Корректная разрешимость задачи о нелинейной диффузии в несжимаемой пороупругой среде на микроскопическом уровне. Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:531.72, 517.958:539.3(4)

КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ О НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ В НЕСЖИМАЕМОЙ ПОРОУПРУГОЙ СРЕДЕ НА МИКРОСКОПИЧЕСКОМ УРОВНЕ. 10)

А.М. Мейрманов, Р.Н. Зимин, О.В. Гальцев, О.А. Гальцева 11)

Белгородский государственный университет, ул.Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Рассматривается начально-краевая задача для системы, состоящей из уравнений Стокса, описывающих движение несжимаемой вязкой жидкости в поровом пространстве и уравнения Ламе в твердом скелете. Система дополняется конвективным уравнением диффузии для примеси в жидкости. Считается, что плотность жидкости зависит от концентрации примеси. Для рассматриваемой математической модели доказывается существование по крайней мере одного обобщенного решения.

Ключевые слова: система уравнений Стокса и Ламе, конвективное уравнение диффузии.

1. Постановка задачи

Пусть П Е R3 ограниченная связная область с липшицевой границей S, полученная периодическим повторением элементарной ячейки еУ, где е > 0 малый параметр,

У = Yf U Ys U y U дУ, У = (0,1) х (0,1) х (0,1), еУ =(0,е) х (0,е) х (0,е),

где y = dYf П dYs - липшицева граница между множествами Yf и Ys.

Через П f обозначим периодическое повторение элементарной ячейки еУ f, а через П g - периодическое повторение еУ s. Тогда

П = nf U Пе8 U rg,

где Г£ = дП f П дП s - периодическое повторение границы £y.

При этом будем считать, что область У9 полностью окружена областью Yf (см. рис. 1) то есть

Ys П дУ = 0.

В области П рассматривается следующая система дифференциальных уравнений:

V • ^х £Мо^x, д|^^ + (1 - х ^ \oD(x, w g) - p £I) + p(cg)F = 0 (1)

10 Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт №02.740.11.0613).

11Мейрманов Анварбек Мукатович, профессор Белгородского государственного университета. Зимин Р.Н., аспирант Белгородского государственного университета.

Гальцев О.В., аспирант Белгородского государственного университета.

Гальцева О.А., аспирант Белгородского государственного университета.

V- т£ = 0 (2)

т £(х,Ь) = 0 при х € Б = дП , (3)

X £т £(х, 0) = 0 при х € П , (4)

р £ дьх = 0 , (5)

р £

где т£(х,Ь) = (т£(х,Ь),т£(х,Ь),т3£(х,Ь)) - перемещение сплошной среды, р£(х,Ь) -давление в сплошной среде, с£(х,Ь) - концентрация примеси, 0(ж, V) - симметрическая часть градиента вектора V (тензор напряжений), I - единичная матрица, х £(х) -характеристическая функция порового пространства,

Р(с£) = X£(х)$с£(х,г),

- безразмерная вязкость жидкости, Ао - безразмерная постоянная Ламэ, 8 - положительная постоянная.

Рис. 1 Геометрия элементарной ячейки.

Концентрация примеси определяется только в области П£ как решение начально -краевой задачи

дс£ д т£ _ £ ^ . £ . .

Ж + ~аТ 'V с= °°А с■ (6)

дс £

—— = 0 при х € Г£ I I Б, Ь > 0, (7)

дп ^

с£(х, 0) = с0(х), при х € П ^, (8)

где п - единичный вектор внешней нормали к Г £, О0 - коэффициент диффузии. Обзор результатов по данной задаче можно найти в ([6]).

2. Основной результат

Определение 1. Функции ю £(х,Ь), р £(х,Ь) и с£(х,Ь) называются обобщенным решением задачи (1) - (8) в области Пт = П х (0, Т), если

1) р£ € Ь2(Пт), ю£ € Ж21Д(П/ х (0,Т))П Ж21>0(П8 х (0,Т)), с £ € Ь^(П / х (0, Т)) П ^21,0(П£/ X (0,Т));

2) почти всюду в области Пт выполнено уравнение (2);

3) функции ю £, р £ и с £ удовлетворяют интегральному тождеству

' Пт

д w£ (X £№Щх)-д^-) : Ю(ж, ф) + (1 - х £)АоО(ж, w £) : Р(ж, ф) - р £У ■ ф) йхдьі

р(с£)Е ■ ф dxdt (9)

' Пт

для произвольной гладкой вектор-функции ф(х,Ь), равной нулю на границе Б и при Ь = Т и интегральному тождеству

' Г (с£ -V с£ ■ ^ф - Бо^с£ ■Vф}dxdt = -I со(х)ф(х, 0)dx (10)

/о V ^ оі ) ч

для произвольной гладкой функции ф(х,Ь), равной нулю при Ь = Т.

