CC BY
23
Математические структуры и моделирование 1998. Вып. 1, с.37-47.
УДК 519.49
РАЗРЕШИМЫЕ Р-АЛГЕБРЫ ЛИ БЕЗ
КРУЧЕНИЯ
М.А. Шевелин
Some facts concerning with structure of solvable restricted Lie algebras satisfying finiteness conditions on commutative restricted subalgebras are proved. For metabelian restricted Lie algebra without nontrivial finite-dimensional restricted subalgebras some cohomological sufficient condition to be of finite rang is obtained. Restricted Lie algebra over GF(2) providing an example when this condition is not necessary is found.
1. Некоторые определения и соглашения
Пусть р — простое число. Буквой к мы обозначаем простое поле характеристики р, а К — совершенное поле той же характеристики. Определения р-алгебры Ли, ограниченной универсальной обертывающей и необходимые факты можно найти в [4]. Мы предполагаем, что на р-алгебре Ли L над К р-отображение раз и навсегда зафиксировано и опускаем квадратные скобки в его записи. иЬ обозначаем ограниченную универсальную обертывающую для L. Под Т-модулем мы будем понимать ий-модуль, то есть ж^ всегда действует так же, как хр.
Алгебра иЬ обладает пополнением г : иЬ —>■ /й, то есть гомоморфизмом ассоциативных алгебр, определенным правилами: е{Ь) = 0, е(1) = 1.
Благодаря этому можно определить группы когомологий р-алгебры Ли L со значениями в Т-модуле М следующим образом. Пусть X - произвольная проективная резольвента тривиального иЬ- модуля К. Тогда по определению
// /\. М) = 1Г i Нот Ji.X. М)).
Определение 1. О р-алгебре Ли L над К будем говорить, что она имеет когомологическую размерность < п, если группы когомологий с номерами большими п и с произвольными коэффициентами являются нулевыми. (Обозначение: cdL < п). Наименьшее целое неотрицательное число (если оно существует)
0 1998 М.А. Шевелин
E-mail: [email protected]
38
М.А. Шевелин. Разрешимые р-алгебры Ли без кручения
п со свойством cdL < п называется когомологической размерностью L. Предыдущее определение влечет, что найдется проективная резольвента тривиального uE-модуля К длины не более п [1, с. 143].
Обозначим uL' ассоциативную алгебру, антиизоморфную uL. Пусть отображение Е : uL -У uL (х) uL' задано правилом:
Е{1) = I ® 1 - 1 ® /, (/ £ L)
Для отображения Е выполнены свойства, обозначенные в книге [1] (Е.1) и (Е.2), поэтому, согласно той же книге (теоремы X, 6.1 и X, 6.2) справедлива следующая
Теорема 1. gl.dimuL = dimuL0ULiuL = dim^K = cdL (Два внутренних значка dim, обозначают проективную размерность модулей в смысле [1] VI, 2.). я
Следствие 1. Если cdL < оо, то каждый uL-модуль имеет конечную проективную резольвенту. Я
Лемма 1. 1) Если L\ —р-подалгебра в L, то cdLi < cdL.
2) Если 0 ф- L — однопорожденная конечномерная р-алгебра Ли, то cdL = оо.
3) Когомологическая размерность прямой суммы двух р-алгебр Ли не превосходит суммы когомологических размерностей прямых слагаемых. Доказательство. 1) следует из предложения Х,7.2 книги [1] (которое означает, что Ext™L для К с некоторыми коэффициентами есть ЕхбД для К, только с другими коэффициентами) и определения cd.
