CC BY
13
УДК 512.54
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(1).10-14
РАЗРЕШИМОСТЬ КОММУТАТОРНЫХ УРАВНЕНИИ В ГРУППАХ УНИТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ НАД ПОЛЕМ
Н. С. Бахта, В. А. Романьков
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления
17.11.2017
Дата принятия в печать
09.01.2018
Дата онлайн-размещения 28.03.2018
Аннотация. Показано, что образом вербального отображения, определенного простым коммутатором веса 2 < i < п в группу унитреугольных матриц ит(п F) размера пхп над полем F, содержащим не менее чем п элементов, является /'-й член нижнего центрального ряда группы. Отсюда следует, что любое расщепимое уравнение, левая часть которого является простым коммутатором веса /, а правая часть есть элемент и группы UT(n/ F), имеет решение в группе ит(п F) тогда и только тогда, когда и принадлежит /-му члену нижнего центрального ряда группы.
Ключевые слова
Вербальное отображение, коммутаторное отображение, группа унитреугольных матриц, коммутаторное уравнение
Финансирование
Исследование второго автора выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 16-11-10002)
SOLVABILITY OF COMMUTATOR EQUATIONS
IN THE UNITRIANGULAR MATRIX GROUPS OVER A FIELD
N. S. Bakhta, V. A. Roman'kov
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Abstract. We show that the image of a verbal map determined by a simple commutator of weight 2 < i < n into the unitriangular matrix group UT(n, F) of size nxn over a field F, that has at least n elements, is the i-th member of the low central series of UT(n, F). It follows that every split equation which the left-hand side is a simple commutator of variables of weight i and the right-hand side is an element u of UT(n, F) has a solution if and only if u lies in the i-th member of the lower central series of UT(n, F).
Available online 28.03.2018
Article info
Received
17.11.2017
Accepted
09.01.2018
Keywords
Verbal map, commutator map, unitriangular matrix group, commutator equation
Acknowledgements
This research of the second author was supported by the Russian Science Foundation (project 16-11-10002)
Исследования вербальных отображений и разрешимости соответствующих уравнений в группах получили значительное развитие в последние годы. Интерес к такого сорта проблемам особенно усилился после подтверждения Либеком, О'Брайеном, Шалевом и Типом [1] знаменитой гипотезы Оре о том, что любой элемент конечной простой неабеле-вой группы является коммутатором. Данная работа также принадлежит указанному направлению исследований, относительно которого см.: [2] или [3].
Пусть G - группа, w = w(xx ,...,х„) - групповое слово. Вербальное отображение aw, определяемое этим словом, имеет следующий вид: aw: G х. х G ^ G, aw..., £fc) = w^, ..., ^). (1)
Данному вербальному отображению соответствует класс расщепимых уравнений вида aw (хХ/ ..., xfc) = u, u е G. Напомним, что расщепимым называется уравнение, левая часть которого не содержит в своей записи конкретных элементов группы, являясь групповым словом от неизвестных элементов хх, ..., xk, а правая является элементом этой группы.
В работе рассматриваются коммутаторные уравнения. Простой (синоним - левонормированный) коммутатор веса k > 2 определяется индуктивно. Для веса 2 - это обычный коммутатор (хх, х2) = = хх х2 х-1 х-1; для большего веса, если коммутатор (хх, ... , xfc) веса k уже определен, то коммутатор веса k + 1 имеет вид (Xi, ... , xfc, xfc+J = ((Xi, ... , xfc), xfc+i).
Простой коммутатор от x и y веса m + 1, в котором на первом месте стоит x, а на остальных местах, начиная со второго, подряд стоят m одинаковых элементов y, обозначается (x, y; m). Понятный смысл имеют обозначения вида (x, y; m, z; p) и т. п. Через Yi(G) обозначается член нижнего центрального ряда группы G с номером i. Напомним, что y1(G) = G, y2(G) = (G, G) (коммутант); если i > 3, то Yi(G) = (7j_1(G), G) (взаимный коммутант - подгруппа, порожденная всеми коммутаторами вида (h, f), где h е 7j_1(G), f е G). Очевидно, что образ коммутаторного отображения, определенного простым коммутатором веса i, принадлежит (G).
