Разработка пространственных моделей биологических процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция высшей математики

УДК 519.6

А.В. Никитина, О.Ю. Пескова

РАЗРАБОТКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МОДЕЛЕЙ БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Предлагаемая работа направлена на решение задачи моделирования и прогнозирования гидробиологической ситуации акватории Таганрогского залива Азовского моря.

В настоящее время создан ряд математических моделей мелководных водоемов, однако среди них нет моделей, адекватно описывающих цикличность, гибель и размножение клеток фитопланктона, а также устойчивую пространственную неоднородность его распределения в акватории Таганрогского залива в трех измерениях.

Модель строится в предположении, что концентрация биологически активного метаболита, выделяющегося в процессе жизнедеятельности фитопланктонной популяции, влияет на скорость роста особей.

Пространственно неоднородная модель динамики фитопланктонных популяций описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных

Ц-+а*й-х)=рхм+МчхЩ:\-(^+тм)х-з-м, (1)

ст дг\ дг )

-^- + с//у(н-5) = цл.М' +^[ул.-^] + (а0 + уЛ/)А' 5 +£(£'-£)+/, (2) о( ог\ ог)

- + с1м(и-М) = \1мАМ +_|ум—1 + р Х-гМ. (3)

где X, М - концентрация фитопланктона, биогенного вещества (азот, фосфор) и метаболита соответственно;

п,У,м> -компоненты вектора скорости;

а = (а0 + уМ) - коэффициент роста фитопланктона;

а0 - скорость роста фитопланктона в отсугствие метаболита;

у - параметр воздействия;

цд.. , - диффузионные коэффициенты в горизонтальном на-

правлении субстанций X,S,M соответственно;

VX,VS,VM - диффузионные коэффициенты в вертикальном направлении для фитопланктона, биогенного вещества и метаболита соответственно;

5 - коэффициент убыли фитопланктона за счет отмирания

(удельная смертность);

В - удельная скорость поступления загрязняющего вещества;

S' - предельно возможная концентрация загрязняющего вещества;

f(t,X,y) - мощность источника загрязнения;

Р - коэффициент экскреции;

е - коэффициент разложения метаболита;

Д _ двумерный оператор Лапласа.

К системе (1)-(3) необходимо добавить начальные условия

X(х,.у,0) = Х0(х,y,z), S(x,y,z,0) = S0(x,y,z), M(x,y.z,0)=Mo(x,y,z), (x,y,z) e G

и граничные условия Неймана на границах, образованных береговой линией области, и третьего рода для X,S,M на открытых участках залива.

На основании полученных теоретических результатов был разработан комплекс программ для моделирования и прогнозирования гидробиологической ситуации. Задача была аппроксимирована на равномерной прямоугольной сетке.

Комплекс позволяет проводить численное моделирование процесса роста фитопланктона при различных параметрах уравнений модели. При этом изменяются как функциональные зависимости для различных параметров, так и численные значения отдельных параметров. Комплекс позволяет также использовать различные виды начальных условий (билинейные, экспоненциальные, табличные и др.). В ходе исследования можно также варьировать вид и параметры функции источника загрязнения.

Для трехмерной модели (1) - (3) разработаны разностные схемы, построены итерационные процессы и определены достаточные условия их сходимости - ограничения на шаг по времени.

• л- 1

ИД"5 -х*-'

№/•" -Л/*'1

-X

К 4 УГ + Й +---------+

и:

т. <

[у* -Я*'

4-у, 4 4

+ + * +Ч**42> 1

4у

+е+-тг1+^ Л:

^ и М - значения соответствующих функций в узлах сетки на П+ 1-м временном слое;

Л, .у-» 1 - номера итераций в итерационном процессе.

Выполнено численное моделирование для системы (1) - (3).

При у=0 (т.е. влияние метаболита на рост и развитие популяций не учитывается) фитопланктон и загрязняющее вещество с течением времени равномерно распространяются по всей области. Если же у Ф О

(у = 3 ■ 53//:), 5 = 3, а = 0.1, / = 3, Ь = 0.1, (а, Ь - коэффициенты на-

V „1 а

чальной функции распределения фитопланктона),. б = а , а0=о“-— ,

р = Ь ■ а , то получаем устойчивую неравномерность распределения фитопланктона по водоему (так называемую "пятнистость") и образование устойчивых диссипативных структур, имеющих определенную периодичность в развитии. Примеры образования диссипативных структур для двумерной задачи показаны на рис. 1-5: плотность фитопланктона распределяется по акватории, образуя структуры, которые с течением времени становятся устойчивыми.

С помощью разработанного программного обеспечения исследованы некоторые свойства моделей гидробиологических процессов, проведены оценка, анализ, прогнозирование экологического состояния исследуемого водоема.

00 П7 171 ЖГ 14? 433 «0 Н)7 ЮЗ 78 0

Рис. 1. Начальное распределение фитопланктона

0 0 8.7 1 7.2 26 0 34 7 43.3 52 0 50 7 СТЗ ?»0

Рис. 2. Распределение фитопланктона, время=100 у.е.

■г

ао в? 1?.Э25СЯ7 «ЭН0 6»7 6Э 3 78 0

Рис. 4. Распределение фитопланктона, время=1000 у.е.

ЛИТЕРАТУРА

1. Домбровский ЮЛ., Маркман Г.С. Пространственная и временная упорядоченность в эологичееких и биохимических системах. Ростов-на-Дону: РГУ, 1983. 118 с.

2. Свирижев ЮМ., Логофет Г.А. Устойчивость биологических сообществ. М: Наука. 1979. 247с.

3. Ed. Mariani A. Advances in Environmental Modelling //Elsevier, 1988. 6'91 p.

УДК 621.385

В.В. Семенистый МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ

Одной из сложных задач гидродинамики является задача о движении летающих лодок при взлете и посадке их на воде. Учет воздушных