Здесь используется обозначение: А : В = Ьт(ЛБт), где А и В - квадратные матрицы. Верна следующая теорема.

Теорема 1. Пусть

0 ^ с0(х) ^ 1, (11)

К

№ |2 +

дt

dxdt ^ Г2, IV№(х,()|« Г.

12)

Тогда задача (1) - (8) имеет хотя бы одно обобщенное решение и для него справедливы оценки

тах А0 (1 - х)^^, w £)| dx +

0<і<т

' Пт

+1р £|2)

т

V с£|2dxdt ^ МГ2 •

+ |p£| ) dxdt ^ МГ , (13)

(14)

(15)

тах / х °<*<т,/ п

^ ( дw£\

Ч х--зг)

^ ( дw£\

Ч х'~аГ)

|У^ £(х, tl) - Vv £(х, t2)|2dx ^ С|іі - ^|^2,

;1б)

где функция V £ = Еп £ (дю £/дЬ) описана ниже.

2

П

2

2

П

3. Доказательство теоремы

Для упрощения записи, если не оговорено противное, индекс є опускаем. Рассмотрим следующую вспомогательную начально - краевую задачу, состоящую из системы уравнений Стокса

V-

ді У

')

x• и) - д)1) + р(с)^ = 0

V - и = 0 ,

в области П при Ь > 0, дополненную условиями

и(х, Ь) = 0 , при х € Б , хи(х, 0) = 0 , при х € П ,

/ qdx = 0,

п

и уравнением диффузии

| + м<‘>( ди = «0 △с,

для концентрации примеси в области П/ при Ь > 0, дополненное условиями

дс

т— = 0 , при х € ГI I Б , дп ^

с(х, 0) = м(^}(с0(х)), при х € П/ ,

() '”(У,Т)^

(18)

(19)

(20) (21) (22)

(23)

(24)

(25)

где

1 гь+Ь і-

М(^^(х, і)) = — dт п и Л У я3

- оператор сглаживания по переменным х и Ь, где ядро усреднения п(з) € С (Я3) - четная неотрицательная функция, п(х) = 0, если \х\ ^ 1, §\х\к1 п(|х|) ds = 1. Сглаженные функции являются гладкими, финитными и при к ^ 0 сходится по норме Ь2(П'т-в) в любой строго внутренней подобласти П'т-в С Пт, к ^ в (см. [1]).

Для решения задачи (18) - (25) воспользуемся теоремой Шаудера о неподвижной точке. А именно, фиксируем множество М = {с(х,Ь) € С(Пт) \ 0 ^ с ^ 1}.

Пусть V = ЕП/ (ди/дЬ) есть продолжение ди/дЬ из области П/ в П такое, что

|v|2dx < С

/ |0 v)| dx < С /

' п п ч

д и

ді

(3

д и\

в| ^т)

dx

2

п

2

V • v = 0

с постоянной С не зависящей от є ([7]).

В первую очередь решим задачу (18) - (22) с р = р(с), где с Є М. Полученное решение определяет оператор и = А(с), действующий из пространства М в пространство N с нормой

\\и\\к = тах / (1 - х)|D(x• u)|2dx + / х

о<ь<т

' пт

■>'

dxdt.

Вектор функции из N так же удовлетворяют условиям

и(х, і) = 0 , х Є Б,

и(х, 0) = 0, х Є О; .

