CC BY
41
МАТЕМАТИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4. С. 13-15.
УДК 512.54 Н.С. Бахта
О ПРЕДСТАВИМОСТИ ЧЛЕНОВ НИЖНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО РЯДА ГРУППЫ иТ(п,К) МНОЖЕСТВОМ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Доказано, что г -й член нижнего центрального ряда группы унитреугольных матриц произвольной размерности над произвольным ассоциативным кольцом с единицей является множеством значений некоторого слова от одной переменной х вида м>(х) = [х,g,..,g], где g - фиксированный элемент группы. Отсюда следует, что
1-1
каждый элемент г -го члена нижнего центрального ряда группы унитреугольных матриц является простым коммутатором веса г . Данное следствие также вытекает из результатов А. Биер, но только в случае, когда группа унитреугольных матриц берётся над полем характеристики 0, а все компоненты коммутатора - независимые переменные.
Ключевые слова: группа унитреугольных матриц, вербальная подгруппа, вербальная ширина, коммутант, коммутатор.
Введение
А. Биер в [1] доказала, что любой элемент г -го члена нижнего центрального ряда группы унитреугольных матриц иТ(п, К) над полем К является значением простого коммутатора [...[ х1, х2 ],..., х1 ] для любого г = 2,...,п - 2 . В настоящей работе показано, что результат справедлив также для любого ассоциативного кольца К с единицей и для коммутатора вида [ х, g,..., g ], где g - фиксированный элемент группы иТ (и, К) .
г
Пусть Е (X) - свободная группа бесконечного счетного ранга с базисом (множеством свободных порождающих) X = {х1,х2,...,хп,...} . В группе Е(Х) произвольный элемент 5(х1,...,хп) будем называть групповым словом (сокращенно - словом) от переменных х1,х2,...,хп . Значением слова 5(х1,...,хп) в группе О называем элемент вида 5(g1,...,gn) , получающийся при подстановке вместо переменных х1,...,хп элементов g1,...,gn группы О . Другими словами, значение s(g1,...,gn) - образ слова 5(х1,...,хп) при гомоморфизме ф группы Е(X) в группу О , для которого ф(х1) = g¡ для г = 1,...,п . Значения гомоморфизма ф на других элементах базиса X определяется произвольным образом.
Обозначим через 5[О] множество всех значений слова 5 е Е(X) в группе О . Вербальной подгруппой 5(О) группы О относительно слова 5 е Е(X) называется подгруппа, порождённая множеством значений 5[О]. Если, например, 5 = [х1, х2] = х1 х2х-1 х-1 - коммутатор, то 5(О) = О' -оммутант группы О .
Произвольный элемент и е 5(О) может быть записан в виде
и = и1,..., и1, (1)
© Н.С. Бахта, 2013
14
Н.С. Бахта
где ut является либо значением слова s (ui е s[G]) , либо обратным к такому значению (ui е s[G]-1) (i = 1,...,l) . Наименьшее число l сомножителей в представлении вида (1) элемента u называется вербальной шириной (verbal width) элежента u относительно слова s и обозначается vw(u) = l. Вербальной шириной вербальной подгруппы s(G) называется число
vw(s(G)) = max {vw(u)}. (2)
u е s(G)
Если данного максимального значения (2) не существует, то говорят, что подгруппа s(G) имеет бесконечную вербальную ширину относительно слова s : vw(s(G)) = ж . Известно [2], что вербальная ширина любой собственной нетривиальной вербальной подгруппы s(Fk) свободной группы Fk ранга k > 2 бесконечна. В то же время любая вербальная подгруппа s(G) конечно порождённой нильпотентной или более общо - полициклической группы G конечна [3]. В [4] вычислена вербальная ширина коммутанта Nrc свободной нильпотентной группы Nrc ранга r > 2 ступени нильпотентности c > 2 относительно коммутатора s = [x1,x2] . При c = 2 она равна [r /2], при c > 3 - r . Точные значения вербальной ширины некоторых вербальных подгрупп свободных нильпо-тентных групп Nr2 вычислены в [5]. Обзор результатов по вербальной ширине содержится в [6].
Для произвольной группы G через G[X] обозначим свободное произведение G ■ F(X) . Элементы группы G[X] можно рассматривать как слова с константами из группы G . Для любого такого слова sG очевидным образом определяются множество sG [G] его значений в группе G и подгруппа sG (G), которую мы назовём обобщённо вербальной. Аналогично обычным определениям вводится понятие обобщенно вербальной ширины gvw(sG (G)) обобщённо вербальной подгруппы sG (G) .
Основные результаты
Пусть K - произвольное ассоциативное кольцо с единицей. Через G = UT(n,K) обозначим группу верхних унитреугольных матриц размерности n над K . Известно (см., например, [7]), что группа UT(n,K) нильпотентна ступени n-1, а её i -й член нижнего центрального ряда yUT(n, K) состоит из всех матриц, у которых первые i -1 побочные диагонали нулевые. В част-
ности.