Пусть K - ассоциативное кольцо с единицей (в частности, поле, обозначаемое в дальнейшем через F). Через UT(n, K) обозначается группа верхних унитреугольных матриц размера nxn над K. Хорошо известно, что для 2 < i < n-1 подгруппа (UT(n, K)) состоит из всех матриц с первыми i-1 нулевыми побочными диагоналями. Группа UT(n, K) нильпо-тентна ступени n-1.
Некоторые коммутаторные отображения в группу ит(п, К) рассматривались в статьях [4-6]. В своей работе [4] А. Бир доказала, что в случае поля Г характеристики 0 коммутаторное отображение, определенное обычным коммутатором (х, у), совпадает с коммутантом у2(ит(п, Г)). Другими словами, каждый элемент коммутанта в этом случае является коммутатором. Коммутаторное уравнение вида (х, у) = и разрешимо в группе ит(п, Г) тогда и только тогда, когда и принадлежит коммутанту группы. В работе [5] первым автором настоящей статьи этот результат был существенно расширен и усилен, а именно было доказано, что утверждение справедливо для любого ассоциативного кольца К с 1, а также что любой элемент /коммутанта у2(ит(п, К)) представим в виде (х, Ь), где Ь - фиксированный элемент группы. В качестве элемента Ь можно взять любой элемент, который имеет первую побочную диагональ, состоящую из единиц. Элемент Ь с указанным свойством назван универсальным. В работе [6] тем же автором аналогичные результаты получены для членов нижнего центрального ряда группы ит(п, К). Доказано, что член нижнего центрального ряда у;(ит(п, К)) является множеством значений простого коммутатора (х, Ь; /-1) от одной переменной х и некоторого фиксированного элемента Ь группы. Элемент Ь с указанным свойством также назван универсальным, что для / = 2 соответствует уже введенному выше термину.
Заметим также, что любая вербальная подгруппа группы ит(п, Г) над полем Г нулевой характеристики совпадает с одним из членов нижнего центрального ряда группы [7]. Ю. В. Сосновским в статье [8] установлено, что любой элемент вербальной подгруппы группы ит(п, Г) над произвольным полем Г, определенной внешне коммутаторным словом, является значением этого слова. Напомним, что слово называется внешне коммутаторным, если оно получено из различных букв только с помощью операции взятия коммутатора. Ясно, что вербальная подгруппа группы ит(п, Г) над полем Г нулевой характеристики, определенная внешне коммутаторным словом веса /, совпадает с (ит(п, Г)).
В публикациях [2-3] содержатся обзоры результатов по разрешимости уравнений в группах, упоминающие приведенные выше результаты. Относительно общих сведений о разрешимости уравнений в группах см. также: [9-11].
В своей статье [12] А. А. Конырханова исследовала универсальные элементы унитреугольных матричных групп над полем Г. В частности, она дока- 11
зала, то любая матрица, у которой все элементы первой побочной диагонали ненулевые, является универсальным элементом группы UT(n, F). Этот результат существенно использован в доказательствах результатов настоящей работы. Сами доказательства в данной публикации не приводятся.
В работе рассматриваются коммутаторные отображения в группу UT(n, F), n > 2, F- поле, определенные произвольными простыми коммутаторами. Основными являются следующие утверждения.
Теорема. Для любого n, если поле F имеет не менее чем n элементов, то образом любого коммутаторного отображения в UT(n, F), определенного простым коммутатором веса 2 < i < n-1 с очевидным ограничением, что две его первые компоненты различны, является Yí(UT(n/ F)).
Приведенное ниже следствие прямо вытекает из утверждения теоремы.
Следствие. Коммутаторное уравнение над группой UT(n, F) вида w = u, u е UT(n, F), где w - простой коммутатор веса 2 < i < n-1 от неизвестных с различными первыми двумя компонентами при условии, что F - поле, состоящее не менее чем из n элементов, разрешимо в этой группе тогда и только тогда, когда u е y¿(UT(n, F)).