Легко показать, что справедливы следующие неравенства

11и112,пт + \№и\\1пт < С N1* ди

ді

< СНи1Ы •

2,пч х(о,Т)

с) в уравнение диффузии (23) приходим к следующей начально

26)

Подставляя и = краевой задаче об определении функции с(х,і):

^ + М№ Г ^ ■ Ус = Бо Ас , х Є О; , і> 0 , ді \ді)

дс

= 0, х Є дО; •

дп

с(х• 0) = М(^)(со(х)), х Є О; •

(27)

(28)

(29)

которая определяет оператор на множестве % с = В (и). Полученная задача с гладкими коэффициентами хорошо изучена (см. [3]) и при каждом фиксированном к > 0, имеет единственное бесконечно дифференцируемое решение, для которого справедливы принцип максимума

0 ^ с ^ 1, (30)

и энергетическое неравенство

г т

У c|2dxdt ^ М |v|2dxdt•

(31)

Ю JПf

' пт

Здесь и всюду ниже через М обозначаем постоянные, не зависящие от е и от параметра сглаживания к.

Суперпозиция

с = В о А(с) = Ф(с)

2

п

есть искомый оператор, неподвижные точки которого Сн = ФЫ определяют решение задачи (18)-(25) с = сн, и = ин, д = дн•

Оценка (30) и гладкость решения задачи (27) - (29) показывают, что оператор Ф переводит множество М в себя:

Ф : М ^ М.

Если мы докажем, что оператор Ф вполне непрерывен, то согласно теореме Шаудера он имеет неподвижную точку. Для этого воспользуемся следующими вспомогательными утверждениями.

Лемма 1. В условиях Теоремы 1 для каждого фиксированного с(х,Ь) £ М задача (18) - (22) имеет единственное обобщенное решение и и для него справедливы оценки:

тах Х0 (1 — х)\^(х, (и))\2Лх +

0<Ь<Т

/ ^оХ

ЛПт \

д и,

в(х- т)

!)

+ \д\ ЛхЛЬ С ИГ

тах (!о х

0<<Т Уп

(■

■>' ■■■т

Л■ + / (1 — Х) Хо

пт

■>' ■■§)

ЛхЛЬ С ИГ

(32)

(33)

□ Доказательство существования единственного обобщенного решения задачи (18)

- (22) и получение оценки (32) повторяет аналогичные доказательства в ([4]), ([5]). Продифференцируем теперь (18) по 1, умножим на ди/дЬ и проинтегрируем по области

/1о Л Г 2 ЛЬ ,/п

ди ди

х,— )\2Лх + Хо уп(1 — х)\Щх,— )\2Лх

Г ХдСр ди + [ хр(с) — ■ —Лх

5 ]п ХдЬ * дЬ + Уп ХР(С) дЬ дЬ

Первое слагаемое преобразуем следующим образом:

дс.

/п дЬ Jп

I = 5 / Х—ь* ■ ъЛх = 5 I х (V ■ Р0У с) — V -V с) (* ■ v)dx =

5 / х ( — ^0У с ■ (V * ■ V + V V ■ *) — (V -V с)(* ■ v))dx.

Здесь мы воспользовались уравнением диффузии и тем, что

д и

Х^(х,Ь) — — (х,Ь))=0 , х £ П , Ь> 0 .

Используя неравенства Гельдера, Коши, Пуанкаре - Фридрихса и Корна и оценками (31) и (32) имеем

\1 \ С И х^\2^с\Лх + И х^с\2Лх + И х\®(х, v)\2dx.

,/п Jп Jп

2

п

2

2

п

Основное слагаемое здесь

!о = I хИ^с^х ^^ Х\^х ^ Х^с?х

Jп \^п / \^п

Оценив первый сомножитель по теореме вложения ([2]), получим

1о С в ( Х\®(х, V) |2 ^ ( Х^с\2Лх\ .

пп

Положим

У(Ь) = / Х\^(х,v)\2dx, п

Тогда

ЛуУ с ИГ2 + у(^ х\V,

согласно неравенству Гронуолла (см. [3])

Иф¥т)

у(Ь) С ИГ2Т ехр ( I а(т)Лт

где 1/2

а(Ь) = (/ х^^2^

Не сложно проверить, что

1 ( г1 \1/2

а(т)Лт С л/Ь ( J \а(т)\2Лт^

Окончательно получим:

тах х№(х, v(x,Ь))\2dx С ИГ 2Т exр(v/T х^с\2ЛхЛЬ)

0С^СТ . /п ,/ Пт

Лемма 2. Оператор А непрерывный.