Чтобы доказать 2), рассмотрим конечномерную ненулевую р-алгебру Ли L с одним порождающим. qL = (ж| /(ж) = 0) для некоторого / £ КР[Т], /(0) = 0. Ее ограниченная универсальная обертывающая есть R = К[Т]/fК[Т]. Пусть £ : R —У К гомоморфизм ассоциативных алгебр, заданный условиями е(ж) = 0, е(1) = 1; 8 = [/(Т)/Т]т=о £ К. Последовательность Е-модулей (Мг, Ф)г>о, в которой М_ 1 = К, Mi = R для остальных г; d~l = 0, d° = е, d2m+l = умножение на ж, d2m = умножение на \/(Т)/Т]т=х, как нетрудно проверить, точна. Применивши к ней НотД ,К), получим последовательность
0 £- К У- К У- К У- ...,
в которой левая стрелка поочередно обозначает то умножение на 0, то умножение на 8. Поэтому группы когомологий этой последовательности — это поочередно то imS, то K/im8. Значит, независимо от того: 8 = 0 или 8 ф- 0 найдется бесконечно много этих групп, не равных нулю. Следовательно, cdL = оо.
3) следует из теоремы 2 и предложения 7.4 гл.1Х книги [1]. ■
Определение 2. р-алгебра Ли L называется алгеброй без кручения, если в L нет ненулевых конечномерных p-под алгебр.
Определение 3. р-алгебра Ли называется алгеброй ранга < п, если каждая ее конечнопорожденная р-подалгебра может быть порождена < п элементами.
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
39
2. Коммутативные р-алгебры Ли
Рассмотрим множество кр[Т] всех р-многочленов от буквы Т с коэффициентами в поле к. На этом множестве можно определить операцию (/ о g)(T) = f(g(T)). Эта операция коммутативна, ассоциативна и Ачбилинейна. Отображение
МИ э £ аДр' G
i i
является изоморфизмом ассоциативных алгебр. Если А коммутативная р-алгебра Ли, то можно превратить А в кр[Т] и тем самым в £ф]-модуль, полагая для / G кр[Т],а G A f о а = f(a).
Пусть L будет свободная коммутативная конечнопорожденная р-алгебра Ли над полем к с множеством свободных порождающих Х\,. . . ,xn. L состоит из всевозможных выражений ^1<г<п fi о жг-, причем соответствие
Y fi°xi (/ъ-••>/*)
1 <i<n
является изоморфизмом £у[Т]-мод улей. Обычным способом доказывается (ср.[3], упр.23 к гл.1,§1).
Лемма 2. Каждая конечнопорожденная коммутативная р-алгебра Ли А над полем к раскладывается в прямую сумму однопорожденных р-подалгебр. Для каждой р-подалгебры X < А, порожденной {ад,. . . , хт} существует множество {од,. . . , ат} порождающих А и р-многочлены из кр[Т] {/г|1 < i < m} такие, что жг- = /г(аг) Найдутся две такие р-подалгебры А\ и А2, что А\ без кручения, А2 конечномерна и А = А\ ® А2. В А2 существует цепочка
О = Во < В\ < ... < Вп = А2,
р-подалгебр, все факторы которой одномерны. Я
Замечание 1. Если К - совершенное поле характеристики р, то ассоциативная алгебра КР[Т] изоморфна над к расширению Ope K[t, тт], где
ТГ : К К
— автоморфизм возведения в р-ю степень. Так что в этом случае предыдущая лемма тоже справедлива ([2], гл. 8).
Пусть А — свободная коммутативная р-алгебра Ли с порождающими х1?. . ., хп, DerpA = {д £ EndkA\d(Ap) = 0} р-алгебра Лир-дифференцирований алгебры А. Сопоставим каждому дифференцированию д матрицу в кото-
рой dxi = ^2 fij(zj), a <f>ij G k[t\ - многочлены, соответствующие р-многочленам fij при изоморфизме ассоциативных алгебр кр[Т] и k[t], который был определен выше.
Пусть для fit) £ k[t\ ef = /(0), а для любой матрицы m = (тд) с элементами в k[t\ пусть ет = (етд). Обозначим £ алгебру над полем к, элементы
40
М.А. Шевелин. Разрешимые р-алгебры Ли без кручения
которой составляют Mn(k[t]), а умножение определяется правилом а.Ъ = аеЪ (справа стоит произведение матриц). Эта алгебра (без 1!) ассоциативна в силу равенства е2 = 1. Очевидно, векторное пространство DerpA вкладывается в £, причем суперпозиции дифференцирований отвечает произведение элементов £, а действие £ на k[t]n, определенное правилом a.v = aev (справа стоит произведение матриц), согласовано с действием DerpA на А.
