CC BY
13
7. Banaru M. On the Gray — Hervella classes of AH-structures on six-dimensional submanifolds of Cayley algebra // Annuaire de l'universite de Sofia «St. Kl. Ohridski». Math. 2004. Т. 95. P. 125—131.
8. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии : в 2 т. М., 1981.
M. Banaru
On locally symmetric 6-dimensional Hermitian submanifolds of Cayley algebra
The structural equations of locally symmetric six-dimensional Hermitian submanifolds of Ricci type of octave algebra are obtained. A formula for the bisectional holomorphic curvature of such submanifolds is also given.
УДК 514.75
К. В. Башашина
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]
Редукция тензора аффинной кривизны к тензору кривизны фундаментально-групповой связности на поверхности аффинного пространства
В многомерном аффинном пространстве задана аффинная связность с помощью форм связности. Показано, что эта связность задается тензором неканонической аффинной связности, который определяет ее тензоры кривизны и кручения. В аффинном пространстве задана т-мерная поверхность, рассматриваемая как да-параметрическое семейство, описанное касательной плоскостью. В главном расслоении, ассоциированном с поверхностью, задана фундаментально-групповая связность способом Лаптева — Лумисте.
© Башашина К. В., 2016
Произведена редукция тензора аффинной кривизны к тензору кривизны фундаментально-групповой связности.
Ключевые слова: аффинная связность, фундаментально-групповая связность, поверхность аффинного пространства, тензор кривизны.
1. Деривационные формулы подвижного репера Я = {А, е1}
(1,3, К,... = 1, п ) в «-мерном аффинном пространстве Ап имеют вид [1]
йА = соё1, йё1 = , структурные формы с, с удовлетворяют уравнениям
йс = С лю3 , = с лск . (1)
Утверждение 1. Аффинная группа ОА(п), эффективно действующая в аффинном пространстве А« и имеющая структурные уравнения (1), является каноническим пространством аффинной связности без кручения и кривизны.
Преобразуем слоевые формы с с помощью функций Л!ж :
~ = с3 -П]сК . (2)
Продифференцируем новые формы внешним образом:
йС~ = ~К а~К + ск ААЛж-ЛЗС лП^со1. (3)
Применяя теорему Картана — Лаптева, найдем дифференциальные уравнения на компоненты Лж :
йе/
АЛК = йЛЖ + Лжс Ь - ЛЬк с - Л3ь сК = Лжьс Ь . (4)
Продолжая дифференциальные уравнения (4), получим
АЛжь = Л3кьмс . (5)
Подставим дифференциальные уравнения (4) в структурные уравнения (3):
j~I ~K ~I , nI K L
dcJ = cJ л (oK + RJKLc л с , (6)
где компоненты объекта аффинной кривизны R = {RJkl} выражаются по формуле
RJKL = ПJ[KL] - ПJMK^ML] • (7)
Применяя дифференциальный оператор А и используя дифференциальные уравнения (4) и (5), получим
J = 0 (mod с1). (8)
Внесем формы аффинной связности (2) в структурные уравнения (1i):
dc = cJ лС~С + SjKcJ л cK, (9)
где SjK = nJK ] — компоненты тензора аффинного кручения.
Утверждение 2. Неканоническая аффинная связность в аффинном пространстве An задается с помощью форм связности ~J (2), которые определены с помощью тензора связности nIJK, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (4). Формы связности ~J удовлетворяют структурным уравнениям (6), в которые входят компоненты тензора кривизны RJKL неканонической аффинной связности, выражающиеся по формулам (7). Внося формы связности ~J в структурные уравнения (1j) для базисных
форм, мы получаем тензор кручения SJIK неканонической аффинной связности, компоненты которого входят в структурные уравнения (9).
2. Рассмотрим га-мерную поверхность Xm :
a ла i л ла b ла j a ла j / ла /л
с = 4 с , ¿4 -Ai Ajcb +ci =ЛуС 4 ] = 0). (10)
Поместим векторы в! репера Я = {А,е1,еа} в касательную плоскость Тт. Тогда Ла = 0, а уравнения (10) перепишутся в виде
® а=о, ва=л\ ] (в=а\ша 0), (11)
причем
лл;=34+4ва-лавв-лав=Л\к, =о. (12)
Внешние дифференциалы базисных форм ас и вторичных
j, ва, в
форм вj, в1а, вЪа имеют вид
daг = а1 л в), ёвв =tf лв'к + аk л Ла]кв'а, Ы =вс лв] - сг лЛЛ), ёв] =в] лв) + в) л в).
(13)
Утверждение 3. Над поверхностью Xm имеется главное расслоение G(Xm) со структурными уравнениями (13), типовым слоем которого является подгруппа стационарности m-мерной касательной плоскости Тт.
В расслоении G(Xm) зададим фундаментально-групповую связность с помощью новых форм:
в =в]-Г]с к, в)а =в] - Г)] а г, в] =в] -j \ (14)
причем компоненты объекта связности Г = {Г^, Г1, Гъ"} удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:
а т—г i Ла ы г~<i l л j—r а а] /лк т—г а 1 АГ1к + Л1ква = Г1к1С , АГЪг - Лкгв) = Га ,
л т""' i г-' i /1 к т~' Ъ /") i т~' i к
A1 а1 - 1 к1ва + 1 а1вЪ = 1 а]кС .
