Redukcija geodetskih merenja na referentni elipsoid Текст научной статьи по специальности «Физика»

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK (MILITARY TECHNICAL COURIER), 2011, Vol. LIX, No. 4

REDUKCIJA GEODETSKIH MERENJA NA REFERENTNI ELIPSOID

Radojčić M. Stevan, Vojska Srbije,

Vojnogeografski institut, Beograd

OBLAST: geonauke

Sažetak:

Sve do sredine 20. veka, veličine koje su merene u geodeziji na fizičkoj površi Zemlje nisu sasvim korektno redukovane na računsku površ - površ rotacionog elipsoida, delom zato što je određivanje ele-menata potrebnih za računanje popravki bilo gotovo nerešiv problem za geodeziju, a delom i zbog toga što greške koje su zbog toga nasta-jale nisu imale dominantani uticaj na tačnost merenja. Međutim, od sredine 20. veka preciznost geodetskih instrumenata i metoda postala je toliko velika da su greške redukcije kvarile ostvarenu tačnost. Isto-vremeno, razvoj geodezije omogućio je da se elementi neophodni za pravilnu redukciju danas određuju gotovo rutinski. Ipak, u Srbiji se po-nekad i dalje primenjuje klasičan pristup, što se u savremenim uslovi-ma ne može dopustiti. U radu se daje pregled formula koje se moraju koristiti kada se merenja sa fizičke površi Zemlje projektuju na elipsoid. Key words: elipsoid, terestrička geodetska merenja, redukcija.

Uvod

Geodetska merenja vrše se na fizičkoj površi Zemlje, u trodimenzi-o nalnom prostoru i u realnom polju sile teže. Stoga je prirodno da se funkcionalna veza između merenih veličina (uglova, dužina, pravaca, azimuta) i nepoznatih parametara (obično koordinata) uspostavi i formuliše pomoću trodimenzionalnog matematičkog modela, tim pre što on ne zaht-eva posebno složene matematičke operacije i računanja. Takav model u geodeziji razradio je još u 19. veku H. Bruns1, ali je ostao neprimenljiv u praksi, jer zahteva merenje zenitnih rastojanja koja se, zbog fatalnog utic-aja vertikalne refrakcije, ne mogu izmeriti dovoljno tačno [1]. Ovaj problem prevaziđen je razradom dva međusobno slabo uslovljena modela - dvod-imenzionalnog (koji se odnosi na elipsoid ili ravan projekcije) i jednodime-nzionalnog (koji se odnosi na srednji nivo mora, geoid ili kvazigeoid).

Međutim, kako se pokazalo, to ipak nije rešilo problem, već je samo od-ložilo potrebu njegovog rešavanja. Naime, dvodimenzionalni (elipsoidni) mo-

1 Heinrich Bruns, 1848-1919.

[email protected]

<1Ž2)

del podrazumeva da se merenja na fizičkoj površi Zemlje projektuju najpre duž pravca sile Zemljine teže (tj. duž vertikale) na geoid (slika 1), a zatim duž normale na elipsoid (tzv. Picetijeva2 projekcija) ili da se direktno projektuju na elipsoid pomoću geodetske visine (tzv. Helmertova projekcija3); razli-ka ove dve projekcije je veoma mala i za primer na slici 1 iznosi maksimalno 30 cm [2]. U prvom slučaju potrebno je poznavati undulaciju geoida N, a u drugom geodetsku (elipsoidnu) visinu h, a određivanje obe veličine je, za razliku od određivanja ortometrijskih visina H, za geodeziju predstavljao slo-žen i do sredine 20. veka gotovo nerešiv zadatak. Da bi se to izbeglo, elipsoid je pozicioniran u telu Zemlje tako da se što bolje prilagodi obliku geoida na određenom području - obično državnoj teritoriji, tzv. nacionalni (lokalni) geodetski datum, pa je projektovanje merenih veličina vršeno samo na geoid, a dobijena vrednost, zbog pretpostavljene male razlike geoid-elipsoid (nekoliko metara), tretirana kao da je projektovana na elipsoid.

