CC BY
37
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №7(57)
УДК 512.7
35
О (p, п)-ПРОБЛЕМЕ
© 2007 А.В.Гришин, Л.М.Цыбуля1
В данной работе изучается строение унитарно замкнутого Г-про-странства Wn, порожденного всеми n-словами в относительно свободной алгебре F(3) = k{x\,..., х,,...)/1, где к — бесконечное поле характеристики p > 0, а I — Г-идеал, порожденный многочленом [[xj, х2],х3]. В Wn указана бесконечная неприводимая система порождающих. В связи с этим рассмотрены бесконечные серии бесконечно базируемых Г-подпространств в Wn. Выявлена особенность случая p = 2. Кроме того, исследуется мультипликативная структура Г-пространства Wn.
Введение
Понятие Г-пространства, введенное одним из авторов настоящей работы около 20 лет назад, уже прочно вошло в обиход современной комбинаторной алгебры и теории PI-колец. С его помощью был решен ряд достаточно долго остававшихся открытыми проблем. Это в первую очередь такие проблемы конечной базируемости, как проблема Мальцева, проблема Шпехта в положительной характеристике и т.д. Интересно, что аппарат Г-пространств оказался одинаково эффективным как при доказательстве положительных утверждений, так и при построении контрпримеров.
Для удобства читателя напомним основные определения.
Итак, пусть F = к{х\, ...,Xj,...) —свободная счетнопорожденная ассоциативная алгебра над полем к и Г — полугруппа эндоморфизмов (подстановок) алгебры F.
Эндоморфизм т алгебры F, определяемый соответствием х, ^ gi, где gi е F, i = 1,2,... , будем называть подстановкой типа (х\,...,х,,...) ^ ^ (gl,...,gi,...). В тех случаях, когда применяется подстановка типа (xj, Х2,..., xi-i, хi, xi+i,...) ^ (xj, X2,...,xi-i, gi, xi+i,...), мы будем писать для краткости т: хi ^ gi, т е Г. Через /т обозначим образ многочлена f из алгебры F относительно подстановки т. В полугруппе Г можно рассматривать подполугруппы подстановок различных типов: регулярные, симметрические и т.д. (см. [1,2]).
1 Гришин Александр Владимирович ([email protected]), Цыбуля Лилия Михайловна, кафедра алгебры Московского педагогического государственного университета, 107140, Россия, г. Москва, ул. Краснопрудная, 14.
Следуя [1] и [3], назовем векторное подпространство V алгебры ^ Т-пространством, если V замкнуто относительно подстановок (т.е. из / е V и т е Т следует, что / е V ). Обозначим через БТ Т -пространство, порожденное подмножеством 5" некоторого Т-пространства. Другими словами, БТ есть минимальное Т-пространство, содержащее 5. Назовем Т-пространство конечнопорожденным, если для некоторого его конечного подмножества 5 оно совпадает с Б1.
По определению Т-идеал алгебры ^ — это ее идеал, являющийся одновременно и Т-пространством.
Хорошо известно взаимнооднозначное соответствие между многообразиями ассоциативных алгебр, Т-идеалами алгебры ^ и относительно свободными алгебрами, т.е. факторалгебрами алгебры ^ по соответствующему Т-идеалу.
Очевидным образом определяется правое действие полугруппы Т на любой относительно свободной алгебре, на которой, следовательно, также можно ввести понятие Т-пространства.
Если к — коммутативное кольцо с единицей, то аналогичным образом можно ввести понятие Т-модуля (Т-группы, если к = 2).
Ясно, что любое Т-пространство в относительно свободной алгебре естественным образом наделяется структурой унитарного правого кТ-модуля (кТ — полугрупповая к-алгебра). Это приводит к следующему определению, существенно обобщающему предыдущее определение Т-пространства.
Назовем Т-пространством (абстрактным) над полем к любой унитарный правый кТ-модуль.
Соответственно, морфизмами Т-пространств являются гомоморфизмы их как кТ-модулей.
Как и выше через обозначается Т-пространство, порожденное подмножеством 5 в некотором Т-пространстве.
Расширяя таким образом понятие Т-пространства, мы освобождаемся от необходимости рассматривать только подпространства в относительно свободных алгебрах. Можно рассматривать еще и фактор-Т-пространства, прямые суммы и т.д. Кроме того, имеется большой запас примеров Т-про-странств иной природы, связанных со следами, квазимногочленами и некоторыми другими специальными конструкциями (см. [1,2]).
Встречающиеся ниже Т-пространства обладают, как правило, еще и мультипликативной структурой. В связи с этим введем следующие определения.
Назовем алгебру А над полем к Т-алгеброй, если А — унитарный правый кТ-модуль (т.е. Т-пространство), на котором элементы полугруппы Т действуют как эндоморфизмы алгебры А. Идеалы алгебры А, являющиеся Т-алгебрами, будем называть Т-идеалами.
Ясно, что данные определения обобщают классические понятия свободной алгебры и Т-идеала.
Пусть I — произвольный Т-идеал алгебры ¥ (возможно, нулевой). Относительно свободная алгебра ¥¡1 является, очевидно, циклическим кТ-модулем, порожденным любой из своих переменных. Согласно результатам одного из авторов (см. [1,2]), если к — поле нулевой характеристики, а идеал I содержит многочлен Капели
Сп = ^ (— 1)°УоМ\)У\ . . . Мп)Уп,
оеБп
то этот циклический модуль нетеров. В качестве следствия получается конечная базируемость любого Т-идеала, содержащего многочлен Капели. Позже В.В. Щиголев доказал (см. [4]), что всякие условия на Т-идеал I можно отбросить, т.е. ¥ = {Х\}Т — нетеров кТ-модуль. Положительное решение проблемы Шпехта (см. [5]) является, как легко видеть, весьма частным случаем этого факта. Пусть С — класс кТ-модулей, порожденный циклическим модулем ¥ и замкнутый относительно взятия подмодулей, фактормо-дулей и конечных прямых сумм. Назовем С классом комбинаторных модулей. Будем называть комбинаторными модулями Т-пространства из С. В частности, комбинаторные Т-алгебры — это Т-алгебры из класса С. Из сказанного выше следует, что в случае поля нулевой характеристики любой комбинаторный модуль нетеров. В характеристике р > 0 это не так. Первые контрпримеры, в частности, в характеристике 2 были приведены одним из авторов в [6,7]. Вслед за этим последовала целая серия конструкций в характеристике р > 2 (см. [8-10]). Построение общей теории комбинаторных модулей, как представляется, еще впереди. Наиболее полный обзор по теории Т-пространств, ее результатам и открытым вопросам можно найти в работах [2,11].
В настоящей работе изучаются Т-пространства в относительно свободной алгебре ¥(3) = ¥¡1, где I — Т-идеал, порожденный «тройным коммутатором» [[Х1, Х2], Х3] (так называемое тождество Грассмана). Образы свободных переменных алгебры ¥ в относительно свободной алгебре ¥(3) будем обозначать также, как и сами переменные. Кроме того, часть переменных иногда для удобства обозначается буквами у,, 2. Всюду ниже к — бесконечное поле характеристики р > 0. В дальнейшем в основном рассматриваются унитарно замкнутые Т-пространства в алгебре ¥(3), т.е. такие Т-пространства, которые замкнуты относительно подстановки вместо переменной единицы с последующей проекцией на алгебру ¥(3) (отбрасывание свободного члена).