□ Пусть

и1 = А(с1) , и2 = А(с2) , и = и1 — и2 ,

С = С1 — С2 , д = С — С2 , ди1 ди2

* = Ж’ V2 = Ж’ v = Vl — ^•

Тогда для разности и имеем

V и = 0 , х £ П , Ь > 0 , и(х, Ь) = 0 , х £ Б,

Хи(х, 0) = 0 , х £ П , / С х = 0 .

п

Умножим уравнение (34) на функцию V и проинтегрируем по области П. Интеграл, стоящий в правой части оценим с помощью неравенств Гельдера и Коши с в:

1 ЬЬ !п Хо(1 — Х)\°(х’ и)\Ь + ^ ^0х\0(х’ ^\2 = \ — ^ х5сР-^х\ С

С 2вГ2(\С\П/х(о,т))2 + 2 !п хМЬх •

Применив ко второму слагаемому последовательно неравенства Пуанкаре - Фри-дрихса и Корна, и положив в = ц0/О, получим:

1ЬЬ / Хо(1 — Х)\°(х’ и)\2Ьх + у У х\°(х’ Ьх С иГIIеИМ • (35

Проинтегрировав (35) по Ь, получим непрерывность оператора А. А именно,

Ни11эт С И2Г21|С\\т • И

Лемма 3. Оператор В непрерывный.

□ Пусть

с1 = В(и1) , с2 = В(и2) , с = с1 — с2 , и = и1 — и2

^1 = м(н)(^—и1), ^2 = м(н)(), w = ^1 — ^2.

Тогда разность с(х, Ь) является решением следующей начально - краевой задачи:

дс -Ь

— — Б0Ас + w1Vc — wVc2 = 0, х £ Пf, Ь £ (0,Т); (36)

дс

т—= 0 , х £ дП, с(х, 0) = 0 , х £ П. (37)

дп

Умножим (36) на с(х,Ь) и проинтегрируем по области Пf, применяя формулу интегрирования по частям

1 Ь ! \с\2Ьх + Б0 I Ус\2Ьх = [ W1 ■ (^с)Ьх + [ W■ (с2^е)Ьх.

2 ЬЬ ипг Jпf Jпf Jпf

Функции с2 и w1 ограничены по построению. Оценим правую часть

/ w1 ■ (^с)Ьх + w ■ (c2Vc)dx

Пf Пf

С ^ I / (^с)Ьх + w ■ Vcdx\ С

V ^пf ^пf /

С N2 ( /* \с\2Ьх + [ \wpdx ) + N3 [ Ус\2Ьх.

Пf Пf у Пf

Проинтегрировав по Ь обе части неравенства получим

тах [ \с\2Ьх + Б1 [ [ \^с\2Ьх С N

0<*С^П/ Jо

ТТ 2

/ / \w\ ЬхЬЬ + / / \с| Ьх,ЬЬ

10 J П f J 0 J П f

с(х, 0) = 0.

Воспользуемся теперь неравенством Гронуолла:

[ \с\2Ьх С N4 [ ( \W\2dxdЬ•

” Пf J 0 J П f

Последнее неравенство, учитывая свойства сглаживания, определение нормы во множестве N и неравенство (26), можно переписать следующим образом:

1М12Пх(0,Т) С ^||и|1эт .

Чтобы получить оценку для \с\П , обратимся к Лемме 3.3 ([3], с.95). Нас интересует утверждение леммы о том, что если и(х,Ь) £ 'Щ‘21,1(ПТ) и 21 — 2г — 8 — (п + 2)/д> 0, то при 0 С Х < 21 — 2г — 8 — (п + 2)/д

ши)пТ = м2-27-"-*+ ^тот+ь2п-(2г+з+^^ЫяПт • В нашем случае с(х,Ь) £ Ш2’1(ПТ), то есть I = 1, г = 0, 8 = 0, п = 3, Х = 0, \с\пТ = М3 ((с))32ПТ + Ь2П-3 11С11з,Пт = ЛП1 + БП-3 = (п) •

Функция f (ц) достигает минимума при ц = (А)1/2, в этом случае f (ц) = ЬзЛ5/6Б1/6 и

!С\П0’ = Ь4(((С))32П т )5/6(Цс||з.Пт )1/6.