Лемма 3. Пусть R — конечнопорожденная подалгебра в £. Тогда R конечномерна.
Доказательство. Пусть R порождена элементами щ,. . . ту. Тогда kn-\-R.k[t]n — Д-инвариантное подпространство и
кп + R.k[t]n с кп + Г1кп + ... + пкп.
Последнее пространство очевидно конечномерно. Представление R в кп + R.k[t] точное, так как а.{кп + R.k[t]) = 0 влечет а.кп = акп = 0, а это значит а = 0. Значит R конечномерна. ■
Следствие 2. Пусть L — конечнопорожденная р-подалгебра Ли в р-алгебре Ли DerpA. Тогда Т конечномерна. Я
Следствие 3. Пусть А' — конечнопорожденная коммутативная р-алгебра Ли, Т — конечнопоржденная р-подалгебра в DerpA'. Тогда Т конечномерна. Доказательство. Пусть А будет свободная коммутативная р-алгебра Ли с тем же множеством свободных порождающих, что и А', {<9'} — конечное множество, порождающее L. Каждое дифференцирование д' определяется своим действием на порождающие А'. Пусть <9 £ DerpA будет одно из дифференцирований, действующих на порождающих «так же» как д'. Сразу же видно, что значки <9 (с точностью до штрихов) перестановочны со значком гомоморфизма А -У А'. Получается эпиморфизм
а.лгр{д} -У а.лгр{д'} = Т,
который переводит каждый лиев р-многочлен от {<9} в такой же многочлен от {Д}. Поэтому L конечномерна. ■
Определение 4. Коммутативная р-алгебра Ли А над полем к называется делимой, если для каждого / £ кр[Т] и каждого а £ Л найдется такой у £ Л, что /(у) = а.
Сразу видно, что свойство делимости сохраняется при эпиморфизмах, переносится на прямые суммы, наследуется прямыми сомножителями.
Леммы, доказательства которых опущены, доказываются так же, как аналогичные утверждения об абелевых группах.
Лемма 4. Делимая р-подалгебра Q коммутативной р-алгебры Ли А над полем к выделяется в А прямым слагаемым, т.е. А = Q + С для некоторой р-подалгебры С. Я
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
41
Пример 1. Расположим множество кр[Т] в виде последовательности /0, /i,. . .. Пусть
D = (ж0,Ж1,... |[жг,ж,] = 0, fi+1(xi+1) = хг).
Докажем, что алгебра D делима. Пусть / £ кр[Т], a £ D и нам нужно решить уравнение /(у) = а. Из определения D сразу выводится, что каждое такое уравнение можно переписать в виде
f{y) = h(f(xn)),
если выбрать п достаточно большим. Но h о / = / о h. Поэтому можно взять у = h(xn).
Лемма 5. Каждую коммутативную р-алгебру Ли над полем к можно вложить в делимую. Я
Определение 5. Пусть А > В две коммутативные р-алгебры Ли и А делима. А называется делимой оболочкой И, если в А нет промежуточных между А и В делимых p-подалгебр.
Пусть В существенная р-подалгебра делимой р-алгебры Ли А в том смысле, что все ненулевые р-подалгебры в А имеют ненулевое пересечение с В. Легко проверить, что критерием мономорфности гомоморфизмов ф : А —У А\ является мономорфность сужений ф\в
Лемма 6. Делимая р-алгебра Ли Q без кручения, содержащая А, является делимой оболочкой А тогда и только тогда, когда А существенна в Q. Я
Лемма 7. Каждая делимая р-алгебра Ли без кручения Q вместе с р-подалгеброй А содержит некоторую делимую оболочку А. Любые две делимые оболочки А изоморфны. Я
Лемма 8. Пусть А - коммутативная р-алгебра Ли без кручения. Q — ее делимая оболочка. Тогда ранг А=ранг Q.
Доказательство. Неравенство < очевидно. Остальное следует из леммы 2 и леммы 4. ■
Лемма 9. cdkD <2 (D из примера).
Доказательство. Пусть R обозначает ассоциативную алгебру uD.