Приведем точные определения. Пусть ¥(1) = к(1, Х1,...,Х,,...) — свободная счетнопорожденная ассоциативная к-алгебра с единицей. Она может быть естественным образом представлена в виде прямой суммы Т-про-странств
¥(1) = ¥ Ф к
с тривиальным действием полугруппы Т на поле к (т.е. аТ = а, а е к). Расширим полугруппу операторов Т, действующих на алгебре ¥, следующим образом. Пусть е: ¥ ^ ¥(1) — вложение, п: ¥(1) ^ ¥ — проекция. Назовем
унитарным преобразованием алгебры F отображение ф = етл: F ^ где т — некоторый эндоморфизм алгебры F(1) (действие справа). Через Те обозначим полугруппу, порожденную унитарными преобразованиями.
Легко видеть, что всякий эндоморфизм алгебры F является ее унитарным преобразованием. Обратное, вообще говоря, неверно. В самом деле, пусть т — эндоморфизм алгебры F(1), задаваемый соответствием: Х1 ^ /+ + 1, Х2 ^ g + 1, где /, g е F, на остальных переменных — тождественно. Тогда, если ф = етл, то (Х1 Х2)ф = fg + / + g, а хфхф = fg. Таким образом, имеют место строгие включения: Т с Те, кТ с кТе.
Назовем унитарно замкнутым Т-пространством (Те-пространством) любое векторное подпространство алгебры F, замкнутое относительно действия полугруппы Те. Такие Т-пространства естественно рассматривать, как кТе-модули, что и будет делаться в дальнейшем.
Легко видеть, что в характеристике 2 Т-пространство, порожденное х2, унитарно замкнуто, а Т-пространство, порожденное х1°, не унитарно замкнуто (с помощью унитарных преобразований можно понизить степень).
Унитарно замкнутый Т-идеал (Те-идеал) — это идеал алгебры F, являющийся одновременно и Те-пространством. Примером унитарно замкнутого Т-идеала может служить Т-идеал, порожденный многочленом [[Х1, Х2], Х3], а Т-идеал, порожденный многочленом Х1[Х2, Х3], таковым не является. Отметим еще, что если т: Х1 ^ 1 и ф = етл, то Хф = 0.
Аналогично изложенному выше вводятся Те-пространства, Те-идеалы в относительно свободных алгебрах, соответствующих унитарно замкнутым Т-идеалам, а также абстрактные Те-пространства и Те-алгебры.
Для подмножества 5" некоторого Те-пространства обозначим через 8Т<! порожденное этим подмножеством Те-пространство. Унитарно замкнутое Т-пространство V характеризуется равенством V1"' = V.
При построении контрпримеров в характеристике р чрезвычайно важную роль (из бесконечно базируемых Т-пространств потом строятся бесконечно базируемые Т-идеалы) играет Т-пространство, порожденное всеми п-словами. Под п-словом понимается любой одночлен алгебры F (и, соответственно, алгебры F(3)), содержащий каждую из входящих в него переменных с кратностью п. Основным объектом для нас будет унитарно замкнутое Т-пространство Жп, порожденное всеми я-словами в алгебре F(3). Все известные в настоящее время примеры бесконечно базируемых Т-пространств (и Т-идеалов), лежащих в относительно свободных алгебрах, происходят из
Весьма актуальной представляется следующая задача ((р,я)-проблема (см. [11])): описать структуру Те-пространства Жп, найти порождающие элементы. Впервые исследование структурных вопросов в данных Т-простран-ствах было предпринято в работах [12,13]. Если (я, р) = 1, то ответ очевиден: Жп = F(3) = {Х1}Те — циклический кТе-модуль. В самом деле, достаточно к элементу Х^ применить подстановку Х1 ^ Х1 + 1 и выделить линейную
часть. Если же п делится на p, то возникает достаточно содержательная теория, имеющая свою специфику в случае р = 2.
Ниже приводятся последние результаты по указанной проблеме.
1. Предварительные обозначения, определения и результаты
Отметим основные соотношения в алгебре ¥(3), применяемые при вычислениях в Те-пространстве Wn (см. [8]).
I. Коммутаторные соотношения:
[хЬ Х2][Хl, Хз] = 0, [х1, Х2] = 0 в характеристике p.
II. Соотношения Фробениуса:
(Х1 + ... + Хг У = + ... + Хрг ; (Х1 .. . хГ )P =
в характеристике p > 2 для любого l е N или p = 2 при l > 1.
Напомним, что первое равенство из коммутаторных соотношений является, как нетрудно проверить, следствием тождества «тройного коммутатора», а второе получается прямыми вычислениями, использующими также указанное тождество и условие на характеристику поля.
Для удобства читателя приведем доказательства соотношений Фробени-уса, из которых станет ясно, почему характеристика 2 имеет свои особенности.
Итак, рассмотрим первое равенство из соотношений II для случая p > 2, l е N.
Достаточно доказать его справедливость для двух переменных при l = = 1. В этом случае однородный многочлен Ь = (Х1 + Х2)Р можно представить в виде суммы Ь = 2ОтЬОт, где ЬОт — полиоднородный многочлен типа от = = (р-т,т), т = 0,р.
Докажем, что ЬОт = 0 для любого m = 1, p — 1. Для m = 1, как нетрудно проверить, при р > 2 выполняются равенства:
ЬО1 = ХРХ 1Х2 + хРх 2 Х2 Х1 + ... + Х1Х2 ХРХ 2 + Х2 ХРХ 1 =
1 1 2 (1) = рхр х2 + р(р2 1)хр [х2, Х1] = 0.
Линеаризуя соотношение хРх 1Х2 + хРх 2Х2Х1 + ... + Х1Х2хРх 2 + Х2хРх 1 = 0, получаем:
Хо(1) ... хо(р) = (2)
Осуществим в многочлен £ хО(1)...хор ряд подстановок: х, ^ Х1, i =
= 1 ,р — /и, Ху н-> х2, ] = р — т + \,р (на р — т мест, которые занимают первые т переменных, ставится Х1 , на остальные т мест, которые занимают
следующие т переменных, ставится Х2). После такой замены, как легко видеть, получается многочлен (р - т)! т! Ъ0т. Т.к. (т,р) = 1, то, используя (1) и (2), получаем, что Ь0т = 0 для любого т = 1 ,р — 1 при р > 2. Отсюда следует, что
(х1 + Х2)р = хр + Х^.
Пусть теперь р = 2, I > 1. Нетрудно видеть, что при I = 2 имеет место равенство (х1 + Х2)4 = хф + х^. Далее, индукцией по I легко показать, что
(х1 + х2)2' = х21 + х2.
Рассмотрим второе равенство из соотношений II. Достаточно показать, что оно справедливо для двух переменных. Нетрудно проверить, что в алгебре F(3) имеет место следующее равенство:
¿¡4 = (х1х2Т + ^^х^хГЧ*!, х2] (3)
для любого я е N. Из этого равенства при я = р1 для любой характеристики р и любого натурального значения I, кроме случая р = 2, I = 1, получаем справедливость 2-го соотношения Фробениуса для двух переменных.
Замечание 1. В характеристике р = 2, I = 1 получим:
ООО ООО
(Х1 + Х2) = Х1 + Х2 + [Х1, Х2]; (Х1Х2) = Х1Х2 + Х1 Х2[Х1, Х2],
т.е. соотношения Фробениуса места не имеют.
