Полуголономные, голономные и тривиальные пространства аффинной связности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

УДК 514.76

Ю. И. Шевченко

ПОЛУГОЛОНОМНЫЕ, ГОЛОНОМНЫЕ И ТРИВИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ

В п-мерном пространстве аффинной связности Ап,п со структурными уравнениями Картана получены тождества Риччи и Бианки, показана их инвариантность. При продолжении структурных уравнений гладкого многообразия с помощью леммы Лаптева определены полуголо-номные, голономные и тривиальные многообразия. Тождества Риччи позволили доказать полуголономность пространства Ап,п, которая сохраняется в пространстве без кручения А'п п и в пространстве без кривизны 'Ап,п, причем локально аффинное пространство 'А'п,п тривиально. Введен тензор неголономности пространства Ап,п, при обращении которого в нуль пространство становится голономным АЩп, и тензор

кривизны присоединенного пространства аффинной связности без кручения А'п,п, равенство нулю которого характеризует тривиальное пространство аффинной связности А1п .

43

In n-dimensional space of affine connection An n with Cartan's structure equations Ricci's and Bianchi's identities were received. Their invariance has been shown. After prolongation of the structure equations using Laptev's lemma semiholonomical, holonomical and trivial manifolds are defined. The Ricci's identities allowed us to prove semiholonomicity of the space An,n. This semiholonomicity preserves in the space without torsion A'n,n and in the space without curvature 'An,n, besides the locally affine space A'n,n is trivial. Tensor of non-holonomicity of the space An n is introduced. Vanishing of this tensor makes the space holonomic AHn . Also curvature tensor of associated space of affine connection without torsion A'nn was introduced. It's vanishing characterizes trivial space of affine connection ATn .

Ключевые слова: аффинная связность, тождества Риччи, тождества Бьянки, лемма Лаптева, голономность, полуголономность.

Key words: affine connection, Ricci's identities, Bianchi's identities, Laptev's lemma, holonomicity, semi-holonomicity.

1. Тождества Риччи и Бьянки в пространстве аффинной связности

Пространство аффинной связности Апп имеет размерность п как гладкое многообразие и размерность п(п + 1) как расслоение некасательных линейных реперов со связностью. Структурные уравнения Картана [1] для пространства Ап п запишем в виде

© Шевченко Ю. И., 2013

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 43 — 48.

44

Da' = юj лю‘ + S'jkюj ли1, Daj = ю' лю' + Rjklю' ли1, (1)

где ',... = 1,п; тензоры кручения и кривизны Sjk, Rja антисимметричны по двум индексам: Sj) = 0, Rj(И) = 0 .

Продифференцируем структурные уравнения (1) внешним образом, приведем подобные, вынесем произведения базисных форм и используем оператор ковариантного дифференцирования V:

[VSjk - (j + S'mkS; + S)mSm У ] ЛЮ j лю' = 0,

[VR)u -(RjplSkm + RjkpSPm)am]лю' лю' = 0.

Эти кубичные уравнения приводят к следующим уравнениям:

VS'jk = Skю', VRjki = RjMmam, (3)

причем ковариантные производные компонент тензоров кручения и кривизны антисимметричны по двум индексам Sj)г = 0, Rj(H)m = 0 .

Подставим дифференциальные уравнения (3) в кубичные уравнения (2), вынесем базисные формы и проальтернируем по трем индексам

Sk'] - j -Sm[kSJ] -SmkiS'm]люj люк лю' = 0,

[Rj[ k'm] - R'jpi'SL] + Rjp[ kSPm]] люк лю' лют = 0.

Коэффициенты при внешних произведениях базисных форм должны обратиться в нуль. Учитывая антисимметрии по двум индексам, преобразуем альтернированные коэффициенты в циклированные, тогда

S' - R' - S' Sm - Sm S' = 0 R' - R' + R' = 0

jk'} 1X{jk'} 3m{ k3j'} D{ k'3j} m U'J\{ k'm] 1Xjp{ '3km} ^ 1Xjf,{ kD'm} U‘

Приводя подобные, получим тождества Риччи и Бьянки (см. [2]):

def def

j = S\m - Rj'} - 2SmHS;,m = 0, j = Rj{k'm} + 2Rjp{kSl} = 0. (4)

Для продолжения дифференциальных уравнений (3) раскроем в них действие оператора V, продифференцируем с помощью структурных уравнений (1) и вынесем базисные формы

[VSjk' - (...)jk'm Юm ] лю' = 0, [VRjkm - (...)jk'mp юр ] лю-" = 0.