R = (ж0,Ж1,... \xtXj = XjXi,fi+1(xi+1) = хг).
Пусть М будет свободный Д-модуль с базой {ХД, ф{ £ к[Т] такие многочлены, что fi = Тф{ в к[Т], е : R -У к «пополнение » Ачалгебры R, определенное правилом: е(жг) = 0, е(1) = 1. Определим гомоморфизм Д-модулей М -У кеге правилом Xi -У жг-. Нам нужно показать, что его ядро — свободный Д-модуль.
42
М.А. Шевелин. Разрешимые р-алгебры Ли без кручения
ker(M -У kere) =подмодуль, порожденный{Хг'+1<ф+1 — Х{}. Допустим, что для некоторых рг- £ R
^ ^ (Ащ i(-’уI Xi)pi О,
г>0
(рг- = 0 для почти всех г). Из этого следует, что р0 = 0, р\ = 0,. . . Это значит, что кег(М -У к ere) свободный модуль с базой {X8'+i</>8+i — Х{}. Что и требовалось. ■
Теорема 2. Пусть А - коммутативная р-алгебра Ли. А без кручения конечного ранга тогда и только тогда, когда cdA < оо.
Доказательство. Если А без кручения и конечного ранга, то А вкладывается в конечную прямую сумму алгебр, изоморфных D из примера. Далее применяем лемму 1.
Наоборот, если cdA < оо, то, во первых, по лемме 1 А не может иметь конечномерных р-подалгебр, а во вторых, конечнопорожденные р-подалгебры в А свободны и не могут быть прямой суммой более, чем cdA своих однопорожден-ных р-подалгебр, ибо по теореме Гильберта о «цепях сизигий» когомологическая размерность такой подалгебры равна числу ее свободных порождающих.■
Замечание 2. Одна из теорем [2] утверждает, что если в кольце R выполняется условие Оре, то в кольце косых многочленов над R тоже оно выполняется. Пусть К — совершенное поле характеристики р. Категория коммутативных р-алгебр Ли над полем К эквивалентна категории модулей над кольцом косых многочленов K[t; я] (я : К -У К — автоморфизм возведения в степень р), которое кольцо обладает телом частных. Поэтому все утверждения этого параграфа останутся справедливыми, если к заменить на совершенное поле характеристики р.
3. Разрешимые р-алгебры Ли без кручения и конечного ранга
Пусть К — совершенное поле характеристики р. G — разрешимая р-алгебра Ли над К. G называется нетеровой (или принадлежит Мах), если возрастающие цепочки р-подалгебр в G обрываются за конечное число шагов. Если каждая возрастающая цепочка коммутативных р-подалгебр обрывается за конечное число шагов, то говорим, что G £ МахАЬ. Если в G найдется субнормальная цепочка p-идеалов с однопорожденными (как алгебры) факторами, то G называется полициклической.
Лемма 10. Пусть G полициклическая р-алгебра Ли. Тогда ее ограниченная универсальная обертывающая ассоциативная алгебра uG нетерова справа и слева.
Доказательство. Выберем в G цепочку G = Gm > Gm-i > ... > Go = О с однопорожденными факторами, обозначим Ri = uGi и предположим, что Ri
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
43
нетерова справа. Пусть х £ Gi+\ такой элемент, что G4+1 = алгр(х, Gi). Можно считать, что Gi+\/Gi бесконечномерна (в противном случае Ri+i — конечнопорожденный модуль над Ri). Обозначим д дифференцирование алгебры такое что d\at = adx\at. Тогда алгебра Ri+i представится как кольцо косых многочленов Ri[x; 1,9]. По одной теореме из [2] Ri+i нетерова справа и слева.■
Теорема 3. Пусть G — разрешимая р-алгебра Ли. G £ Max -<=>• G полициклическая.
Доказательство. Если G разрешима и £ Мах} то G полициклическая по лемме 2.