Приведенные выше рассуждения фактически и объясняют специфику случая характеристики 2.
Для исследования строения элементов Те-пространства Жя воспользуемся соотношениями I. Как нетрудно проверить, любое я-слово в алгебре F(3) с помощью этих соотношений с точностью до переобозначения можно представить в виде линейной комбинации многочленов следующего вида:
gr,s(n) = Х1-1У1-1[Х1, У1]... хп-1уп~1[хг, УгЩ ...¿я,
где г и 5 — всевозможные целые неотрицательные числа, причем при г = 0 отсутствуют хI,уI (чисто степенные многочлены), а при 5 = 0 отсутствуют ¿и go,o(n) = 0. Многочлены gr,s(я), у которых г ^ 1, будем называть коммутаторными. Кроме того, выделим так называемые чисто коммутаторные многочлены сг(я) = gr,o(я) и чисто степенные, называемые еще диагональными, (я) = go,s(n). Отметим, что С1 (1) = [Х1,У1],^(1) = Х1.
Одночлены (я) диагональны в смысле следующих определений.
Пусть w — произвольное я-слово от т переменных в свободной алгебре Р. Назовем ]-й координат,ой переменной хг, i = 1,т, число переменных в я-слове, отличных от х, и стоящих до _/'-го вхождения переменной хг-. я-слово w по переменной х, определяется набором из я 7'-ых координат («1 ,...,ая), а1 ,...,ая е 2+, переменных х,, стоящих на j-ъlх местах слова w. Числа «1 ,...,ая будем называть координатами я-слова w по переменной х, или будем говорить, что я-слово w имеет координаты («1 ,...,ая) по переменной х1 и обозначать wx¡ = (а1 ,...,ая)х.. Например, если w = х^Х2Х3Х2Х3 —
2-слово, то wXl = (0,0)Х1, wx2 = (2,3)x2, wx3 = (3,4)x3. Слова, которые имеют равные между собой координаты по каждой из входящих в него переменных x¡, мы называем диагональными. Ясно, что n-слово w является диаго-
«-» n n
нальным тогда и только тогда, когда имеет следующий вид: w = x^...xm.
Таким образом, введенные в этом пункте определения поясняют дальнейший выбор обозначений.
Итак, рассмотрим следующие унитарно замкнутые T-подпространства в Wn.
Cn = (ci(n),..., c,(n), ...}T — чисто коммутаторная компонента;
Dn = (di(n),..., d,(n),.. ,}T<! — диагональная компонента;
CDn = (gr,s(n) | r ^ 1}Te — коммутаторная компонента.
Тогда Ci = (ci(1)}Te — ^-пространство, CDi = C = (ci(1))T" — Те-идеал (коммутант алгебры F(3)), порожденные одним коммутатором.
Аналогичные T-пространства C* = (ci(n),..., c¡(n),.. .}T, D*n = (di(n),... ...,d¡(n),...}T, CD*n = (gr,s(n) | r ^ 1}T, вообще говоря, меньше и несколько более сложно устроены. Исключение: Dpi = Dp.
В следующих пунктах настоящей работы мы исследуем структуру Te-пространства Wn, используя введенные выше компоненты этого пространства.
Начнем с некоторых вспомогательных фактов, которые потребуются в дальнейшем. Справедливы следующие утверждения (см. [8]).
Лемма 1. Многочлен xpS~lypS~l[x,y\ <£ {xp'~lyp'~l[x,y\ \t=l,s- lf\
Лемма 2. Если fi,/2,/з,/4 e F(3) — произвольные многочлены, зависящие только от двух переменных, то
[f, f2][/3, /4] = 0.
Докажем следующее утверждение.
Лемма 3. Для любого простого числа p в алгебре F(3) [xby1][x2,y2] ••• •••[x„y,] Ф 0, i = 1,2,... .
Доказательство. Рассмотрим 2 случая.
1) p > 2. В алгебре Грассмана G = k{ei,..., en,.. .)l(eiej + eje, | i, j e N}, как известно, выполнено тождество [[xi, x2], x3] = 0. С другой стороны, в алгебре G выполняется [ei,e2][e3,e4] ••• [en-i,en] = 2n|2ei ---en Ф 0, что показывает справедливость утверждения леммы для данного случая.
2) p = 2. В этом случае рассматривается алгебра Ф2, на которой также выполнено тождество [[xi, x2], x3] = 0, и которая является аналогом алгебры Грассмана в характеристике 2 (см. [12]). Алгебра Ф2 строится следующим образом. Пусть A = k[..a,j..] — коммутативная k-алгебра, порожденная элементами aij, где i, j e N, i Ф j, aij = aj,, (i + a,)^ + aii) = 0, (i + a^i + amn) = = (i + aim )(i + ajn). Алгебра Ф2 = A( xi,..., x,,.. .)| J, где J — идеал свободной A-алгебры A(xi, ...,x,,...), порожденный элементами xixj + aijxjxi. Алгебра F естественным образом вложена в алгебру A(xi,...,x,,...), а алгебра F(3) — в алгебру Ф2.
Положим 0,- = 1 + а.-. Идеал 3 в таком случае порождается элементами 0.-х-х. + [х., х--]. Таким образом, из определения идеала 3 следует, что [Х1, Х2][Х3, Х4] ■ ■ ■ [Х21-1, Х2г] = 012 ••• 0(2г-1)(2г)Х2Х1 ■ ■ ■ Х2гХ2г-1 Ф 0. Отсюда получаем справедливость утверждения леммы 3 при у- = Х2- для всех j = 1,2,...,\.
Имеет место следующая
Теорема 1. Для любого I ^ 2 многочлен с1 (р1) не лежит в ^-пространстве {с1(р1 ),...,С1-1(р1)]Т<! + (хт)Т, где (хт)Т — Т-идеал, порожденный хт, т = = р, если р > 2, и т = 4, если р = 2.
Доказательство. Предположим сначала, что р > 2, I ^ 1 или р = = 2, I > 1. Допустим, что
с,(р1) = (С1(рг ))Т1 + ... + (сг-1(рг))Т'-1 + /, (4)
где / е (хт)Т, т5 е кТе, 5 ^ I - 1. Учитывая, что коммутатор [и, V] любых двух многочленов в F(3) можно расписать как линейную комбинацию коммутаторов от переменных, умноженных на одночлены, каждый из многочленов (с5 (р1))%!, где 5 ^ I - 1, является линейной комбинацией произведений 5 коммутаторов вида [х., х-] и одночлена. Т.к. кратность вхождения всех переменных в левую часть равенства (4) равна р1, то во всех многочленах (с5(р1 ))т* имеется сомножитель вида хт (хотя бы одна буква не попадает в коммутатор). Следовательно, с,(р1) е (хт)Т в F(3).
Применяя подстановку х ^ х + 1 к каждой из входящих в с1 (р1) переменных и линеаризуя, получим из многочлена с.(р1) произведение коммутаторов [х1,У1] ••• [х.,у.]. С другой стороны, аналогичные подстановки и линеаризации многочлена из (Хт)Т в силу соотношений Фробениуса дают нуль. Таким образом, [Х1, У1] ••• [х., у1 ] = 0 в F(3), что противоречит лемме 3.
