р и и гм ____ им _ и
10 — РНм и0 и г — и0 и0
M
Р, і
нм ио и Vі
Заметим, что если т ^ М и единичный вектор V лежит в пространстве Нт, то оператор Яъ (т) определён сходящимся в сильной операторной топологии рядом (12) и его норма допускает оценку IIЯ(т)Цв(н) ^ 1 + 2—т. Следовательно, для любого единичного вектора V Є Нт справедливо неравенство
(T (t)(Puo - PuM ),Qv (m))dP
E
^(1 + 2-т)<|-
Поскольку носитель меры 1 принадлежит множеству Ет при произвольном т, то для всех т ^ М справедливо равенство
(^(t)PuM ,Qv (m))dP
E
(Uls (t)uM ,Qv (m)UL£ (t)uM )dp.
M
Em
Поскольку при любом т ^ М операторный ряд ^ (т) сходится в сильной операторной топологии, то
(Ul£ (t)uM ,Qv (m)UL£ (t)uM )dp
Em
(Y,\(Ul, (t)uM .ULm (t)v)\2№.
k
Em
k=1
Для последовательности {єm} выполняется условие (11). Следовательно,
E\(Ul. (t)uM .Ul,t (t)v)\2№-
k
Em
k=1
2M
— \(иМ^)\2\ ^^2 2-2(М+к+з) ^ 2-
к,3 = 1
Таким образом, в случае, когда состояние р0 чистое, для всех т ^ М и любых
V Е Нт,|^|| = 1, справедлива оценка
T(t)puo,Qv(m))dp - Po(v)
E
из которой в силу произвольности числа а > 0 следует равенство (13).
Если квантовое состояние р0 является выпуклой комбинацией конечной совокупности ортогональных проекторов, то доказанное неравенство справедливо для каждой из компонент выпуклой комбинации и поэтому — для самой выпуклой комбинации. Произвольное же нормальное квантовое состояние р0 можно приблизить с точностью до | в следовой норме выпуклой комбинацией конечной совокупности ортогональных проекторов. Следовательно, оценка (14) и равенство (12) имеют место для произвольного нормального состояния р0. Лемма 4.3 доказана.
Теорема 4.4. Пусть р0 Е Т^п(H*) — оператор плотности, и p^(t,p0) = J T£(t)p0dp.
E
Состояние р0 является чистым тогда и только тогда, когда
lim sup (p^(t,p0 ),Qv (m))dp = 1.
veHm,\\v\\ = 1
(15)
Пусть состояние p0 является чистым: Po = Рио ,Uo Е H1. Тогда согласно лемме 3.3 для любого а > 0 найдется число т0 Е N такое, что для всех
v£H„
T(t)puo,Qv(m))dp - Po(v)
E
< а.
Следовательно,
\ sup (p^(t,po),Qv (m))dp-
veHm,\\v\\ = 1
— sup p(v)\ < а
veHm,\\v\\ = 1
при всех т ^ т0, что и означает выполнение равенства (15).
Докажем, что из равенства (15) следует, что состояние Po чистое. Предположим противное, что состояние Po не является чистым и поэтому SUPv:||v|| = 1 (Po,Pv) = а < 1.
Согласно лемме 4.3 для любого а > 0 найдется такое число т0(а) Е N, что для всех т ^ т0(а) выполнено неравенство
sup
veHm:\\v\\ = 1
(Te(t)po,Qv(rn))dp ^
E
^ sup (po,Pv) + a.
veHm:\\v\\ = 1
найдется
число
Кф- > 0 такое, что для любо-
Следовательно,
0-0 - 2
го т ^ т0(а0) выполнено неравенство
SUPvenm ,||v|| = lj (Ts(t)Po,Qv (m))dP < 1 — а0.
E
Это противоречит условию (15), следовательно, sup^nvi^ (p0,Pv) = 1 и состояние р0 является чистым. Теорема 4.4 доказана.
Следствие 4.3. Если выполнены условия теоремы 4.3, то отображение Tj1 множества чистых состояний Т.р(H^ в линейное пространство B(H)* инъективно. Элементы образа множества T.p(H^ при отображении Tj1 определяются условием (15).