Разрешим эти квадратичные уравнения по лемме Картана, запишем результат в виде сравнений по модулю базисных форм и опустим не-выписанные слагаемые

VSjk' = 0, VRjk'm = 0. (5)

Проциклируем эти дифференциальные сравнения по трем индексам VS^ = 0, VRj k'm} = 0, откуда с учетом уравнений (3) следует, что величины j, IIjklm удовлетворяют сравнениям Vj = 0, VIIjldm = 0, то есть

это — тензоры, поэтому справедливо

Утверждение. Тождества Риччи и Бьянки (4) инвариантны в пространстве аффинной связности Апп.

2. Полуголономность пространства аффинной связности

Рассмотрим п-мерное гладкое многообразие Мп со структурными уравнениями Лаптева [3]:

Ою‘ =ю* л 9* . (6)

Продолжая их, получим

D0j = 0k A0[k + юк A0jk, (7)

причем согласно лемме Лаптева [3] выполняется условие 0jk Afflj Affl‘ = 0 » 0j] Afflj АЮ1 = 0,

которое расшифровывается следующим образом:

0[ jk] = ^ jklЮ ; ^ (jk)l = 0, ^ [jkl] = 0 ^ jkl} = 0, (8)

где квадратные скобки обозначают альтернирование, круглые скобки — симметрирование, фигурные — циклирование.

В общем случае, когда Aj Ф 0, то есть формы 0jk несимметричны:

0[jk] Ф 0, будем говорить о полуголономном многообразии Mn (ср. [4; 5]). В особом случае Aj = 0 » 0[jk] = 0 назовем Mn голономным гладким многообразием MH . Наконец, если 0 jk = 0, будем называть Mn тривиальным гладким многообразием M1.

Преобразуем структурные уравнения (1i) к виду (6), тогда

0 j = ю j + S)k юк . (9)

Найдем их внешние дифференциалы с помощью уравнений (1):

D0j =rok Affl'k + (dSjk -Sjюк) Aro1 + (R)ü + SjmSZ )юк а ю1 . (10)

Подставим выражения форм ю j из обозначения (9) в 1-е слагаемое

ю” аю: = 0” A0m - s; юк A0m -0; a sm ю1 + s; ю1 a s^1 .

Здесь во 2-м и 3-м слагаемых используем обозначение (9) непосредственно юк Аю‘к =0к а0‘к - S;kюк аю” -ю; aS”lю1 -S;юк a S”1ю1 . Внесем это

выражение в формулу (10) и проальтернируем по индексам k, l:

D0[ = 0к A0ü +VS‘k аю1 + (R)kl -sms; + S;kS[];)юк аю1 .

Воспользуемся уравнениями (31) и представим результат в виде (7), где

0jk =^jkl ю1 , (11)

= RjM - s;sm + s;lks¡]m - s[[kl]. (12)

Проальтернируем формы (11) с коэффициентами (12):

0[jk] = «[jk]lЮ , (13)

ГО[ = R - S[ Sm + Sm S[ - S[ (14)

Л j^“^jk]l Дт[jDk]l ^ Д[j[kpl]m Д[j[k]l]/

45

46

где альтернирование производится по индексам ¡, к и по к, I. Процик-лируем коэффициенты (14) форм (13):

= Я' - Б' Бт + Бт Б' - Б'

Л[¡кИ Л{[¡т т{[у°к]!^д{[¡[кР!]}т °{[Дк]!]} •

Поскольку в каждых фигурных скобках по паре индексов ¡, к производится альтернирование, а по паре к, I величины антисимметричны, либо альтернируются, альтернирования внутри циклирований можно

опустить: Ш0'й} = Я0И} - Бт{¡Бк1} + ^{¡кУ1}т - БЦк1} .

Приводя подобные, получим

Ш{¡Щ = Я0Й} + 2Б{^Б!}т - ^{¡к(} = -1 ¡к = 0 , (15)

то есть условие (84) выполняется в силу тождеств Риччи.

Теорема 1. Пространство аффинной связности Ап,п является полуголо-номным п-мерным гладким многообразием.