Slika 1 - Projekcije Helmerta i Picetija Figure 1 - Projections of Helmert and Pizzetti

Većina geodetskih datuma, definisanih do sredine 20. veka, određena je metodom jedne (fundamentalne) tačke triangulacije - lociranoj obično u cen-tralnom delu nacionalne teritorije - u kojoj je postavljen uslov da se elipsoid i geoid dodiruju. Sa udaljenjem od fundamentalne tačke razlika dve površi ra-ste ne samo u funkciji rastojanja, već i u zavisnosti od gustine i rasporeda ma-sa u unutrašnjosti Zemlje, odnosno anomalija polja sile Zemljine teže. Ta či-njenica, zajedno sa greškama orijentacije elipsoida (odnosno greškama astro-nomskih merenja na fundamentalnoj tački), uzrokovala je, po pravilu, puno ve-će razlike geoid-elipsoid nego što se teorijski pretpostavljalo. To se moglo to-

2 Paolo Pizzetti, 1860-1918.

3 Friedrich Robert Helmert, 1843-1917.

Radojčić, S., Redukcija geodetskih merenja na referentni elipsoid, pp. 272-281

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK (MILITARY TECHNICAL COURIER), 2011, Vol. LIX, No. 4

lerisati sve dok preciznost geodetskih merenja nije uvećana do te mere da je zanemarivanje odnosa geoid-elipsoid kvarilo ostvarenu tačnost i postalo pre-preka daljem usavršavanju geodetskih instrumenata i metoda. Istovremeno, sa razvojem satelitske geodezije afirmisali su se globalni datumi koji se, zbog potrebe prilagođavanja geoidu na planetarnom nivou, na lokalnom nivou mo-gu razlikovati od geoida i više desetina metara. Na primer, na prostoru Srbije geoid nadvišava opšti elipsoid (WGS84, GRS80) za oko 44 metra [3, 4].

Stoga se u savremenim uslovima veličine merene na fizičkoj površi Zemlje moraju pravilno redukovati na elipsoid kao računsku površ, po for-mulama koje se u radu daju u konačnom obliku (bez izvođenja, koje bi zahtevalo veći prostor).

Redukcija astronomskih azimuta

Pretpostavimo da su za neku tačku S na fizičkoj površi Zemlje (slika 2) poznate geodetske koordinate (B, L) i astronomske koordinate (ф, X), kao i azimuti ka tački S1 - geodetski azimut A i astronomski azimut a. Ako konstruišemo jediničnu sferu sa centrom u S, normala na elipsoid u toj tač-ki seći će jediničnu sferu u tački Zg (geodetski zenit), a vertikala na geoid u tački Za (astronomski zenit). Paralela sa osom rotacije Zemlje, povučena u S, prolazi kroz jediničnu sferu u tački P (projekcija pola Zemlje). Sada je luk ZgPQ projekcija geodetskog, a luk ZaP projekcija astronomskog meridi-jana. Oni se seku pod uglom koji je jednak razlici astronomske i geodetske longitude (X, - L). Veličine E i n predstavljaju tzv. komponente skretanja vertikale, odnosno projekcije ugla koji zaklapaju normala na elipsoid i normala na geoid (vertikala) u ravan meridijana (E) i u poprečnu ravan (n).

Slika 2 - Redukcija astronomskih azimuta Figure 2 - Reduction of the astronomic azimuths

Ako sa S' označimo projekciju vizurne tačke S1 na jediničnu sferu, možemo definisati elemente koji se mere: a - astronomski azimut i z0 -prividni zenitni ugao, kao i njima saglasne elemente na elipsoidu: A - ge-odetski azimut i i zE - zenitni ugao redukovan na normalu na elipsoid.