Рассмотрим теперь случай р = 2, I = 1. Покажем, что для любого г > 1 многочлен сг(2) нельзя получить никакими подстановками и к-линейными действиями из предыдущих многочленов с1(2),...,сг-1(2). Допустим противное. Заметим, что многочлен сг(2) является произведением г многочленов вида ху[х,у]:
сг(2) = хщ[Х1,у1]Х2у2[Х2,у2] ■ ■ ■ Ху [Хг,уг].
Тогда, с одной стороны, прямые вычисления с применением равенства
ху[х,у] = (ху)2 - х2у2 (5)
к многочлену сг(2) показывают, что сг(2) есть линейная комбинация многочленов, каждый из которых получается некоторыми подстановками из произведения меньшего, чем 2г, числа квадратов переменных, и одночлена, являющегося произведением 2г квадратов переменных. С другой стороны, сделанное выше предположение и применение равенства (5) к элементам с1(2),...,сг-1(2) позволяет представить многочлен сг(2) в виде линейной комбинации многочленов, каждый из которых получается некоторыми подстановками из произведения 2г -1 и меньшего числа квадратов переменных. Отсюда получаем, что произведение 2г квадратов переменных можно
получить некоторыми подстановками и к-линейными действиями из произведений меньшего, чем 2г, числа квадратов переменных, что невозможно в силу результатов работы [6]. Следовательно, сг(2) £ (сх(2),... ,сг-1(2))^е. Добавление Т-идеала (х4)Т по существу ничего не меняет из очевидных соображений степеней. Теорема 1 доказана.
Непосредственно из теоремы 1 получаем
Следствие 1. Те-пространство Ср1 + (хт)Т, где т = р, если р > 2, и т = 4, если р = 2, является бесконечно базируемым.
Имеет место также следующее утверждение.
Следствие 2. Ге-пространство СОр + (хт)Т, где т = р, если р > 2, и т = 4, если р = 2, является бесконечно базируемым.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай р > 2, I ^ 1 или р = = 2, I > 1. В силу второго соотношения Фробениуса достаточно рассмотреть в качестве порождающих элементов Ге-пространства СОр многочлены grЛ(pl) = хр-1ур-1[хь У1] ••• 4-1У -1[хг, уг , г > 0. Допустим, что для некоторого г > 1 многочлен gг,l(pl) лежит в Ге-пространстве {^ц(р1) | 1 = = 1 ,г - \}Т<! + (хт)т, где т = р, если р > 2, и т = 4, если р = 2. Положив в многочлене gг,l(pl) ^ = 1, получим по нашему предположению, что
Сг (р1) = ^1,1(р1 ))Т1 + ... + ^г-1л(р1))Х'-1 + Г, (6)
где / е (хт)Т, х{ е кТе, t ^ 1 - 1. Заметим, что в общем случае вместо переменной каждого слагаемого gtд(pl) подставляется многочлен вида Ы1 + ... + и5 + а, где Ы1,...,и5 е ^(3) — некоторые многочлены без свободного члена, а е к. Поэтому, в силу соотношений Фробениуса каждый многочлен ^,1(р1 ))т, t ^ 1 - 1, распадается на два слагаемых, одно из которых лежит в (хт)т, а другое лежит в {с(р1 )}те. Тогда согласно (6) сг(р1) е{с1(р1 ),...сг-1(р1 )}те + (хт)Т, что противоречит теореме 1.
Пусть теперь р = 2, I = 1. Доказательство бесконечной базируемости СО2 почти дословно повторяет рассуждения, приведенные в теореме 1 в случае р = 2, I = 1. Добавление Т-идеала (х4)Т, как и выше, ничего не меняет. Следствие доказано.
Несложно показать, что справедливо
Следствие 3. Те-пространство (Ср + (хт)Т)/(хт)Т, где т = р, если р > 2, и т = 4, если р = 2, является бесконечно базируемым.
В дальнейшем нам потребуется следующая
Лемма 4.
с/+1—1 р1+1—1
Для любого простого числа р и любого I е N х^ У1 [хь у1 ] £ Ср1.
Доказательство. Заметим, что многочлен хр 1у1 1[х1,у1 ] зависит от
двух переменных. Поэтому, если предположить, что х^ у^ [х1,У1] принадлежит Те-пространству
Ср1 = {Сг(р1) = хр-1у1-1[х1,у 1 ]. ..хр1-1ур1-1[хг,уг]|г ^ 1}Те,
то те слагаемые линейной комбинации, которые получаются некоторыми подстановками из многочленов сг(р1) при г ^ 2, становятся равными нулю в силу леммы 2. Значит многочлен х^ 1ур 1[х1,у1] е {х1 1ур 1[х1,у1]}Т", что противоречит лемме 1, и лемма доказана.
Для Те-пространств Ср и СОр имеет место следующее утверждение.
Предложение 1. Для любого простого числа р и любого I е N выполнено
Срс СОр, где Ср1 Ф Ср+1.
Доказательство. Непосредственно из леммы 4 следует, что Ср Ф Ср+. Далее, подставляя 1 вместо всех переменных гг, I = 1,5, порождающих элементов gr,s (р1) коммутаторной компоненты СОр, получаем очевидное включение Ср1 с СОр. Для доказательства строгости этого включения достаточно указать элемент из Те-пространства СОр, не принадлежащий в тоже время Те-пространству Ср. В качестве такого элемента рассмотрим много-
хр 1ур 1[Х1,у1]. Действительно, его можно получить из многочлена
член
¿р хр 1У 1[х1, у1] е СОр следующей подстановкой т: ¿1 ^ Хр 1 ур 1. Тогда из леммы 4 вытекает строгость включения, и предложение доказано.
2. Разложение ^-пространства Wn на диагональную и коммутаторную составляющие
Как уже отмечалось, при (я,р) = 1 имеет место равенство Жя = F(3). Если я = р1я1, где I ^ 1, (яь р) = 1, то, как будет ясно из дальнейшего, Жя = Жр. Имеет место следующая Теорема 2.
1. Во всех случаях, кроме р = 2, I = 1, кТе-модуль Жр раскладывается в прямую сумму:
Жр = СОр Ф Ор. (7)
2. При р = 2, I = 1 имеет место равенство Ж2 = О2, причем С2ССО2СО2, и все указанные Те-пространства бесконечно базируемы.
Доказательство.
1. Из соотношений I следует, что Жр = СОр + Ор/. Покажем, что
СОр п Ор = {0}.
Пусть / е Ор, тогда из соотношений Фробениуса и перестановочности р-ой степени переменной с любым элементом алгебры F(3) следует, что:
/ = ахртхрт ...хрт<, (8)
где а е к, {0}, / = 1,
Если а = 0, то / = 0, и все доказано.
Предположим, что а Ф 0. Тогда, подставляя 1 вместо всех переменных, с одной стороны, согласно (8) получаем /(1,...,1) = а, с другой стороны, /(1,...,1) = 0, т.к. / е СОр1, — противоречие. Следовательно, имеет место (7).
2. Согласно предложению 1 С2ССО2. Теперь покажем, что СО2СО2. Применяя соотношение (5) к каждому сомножителю вида ху[х,у] в многочлене gr,s(2) = х1у1[х1, у1] х2у2[х2, у2]... хгуг [хг , у^^^; ... ¿2, мы получим, что любой элемент gr,s (2) е СО2 представляет собой линейную комбинацию многочленов, каждый из которых получается некоторыми подстановками из произведения некоторого числа квадратов переменных, т.е. из элементов Те-пространства О2. Таким образом, справедливо включение СО2 с О2. Строгость включения устанавливается с помощью факторизации по тождеству коммутативности.
