Математическое моделирование процессов распространения загрязнений и эволюции фитопланктона применительно к акватории Таганрогского залива Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел 1

Создание, исследование и применение математических моделей и комплексов программ для прогнозирования

экосистем

УДК 519.6

АЛ. Сухинов, А.В. Никитина, О.Ю. Пескова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАГРЯЗНЕНИЙ И ЭВОЛЮЦИИ ФИТОПЛАНКТОНА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К АКВАТОРИИ ТАГАНРОГСКОГО ЗАЛИВА

ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ФИТОПЛАНКТОНА

Модель строится в предположении, что концентрация биологически активного метаболита, выделяющегося в процессе жизнедеятельности фитопланктонной популяции, влияет на скорость роста особей. Система уравнений, описывающая

,

— + и • X) = ^хАХ + (а0 + М) • £-ЗХ; (1)

д

— + с11у(й • £) = ^£ А£-(< + М ) • £ + В (£' - £) + f; (2)

Л

+ сИу(и • М ) = ^м АМ + к3Х -еМ. (3)

К системе (1)-(3) необходимо добавить начальные условия: Х(х,у,0)=Х0(х,у), 8(х,у,0)=80(х,у), М(х,у,0)=М0(х,у), (х,у)е в; и граничные условия: Неймана на границах, образованных береговой линией области, и третьего рода для X, 8, М на открытых участках залива. В системе (1)-(3) приняты обозначения:

X, 8, М- концентрация фитопланктона, биогенного вещества (^от, фосфор) и

мг

метаболита соответственно; [Х,8,М]= — ;и, V - компоненты вектора скорости;

м

а=(а<) + уМ) - коэффициент роста фитопланктона; а0 - скорость роста фитопланктона в отсутствие метаболита; у - параметр воздействия; |Л.Х, |л,8, цМ - диффузион-

Х, 8, М -

венно; З - коэффициент убыли фитопланктона за счет отмирания (удельная

смертность); В - удельная скорость поступления загрязняющего вещества; £ -предельно возможная концентрация загрязняющего вещества; f (1, х, у) - мощность

источника загрязнения; к3 - коэффициент экскреции; е - коэффициент разложе-.

ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ФИТОПЛАНКТОНА

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающую процесс жизнедеятельности фитопланктона для трехмерной модели в некоторой области О :

— + йМ и • X ) = и АХ + — ді ді

V

X

X

ді

+ ( + уМ ) • £ -5Х, (4)

+ йім( и • З) = /иЗ АЗ + — ді ді

V,

ді

+ йм(и • М) = им АМ +д-

V,

дм

ді

+ к з X — єМ , (6)

где и = (и, V, w) - вектор скоростей водного потока; VX, VS, Vм - диффузионные коэффициенты субстанций X, 8, М соответственно в вертикальном направлении. Будем считать, что граница X цилиндрической области в является кусочногладкой и X = XH иХ0 и а. Пустьип- нормальная по отношению к X составляющая вектора скорости водного потока, п - вектор внешней нормали к X . Для концентраций X, 8, М будем предполагать:

X = Б = М = 0, на а,если ип < 0;

ЭХ п ЭЗ пдМ п тт

----= 0, — = 0,------= 0, на а, если и п > 0;

д п дп д п

дx=0 эз = 0 дМ ді , ді ’ ді

■ 0, на X0;

Ж = FX дЗ = е З дМ = ьМ на х •

----= —ЬуА, — = —¿2З,-----------= —¿-м , на Xн ;

ді ді ді

где е1,е2, е3 - неотрицательные постоянные, е1 - учитывает опускание водорослей на дно и их затопление; е2,е3 - учитывают поглощение биогенного вещества

и метаболита донными отложениями.

Построены итерационные процессы и определены достаточные условия их

- . достаточные условия единственности решений системы уравнений динамики фи.

Теорема.

