Разработка условий комфортности системы «Стопа - обувь - окружающая среда» для нестационарных процессов теплообмена Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕХНОЛОГИИ ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

УДК 685.31.03/318-16

РАЗРАБОТКА УСЛОВИЙ КОМФОРТНОСТИ СИСТЕМЫ «СТОПА - ОБУВЬ - ОКРУЖАЮЩАЯ СРЕДА» ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ

ПРОЦЕССОВ ТЕПЛООБМЕНА

© 2008 г. Т.М. Осина, В. Т. Прохоров, А.Б. Михайлов, А.П. Жихарев

Вопросу создания комфортных условий для системы «стопа - обувь - окружающая среда» при воздействии на человека низких температур уделено достаточно много внимания, но большинство исследований не учитывают зависимость коэффициентов теплопроводности материалов, формирующих пакеты для верха и низа обуви, от температуры внешней среды. Между тем при проектировании рациональных пакетов обуви с заданными теплофизическими и другими гигиеническими свойствами необходимо учитывать не только весь комплекс свойств пакетов для верха и низа обуви, но и совокупность воздушных прослоек между стопой человека и обувью, а также между ее отдельными слоями применительно к тем или иным условиям её эксплуатации.

Следует учитывать, что большинство применяемых материалов в первом приближении можно считать изотропными, а зависимость их теплопроводности от температуры можно аппроксимировать линейной функцией X = X 0(1 + ВАТ), (АТ = Т - Т0), где X 0 - теплопроводность при Т = Г0; в - коэффициент пропорциональности, определяемый из эксперимента [1]. Поэтому изучается нестационарный процесс теплообмена в системе «стопа - обувь - окружающая среда» с учетом линейной зависимости коэффициентов теплопроводности обуви от температуры.

Рассматривается многослойный плоский пакет низа обуви. Пусть Ti (х,, t) - температура 1-го слоя пакета, Тс - температура окружающей среды, Ti (х,, t) = Ti (х,, t) - Тс - относительная температура I-го слоя пакета. Система уравнений теплопроводности для плоского пакета материалов, которая описывает процесс теплообмена, имеет следующий вид:

дТ

Сг (Т )Р, (Т )"д7

I = 1,..., п, Граничные условия:

Эх,-

^ dTt Л X, (Т) ^

ОХ:

(1)

1,-1 < Х, < I,.

- относительная температура на внешней поверхности подошвы поддерживается равной 0, т. е. равной температуре окружающей среды:

Тп (1п,') = 0; (2)

- внутренняя поверхность пакета материалов нагревается тепловым потоком стопы плотности q (/):

дТ

X 1(Т1) —Ц0, Г) = q(t);

дх1

- между слоями низа обуви предполагается идеальный контакт, который выражается условиями сопряжения на стыках:

Тг -1(/г_1, t) = Тг (/г_1, t);

X г_1(Тг_1)^(/м, t) = Х г (Т,)^(/,.-!, t).

дх,-1 дх,

Начальное условие:

Т1 (х, ,0) = /г (х,).

Предполагается, что X г (Тг) линейно зависит от температуры X , =X 0г (1 + ВiTi), где X 0г - коэффициент теплопроводности 1-го слоя при температуре окружающей среды. Система (1) при непостоянном X г нелинейная. Для ее линеаризации можно применить преобразование Кирхгофа:

1 Тг В

6г IX , (Т, № =Т, + ^Т,2.

X 0, 0 2

Дифференцируя это равенство по х,, получаем

Э9

дТ

X 0—L = X, (Т, )—L

дх

дх,

X 0 эе, дт,

X, (Т,) дt дt В результате уравнение (1) примет вид

сг (T )р , (T) эе , д 2е,

A i (Ti) di дх2

или

де,

A i (Ti) д 2е i

dt Ct (Ti )p i (Т.) дх

де i (T) д 2е i

—- = a, (T, )-.

дt Д дх2

(3)

е „ (in, t) = 0;

де

A 01^(0, t) = q(t);

дх1

(1+2ß.. -i е i_i( li-i, t ))2 -1 ßi-i

i

= (i + 2ß.. е.. (ii_i, t ))2 _ i ß. '

(4)

(5)

(6)

A0i_if^L(li_i,t) = Aо. ^(li_i,t). (7)

дxi_l дх.