Redukcija astronomskog azimuta, odnosno njegovo svođenje na geodetski azimut, vrši se, u prvom koraku, prema [5]:

A = a-(A-L )sin^+(^cos A-<^sin A)cot z0 (1)

Merenje azimuta obično se vrši između tačaka sa malom razlikom visina. Drugim rečima, z0 ^90°, pa je cotz0 « 0, na osnovu čega se, sa zadovoljavajućim stepenom aproksimacije, može pisati:

A &a-(A-L)sinp = a -цЫпф (2)

Tada dobijamo tzv. Laplasovu jednačinu4 koja se obično koristi u tri-angulaciji viših redova i azimut koji se naziva Laplasov azimut.

U drugom koraku astronomski azimut treba redukovati kao i svaki drugi opažani pravac, popravkama koje se daju u narednom poglavlju.

Redukcija pravaca i horizontalnih uglova

Opažani pravac se na elipsoid redukuje pomoću tri popravke. Prva je tzv. popravka za zamenu normalnih preseka geodetskom linijom. Nai-me, pravac koji se sa tačke A opaža ka tački B (slika 3) nalazi se u nor-malnoj ravni, tj. ravni koja sadrži normalu u tački A i prolazi kroz tačku B. U opštem slučaju, presek te ravni sa elipsoidom (normalan presek, na sli-ci 3 označen sa a) ne podudara se sa presekom elipsoida i ravni koja sa-drži normalu u tački B i tačku A (b). Normalni preseci podudaraju se sa-mo kada su obe tačke na istom meridijanu ili na istoj paraleli.

Slika 3 - Normalni preseci i geodetska linija Figure 3 - Normal sections and the geodetic line

4 Pierre-Simone Laplace, 1749-1827.

Radojčić, S., Redukcija geodetskih merenja na referentni elipsoid, pp. 272-281

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK (MILITARY TECHNICAL COURIER), 2011, Vol. LIX, No. 4

Stoga se, u opštem slučaju, opažani pravac mora zameniti najkra-ćim rastojanjem između dve tačke na elipsoidu - geodetskom linijom (s), po formuli:

ci

о 2 2

' s e

p-----г

12a2

cos2 Bm sin 2A ,

(3)

gde je:

p" = 206.264,8 (vrednost radijana u seksagezimalnim sekundama),

S - dužina geodetske linije između A i B,

Bm - srednja vrednost latituda tačaka A i B,

a,e - elementi elipsoida, mala poluosa i prvi ekscentricitet i

A - azimut sa stanice na vizuru.

Popravka c1 dobija se u sekundama kada je S u kilometrima.

Druga popravka opažanog pravca je tzv. popravka za visinu vizurne tačke. Naime, u primerima na slici 3 stanica će se projektovati na površ elipsoida duž normale koja pripada normalnoj ravni. Pošto normala vizurne tačke, u opštem slučaju, ne pripada istoj ravni, vizurna tačka će se projektovati na elipsoid u tačku čija udaljenost od normalnog preseka za-visi od visine vizurne tačke od površi elipsoida. To se uzima u obzir po-pravkom c2:

C2

P

,he2

2a

cos2 Bm sin 2A

(4)

Popravka c2 dobija se u sekundama kada se a i e izraze u kilometrima. Treća popravka koju treba dodati opažanom pravcu koji se redukuje na površ elipsoida je c3, tzv. popravka za skretanje vertikala. Računa se prema:

,Ah

= ( cos A - g sin aA)— = ( cos A - g sin aA)cot z0

S

c

3

(5)

Popravka c3 dobija se u sekundama kada se visinska razlika stanice i vizurne tačke Ah i njihovo rastojanje S izraze u kilometrima, a kompo-nente skretanja vertikale g i n u sekundama.

Prema tome, redukcija pravaca sa fizičke površi Zemlje na elipsoid vrši se tako što se opažani pravac popravi za vrednost S = c1 + c2 + c3. Ova popravka se dodaje i Laplasovom azimutu.