Наоборот, пусть G полициклическая. Допустим А\ < А2 < . . . строго возрастающая бесконечная цепочка p-подалгебр. Тогда цепочка правых идеалов в uG, порожденных Аг- тоже бесконечная и строго возрастающая. ■
Лемма 11. Пусть р > 2, G — полициклическая р-алгебра Ли над совершенным полем К. Тогда найдется нильпотентный р-идеал N в G конечной коразмерности.
Доказательство. Рассмотрим в G цепочку р-идеалов
О = Gq < Gi < ... < (jrm-|-i = G
в которой все факторы Gi/Gi+1 конечнопорожденные коммутативные р-алгебры Ли. Рассмотрим представления G в факторах Gi/Gi+1, определенные правилом: для g £ G} h £ Gi положим g.(h + Gi+1) = [g}h\ + G4+1. По лемме 6 ядра Ni этих представлений имеют конечные коразмерности в G, значит пересечение N = р| Ni тоже имеет конечную коразмерность в G. По определению IV, для всех i = 0,. . . , т [64+1, IV] С Gi, следовательно, [бг, IV,. . . , IV] =0, если прокоммутировать т + 1 раз, тем более N нильпотентна. ■
Следствие 4. В условиях предыдущей леммы центр G имеет конечную коразмерность в G.
Доказательство. В обозначениях предыдущей леммы для каждого h £ IV hpl £ Z(N) при pl > т + 1. Z(N)P С Z(G), ибо Z(N) есть коммутативный p-идеал в G. Значит N1 = N/Z(G) нильпотентна и для всех х £ N' хр = 0. Значит центр N' конечномерен. Индукцией по ступени нильпотентности N' убеждаемся, что N' конечномерна, что и требовалось. ■
Следствие 5. uG представима матрицами над кольцом многочленов от нескольких неизвестных.
Доказательство. Центр uG содержит кольцо многочленов uZ(G) от нескольких неизвестных и uG является свободным модулем конечного ранга над этим кольцом по предыдущей лемме. Далее используем регулярное представле-
ние.
44
М.А. Шевелин. Разрешимые р-алгебры Ли без кручения
Лемма 12. Пусть G — нилъпотентная р-алгебра Ли, М — максимальный коммутативный p-идеал в G. Тогда М совпадает со своим централизатором Cg(M) и поэтому является максимальной коммутативной р-подалгеброй.
Доказательство. Пусть 0 < Z0 < . . . < Zn = G — верхний центральный ряд G. Сделаем индуктивное предположение (очевидно верное при i = 0), что Gcj{M)r\Zi С М. Пусть х £ Ccj{M)r\Zi+i. Тогда [ж, М] = 0 и [ж, G\ С Z{. Если у £ G, то [[ж,у],М] = 0 и [ж, у] £ Z{. По индуктивному предположению [ж, у] £ М. Это значит, что р-подалгебра, порожденная ж и М является коммутативным p-идеалом. Максимальность М дает ж £ М, что и завершает индукцию. ■
Теорема 4. Если р > 2, G £ MaxAb, G разрешима и без кручения, то G £ Мах.
Доказательство. 1. Сначала заметим, что если А — субнормальная коммутативная р-подалгебра в G (т.е. существует конечная субнормальная возрастающая цепочка p-под алгебр, начинающаяся с А и кончающаяся на G), то А имеет конечную коразмерность в А + Z(G). Действительно, пусть А < В\ < ... < Вт = G — субнормальная цепочка. Ясно, что Ар С Z{B\), поскольку А — коммутативный p-идеал в В\. Z{B\) — коммутативный р-идеал в В2, поэтому Z(Bi)p С Z(B2). Продолжая в том же духе, получим, что АрГП С Z(Bm) = Z(G). Так как А — конечно порожденная коммутативная р-алгебра Ли, то <ПткА/Ар < оо. Для дальнейшего заметим, что условие «без кручения» здесь не пригодилось.
2. Рассмотрим теперь р-алгебру Ли G' = G/Z(G). Докажем, что все коммутативные р-подалгебры в ней конечно порождены. Для этого возьмем р-подалгебру В < G, такую, что В > Z(G) и B/Z(G) — коммутативна. Тогда [В, В, В] — нильпотентна. Очевидно, Вр С Z(B). Пусть . . . ,Ът — элементы В, линейно независимые по модулю Z(B). Предположим, что их степени bp 1,. . . , Ърт линейно зависимы по модулю Z(B)P. Тогда для некоторых, не всех нулевых, «1,. . ., ат
otibi + • • • + о.тЪт £ Z(B)p.