Начальные условия

, (х, ,0) = f. (х,) +

(8)

=1А г (Т)

и с помощью него вычислим эквивалентный коэффициент теплопроводности всего пакета

п

А(Т) = г=1

R(T)

Используя формулу Тейлора, получим A(T) = A 0 +р oT + 0(T2).

|0(Т2)| 3 При расчетах ^ ^ ~ Ю ' поэтому можно ограничиться первыми двумя слагаемыми, положив А(Т) = Ао(1 + РТ), где Р = Ро/Ао-

Теперь предположим, что каждый слой пакета материалов имеет одинаковую теплопроводность А(Т) = А о(1 + РТ).

Температуропроводность, которая предполагается постоянной, равна

Для многих металлов и теплозащитных материалов выполняется условие ai (Ti) = const. Поэтому будем считать температуропроводность каждого слоя постоянной. Краевые условия после подстановки будут иметь вид:

A. (T)

A. (0)

A 0

С / (Т )Р г (Т) Сг- (0)р г (0) С1 (0)р г (0)

где С/ - удельная теплоемкость материала, р / - плотность материала /-го слоя. Пересчет коэффициентов температуропроводности в соответствии с изменившейся теплопроводностью осуществляется по формуле

A 0

aiA 0

Ci (0)P i (0) A 0i

После таких преобразований система (3) - (8) примет вид

Э9д2 9

A

-= a.-:

дт . дх2

е „ (in, t) = 0; де i

-(0, t) = q(t);

Система (3) - (8) решается численными методами, либо с некоторыми допущениями приводится к виду, для которого можно найти аналитическое решение. Для преобразования системы (3) - (8) найдем суммарное тепловое сопротивление пакета

nl R(T) = Е

дx1

е(ii_1, t) = е, (i,_„ t);

IWn.') = ^ (U t);

дх,_1 дхi

ßf 2 х

е i ( х, ,0) = f1 ( х, ) .

(9) (i0) (ii)

(i2) (i3)

Если теплоотдача с поверхности пакета в окружающую среду осуществляется по закону Ньютона, то краевое условие (2) перепишется в виде:

дТ

А п (Тп ^ (1п, О + аТп (1п, /) = 0. (14)

дх„

После преобразования Кирхгофа получим: д9

A

M^—(ln , t) + а

дхп

-na ^(ln,t) + а-

( i А

(i+2ß пе n (ln, t ))2 _ i

ß n

2е,

= 0 :

дх„

■= 0.

(i+2ß n е n (ln, t))2 +1

Температура поверхности обуви и температура окружающей среды мало отличаются, кроме того ввиду малого значения В п (| В п 1< 0,01) выражение в знаменателе можно принять В п6 п (!п, 0 = 0. Тогда с учетом этого получим, что условие (14) имеет вид

X

n0

эе

дх.

■(ln, t) + ае , = 0.

(15)

Таким образом, система (3) - (8) сводится к системе (9) - (13), или к системе (9), (11) - (13), (15). Решение такого рода систем рассматривается в работах [2-7] и находится в виде абсолютно сходящегося функционального ряда. Авторами было разработано программное обеспечение для расчетов зависимости температуры от времени и построения соответствующих графиков[1].

Для пакетов цилиндрической (V = 1) и сферической (V = 2) формы задача теплопроводности ставится таким же образом, как и для плоской пластины:

с'т )р,т) f4

(

дТ Л X, (Т) 1ГТ-

OK

dT

+ , (Т) ^, (16) r дг

, = 1,...,п, Я,-1 < г, < Я,. Граничные условия:

- теплоотдача с поверхности пакета в окружающую среду осуществляется по закону Ньютона

дТ

X п (Тп) -Т- (!„, t) + аТп (Яп, t) = 0; дгп

- внутренняя поверхность пакета материалов нагревается тепловым потоком стопы плотности q(t)

X1 (Т1) ^(0, t) = q(t); дг1

- между слоями низа обуви предполагается идеальный контакт, который выражается условиями сопряжения на стыках

В работах [2-7] расчеты проводились без учета зависимости коэффициентов теплопроводности от температуры. Для сравнения на рис. 1 приведены графики изменения температуры внутриобувного пространства в области союзки при постоянных коэффициентах теплопроводности (кривая 1) и при коэффициентах, зависимых от температуры (кривая 2) для пакета материалов с характеристиками из таблицы. Температура окружающей среды -20 °С, плотность теплового потока стопы равна 80 Вт/м2, коэффициент теплоотдачи - 7 Вт/(м2 °С).