Далее мы покажем, что образом крайней точки множества Т.п(H^ является крайняя точка образа множества T.n(H^ при отображении T^(t). И, наоборот, что каждая крайняя точка образа T^(t)T.n(H^ является образом некоторой крайней точки множества T.n(H1).
Лемма 4.4. Пусть р0 = рио — чистое состояние из T.p(H1), а последовательность {vj} удовлетворяет равенству
sup Р (t,po ),Qv (т)) =
veS1(Hm)
= (Р11 (t,P0 ),Qvm (т)).
Тогда последовательность единичных векторов {vj} компактна в H и её частичные пределы лежат на пересечении единичной сферы S 1(H) с линейным многообразием span(u0).
Заметим, что supvesi(н) (Ри0 ,Pv) = 1, супремум достигается на элементах
врап(и0) Р| 51(Н), и для любого элемента т Е Н 0 врап(и0) выполнено равенство
(рио и0,т') °.
Предположим противное, что найдется такое £ > 0, что для каждого натурального п вне £-окрестности множества врап(и0) лежит значение некоторого элемента последовательности {V]} с номером ] > п. Следовательно, существует такая подпоследовательность } последовательности {vN}, что при каждом к Е N норма проекции элемента VNk на линейное подпространство, ортогональное вектору и0, не меньше £.
Поэтому для любого к Е N справедливо неравенство (р0,РК^} ^ 1 — £2. Следовательно, согласно (13),
(р^(Ь,и0) ,дьМк (Х^к)} ^ 1 — £ + Рк,
где вк — некоторая бесконечно малая последовательность. Следовательно,
\т\к^оо((У^,щ)^щ{Мк)) ^ 1-е2. Полученное противоречике доказывает справедливость утверждения леммы 4.4.
Следствие 4.4. Пусть р0 = ри0 -чистое состояние и {vN} — последовательность единичных векторов из подпространств НN, которая имеет предел v0, не лежащий в подпространстве врап(и0). Тогда справедливо неравенство \irnj _^ь(р^(Ь,и0) т < 1.
Аналогично лемме 4.4 доказывается следующее утверждение.
Следствие 4.5. Пусть р0 — нормальное состояние, а последовательность {V]} удовлетворяет равенству
вир р (Ь,р0 )ду (т)} = р (Ь,р0),Якт (т)}.
Тогда последовательность единичных векторов } компактна в Н.
Теорема 4.5. Пусть 1 — мера, существование которой установлено теоремой
4.2. Тогда отображение Т^ обладает следующими свойствами:
1. Отображение Т^ определено на пространстве В* (Н), линейно и непрерывно, причем множество квантовых состояний Т,(Н) отображается им в себя.
2. Образом выпуклого множества ^(Н1) пространства В * (Н) при отображении ТГ является выпуклое множество Т11(Т.(Н^) пространства В(Н)*. Множество образов крайних точек множества
Т.п(H^ совпадает с множеством крайних точек образа Tjl(T.n(H1)):
T?(Extr(Zn(H1))) = Extr(T?(Zn(H1))).
(16)
Существует обратное к Tj1 отображение Л1 множества крайних точек Extr(TjL(En(H^)) на множество крайних точек Extr(En(H1)).
3. Отображение T%(t) есть взаимно однозначное отображение выпуклого множества En(H^ на выпуклое множество Tr(Zn(H1)).
Доказательство. 1. Первое свойство отображения Tj1 установлено в разделе
III.2 для любых мер ц Е W(E). Из линейности отображением Tj1 следует свойство сохранения им выпуклых комбинаций.
2. Рассмотрим множество нормальных квантовых состояний T.n(H^ и его образ Tt(Y.n(H1)).
Из линейности отображения Tj1 следует, что если некоторая точка a множества Еn(H^ есть выпуклая комбинация двух других точек b,c этого множества и отображение Tj1 переводит точки a,b,c соответственно в точки A,B,C Е Tjl('£n(H1)), то тогда точка A есть выпуклая комбинация точек B и C. Поэтому множество Extr(TjL(En(H^)) является подмножеством множества Tjl(Extr('En(H1))).