Так как поле К совершенно и (а + . . . + Ь)р — ар + . . . + Ьр £ [В, В, В] = 0, то для некоторых сД . . . а'т, не всех нулевых, и некоторого с £ Z(B) (ct^bi + . . . + а'тЪт — с)р = 0. Условие «без кручения» теперь дает a^biA. . .-\-а'тЪт = с £ Z(B). Противоречие. Это означает, что <Птк(В/Z(B)) < diniK(Z(B)/Z(B)P) < оо. То есть В конечно порождена как расширение конечно порожденной р-алгебры Ли Z(B) при помощи конечномерной B/Z(B).
3. Предыдущие рассуждения доказывают, что в G' все коммутативные р-идеалы в G' конечномерны. Индукцией по ступени разрешимости G' докажем, что G' конечномерна. С этой целью возьмем коммутативный p-идеал А' в G' и докажем, что в G'/А' коммутативные p-идеалы конечномерны. Пусть В' — p-идеал в G', В' > А' и В1 /А1 коммутативна. Поскольку [В1, В'] < А', то присоединенное представление В', суженное на А', индуцирует вложение векторных пространств В'IСв’{А') -У Епдк(А'). Так как пространство справа от стрелки
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
45
конечномерно, то нам осталось проверить, что централизатор Е' = Св'(А') конечномерен. Так как Св'(А') = Cg'(A') П В1, то Е — нильпотентный р-идеал в G'. Пусть М' — максимальный коммутативный p-идеал в Е'. По лемме 12 М' совпадает со своим централизатором в Е' и является максимальной коммутативной р-подалгеброй в Е'. Е'/М1 вкладывается в Нотк(М'/М'р, Z(E')). Последнее пространство конечномерно, так как Z(E') — коммутативный р-идеал в G', а М' субнормальна в G', и по этой причине почти вся содержится в Z(Gr) (см. пункт 1). При надлежащем выборе А' можно применить индуктивное предположение. Теорема доказана. ■
Теорема 5. Пусть р > 5, G — р-алгебра Ли без кручения с тождеством [[бг, бг], [бг, бг]] = 0 и все коммутативные р-подалгебры в G конечного ранга. Тогда и G имеет конечный ранг.
Доказательство. Стандартные доводы показывают, что ранг расширения р-алгебры Ли X
при помощи р-алгебры Ли Y не превосходит суммы рангов X и Y. Пусть А — коммутативный p-идеал в G. В > А —такая р-подалгебра в бг, что В1 = В/А — коммутативная р-подалгебра в G' = G/А. В вкладывается в Еги1к(А/Ар) по модулю
Е = {Ъ £ В\ [Ь,А\ < Ар}.
Так как [Е, Е] < А, то [Е, Е, Е] < Ар,
[Е, Е, Е, Е] < [А*, Е] < [А,, [Л, Е]\ < [Л, Л] = 0.
Пусть X обозначает максимальную коммутативную p-под алгебру в С, содержащую Л. X —p-идеал в Н, Се(Х) = X и X содержит Z(G). Пусть г будет ранг X, a ei,. . . , — некоторые элементы Е. Поскольку р > 5, а [С, С, С, Е] = 0,
то е/ £ Z(E) £ X. Найдутся такие г р-многочленов
Щ, . . . ,Ur £ ®0<i<kEp[ti]
и такие к р-многочленов
fl? • • • ■> fk б ®0<г<г Ер [Т],
ЧТО
еЛ = ft(ui(eip,. . ., екр),. . ., щ(е/,. . . , екр)),
потому что X имеет ранг г. Поскольку поле К совершенно, р > 5, [С, С, С, Е] = 0, то (а + Ь)р — ар — Ър С [С, Е, Е, Е,. . ., Е] = 0, и последнее равенство можно переписать в виде
еЛ = Мг'))р, (Д £ 00 <г<гКр[и\, и' £ ЕУ,
ег ~ ■ ■ -,Ur') = 0,
ИЛИ
46
М.А. Шевелин. Разрешимые р-алгебры Ли без кручения
поскольку G без кручения. Это означает, что р-подалгебра, порожденная {еД не более, чем r-порождена, то есть Е имеет ранг не более г. Как замечено выше, В/Е вкладывается в конечномерное пространство Еп(1к(А/Ар) и поэтому конечномерна. Значит, В является расширением р-алгебры Ли конечного ранга при помощи конечномерной, т.е. сама имеет конечный ранг. При В = G получаем, что требовалось. ■
Замечание 3. Видимо, заключение предыдущей теоремы справедливо при гораздо более слабых предположениях: G разрешима, и все коммутативные р-подалгебры в G имеют конечные ранги.