Доказательство теоремы. Очевидно, что образ рассматриваемого коммутаторного отображения лежит в Yí(UT(n, F)). Остается доказать, что любой элемент этого члена нижнего центрального ряда, т. е. любая матрица с (i—1)-й нулевой побочной диагональю, представляется как значение рассматриваемого простого коммутатора. Можно считать, что этот простой коммутатор зависит только от двух переменных x и y, т. е. имеет вид (x, y; т1 , ..., z; mt), m1 + ... + mi = i-1, z = x или z = y. Действительно, если значения любого такого простого коммутатора совпадают с Yí (UT(n, F)), то и множество всех значений простого коммутатора, совпадающего с ним при замене всех неизвестных, отличных от x на y, также совпадает с Yí(UT(n, F)).
Сначала мы уточним теорему Бахта из работы [5] (аналогичные рассуждения представлены в статье [6]), согласно которой любой элемент коммутанта группы UT(n, F) представим в виде (x, g), где g - фиксированный элемент группы. В статьях [5-6] было показано, что в качестве элемента g можно взять любой элемент, который имеет первую побочную диагональ, состоящую из единиц. Для определенности считаем, что все элементы выше первой побочной диагонали матрицы g равны 0. Этот ре-
зультат был установлен для группы унитреугольных матриц над любым ассоциативным кольцом с 1, но нам он нужен только в случае, если матрицы берутся над полем. Докажем, что элемент (матрицу) x можно выбрать таким образом (в предположении относительно мощности поля из условий теоремы), что его первая побочная диагональ будет состоять из ненулевых элементов поля. Случаи n = 1, 2 тривиальны. В дальнейшем считаем, что n > 3.
Любая матрица h е UT(n, F) представляется в виде h = E + H, где H - верхняя нильтреугольная матрица, при этом Нп-1= 0. Следовательно,
п-2ип-2 (2)
h-1 = E - H + Н2 - ... (-1)п-2Н Матрица H записывается в виде
Н = X hf,, hj eF,
1< i < j<n
(3)
где е.. обозначает матричную единицу, у которой на
пересечении /-й строки и у-го столбца стоит 1, а на остальных местах - нули. Таблица умножения обычная: е цек = е к , е це!к = 0 пРи ] *1 ■
Пусть / = Е + А (А = (а..)), д = Е + в - указанные представления произвольного элемента / из коммутанта группы ит(п, Г) и фиксированного элемента д. Ищем элемент х в аналогичном виде х = Е + Х(Х = (х„)).
Легко проверяется, что значение второй побочной диагонали (а13,а242„) (первая по предположению нулевая) матрицы А полностью определяется значениями (х12,х23,■■■,х^п) первой побочной диагонали матрицы X, а именно
°13 _ X12 X23 I a24 ~ X23 X34 ' 035 = X34 " X45,a46 = X45 _ X56I'"I
(4)
Полагаем = Ъ±2, где Ьи - любой элемент поля отличный от а13, а13 + а24, ■.., а13 + а24 + +—ап-2,п, тогда все следующие элементы х23 =
= Ь23 = 0.13 ^12, Х34 = %12 (0.13 + 0-244), ■■■,
= К -1,п (&13 +■■■ + ^п-2,п) отличны от 0. В
работе [5] показано, как можно построить остальные элементы матрицы, представляющей элемент х. Первая побочная диагональ матрицы, представляющей элемент х, в дальнейшем не изменяется, таким образом она состоит из ненулевых элементов поля. Аналогичные рассуждения приводятся также в статье [6]. По теореме Конырхановой из работы [12] полученный элемент является универсальным.
an-2,n Xn-2,n-1 Xn-1,n'
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 1. С. 10-14
ISSN 1812-3996-
Итак, любой элемент / коммутанта группы ит(л, Г) представим в виде коммутатора двух универсальных элементов, / = (х, у). Дальнейшее доказательство осуществляется индукцией по весу простого коммутатора. Пусть этот простой коммутатор с имеет вес / > 3 и вид с = (б, г), где б - простой коммутатор веса / - 1, а г совпадает с х или у. Мы предполагаем, что любой элемент Ь е /¿-х(ит(п, Г)) представим некоторым значением простого коммутатора б. Докажем, что любой элемент /из ^ (ит(п, Г)) представляется как значение коммутатора с.