Redukcija merenog horizontalnog ugla vrši se tako što se računaju razlike popravaka pravaca S2 -S1, gde je S2 - desni pravac, a S - levi pra-vac ugla.

Redukcija zenitnih uglova

Zbog uticaja atmosferske refrakcije, na fizičkoj površi Zemlje se, umesto zenitnih uglova z1 i z2 (slika 4), mere prividni zenitni uglovi z10 i z20. Veza između merenih zenitnih uglova i zenitnih uglova koji su redu-kovani na elipsoid (z1E i z2E) data je relacijama:

zi = zi + uai

E0

Z2 = Z2 + Ua2 (6)

gde su ua1 i komponente skretanja vertikale tačaka 1 i 2, u pravcu 1-2 pod azimutom a. Pošto je:

ua = £cosa + nsina, (7)

sledi da je:

zf = z10 + ^ cos a+ n sin a

= z20-%2 cosa-n2 sina (8)

Slika 4 - Redukcija zenitnih uglova Figure 4 - Reduction of the zenithal angles

Radojčić, S., Redukcija geodetskih merenja na referentni elipsoid, pp. 272-281

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK (MILITARY TECHNICAL COURIER), 2011, Vol. LIX, No. 4

Redukcija dužina

Kada se direktno merena dužina između dve tačke na fizičkoj površi Zemlje popravi za uticaj atmosfere, dobija se najkraće (3D) rastojanje iz-među razmatranih tačka, D0 (slika 5). U prvom koraku treba ga svesti na tetivu D', prema:

D

f

(d0 )2 -Ah2

1 + ^-V Ra J

hi Y1+h_л

V Ra J

(9)

gde je:

Ah - razlika geodetskih (elipsoidnih) visina tačaka 1 i 2,

Ra - radijus Zemlje sračunat na osnovu Ojlerove5 formule koja za rotaci-oni elipsoid glasi:

Ra

MN

N cos2 A + M sin2 A ’

(10)

pri čemu je radijus zakrivljenosti duž meridijana:

M =_______g(l - )_____

(l - (sin2 B, )P'2-

a radijus zakrivljenosti duž prvog vertikala:

(11)

N =

a

( -e sin2 B,)1/2

(12)

U drugom koraku sa tetive se prelazi na dužinu redukovanu na nor-malan presek, prema:

s = 2Ra arcsin

2Ra

(13)

U trećem koraku vrši se redukcija dužine sa normalnog preseka (s) na geodetsku liniju (sG), prema [6]:

SG = S -

360a4

■s5 cos4 B, sin2 2A .

(14)

4

e

5 Leonhard Euler, 1707-1783.

<W)

Slika 5 - Redukcija dužine Figure 5 - Reduction of the distance

Kod radova u klasičnim geodetskim mrežama, kada rastojanja izme-đu tačaka ne prelaze nekoliko desetina kilometara, ova korekcija se mo-že zanemariti.

Zaključak

Kada se obrada i prezentovanje rezultata najpreciznijih geodetskih merenja vrši u dvodimenzionalnom prostoru, na površi usvojenog elipsoi-da, neophodno je izvršiti pravilno projektovanje merenja sa fizičke površi Zemlje na elipsoid. To znači da se merene veličine moraju projektovati ili direktno na elipsoid (Helmertova projekcija) ili najpre na geoid, a zatim na elipsoid (Picetijeva projekcija).

Iako su donedavno merene veličine projektovane na geoid tretirane kao da su ujedno projektovane na elipsoid - uz opravdanje da se kod lo-kalnih geodetskih datuma elipsoid bira i pozicionira tako da se najbolje pri-lagođava obliku geoida na jednom delu površi Zemlje (obično teritoriji dr-žave), pa su dve površi međusobno bliske - u savremenim uslovima to vi-še nije opravdano. Naime, tačnost sa kojom geodezija danas meri veličine na fizičkoj površi Zemlje može se znatno narušiti ako se ne izvrši korektan prelaz sa geoida na elipsoid, čak i onda kada su dve površi stvarno bliske, a pogotovo ako taj uslov nije ispunjen, kao što je slučaj u Srbiji.