Подставим формы (11) в структурные уравнения (7):

т) = 9к л9'к +ш¡июк ло1. (16)

Из дифференциальных соотношений (3, 5г) получим сравнения для величин (12):

Щш = 0. (17)

Теорема 2. К пространству аффинной связности Апп с тензорами кручения и кривизны Б)*, Я)к1 присоединяется пространство аффинной связности без кручения А'' п п с базисными структурными уравнениями (6), в кото-

рые входят новые слоевые формы (9), являющиеся преобразованиями исходных слоевых форм с помощью линейных комбинаций базисных форм, причем коэффициентами комбинаций служат компоненты тензора кручения Б)к. Преобразованные слоевые формы удовлетворяют структурным уравнениям (16) с тензором кривизны Ш)к1, компоненты которого подчиняются дифференциальным сравнениям (17) и выражаются по формуле (12) через компоненты тензоров кручения и кривизны, а также через ковариантные производные Б)к1 тензора кручения Б)к.

3. Классификация пространств аффинной связности

Альтернирование дифференциальных сравнений (17) по первым двум нижним индексам дает '^Ш))-к]( = 0, то есть Ш))к]( — тензор, который назовем тензором неголономности пространства аффинной связности Апп.

Теорема 3. Если тензор неголономности Ш);к]г обращается в нуль, что эквивалентно выражению альтернированных компонент тензора кривизны Я)ы]г через компоненты тензора кручения и их ковариантные производные по формуле Я' = Б‘ + Б' Бт - Бт Б'

Л[¡к]! - Д[¡[к]!] ^ °т[¡Дк]1 Д[¡[кР!]т '

то пространство Апп, рассматриваемое как п-мерное многообразие, становится голономным пространством аффинной связности АНп.

Теорема 4. Если тензор кривизны Ш']Ы1 присоединенного пространства А'п,п равен нулю, то есть тензор кривизны Щы исходного пространства АПД определяется тензором кручения Б!к и его ковариантными производными Б']Ы1 по формуле

Я' = с' + с' ст - ст с'

¡к1 ~ ^ ¡[И] т т] к1 ¡[к 1]т г

то пространство А'п,п превращается в локально аффинное пространство ‘А'п,п с уравнениями структуры (6) и следующими

= 9к л9‘к, (18)

иначе говоря, исходное пространство А„,п, представляемое как п-мерное многообразие, становится тривиальным пространством аффинной связности АТпп.

Рассмотрим традиционные классы пространств аффинной связности. В пространстве аффинной связности без кручения А'п,п тензор кручения обращается в нуль

Б'ы = 0; (19)

структурные уравнения (11) принимают вид

Во1 = о1 ло!; (20)

из дифференциальных уравнений (31) следует

! = 0; (21)

тождества Риччи и Бьянки принимают простейший вид Щыц = 0, Я'цк1т} = 0; обозначение (9) становится переобозначением: 9‘ =о‘, поэтому А'п,п=А'п,п; подставляя равенства (19, 21) в формулу (12), естественно получаем Ш1-ы = Я'р; поскольку условие (15) выполняется в виде

¡и} = Цт = 0, из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. Пространство аффинной связности без кручения А'п,п, совпадающее с присоединенным к нему пространством А' п,п, полуголономно.

В пространстве аффинной связности без кривизны Апп тензор кривизны Я'ых равен нулю

Яш = 0; (22)

структурные уравнения (12) принимают вид

Во) = ок лок; (23)

из дифференциальных уравнений (32) следует

! = 0; (24)

в силу равенств (22, 24) тождество Риччи (4г) упрощается: = 2S{''1ЫS(‘}m ,

а тождество Бьянки (42) исчезает; теорема 1 и формула (12) дают

Следствие 2. Пространство аффинной связности без кривизны Ап,п по-луголономно, причем присоединенное пространство А' пп имеет тензор кривизны + Б^кБцт - Б^щ .

47

В локально аффинном пространстве 'А'П/П нет ни кручения, ни кривизны, поэтому оно имеет уравнения структуры (20, 23), которые совпадают с уравнениями (6, 18) и являются структурными уравнениями аффинной группы ОА(п), действующей в аффинном пространстве Ап. Поскольку исчезают формы (11), справедливо

Следствие 3. Локально аффинное пространство А'пп и аффинное пространство Ап являются тривиальными гладкими многообразиями.

Изобразим рассмотренные классы пространств аффинной связности Ап,п на коммутативной схеме

48

где стрелка показывает переход к особому случаю предшествующего пространства.

Список литературы

1. Картон Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань, 1962.

2. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М., 2003.

3. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139-189.

4. Лумисте Ю. Г. Матричное представление полуголономной дифференциальной группы и структурные уравнения расслоения р-кореперов // Там же. 1974. Т. 5. С. 239 - 257.

5. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.

Об авторе

Юрий Иванович Шевченко — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: EScrydlova@kantiana.ru

About the author

Dr Yuri Shevchenko — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: EScrydlova@kantiana.ru