Так как элемент г универсальный, то найдется элемент Ь е /¿_1(ит(п, Г)) такой, что (Ь, г) = /. Можно считать, что при построении элемента Ь уже определены все побочные диагонали элементов х и у до (/-2)-й диагонали включительно. Допустим для
определенности, что г = у. Элементы (/-1)-й побочной диагонали х полагаем равными нулю, а элементы (/—1 )-й побочной диагонали у вычисляем подобно тому, как это делается в работе [6] или [12], чтобы элементы получающейся /-й диагонали совпадали с заданным набором. Это можно сделать, так как элемент у универсальный. Если г = х, рассуждения такие же. Ключевым является тот факт, что универсальность х и у обеспечивается уже на первом шаге, когда они получают первые побочные диагонали из ненулевых элементов.
В заключение обращаем внимание на публикацию [13], в которой рассматривается разрешимость коммутаторных уравнений над нильтреугольными алгебрами Ли.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Liebeck M., O'Brian E., ShalevA., Tiep P. The Ore Conjecture // J. European Math. Soc. 2010. Vol. 12. P. 9391008.
2. Roman'kov V. Equations over groups // Groups - Complexity - Cryptology. 2012. Vol. 4, № 2. P. 191-240.
3. Roman'kov V. A. Essays in algebra and cryptology. Solvable groups. Omsk : Omsk State University Publishing House, 2017.
4. Bier A. The width of verbal subgroups in the group of unitriangular matrices over a field // Int. J. Algebra Comput. 2012. Vol. 22, № 3. P. 21-41.
5. Бахта Н. С. О представимости коммутанта группы U7n(K) множеством значений функции одной переменной // Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 2 (64). С. 44-46.
6. Бахта Н. С. О представимости членов нижнего центрального ряда группы U7„(K) множеством значений функции одной переменной // Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4(70). С. 13-15.
7. Bier A. Verbal subgroups in the group of triangular matrices over field of characteristic 0 // J. Algebra. 2009. Vol. 321, № 2. P. 483-494.
8. Sosnovskiy Yu. V. On the width of verbal subgroups of the groups of triangular matrices over a field of arbitrary characteristic // Int. J. Algebra Comput. 2016. Vol. 26, № 2. P. 217-222.
9. Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом. 1983. Т. 21. С. 3-79; Переводная версия: Remeslennikov V. N., Roman'kov V. A. Model-theoretic and algorithmic questions in group theory // J. Sov. Math. 1985. Vol. 31, № 3. P. 2887-2939.
10. Носков Г. А., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Бесконечные группы // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом. 1979. Т. 17. С. 65-157; Переводная версия: Noskov G. A., Remeslennikov V. N., Roman'kov V. A. Infinite groups // J. Sov. Math. 1982. Vol. 18, № 5. P. 669-735.
11. Романьков В. А. Об алгоритмических проблемах теории групп // Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 2 (84). С. 17-26.
12. Конырханова А. А. Универсальные элементы групп унитреугольных матриц над полем // Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 4 (76). С. 18-20.
13. Конырханова А. А., Романьков В. А. О разрешимости коммутаторных уравнений в алгебрах Ли // Вестн. Караганд. у-та. 2017. № 1 (85). С. 57-64.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Бахта Наталья Сергеевна - старший преподаватель кафедры компьютерной математики и программирования, ИМИТ (Института математики
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Bakhta Natalya Sergeevna - Senior Lecturer of the Department of Computing Mathematics and Programming, IMIT (the Institute of Mathematics and Infor- 13
и информатики), Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: [email protected].
Романьков Виталий Анатольевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой компьютерной математики и программирования, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: [email protected].
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Бахта Н. С., Романьков В. А. Разрешимость коммутаторных уравнений в группах унитреугольных матриц над полем // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 1. С. 10-14. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(1).10-14.
mation Technologies), Dostoevsky Omsk State University, 644077, Russia, Omsk, pr. Mira, 55a; e-mail: [email protected].
Roman'kov Vitalii Anatolievich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Computing Mathematics and Programming, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: [email protected].
FOR QTATIONS
Bakhta N.S., Roman'kov V.A. Solvability of commutator equations in the unitriangular matrix groups over a field. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 1, pp. 10-14. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(1).10-14. (in Russ.).