Докажем, что и
T%(Extr(En(H1))) С Extr(T?(Tn(H1))).
Множество крайних точек совокупности нормальных квантовых состояний Extr(T.n(H^) составляет совокупность чистых квантовых состояний Ep(H1). Образом крайней точки рио Е Ep(H ^ при отображении Tj1 становится, согласно теореме 4.4, точка r множества Tj1 (Ep(H1)), удовлетворяющая равенству
limN^ supeeS-i(N) (r,Qe (N)) = 1
Докажем, что если r Е Tjl('En(H^) и удовлетворяет равенству
lim sup (r,Qe (N)) = 1,
NeeS1(N)
то этот функционал принадлежит множеству крайних точек Extr(Tjl('En(H1))).
Действительно, предположим, что точка r является выпуклой комбинацией точек r1,r2 Е Extr(Tl(En(H1))) С Tf(En(H1)), являющихся образами точек р1,р2 Е En(H1),
то есть r = ar1 + (1 — a)r2 при некотором а Е (0,1). Поскольку для любого r Е Tjl('En(H^) выполняется неравенство
limN^^ supeeS-i(HN)(r,Qe(N)) < 1,товсилу нашего предположения
1 = а lim sup (r1,Qe(N)) +
NeeSi(HN)
+ (1 — a) lim sup (r2,Qe(N)).
NeeS^HN)
и поэтому справедливы равенства
limN^ supeeS-i(HN)(ri,Qe(N)) = 1 для
всех i Е {1,2}. Следовательно, состояния p1,p2 являются чистыми — ортогональными проекторами на некоторые единичные векторы u1,u2 пространства H1. Тогда r = ar1 + (1 — a)r2 = Sj (ap1 + (1 — a)p2). Согласно следствию 4.4 равенство
limN^ supetS1(HN)(r,Qe(N)) = 1 в°з-
можно только при выполнении одного из трёх условий: а = 0,а = 1
или р1 = р2. Таким образом,
Tt1(Extr(En(H1))) С Extr(Tt1(En(H1))), и это завершает доказательство равенства
(16). Взаимная однозначность отображения Ttk, ,(H1) установлена в теореме 4.3.
3. Согласно пункту 2 доказываемой теоремы отображение T 1 взаимно однозначно отображает множество Ep(H ^ на множество Tjl('Ep(H^) = Ep(H1),
определено на линейной оболочке элементов Ep(H^ и сохраняет выпуклые комбинации. Поэтому если состояние
р Е En(H^ есть выпуклая комбинация элементов Ер(H^ с некоторыми коэффициентами, то его образ Tj1(p) есть выпуклая комбинация элементов Tjl('En(H^) с теми же коэффициентами. И, наоборот, если состояние r Е T1(Tjn(H^)
есть выпуклая комбинация элементов r1, ..., rm Е T 1(Ер(H^) с некоторыми коэффициентами, то состояние r является образом выпуклой комбинации элементов (T1)-1(r1), ..., (Tj1)-1 (rm) Е Ep(H1) с теми же коэффициентами. Следовательно, справедливо утверждение 3.
Теорема 4.5 доказана.
Автор выражает благодарность профессорам А.А. Абрамову, В.К. Захарову и О.Г. Смолянову за ценные замечания и плодотворное обсуждение затрагиваемых в работе проблем.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 09-01-00265-a, при поддерж-
ке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы и при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проект № 2.1.1/500
Литература
1. Александров А.Д. Additive set functions in abstract spaces // Матем. сб. — 1940. — Т. 50. — С. 307-348.
2. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1966.
3. Балашов М.В., Половинкин Е.С. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004.
4. Банах С. Курс функционального анализа. — Киев, Радянська школа, 1948.
5. Богачев В.И. Введение в теорию меры. Т. 1. — М.: УРСС, 2003.
6. Богачев В.И. Введение в теорию меры. Т. 2. — М.: УРСС, 2006.