Из равенства Ж = СО2 + О2, справедливого в силу соотношений I, и доказанного выше утверждения, что СО2 — собственный подмодуль в О2, имеем Ж = О2. Таким образом, из результатов работы [6] следует, что Ж — бесконечно базируемое Те-пространство. Бесконечная базируемость Те-пространств С2 и СО2 показана в доказательстве теоремы 1 и доказательстве следствия 2 соответственно. Теорема 2 доказана.
Отметим, что компоненты указанного в теореме 2 прямого разложения (7) имеют прямо противоположные свойства с точки зрения вопроса о конечной базируемости. Это будет видно из приводимых ниже теорем 3 и 4.
3. Структура диагональной компоненты Оп
Отметим еще раз, что если (я, р) = 1 , то ответ тривиален: Оя = F(3) = О1. Интерес представляет случай: я = р1я1, I ^ 1, (яь р) = 1. Теорема 3.
1. Оя = Ор.
2. Ор = {й1(_р1 )}Те при любом р > 2, I е N и при р = 2, I > 1.
3. Орт с Ор при I < т.
4. Если р = 2, то О2 имеет бесконечную неприводимую систему порождающих {й.(2) | I е Щ (см. [6]).
5. При любом р > 2, I е N и при р = 2, I > 1 Ор изоморфно Те-алгебре коммутативных многочленов с естественной Те-структурой, и, следовательно, является нетеровым кТе-модулем.
Доказательство.
1. При заданных условиях на я и р чтобы показать справедливость включения Оя с Ор, т.е. {Х^,..., х1 ••• хя ,...}Т" с {Хр ,...,хр ■■■ хр ,...}Т<!, в
каждом р1 -слове Хр ■■■хр е Ор, I = 1,2,..., к переменным х-, - = 1,...,1,
я }
р
■■■ е °р, I = 12,..
достаточно применить подстановки: х- ^ хя1
Покажем справедливость включения Dp с Dn. Сначала укажем способ, как из x1 можно получить xp. К одночлену x" применим подстановку x\ ^ xi + 1. Выделим из одночлена x" однородную компоненту степени pl,
получим одночлен | ljx-. Если n = pl"i, то биномиальный коэффициент
(, I расписывается следующим образом:
рЧ
р1"Л pln1 pln1 - 1 pln1 - (pl - 1)
\plj \ Р/ Pl pl -1 pl - (pl -1)
Этот коэффициент содержит как дроби, числитель и знаменатель которых не делятся ни на какую степень числа p, так и дроби с противоположным свойством. Рассмотрим последние. Легко видеть, что такие дроби имеют вид ) гДе Pl > psci,ifl,p) — 1, т.е. содержат в числителе и знаменателе
одну и ту же степень числа p, равную ps, тогда биномиальный коэффициент {^p^ при xp не делится на p. В силу бесконечности поля к получим pl
x^ е Dn. Применяя к одночлену x^ ••• x", i = 1,2,..., указанный выше способ понижения степени, получим справедливость включения, и утверждение (1) теоремы доказано.
2. Из второго соотношения Фробениуса следует, что произвольный порождающий элемент xp ••• xp, s = 1,2,..., Te-пространства Dpl, получается
1pl
подстановкой одночлена x1 ••• xs вместо переменной x1 в одночлен x^ , т.е. Dp/ — циклический кТе-модуль.
3. Рассмотрим сначала случай p > 2, l ^ 1 или p = 2, l > 1. Согласно только что доказанному Dp = {xp}те, поэтому достаточно показать, что из xp можно получить x1-" при l < m. Для этого к одночлену xp нужно
p-m-l
применить подстановку x1 ^ x1 . Отсюда, D-m с Dp. Строгость включения вытекает из соотношений Фробениуса.
В случае p = 2, l = 1 включение также имеет место. Для этого нужно применить к одночленам x1 ••• xf, i = 1,2,..., указанный выше способ повышения степени. Строгость очевидна в силу бесконечной базируемости Те-пространства D2 (см. работу [6]) и доказанной конечной порожденности D2" при m > 1 (см. пункт (2) данной теоремы).
5. Нетеровость кТе-модуля Dp в случае p > 2, l е N и p = 2, l > 1 устанавливается с помощью его изоморфизма с Те-алгеброй коммутативных многочленов с естественной Те-структурой и применением результата работы [14]:
к\у1,...,уг,...] = Dpl, (9)
где k\y1 ,...,yi,...] — нетеров кТе-модуль.
Ясно, что Dpl = k\xp,..., xp ,...], тогда изоморфизм (9) устанавливается очевидным взаимно однозначным соответствием yi ^ x-. Построенное
соответствие является изоморфизмом как кТе-модулей в силу соотношений Фробениуса. Отметим, что при этом изоморфизме ку,...,^...] переходит в Ор +1 . Теорема 3 доказана.
Пусть теперь О*я — не унитарно замкнутое Т-пространство, порожденное той же системой одночленов, что и Оя. В следующем предложении показано, что структура О*я в некоторой степени отличается от структуры Оя (нет спуска от я к р1).
Предложение 2. Во всех случаях, кроме р = 2, я = 2я1, я1 — нечетное, Т-пространство Оя порождается одночленом х^ Если р = 2, я = 2я1, (яь 2) = = 1, то Оя — бесконечно базируемое Т-пространство.
Доказательство. Покажем, что во всех случаях, кроме р = 2, я = 2щ, я1 — нечетное, О*я = {хя}Т. Достаточно показать справедливость утверждения для я-слова от 2-х переменных. Рассмотрим формулу (3), о которой говорилось в пункте 1 нашей работы. Если я = р1я1, где I ^ 1, (я1, р) = = 1, кроме случая р = 2 и = 1, то из соотношения (3) в характеристике р следует, что хЦх^ = (х1 х2)я. Если (я,р) = 1, то многочлен х^-1 хя-1[х1, х2] можно получить из хЦ некоторыми подстановками и к-линейными действиями. Действительно, используя формулу бинома Ньютона, раскроем выражение (Х1Х2 + [Х1, Х2])я:
я -1
(Х1Х2 + [ХЬХ2])Я = (Х1Х2)" + —--"7(Х1Х2)Й [Х1,Х2] +
1!(я - 1)!
я! я!
+ 2!(лг - 2)! (х1х2>"~2[хь х2]2 + ... + _ | ^ х!х2[хь х2Т~1 + [хьх2]я.
Применяя первое равенство из коммутаторных соотношений при Х2 = Х3 к правой части выражения, получим:
(Х1Х2 + [Х1, Х2])я = (Х1 Х2)я + я(Х1 Х2)я-1[Х1, Х2].
Из того же равенства
(Х1 Х2)я-1[Х1, Х2] = х1-1 Хя-1[Х1, Х2].
Тогда
„-! я-и п (Х1Х2 + [ХЬХ2])" (Х1Х2)"
X, [хьх2] =---.
1 2 я я
Остается подставить правую часть последнего равенства в формулу (3). Таким образом, первое утверждение предложения доказано.
В случае р = 2, я = 2я1, где (я1, 2) = 1, Т-пространство О2 , бесконечно базируемо. Действительно, предположив противное, получим, что тогда и унитарно замкнутое Т-пространство О2я1 = О2 конечно порождено, что противоречит результатам работы [6]. Таким образом, все утверждения предложения 2 доказаны.