Анализ кривых 1 и 2, приведенных на рис. 1, подтверждают целесообразность учета зависимости коэффициентов теплопроводности материалов от температуры, которая воздействует на них - комфортность стопы ухудшается, что необходимо учитывать при моделировании нестационарных процессов теплообмена в системе «стопа - обувь - окружающая среда». Для подтверждения высокой эффективности разработанной авторами математической модели с целью обоснованного выбора пакетов материалов для верха и низа, чтобы обеспечить создание комфортности человеку на заданный период его нахождения в зоне с пониженной температурой воздуха, были рассмотрены случаи для трех видов обуви:

- полуботинки мужские летние;

- полуботинки мужские для осенне-весеннего периода носки;

- ботинки мужские зимние.

T,-i(t) = т, (R-1, t);

X,_i(T,-i)fk(RM,t) = X,(T,)^(R,_i,t). Эг,-1 dr,

Начальное условие Ti (г,, 0) = (г,).

Как и в случае плоской пластины предполагается, что X, (Г,) линейно зависит от температуры XI = X ш (1 + ВiTi), где X ш - коэффициент теплопроводности ,-го слоя при температуре окружающей среды. Система (16) при непостоянном X, нелинейная, и для ее линеаризации также можно применить преобразование Кирхгофа

1 Т' В

6, =X- IX, (Т )йТг =т + ^т,2.

X 0, 0 2

о

о сЗ

о &

О и о К

и

^

ю о

5

6

£

и

й &

щ

40

30

20 1 2

10

0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0,5 1,0 1,5 2,0

-10 Время, ч

Рис. 1. Зависимость температуры внутриобувного пространства в области союзки при постоянных коэффициентах теплопроводности (кривая 1) и при коэффициентах теплопроводности, зависимых от температуры, от времени воздействия температуры на обувь (Т = -20°С) (кривая 2)

Характеристика пакетов материалов для низа и верха приведена в таблице. Температура окружающей среды задавалась тремя параметрами: -10; -25 °С и -20 °С, плотность теплового потока стопы принималась равной 80 Вт/м2, а коэффициент теплоотдачи -7 Вт/ (м2 -°С).

Низ

- 10 °С

Верх

О

°

й

о &

о и о К

и

^

ю о

5

6

£

и

й &

Н

40-,

30-

20-

10

40

30

20

10

-I—I—Г—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0

Т-1—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0

Время, ч

Низ

а

- 15 °С

Время, ч Верх

С 40

й

5

о §

6

о

о &

о и о к и

ю о

5

6

К и

й &

л ET

Н

30

20

10

-ПН-1-1-1—I-1-Г~1-1-1-1—I-1-1-1-1-г

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0

Время, ч

0 б

0,8 1,2 Время, ч

С °

й

о &

о К

и

^

ю о

5

6

£

и й

р &

р

Н

1,6 2,0

Низ - 20 °С Верх

40 40

30 3 30

20 20 3

10 10

0 1 v 2 0 \ 2 1 \

0,5 1,0 1,5 2,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Время, ч

Время, ч

Рис. 2. Зависимость температуры внутриобувного пространства: а - полуботинки мужские летние б - полуботинки мужские для осенне-весеннего периода носки, в - ботинки мужские зимние

3

0

0

0

в

Характеристика пакетов материалов для низа и верха

Материал пакета Толщина, 5, мм Коэффициент теплопроводности, X, Вт/(м-°С) Коэффициент температуропроводности Коэффициент

а, м2/ч в

Полуботинки мужские летние

Пакет верха:

1. Выросток 1,0 0,060 0,00020 0,004

2. Бязь 0,3 0,038 0,00047 0,002

3. Тик-саржа 0,4 0,055 0,00022 0,003

4. Внутр. обувь (носки) х/б 0,6 0,050 0,00050 0,003

Пакет низа:

1. Кожволон 2,6 0,192 0,00050 0,004

2. Картон простилочный 1,8 0,090 0,00017 0,003

3. Картон стелечный 2,0 0,098 0,00014 0,003

4. Вкл. стелька: кожа подкладочная 0,9 0,071 0,00030 0,002

5. Внутр. обувь (носки) х/б 0,6 0,050 0,00050 0,003

Полуботинки мужские для осенне-весеннего периода носки

Пакет верха:

1. Полукожник 1,3 0,067 0,00021 0,004

2. Бязь 0,3 0,038 0,00030 0,002

3. Кожа подкладочная 1,0 0,071 0,00015 0,004

4. Внутр. обувь (носки) х/б 0,8 0,050 0,00050 0,003

Пакет низа:

1. Подошва форм. из пористого полиэфируретана 8,0 0,060 0,00054 0,004

2. Картон простилочный 0,3 0,090 0,00017 0,003

3. Картон стелечный 2,9 0,098 0,00014 0,003

4. Вкладная стелька: кожа подкладочная 1,1 0,071 0,00015 0,004

5. Внутр. обувь (носки) х/б 0,8 0,050 0,00050 0,003

Ботинки мужские зимние

Пакет верха:

1. Полукожник 1,5 0,067 0,00021 0,004

2. Бязь 0,3 0,038 0,00047 0,002

3. Искуст. мех 10,0 0,042 0,00030 0,002

4. Внутр. обувь (носки) шерсть 3,5 0,030 0,00042 0,002

Пакет низа:

1. Подошва формованная из полиуретана 20,0 0,066 0,00054 0,005

2. Войлок 4,0 0,044 0,00035 0,002

3. Кожа стелечн. 3,0 0,126 0,00065 0,004

4. Вкладная стелька: картон + искус. мех 1,8+10 0,040 0,00030 0,004

5. Внутр. обувь (носки) шерсть 3,5 0,030 0,00042 0,002

Анализ кривых 1, 2, 3, приведенных на рис. 2 а - в, подтверждает высокую эффективность нового программного обеспечения для расчетов зависимости температуры от времени при решении задачи нестационарных процессов теплообмена для системы «стопа - обувь - окружающая среда» при необходимости обоснования выбора пакетов материалов для верха и низа обуви.

Литература

1. Михайлова И.Д., Прохоров В.Т., Михайлов А.Б., Осина Т.М. Программное обеспечение для решения задачи теплообмена для системы «стопа-обувь-окружающая среда» Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2006611288 Рос. Федерация.

2. МихайловаИ.Д., Осина Т.М., ПрохоровВ.Т., Михайлов А.Б., Мирошников А.А. Использование математической моде-

Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты; Московский государственный университет дизайна и технологии МГУДТ

ли для оценки теплозащитных свойств материалов для обуви // Изв вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2004. Приложение. № 6.

3. Михайлова И.Д., Осина Т.М., Прохоров В.Т., Михайлов А.Б. Влияние многослойных полых цилиндрических пакетов материалов на распределение в них температуры // Актуальные проблемы науки, техники и экономики производства изделий из кожи: Сб. статей междунар. науч. конф. / УО «ВГТУ»Витебск. 2004.

4. Осина Т.М., Прохоров В.Т., Михайлова И.Д. О формировании обобщенных свойств пакетов материалов для повышения комфортности обуви // Вестн. МГУДТ. М., 2005. Вып. 3(45).

5. Михайлова И.Д., Осина Т.М., Прохоров В.Т., Михайлов А.Б. Математическая модель микроклимата в обуви при воздействии на нее низких температур // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. № 2.

6. Михайлова И.Д. Прохоров В.Т., Михайлов А.Б., Осина Т.М. Особенности распределения температуры в деталях обуви // Кожевенно-обувная промышленность. 2005. № 5.

7. Михайлова И.Д., Осина Т.М., Прохоров В. Т., Михайлов А.Б. Особенности процесса теплообмена в носочной части обуви // Кожевенно-обувная промышленность. 2005. № 6.

19 ноября 2007 г.