7. Брателли У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. — М.: Мир, 1982.
8. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах, меры на отделимых пространствах. — М.: Наука, 1977.
9. Варадарайн В.С. Меры на топологических пространствах // Матем. сб. — 1961. — Т. 55(97), вып. 1. — С. 35-100.
10. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1965.
11. Данфорд Н., Шварц Д. Теория операторов. Т. 1. — М.: УРСС, 2004.
12. Гельфанд И.М. Abstrakte funktionen und lineare operatoren // Матем. сб. — 1938. — Т. 46. — С. 235-286.
13. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.
14. Козлов В.В. Термодинамическое
равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. — М.-Ижевск: Современная математика,
2002.
15. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968.
16. Колмогоров А.Н. О возможности общего определения производной, интеграла и суммирования расходящихся рядов. Избранные труды А.Н. Колмогорова. Т. 1. — С. 44-46. — М.: Наука, 2005.
17. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Итоги науки. Серия: математика. Математический анализ. — М.: ВИНИТИ, 1969.
18. Рид М., Саймон Б. Современные методы математической физики. Т. 1. — М.: Мир, 1977.
19. Сакбаев В.Ж. О многозначных отображениях, задаваемых регуляризацией уравнения Шредингера с вырождением // Журнал выч. мат. и матем. физ. — 2006. — Т. 46, вып. 4. — С. 682-698.
20. Сакбаев В.Ж. О динамике квантовых состояний, порожденной задачей Коши для уравнения Шредингера с вырождением на полупрямой // Фундаментальная и прикладная математика. — 2006. — Т. 12, вып. 6. — С. 157-174.
21. Сакбаев В.Ж. О свойствах решений задачи Коши для вырождающегося вне отрезка уравнения Шредингера и спектральных аспектах регуляризации // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2007. — Т. 21. — С. 87-113.
22. Сакбаев В.Ж. О спектральных аспектах регуляризации задачи Коши для вырожденного уравнения // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. — 2008. — Т. 261. -С. 258-267.
23. Терпе Ф., Флаксмайер Ю. О некоторых приложениях теории расширений топологических пространств и теории меры // УМН. — 1977. — Т. 32, вып. 5. — С. 125-162.
24. Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой механики. — М.-Ижевск, 2003.
25. Эдвардс Р. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1969.
26. Эванс Л.К. Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений с частными производными. — Новосибирск, 2006.
27. Alicki R. Quantum dynamical semigroups and applications // Lect. Notes Phys. — 1987. — V. 286.
28. Brooks J.K., Dinculeanu N. Lebesgue type spaces for vector integration, linear operators, weak completeness and weak compactness // J. Math. Anal. Appl. — 1976. — V. 54, N. 2, P. 348-389.
29. Dell’Antonio G.F. On the limits of sequences of normal states // Comm. Pure Appl. Math. — 1967. — T.20, P.413-429.
30. Dinculeanu N. Vector integration and stochastic integration in Banach spaces. — New-York: Pure and Appl. Math., 2000.
31. Gadella M., Kuru S., Negro J.
Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions / /
Phys. Letters A. — 2007. — T. 362. -P. 265-268.
32. Iosida K., Hewitt E. Finitely additive measures // Trans. Amer. Math. Soc. -1952. — T. 72. — P. 46-66.
33. Karasev M.V. Magneto-metric Hamiltonians on quantum surface in the configuration space //
Russ. J. Math. Phys. — 2005. — V. 14, N. 1. — P. 57-65.
34. Leader S. The theory of Lp-spaces for finitely additive set functions / / Ann. Math. — 1953. — T. 58, N. 3. — P. 528-543.
35. Rao M.B., Halevy A. On Leader’s
Vp spaces of finitely additive measures // J. Reine und Angew. Math. B. — 1977. — V. 293/294. — P. 204-216.
36. Sakbaev V.Zh. Stochastic properties of degenerated quantum systems // Infinitely dimensional analysis and quantum probabilities. — Accepted.
Поступила в редакцию 15.09.2009.