Окончательно получаем следующую оценку:

МП?. С Ь5||е||з.Пт•

Справедливо также следующее неравенство:

7 /с\\ 5 7 5

||С||з.Пт С а1П6 ((с))2.Пт + а2П-6 ||С\2.Пт = Лп6 + Бп-6 = (п) •

Совершенно аналогично получим

||с||з.Пт С аз|с|2.Пт •

Окончательно имеем ||с||эд С N||и||щ, что и означает непрерывность оператора В. В

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ КЯ Серия: Математика. Физика. 2012. №5(124). Вып. 26 125 Лемма 4. Оператор Ф вполне непрерывен.

□ Оператор Ф является непрерывным, как суперпозиция непрерывных операторов. Для доказательства того, что он вполне непрерывен воспользуемся теоремой Арцела. В нашей задаче для фиксированного к > 0 функции сь(х,Ь) по построению обладают ограниченными производными по х и по Ь, следовательно

то есть функции сн(х,і) равностепенно непрерывны по х и по і. Равномерная ограниченность очевидна. Таким образом, оператор Ф является вполне непрерывным. В

Так же легко показать, что множество М является выпуклым. Следовательно, существует неподвижная точка оператора Ф, обозначим ее как сн,

сн = ФЫ ,

и пусть ин = А(сн). Тогда сн является решением следующей задачи:

для произвольной гладкой функции ф(х,Ь), равной нулю при Ь = Т.

Лемма 5. В условиях Теоремы 1 при фиксированном к > 0 для функции Ьь = ЕП/ (диь/дЬ), где иь = А(сь), справедлива оценка

V • {р,охЩх, юн) + Ао(1 - х)°(х, ин) - 5н)1) + р(сн)^ = 0 ,

V •ин = 0, ин(х, і) = 0 при х Є Б,

Хин(х, 0) = 0 при х Є П ,

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

дси

+ М(н)(юн) ^сн = ДоАсн , х Є П/ , і Є (0, Т), Ось,

—— = 0 при х Є Г и Б

д п

(43)

(44)

сн(х, 0) = М(н)(со(х)) при х Є П/ , где (43) понимается как интегральное тождество

(45)

где константа С не зависит от к и е.

□ Индекс к опускаем. Продифференцируем (38) по Ь, умножим на произвольную гладкую функцию ф и проинтегрируем по области П. Получим следующее интегральное тождество:

а

’ ёЬ

где

^° ёЬ /хВ {х,~ди (х,Ь)): D(x, ф(х))ёх =/2(Ь),

Ь(ь) = -Л° J (1 - х)^х, ди(х, Ь)^ : D (х, ф(х)) ёх +

+ ! F ■ ф^ ёх + J р(с) (^(х,Ь) ■ ф(х)^ ёх,

О

которое справедливо для произвольной соленоидальной функции ф ЕШ2; (П).

Выражение дс/дЬ выразим из уравнения (43) и поведем аналогичные рассуждения, что и в Лемме 1.

В силу оценок (32)-(33), 12 Е Ь2(0,Т) и

,*2

\12(Ь)\ёЬ ^ С |Ь1 — Ь2\ 2 |^ф||2,П •

Тогда

где

, Х£° (x, ж) : ф)ёх ^ С \Ь1 — Ь211/2 |уф|2,п

ди ди. . ди. .

Ж = Ж{х’Ь2> — Ж{х’Ь1) •

В частности, для

ф = V = ь(х,Ь2) — ь(х,Ь1), |Уф|2,П ^ С, V Ь1,Ь2 Е (0, Т) ,

имеем

Но, по определению продолжения V,

/ ди\ хD(x,г>) = х^ (x, ~дъ) •

Тогда

I х^х, : ^ (^х, ёх = J х^х, : D (х, V) ёх ^ С Ь — Ь2\1/2

Применив к последнему неравенство Корна, получим оценку в утверждении леммы.

Лемма 6. Решение (ю, р, с) исходной задачи (1) - (8) есть предел при к ^ 0 решений (ин, дн, сн) задачи (38) - (45).

□ Умножим (38) на произвольную гладкую вектор-функцию ф(х,Ь), равную нулю

на границе 5' и при Ь = Т, и проинтегрируем по области Пт.