Пусть граница X цилиндрической области О является кусочно-гладкой; X, £ е С2 (О) П С '(О ) - решение линеаризованной задачи (4)-(6) с соответст-

вующими начальными и граничными условиями;

Ux,us,е1,е2,к1,к2,а,Р = const > 0; U,vx(z),vs(z)e Cl(G), f (x, y, z, t) e C(G ), тогда при выполнении неравенств

4 Ux

1 1

(#x)2+(y)2

+ 4minVx}« + a-kjmax0,n = N,(7) G (Hz) G

решение данной задачи единственно.

МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАГРЯЗНЕНИЙ В ТАГАНРОГСКОМ ЗАЛИВЕ

Протяженность Таганрогского залива много меньше радиуса Земли, поэтому будем считать ускорение свободного падения £ (с учетом центробежной силы) постоянным. При этом ось 07 направим противоположно направлению £ из некоторой точки на невозмущенной поверхности жидкости, ось 0х - на восток, ось 0у

- на север. Рассмотрим пространственно-трехмерную систему уравнений распространения загрязнений:

ds ___ д

— + div(S ■V ) = Ds AS + — dt V ; s dz

К

_d_

dz

juS + f ( x, y, z,t). (8)

4=4(x,y,t) - поднятие уровня свободной поверхности жидкости по отношению к невозмущенному состоянию, h = h(x,y,t) - высота столба жидкости под невозмущенной поверхностью; fs = —М + f (x, y) ; fs - внутренние источники (стоки) вещества; S - концентрация вещества, переносимого потоком; /М - характеризует взаимодействие вещества с водой; f= f(x,y,z,t) - источник вещества концентрации S; Ds = D = const - коэффициент горизонтальной диффузии вещества;

ks - коэффициент вертикальной диффузии вещества; V - вектор скорости; V -оператор Лапласа.

Задачу рассмотрим в области О с границей d О . На участке d О 1 жидкость втекает, на d О 2 - вытекает, d О 0 - непроницаемая часть границы. Будем рассматривать распространение загрязняющего вещества в водоеме, не вступающего в реакцию с атмосферным кислородом и дном водоема.

dz

твердой границе d О ставится уеловие непротекания:

d S

d

= 0. На

z =4,-h

= 0 На уча-

стке стока в водоем дО ! задается само значение функции 8 ^ | = ^ .На уча-

стке выпуска воды или на открытой границе д О 2 ставится краевое условие 3

(у , V > 0

= 0 , q =

рода d S + q s d n D

0 .

Vn < 0

dO

dO

где Уп - скорость течения по нормали п к д О .

п 2

Необходимо также добавить начальные условия £| о = £0 (X, у, г,0). Интегрируя по вертикальной координате 2 от — к до % с учетом соотношений для дифференцируемых функций / = / (х у?} ), %=%{х, У,z, })

(8) перейдем к двумерной модели.

ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

На основании полученных теоретических результатов был разработан комплекс программ для решения двумерной и трехмерной задачи динамики фито-.

загрязняющего вещества в Таганрогском заливе. Задачи были аппроксимированы на равномерной прямоугольной сетке. Комплекс позволяет проводить численное моделирование процесса роста фитопланктона при различных параметрах уравнений модели

При т=0 (т.е. влияние метаболита на рост и развитие популяций не учитыва-

)

распространяются по всей области.

Если же т^0 (т=р-53/ I2), р = 3 ,1 = 1,5=3, а=0.1, !=3, Ь=0.1, (а, Ь - коэффици-

7 с с*2 а

енты начальной функции распределения фитопланктона), е= I 5, а =5 ' —,

к3 = Ь ■ 5, то получаем устойчивую неравномерность распределения фитопланктона по водоему (так называемую "пятнистость") и образование устойчивых , . помощью разработанного программного обеспечения исследованы некоторые свойства моделей гидробиологических процессов и моделей распространения загрязнений. С помощью построенных моделей можно провести оценку, анализ и прогнозирование экологического состояния исследуемого водоема.

ЛИТЕРАТУРА

1. Самарский А.А. Теория разностных схем. 1977.

2. Годунов С.К.,Рябенький В.С. Разностиые схемы. 1977.

3. Марчук Г.И.,Саркисян А.С. Математическое моделирование циркуляции океана. М.: Наука, 1988.