Проводя рассуждения, аналогичные приведенным для случая (я, р) = 1 в предыдущем доказательстве, нетрудно проверить справедливость следующего утверждения.
Предложение 3. В случае поля нулевой характеристики О*п = {х1}т для любого п.
Замечание 2. Легко видеть, что бесконечно базируемо даже по модулю тождества х4 = 0.
4. Структура коммутаторной компоненты СВ„
Легко видеть, что Сп с СОп для любого п е N. Возникает вопрос о строгости этого включения. Если п = р1, р — любое простое число, I е N, то, как было показано в предложении 1, это включение строгое. Общий случай рассмотрен в следующей теореме, проясняющей также в некоторой степени структуру коммутаторной компоненты.
Теорема 4.
1. Если (п,р) = 1, то выполнены следующие равенства: Сп = С\ = = {[Х1,л]Г, СБп = СОх = С = ([Х1,Л]Г.
2. Если п = р1П1, (п1, р) = 1, I ^ 1, то Сп = Ср1, СОп = СОр — бесконечно базируемые Те-пространства.
3. Если I < т, то Ср1ССрт и СОртсСОр.
4. Для любого р и любых натуральных чисел I и т выполнены строгие включения С1 с Ср с СОрт с С.
Доказательство.
1. Напомним, что Те-пространство Сп порождается многочленами вида сг(п) = х\-1уп-1[Х1,У1] ■ ■ ■ х"г-1у"г-1[хг,уг], (10)
где г = 1,2,... .
Покажем сначала, что С1 с Сп для любого п е N. Действительно, осуществляя подстановку х ^ х+1 в каждую переменную многочлена с (п) е С п и линеаризуя, получим коммутатор С1(1) = [хьУ1], который лежит в Сп, и включение доказано.
Включение С п с С1 также имеет место. Действительно, сначала из одного коммутатора [хь У1] получаем произведение произвольного числа г коммутаторов, для этого в коммутаторе [хь У1] нужно осуществить подстановку У1 ^ У1 [х2, У2] [хг, уг ]. Затем к получившемуся многочлену [х1, У1] ••• •••[хг,Уг] е С1 применяем подстановки: х]- ^ х",У^ У", j = 1,г. В итоге, используя следующее соотношение
[ хп, У] = п х-1[ х, У], (11)
справедливость которого несложно установить прямым вычислением, получаем многочлен п2гег(п). Из условия (п,р) = 1 имеем сг(п) е С1 для любого г е N, значит Сп с С1. Из доказанных включений следует, что Сп = С1 = = {С1(1)}т = {[хь У1]}те.
Итак, в случае (п,р) = 1 справедливы равенства Оп = О1 (см. пункт 3 данной работы) и Сп = Сь Отсюда, как нетрудно видеть, следует, что СОп =
= СО1 = С = ([хь У1])те.
2. Докажем, что Ся с Ср/. Применим к многочлену (10) при я = р1 серию подстановок: х, ^ хя1, уг ^ у"^, 1 = 1,2,...,г, г е N. После указанной замены и применения равенства (11) получим многочлен и^с,-(я). По условию (я1,р) = 1, значит сг(я) е Ср для любого г е N, и включение доказано.
Наконец, Ср с Ся. Действительно, применим подстановку х ^ х + 1 к каждой из входящих в многочлен сг(я) е Ся, г е N, переменной и выделим полиоднородный многочлен степени р1 по всем переменным, получим многочлен, равный В2гсг(р1), где
.я - 1\ (р1я1 - 1\ р1я1 - 1 р1я1 - 2 р1я1 - 1 - (р1 - 2)
В =
р1 - Ч \ р1 - 1 / р1 - 1 р1 - 2 р1 - 1 - (р1 - 2)
Отсюда легко видеть, что В не делится на р в силу рассуждений, аналогичных приведенным в доказательстве утверждения (1) теоремы 3. Следовательно, сг(р1) е Ся для любого г е N. Это означает, что верно указанное выше включение, значит имеет место первое равенство.
Из того, что Оя = Ор (см. утверждение (1) теоремы 3) и Ся = Ср/, как нетрудно видеть, следует СОя = СОр.
Из следствий 1 и 2 вытекает, что Те-пространства Ср/ и СОр/ бесконечно базируемы.
3. Если / < т, то Ср/сСрт. В самом деле, применим подстановку х ^ ^ х + 1 к каждой из входящих в многочлен сг(рт) е Срт, г е N, переменной и выделим полиоднородный многочлен степени р/ по всем переменным, получим многочлен, равный В2гсг(р1), где
/рт - 1 \ рт - 1 рт - 2 рт - 1 - (р1 - 2)
В_
" \р1 - 1 / " Р1 - 1 Р1 - 2 " ' р1 - 1 - (р1 - 2)
Отсюда легко видеть, что В не делится на р в силу рассуждений, аналогичных приведенным в доказательстве утверждения (1) теоремы 3. Следовательно, сг(р1) е Срт для любого г е N, и включение доказано.
Согласно предложению 1 для любого / е N Ср/ ф Ср+\, откуда следует строгость включения при / < т.
Докажем, что СОртсСОр при / < т. В силу Орт = {х^ }Т<! достаточно рассматривать порождающие gг,l(pm), г > 0, коммутаторной компоненты
СОрт . Покажем сначала справедливость включения. Для этого к много, рЩ-1 рт-1-1 рт-'-1 рт-/-1
члену gr,lyp ), г > 0, применим подстановку ^ ^ х1 у1 ■■■хг ■
Уг" 1. После этой замены и использования коммутаторных соотношений получим многочлен gгд(pm), г > 0. Отсюда, СОрт с СОр/ при / < т.
Рассмотрим вопрос о строгости включения. Достаточно показать, что СОр/ ф СОр+1 для любого / е N. Для этого рассмотрим многочлен / =
= хр 1 ур 1[х1,У1]Хр е СОр/. Предположим, что / принадлежит ^-пространству СОр+1, порожденному множеством многочленов вида
{хГ-1уТ-1[Х1, У1]... xp/+\-1yp/+\-1[х,, у, ]2р+1 | 1 = 1,2,...}. (12)
Какими тогда могут быть подстановки? Проследим за диагональной частью
р+1
гр многочленов (12). Согласно соотношениям Фробениуса достаточно рассмотреть либо только мономиальные подстановки, либо только подстановки элементов поля к вместо переменной ¿1 многочленов (12). Если вместо переменной 21 подставить некоторый одночлен и е Г(3), то это даст не менее р1+1 вхождения каждой из входящих в одночлен и переменных. С другой стороны, в многочлен / каждая его переменная входит с кратностью р1. Поэтому остаются только подстановки некоторых элементов поля к вместо переменной ¿1 многочленов (12). Тогда
/ е{хр -1Ур -1[ хь У1] ...хр -1Ур -1[хг, Уг] 11 ^ 1}т" = Ср+,
. х
Т.к. подстановкой ¿1 ^ х1 У 1 из многочлена / получается многочлен
g = х^ У1 [х1,У1], то, в частности, g е Ср+\, что противоречит лемме 4.
4. Из утверждения (3) данной теоремы и СрсСОр (см. предложение 1) вытекает следующая диаграмма строгих включений:
Ср с Ср2 с ... с С р с ...
П П ••• П
СОр э СОр2 э ... э СОр э ...
Из этой диаграммы следует, что для любых I и т имеют место строгие включения Ср с СОрт.