[ (^°хО(х, Ьн) : О(х, ф) + Л°(1 — х)О(х, ин) : О(х, ф) — дн^ ■ ф) ёх ёЬ =

о Пт

/ р(сн)^ ■ фйхйЬ^ (47)

о Пт

Пусть к ^ 0. Легко видеть, что оценки (30) - (33) и (46) справедливы для всех к, с постоянными, не зависящими от к и е.

Оценки (31), (32) и (33) позволяют из последовательностей {ин}, {дн} и {сн} выбрать подпоследовательности такие, что

ин ^ ю слабо в W21’1(П/ х (0,Т)) ^| W21’°(Пs х (0,Т)),

дн Р слабо в Ь2(Пт) ,

сн ^ с слабо в W21’°(П/ х (0,Т)) •

Переходя к пределу в неравенствах (30) - (33) и (46), получим требуемые в условии теоремы оценки.

В интегральном тождестве (47) предельный переход стандартный.

Аналогично поступим с уравнением (43), то есть умножим на произвольную гладкую функцию ф(х,Ь) равной нулю при Ь = Т и проинтегрируем по цилиндру П/ х (0,Т):

^ (сн ^ — Vcн ■ М(н) (Ьн) ф — D°Vcн ■ Чф\ ёхёЬ

1° JПf V дЬ /

— М(н)(с°)ф(х, 0)ёх^ (48)

,/п/

Здесь есть сложность при предельном переходе к ^ 0, только в одном слагаемом, а именно

Чсн^ М(н)Ы,

так как оба множителя сходятся лишь слабо.

Но легко показать, что последовательность Ьн при к ^ 0 сходится сильно в Ь(Пт) к функции V = ЖП/ (ди/дЬ).

Действительно, зафиксируем счетное множество (Ь(Д;))^=1 из отрезка и выберем подпоследовательность {к > 0} такую, что последовательность {Vьн(х,Ь(к))} будет сходиться слабо в Ь2(П) при к ^ 0 для всех к = 1, 2, 3, • • •. Это всегда возможно в силу оценки (32) и стандартного диагонального процесса. Последнее и оценка ((46)) обеспечивают слабую сходимость в Ь2(П) последовательности Vvн(x,t) для всех Ь Е (0,Т).

Используя компактное вложение пространства W21 (П) в Ь2(П) ([2]) имеем сильную сходимость {ь(н)(х,Ь)} в Ь2(П) для всех Ь Е (0,Т).

В остальных слагаемых интегрального тождества (48) предельный переход стандартен. и

Из доказанных лемм следует утверждение теоремы 1.

Литература

1. Adams R.E. Sobolev spaces, Academic Press j New York, І975.

2. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач j М.: Мир, І972.

3. Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Uraltseva N.N. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type j Providence, Rhode Island, І968.

4. Meirmanov A., Nguetseng’s two-scale convergence method for filtration and seismic acoustic problems in elastic porous media j Siberian Mathematical Journal. - 2007. - 48. - P.519-538.

5. Meirmanov A. Homogenized models for filtration and for acoustic wave propagation in thermoelastic porous media j Euro Journal of Applied Mathematics. - 2008. - І9. - P.259-284.

6. Meirmanov A., Zimin R. Mathematical models of a diffusion-convection in porous media jj Electronic Journal of Differential Equations. - 20І2.

7. Зимин Р.Н. О продолжении функций, заданных на периодических множествах jj Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 20І0. - І7(88); 20. - C.65-73.

CORRECTNESS OF DIFFUSION-CONVECTION MATHEMATICAL MODEL

OF ADMIXTURE IN POROELASTIC MEDIA ON MICROSCOPIC LEVEL

A.M. Meirmanov, R.N. Zimin, O.V. Galtseva, O.A. Galtsev

Belgorod State University,

Studencheskaya St., 14, Belgorod, 3Q8QQ7, Russia, e-mail: [email protected], [email protected]

Abstract. System describing the joint motion of incompressible viscous liquid and incompressible elastic skeleton is under consideration. Density of liquid depends on the admixture concentration. The system is completed with the diffusion-convection equation in the liquid domain. Existence of the weak solution of the initial-boundary problem for this system in the bounded domain is proved.

Key words: Stokes’ and Lame’s system, diffusion-convection equation.