Literatura

[1] Vaniček, P.; Krakiwsky, E. J.: Geodesy: The Concepts, Elsevier Science B. V., Amsterdam, 1986.

(279>

Radojčić, S., Redukcija geodetskih merenja na referentni elipsoid, pp. 272-281

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK (MILITARY TECHNICAL COURIER), 2011, Vol. LIX, No. 4

[2] Heiskannen, W. A.; Moritz, H.: Phisical Geodesy, W. H. Freeman and Company, San Francisco and London, 1967.

[3] Radojčić, S.: Analiza referentnih horizontalnih mreža SRJ, magistarski rad, Univerzitet u Beogradu : Građevinski fakultet - Odsek za geodeziju, Beograd, 2001.

[4] Borisov, M.: „Topografsko-kartografski sistem prema novim vojnim stan-dardima”, Vojnotehnički glasnik (Military Technical Courier), Vol. 53, No. 3-4, pp 315-325, ISSN 0042-8469, UDK 623+355/359, Beograd, 2005.

[5] Dragomir, V.; Ghitau, D.; Mihailescu, M.; Rotaru, M: Theory of the Earth(s Shape, Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam-Oxford-New York, 1982.

[6] Torge, W.: Geodesy, Walter de Gruyter, Berlin and New York, 2001.

REDUCTION OF GEODETIC OBSERVATIONS TO THE REFERENCE ELLIPSOID

FIELD: Earth Sciences

Summary:

Field observations refer to the vertical of the geoid, because the geodetic instruments are put in the working position in respect to the vertical. It is not appropriate for the calculations on the ellipsoid surface, which request measured elements to be referred to the normal of the reference ellipsoid. This means that the field observations must be reduced from the vertical to the normal, i.e. they must be somehow reduced from the Earth's physical surface to the surface of the reference ellipsoid. There are two methods to do this: Pizzetti's method and Hel-mert's method. Pizzeti's method projects the measured elements with the aid of the vertical onto the geoid surface and then, with the aid of the normal to the ellipsoid, projects them further onto the surface of the reference ellipsoid. Helmert's (or Bruns- Helmert's) method projects the measured elements directly onto the surface of the reference ellipsoid with the aid of the normal to the ellipsoid.

But, until the middle of the 20th century, none of them were used. This means that the field observations were not properly reduced onto the ellipsoid's surface; they were reduced only to the geoid's surface and then used as if they were reduced to the ellipsoid.

The reasons fot that are simple. On the one hand, it was almost impossible to determine the relation between the geoid and the ellipsoid at each desired point on the Earth's physical surface (first of all the geoid undulations N and the components of the deflection of the vertical % and n), so it was very difficult to calculate the reductions. On the other hand, the consequences of neglecting the reduction from the geoid to the ellipsoid were too small, compared with the accuracy of the observations in that time.

080)

However, these excuses cannot be accepted nowadays, when there are all conditions to calculate appropriate corrections for reducing geodetic observations from the geoid to the ellipsoid. Furthermore, the proper reduction must be done if we want to preserve the modern geodetic accuracy of field measurements.

This paper presents the formulas for the reduction of all geodetic terrestrial measured elements from the Earth's physical surface to the surface of the reference ellipsoid. The formulas and short explanations are given within the next chapters:

Reduction of the astronomical azimuths,

Reduction of the directions and horizontal angles,

Reduction of the zenithal angles, and Reduction of the distances.

Key words; ellipsoid, terrestrial geodetic measurements, reduction.

Datum prijema članka: 09. 08. 2010.

Datum dostavljanja ispravki rukopisa: 23. 08. 2010.

Datum konačnog prihvatanja članka za objavljivanje: 24. 08. 2010.

(28T>

Radojčić, S., Redukcija geodetskih merenja na referentni elipsoid, pp. 272-281