Структурные уравнения форм связности (14) имеют вид
= л вк + 1а к л с' > = вЫ л вс + Kbij с ' л с 1 >
мы = °ылв]+вЫ лв1+,
где компоненты кривизны К = [Кг]Ш, Кщ, К 1сдк } выражаются
по формулам
_ т~,1 т-<т т-<1 ту- а _ т-га т-гс т-гл
К]М = 1 Л[к! ] " 1 Л к1 даI ] , КЬу = 1 Ь[у ] " 1 Ъ[11 д ],
К = 1 _ 1 1 _ 1Ь 1
а]к 1 а[Лк] 1 а[Л1 Ы] 1 а[Л1 Ьк] •
3. Представим дифференциальные уравнения (4) компонент объекта аффинной связности П в подробном виде, соответствующем компонентам объекта связности Г и объекту АЛЛ- :
ап)к _П\ко] _Пглк®а] _П111а>[ _П)а&л +
, 7-7-I 1 , 7-7-а 1 7-7-1 I , 7-7-1 а
+ ПЫ®1 + П]кЮа = П}Ы® +ПлкаЮ ,
77-7-а 7-т-а I 7-т-а с т-т-а I т-т-а с ,
ШЬЛ _П1гЮЬ _ПсгЮЬ _ПЫЮг _ПЬсЮг +
■ п Л а , т-т-с а т-т-а Л , т-т-а с + ПЪ1®Л + ПЬ1Ю с =ПЪиЮ +ПЬгсЮ ,
Пш _ПЫюка _П^ЮЪа _ПаЮ1, _ ЯыЪ®) +
■ п1 1 , пЬ 1 7-7-1 к , 7-7-1 Ь
+ Па;®г +ПаЛЮЬ =ПлкЮ +Па,ЬЮ ,
7 7-7-а т-7-а к т-т-а Ь т-т-а к т-т-а Ь ,
ПЛ П 1кЮЛ П 1ЬЮЛ _ПкРг _ПЪ,Юг + к а Ь а а к а Ь
+ Лк +ПЛЮЬ =Л +ПЛЬЮ .
Воспользуемся уравнениями (11) поверхности Хда :
П+П%ва=(П)ы+Кк^А+П)аК1 АПаы _ПЖ = ПАЛ +ПЛС4 _Пкы4Л)ЮЛ, аПл +пЫвЬ _пк}вка = (ПЛ +ПлА]к)юк,
л 1-г а /т-гЫ г-г! лЫ т-гЫ лЪ т-гЫ ЛЪ \ к
АПЛ = (ПЛк _ Пл4к + П1Ъ4лк + ПЪл4к )Ю .
(15)
Введем обозначения для преобразованных пфаффовых производных, стоящих в правых частях уравнений (15):
П)ш =Щк1 + пгакла1 + п)А, паЫ] =паЫ] + паЬс4 - пА,
п' - + п' лЬ па - па - п1 ла + па лЬ + па Л
11 а]к - 11 а]к аЬу^к ' 11 ук ~ 11 ук 11 г/Чк^ 11 + 11 Ь^Чк ■
Сопоставляя дифференциальные уравнения (154) и (121), положим
па -л. (16)
При этом из тождеств 4[jk] - 0 следует
Д [^к] - Д [^к] - пг[ jЛlk] + пя>А] + пЬ[ jЛk] - 0 .
Учитывая симметричность функций Л по нижним индексам, получим
Ккк ] -п Лк ]+щ А ] - (17)
Теорема 1. Если в аффинном пространстве Ап задана поверхность Хт, то объект аффинной связности П, содержащий два простейших подобъекта — объект касательной аффинной связности {П^} и объект нормальной линейной связности (Щ) — редуцируется к объекту фундаментально-групповой связности Г, задающему связность в главном расслоении 0(Хт), ассоциированном с поверхностью Хт.
Запишем подробнее формулы для компонент Щк объекта аффинной кривизны Я:
К-ук - пы jk] пг[ jПlk] + пЬ[ jПik] ,
найдем дифференциальные сравнения на рассматриваемые компоненты. Из сравнений (8) имеем
лпа тл1 а па Ь па Ь па Ь _ Л
Жук + Як а I - а г - КгЬк а j - ЯуЬ а к = 0 .
Учитывая уравнения поверхности Хт (11), получим
АЯык 5 0 (тоа ю1 ). (18)
При редукции аффинной кривизны Я к объекту фундаментально-групповой кривизны К выполняются равенства (16, 17). В этом случае, должны выполняться условия: Я'Ык = 0 (ср.:
[2, с. 38]), которые в силу (18) являются инвариантными.
Теорема 2. Редукция тензора аффинной кривизны Я, задаваемой объектом П, к тензору кривизны К фундаментально-групповой связности, задаваемой объектом Г, возможна, если сокращенный объект аффинной связности
П = {ПЛк,Паы,Плл}
отождествлен с объектом связности Г и выполняются условия (16), (17).
Список литературы
1. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань, 1962.
2. Шевченко Ю. И. Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Калининград, 2009.
K. Bashashina
Reduction of the affine curvature tensor to the curvature tensor of fundamental-group connection on the surface of affine space
In multidimensional affine space an affine connection is given by means of connection forms. It is shown that the connection is given by connection tensor, which determines its curvature and torsion tensors of non-canonical affine connection. In an affine space rn-dimensional surface is given, which is considered as ^-parameter family described a tangent plane. In principal bundle associated with the surface fundamental-group connection is given by Laptev — Lumiste method. Reduction of the affine curvature tensor to the curvature tensor of fundamental-group connection is made.