коммутант UT(n,K)' = у UT(n,K) <
падает с множеством всех матриц с одной нулевой побочной диагональю.
Основным результатом данной работы является теорема. При любом n i -й член
нижнего центрального ряда yUT(n, K) является обобщённой вербальной подгруппой, отвечающей простому коммутатору вида
si = [x,g,...,g] веса i и имеет относительно
i-i
него обобщённую вербальную ширину 1. Другими словами любой элемент f подгруппы yUT(n,K) является значением слова si .
Доказательство. Используем индукцию по i . При i = 2 утверждение теоремы доказано в [8]. При этом в качестве g можно выбрать унитреугольную матрицу, у которой первая побочная диагональ состоит из единиц, а остальные элементы являются нулями. Допустим, что теорема справедлива для этой матрицы при i -1, где i > 3 . Подгруппа
yG состоит из всех матриц, имеющих i -1 нулевую побочную диагональ. Возьмём произвольную матрицу A = (a im) е Y G . Докажем, что матрица A представима в виде
A = [x,g,...,g]. По индуктивному предполо-
i-i
жению для этого достаточно найти матрицу B eYi - G такую, что A = [Б, g ] .
Действительно, если мы найдём такую матрицу B , то её можно представить как
B = [^g,...,g], и тогда A = [^g,...,g].
i -1 i
Будем решать уравнение
A = [B, g ], (3)
где неизвестной является матрица B е Yi - G . Обозначим внедиагональные элементы матрицы B через bm , i < m . Тогда bm = 0 , если m -1 < i -1.
Легко проверяется, что значение i -й побочной диагонали (a11+i,...,an in) (все предыдущие нулевые) матрицы A полностью определяется значениями (b11+(t_Х),...,bn_t+1л)
(i -1) -й побочной диагонали матрицы B . А именно:
a1,1+i=t V-t 1i ь 2,i +1'
a2,2+i = b2,i+1 - ki+2,
a3,3+i = К+2 (4)
an-i,n к-i,n-1 bn-i+1,n •
' • • -
О представимости членов нижнего центрального ряда группы UT(n,K).
15
Полагаем Ъ1г = ах ы, тогда Ъ2 ы = 0 . Затем
а2,2+1 = -Ъ3,3+1, аз,3+1 =-а2,2+1 и т. д. В итоге мы
получаем значения Ъи,Ъ2+ 2,...,Ъп-Мп г -й побочной диагонали матрицы В . Элементы матрицы В выше этой диагонали считаются произвольными. По индуктивному предположению матрица В представима в виде В = [,...,§]. В дальнейшем мы определяем
1-1
значения матрицы В, стоящие выше г -й побочной диагонали. Значения (г +1) -й диагонали определяются из системы уравнений вида
ai,2+i = Ai+i ~L 12,i+3'
a2,3+i = K+2 - b3,i+4'
a3,4+i = --b3,i+3 b4,i+5' (5)
a' , = n-i ,n --b . , n-i,n-1 bn-i+1,n ,
ai ,l+i+1 + Cl ,l+i+1 . Элементы ci ,i+i+i
где а1,1+,
возникают как дополнительные слагаемые, соответствующие зафиксированной выше (г -1) -й побочной диагонали матрицы В и являются известными константами.
Далее нужно определить значения
Ъ1, 1+1 , Ъ2,г+2 , ..., Ъп-1+1,п 0' + 1) -й побочной диагонали матрицы В . Вычислим [В, §], и полу-
чим систему уравнений, аналогичных (5). Продолжая указанный процесс, мы получим все значения матрицы B . Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Bier A. The width of verbal subgroups in the group of unitriangular matrices over a field // Int. J. Alg. Comput. 2012. № 22 (3). P. 21-41.
[2] Rhemtulla A. H. A problem of bounded express-ability in free products // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1968. № 64. Р. 573-584.
[3] Романьков В. А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп // Алгебра и логика. 1982. № 1. С. 60-72.
[4] Алламбергенов Х. С., Романьков В. А. Произведения коммутаторов в группах // Докл. АН УзССР. 1984. № 4. С. 14-15.
[5] Смирнова Е. Г. Ширина степени свободной нильпотентной группы ступени два // Сиб. ма-тем. журн. 2000. № 1. С. 206-213.
[6] Segal D. Words: notes on verbal width in groups // London Math. Soc. Lect. Notes. Series 361. Cambridge University Press, 2009.
[7] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М. : Наука, 1972.
[8] Бахта Н. С. О представимости коммутанта группы UT(n,K) множеством значений функции одной переменной // Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 2. С. 44-46.