Теорема 6. Пусть р > 5, cdG < оо u G удовлетворяет тождеству [[<3?, бг], [G, G]] = 0. Тогда G конечного ранга и без кручения.
Доказательство. Пусть 0 ф L — конечномерная р-подалгебра в G. Тогда cdL = оо по лемме 1, 2). Поскольку cdL < cdG, то cdG = оо, вопреки предположению. Значит, G без кручения. Все все коммутативные р-подалгебры в G должны иметь конечные ранги (лемма 1, 1), теорема 2). По предыдущей теореме G имеет конечный ранг. ■
Обратное не верно (правда, в случае р = 2 !), как показывает следующий
Пример 2. 2-алгебра Ли L = (a,b, z\[a,b\ = а2 = Ъ2 = z) над полем GF(2) нетерова, без кручения, но Hn(L,GF(2)) = GF(2)2, п > 1. Кроме этого, иЬ -целостное кольцо.
Рассмотрим R = иЬ как алгебру над своим подкольцом S, порожденным z. Очевидно, что это подкольцо есть кольцо многочленов от буквы ж. Каждый элемент R может быть единственным способом записан в виде
х = аа + fib + yab + 8,
где а,/3,у,8 £ S. Положим х* = х -\~yz. Проверяется, что (жу)* = у*х* и хх* = х*х = (а2 + (З2 + a(3)z + у2z2 + ySz + 82 £ S. Отсюда как обычно следует, что для N(х) = х*х выполнено равенство N(xy) = N(x)N(y). Значит, нам достаточно убедиться, что N(х) = 0 влечет х = 0. Допустим N(x) = (а2 + (З2 + a(3)z + 72z2 + 78z + 82 = 0, причем а, /3, у, 8 £ S не все нулевые многочлены от z и а имеет наименьшую возможную степень. Равенство N(x) = 0 означает, что
(а2 + (З2 + a(3)z = 7 2z2 + у 8z + 82.
Откуда следует, что 8 = z8' для некоторого многочлена 8' £ GF(2)[z]. Получается, что
а2 + (З2 + а(3 = ^(у2 + 7<^ + й/2).
Подставляя z = 0, получим а2(0) + /32(0) + а(0)/3(0) = 0. Если сс(0) = 0, то /3(0) = 0 и а = za', (3 = zfi\ в противоречие с выбором ж. Если же сс(0) ф- 0, то — примитивный корень степени 3 из 1, лежащий в GF(2), опять противоречие. Значит ж = 0. Поэтому R целостно, a L без кручения.
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
47
Заметим, наконец, что когомологическая размерность не зависит от расширения основного поля и что cd(GF(A) (£)gf(2) L) = оо по лемме 1 (появляется кручение a + £6, (2 + ( + 1 = 0). Поэтому, cdL = оо.
Интересно, что алгебра L доставляет пример того, что свойство «быть алгеброй без кручения» зависит от того, над каким полем рассматривается алгебра.
Литература
1. Картан, Эйленберг. Гомологическая алгебра. - М.: ИЛ, 1960.
2. Кон П. Свободные кольца и их связи. - М.: Мир, 1975.
3. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. - М.: Мир, 1976.
4. Джекобсон Н. Алгебры Ли. - М.: Мир, 1968.