Выше уже отмечалось, что С1 с Ср. Включение СОрт с С очевидно, т.к. Те-идеал С содержит многочлен [х,У]г. Строгость этих включений следует из конечной порожденности Те-пространств С1 и С и бесконечной базируемости Те-пространств Ср и СОрт. Теорема 4 доказана.
Замечание 3. Из соотношений I следует, что Жп = СОп + Оп. В случае п = р1п1, (п1,р) = 1, I е N, было показано, что Оп = Ор1, СОп = СОр (см. утверждение (1) теоремы 3 и утверждение (2) теоремы 4). Тогда из утверждения (1) теоремы 2 о разложении кТе-модуля Жр в прямую сумму Жр = СОр ф Ор следует равенство Жп = Жр для любого простого числа р и любого I е N, кроме р = 2, I = 1.
Таким образом, частичный ответ на (р, п)-проблему, о которой говорилось во введении, следующий.
1) Если (п,р) = 1, то Жп = Г(3).
2) Если п = р1п1, (щ,р) = 1, I е N, кроме случая р = 2, I = 1, то Те-пространство Жп = Жр имеет следующую бесконечную неприводимую систему порождающих:
{хр
, 2рх1 1/1 1[ х1, У1],...,21 х1 1 ^ 1[х1, У1] ••• ^ 1У 1 [хг, Уг],...}.
3) Если р = 2, 1= 1, то Жп = Ж2 = О2 = {х2, ...,х\ ••• х2,.. .}г.
Остается более детально изучить кте-модульное строение пространства Жр.
5. Диаграммы включений, факторпространства
Резюмируя все выше сказанное, можно построить следующие диаграммы строгих включений.
I. Пусть p — любое простое число.
Если (n,p) = 1, то
Dn = F(3) э CDn = CDi = ([х,y])T = C э Cn = Ci = {[x,y]}T. Для степеней p имеем:
Dp э ... э Dpi э ...; nDp = 0; C П Dp = 0 при любом i > 1;
C1 с Cp с ... с Cp с ... с ... с CDp с ... с CDp с C.
II. Если p > 2, то C n Dpi = 0 при любом i е N.
III. Если p = 2, то
C1 с C2 с ... с C2i с ... с ... с CD2i с ... с CD2 с
с D2 э ... э D2i э ....
IV. Wp э Wp2 э ... э Wp э ....
В I и II пунктах диаграмм равенство C П Dpi = 0 при указанных ограничениях на p и i следует из рассуждений, приведенных в доказательстве утверждения (1) теоремы 2. Последняя строка пункта I показывает, что разница между T-пространством и T-идеалом, порожденных одним и тем же элементом, весьма велика.
Случай p = 2, I = 1, специфичен во многом из-за того, что здесь перестают работать соотношения Фробениуса. В отличие от пунктов I и II здесь C П D2 отлично от нуля, т.к. содержит CD2. Вопрос: верно ли, что
CD2 = C n d2?
В связи с построенными бесконечно возрастающими и бесконечно убывающими цепочками kTe-модулей, возникают вопросы о строении фактор-Те-пространств: Dpi/Dp+1, Cp+1 ¡Cp, CDp//CDpi+1, Wp/Wp+1 и некоторых других.
Для фактор-Te-пространства Dpi /Dp+1 имеет место
Предложение 4. В бесконечной строго убывающей цепочке kTe-модулей
Dp э ... э Dp/ э ...
для любого p и любого натурального числа I, кроме p = 2, I = 1, все фактор-Te-пространства Dpi /Dp+1 являются простыми и изоморфными фак-тор-Те-пространству k[y1, ...,yj,. ..]/k[ytp,...,yp',...]. В случае p = 2, i = 1 Te-пространство D2/D4 является бесконечно базируемым kTe-модулем.
Доказательство. Пусть p > 2, i е N или p = 2, i > 1. Тогда из доказательства утверждения (5) теоремы 3 следует, что Dp/ = k[y1,...,y;-,...] и Dp+1 = k[yp,...,yp,...] как kTe-модули. Отсюда, изоморфны как ^^модули следующие фактор-^-пространства: Dp/ /Dp+1 и k[y1 ,...,yi ,...]/k[yp,...
Докажем, что кТе-модуль к[У1,...,Уг ,...]/к[у,...,Ур,...] прост. Для этого достаточно показать, что к^,...,Ур,...] — максимальный собственный кТе-подмодуль. Очевидно, что к^,... ,Ур,.. .]ск[У1,... ,У¡,...]. Допустим, что
кТе-модуль к[Ур,...,Ур,...] не является максимальным, т.е. существует подмодуль и такой, что к[У1 ,...,Ур,...]сиск[У1 ,...,Уг,...]. Отсюда, существует многочлен / е и, не принадлежащий в то же время Те-пространству кУ,... ,Ур,...]. В силу бесконечности поля к можно считать, что / е к[У1,... ... ,Уь ...] — полиоднородный многочлен и, следовательно, есть одночлен вида:
аУт1■■■Ут* , (13)
где а е к, а числа т1,...,т* е 2+ удовлетворяют свойству: существует хотя бы один номер j среди чисел 1,..., * такой, что (т]-, р) = 1, например, j = 1. В противном случае, т.е. если (т]-, р) ф 1 для любого j = = 1,5, то / е ... ,ур,...], что невозможно. Тогда / е [/ порождает все Те-пространство к[У1,...,Уг,...]. Действительно, осуществляя в одночлен (13) подстановки: у\ н-> у\ + 1, у]- I—> 1, = 2,5, и линеаризуя, получим, что У1 е и. Отсюда, к[Уь ... ,у1, ...] с и, и, следовательно, и = к[У1,... ,Уг, ...], но по условию иск[У1 ,...,Уг,...]. Полученное противоречие доказывает первое утверждение предложения.
Согласно утверждению (4) теоремы 3 и замечанию 2 в случае = 2, I = 1 О2/О4 является бесконечно базируемым кТе-модулем. Предложение доказано.
6. Мультипликативная структура
В настоящем пункте мы рассмотрим мультипликативную структуру Те-пространства Жп. Покажем, что Жп замкнуто относительно умножения в алгебре Г(3). Рассмотрим произвольные п-слова и, V. Если и и V зависят от непересекающихся множеств переменных, то, очевидно, ш е Жп. Если множества переменных и и V пересекаются по некоторому множеству переменных, то одночлен ш также будет принадлежать Жп. Действительно, можно заменить V на п-слово V', которое получается из V подстановкой вместо переменных, совпадающих с переменными одночлена и, других переменных, несовпадающих со всеми переменными и. Тогда е Жп. Отсюда, т.к. Жп — Те-пространство, подходящей подстановкой в V' получаем ^ е Жп. Таким образом, можно говорить о Те-подалгебре Жп п-слов.
Интересен вопрос о структуре т е-пространства п-слов как те-подалге-бры в Г(3), а также о строении алгебры Г(3) как Жп-модуля. Мы уже отмечали, что если (п,р) = 1, то Жп = Г(3) = О1. Если же п = р1п1, где I ^ 1, (п1, р) = 1, то Жп = Жр.
Структуру Те-алгебры Жр проясняет следующая
Теорема 5. Алгебра Ж р коммутативна, причем во всех случаях, кроме р = 2, I = 1, она раскладывается в прямую сумму Те-пространств:
Wp = CDp Ф Dp/, где ^-алгебра Dp изоморфна ^-алгебре коммутативных многочленов с естественной ^-структурой и, следовательно, является нетеровым Te-пространством, а CDp — радикал алгебры Wp, являющийся ненильпотентной ниль-алгеброй индекса p, бесконечно базируемой, как Te-пространство.
Доказательство. Из коммутаторных соотношений следует, что алгебра Wp коммутативна для любых значений p и i.
Согласно утверждению (1) теоремы 2 для ^-алгебры Wp/ имеет место разложение в прямую сумму указанных ^-подпространств во всех случая, кроме p = 2, i = 1.
Используя те же соображения, что и в доказательстве замкнутости Wn, нетрудно проверить, что Dpi — ^-подалгебра алгебры F(3), а CDp есть Te-идеал алгебры Wp. Из утверждения (5) теоремы 3 следует, что во всех случаях, кроме p = 2, i = 1, ^-алгебра Dpi изоморфна ^-алгебре коммутативных многочленов с естественным действием полугруппы Te, и, следовательно, является нетеровым ^-пространством.
Рассмотрим Te-алгебру CDp. Из первого коммутаторного соотношения следует, что (gr,s (pi ))2 = 0, при r > 0, s ^ 0. Следовательно, если f1, f2,..., fm
— многочлены, получающиеся из системы {grs(pl) | r > 0} с помощью подстановок и k-линейных действий, то в силу соотношений Фробениуса для любых Хьk2,...,km е k имеют место равенства:
(k1f1 + x2f2 + ... + kmfmY = k{f1 + kpf2 + ... + kpfn = 0
т.е. Te-алгебра CDp является ниль-алгеброй индекса p.
Т.к. согласно лемме 3 [ Х1, x2]...[ xt-1, xt ] Ф 0 в алгебре F(3), и все коммутаторы [Xj-1, Xj] (в силу включения C1 с CDn для любого n е N) лежат в CDp, то ниль-алгебра CDp не нильпотентна.
Нетрудно видеть, что коммутативная ниль-алгебра CDp есть нильидеал алгебры Wp, причем факторалгебра Wp/CDp совпадает с точностью до изоморфизма с алгеброй коммутативных многочленов. Таким образом, CDp
— радикал алгебры Wp.
В теореме 4 было установлено, что CDp является бесконечно базируемым ^-пространством. Теорема 5 доказана.
В случае p = 2, i = 1 о строении коммутативной алгебры W2 как Te-пространстве сказано в утверждении (2) теоремы 2.
Как k-алгебра Te-пространство W2 = k[x^, ...,x2,...], очевидно, изоморфно алгебре коммутативных многочленов k[y1, ...,yt,...]. Однако действие алгебры kTe на W2 не индуцировано естественными подстановками на алгебре многочленов, как это имеет место на алгебрах W2i, i = 2,3,..., Wp, p > 2, i = = 1,2,... (что, как мы уже отмечали, объясняется соотношениями Фробениуса).
Интересно, что в характеристике 2 алгебра коммутативных многочленов k[y1,...,yt,...] может быть наделена структурой ^-алгебры двумя принци-
пиально различными способами, один из которых (естественный) приводит к нетеровости (см. [14]), а другой (через изоморфизм с D2) — к бесконечной базируемости (см. [6]).
Как нетрудно проверить, пользуясь коммутаторными соотношениями, Те-пространство W p лежит в центре ZF(3) алгебры F(3). Возникает вопрос: совпадают ли W p и ZF(3)?
Этим и другим вопросам, связанным со структурой Те-алгебры Wn, авторы планируют посвятить свои дальнейшие исследования.
Литература
[1] Гришин, А.В. О конечной базируемости абстрактных Т-пространств / А.В. Гришин. // Фундам. прикл. матем. - 1995. - Т. 1. - №3. -С. 669-700.
[2] Grishin, A.V. On T-spaces and their applications / A.V. Grishin, V.V. Shchigolev // Journal of Mathematical Sciences. - 2006. - V. 134. -№1. - P. 1799-1878.
[3] Гришин, А.В. О конечной базируемости систем обобщенных многочленов / А.В. Гришин // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. - Т. 54. -№ 5. - С. 899-927.
[4] Щиголев, В.В. Конечная базируемость Т-пространств над полями нулевой характеристики / В.В. Щиголев // Известия РАН. Сер. матем. 2001. - Вып. 65. - №5. - С. 191-224.
[5] Кемер, А.Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр /
A.Р. Кемер // Алгебра и логика. - 1987. - Т. 5. - С. 597-641.
[6] Гришин, А.В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2 / А.В. Гришин // Фундам. прикл. матем. - 1999. - Т. 5. - С. 101-118.
[7] Grishin, A.V. On non-spechtiannes of associative rings which satisfy the identity x32 = 0 / A.V. Grishin // Electron. Res. Announ. Amer. Math. Soc. - 6.
[8] Щиголев, В.В. Примеры бесконечно базируемых Т-пространств /
B.В. Щиголев // Матем. сб. - 2000. - Т. 191. - С. 143-160.
[9] Щиголев, В.В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов / В.В. Щиголев // Фундам. прикл. матем. - 1999. - Т. 5. - №1. - С. 307-312.
[10] Белов, А.Я. О нешпехтовых многообразиях / А.Я. Белов // Фундам. прикл. матем. - 1999. - Т. 5. - №1. - С. 47-66.
[11] Аладова, Е.В. Т-пространства. История вопроса, приложения и последние результаты / Е.В. Аладова, А.В. Гришин, Е.А. Киреева // Чебы-шевский сб. - 2004. - Т. 5. - Вып. 4(12). - С. 39-57.
[12] Гришин, А.В. О коразмерностях в пространствах 2-слов над полем характеристики 2 и свойствах экстремальности / А.В. Гришин, С.В. Ур-баханов // Чебышевский сб. - 2002. - Т. 3. - Вып. 2(4). - С. 34-42.
[13] Гришин, А.В. Структурные и алгоритмические вопросы в T-простран-ствах над полем характеристики p > 0 / А.В. Гришин // УМН. -2005. - Т. 60. - №3. - С. 175-176.
[14] Grishin, A.V. On the finite basis property of T-spaces over a field of finite characteristic / Proc. of Moscow—Tainan algebraic workshop. - 1994. -P. 225-227.
[15] Щиголев, В.В. Бесконечно базируемые T-пространства и T-идеалы: дис. канд. ... физ.-мат. наук / В.В. Щиголев. - М.: МГУ, 2002.
Поступила в редакцию 17/IX/2007;
в окончательном варианте — 17/IX/2007.
ON THE (p, n)-PROBLEM
© 2007 A.V. Grishin, L.M. Tsybulya2
In the paper the structure of the unitary closed T-space Wn generated by n-words in the relatively free algebra F(3) = F/I where k is an infinite field of characteristic p > 0 and I is the T-ideal generated by the polynomial [[xj, x2], x3] is studied. An infinite irreducible system of generators is found in Wn. In this connection infinite chains of the infinitely based T-subspaces in Wn are considered. The specific character of the case p = 2 is shown. Finally the multiplicative structure of the T-space Wn is studied.
Paper received 17/IX/2007. Paper accepted 17/IX/2007.
2Grishin Alexandr Vladimirovich ([email protected]), Tsybulya Liliya Mikhaylov-na, Dept. of Algebra, Moscow Pedagogical State University, Moscow, 107140, Russia.
