CC BY
42
15. Жиглявский, А. А. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники [Текст] / А. А. Жиглявский, А. Е. Красовский. - Л.: Издательство ленинградского университета, 1988. - 224 с.
16. Galeano, P. Covariance changes detection in multivariate time series [Text] / P. Galeano, D. Pena // Journal of Statistical Planning and Inference. - 2007. - Vol. 137, Issue 1. - P. 194-211. doi: 10.1016/j.jspi.2005.09.003
17. Тевяшев, А. Д. Про один клас моделей для моделювання квазютащонарних режи1шв роботи газотранспортних систем [Текст] / А. Д. Тевяшев, В. М. Щелкалш // Вюник академп митно! служби Украши. - 2010. - № 2. - С. 19 - 27. - Режим доступу: http://nbuv.gov.ua/j-pdf/vamsutn_2010_2(44)__5.pdf
-□ □-
Дослиджено ефекти дестаб^за-ци моделi, описуваног ршенням систе-ми диференщальних рiвнянь типу Лотки-Вольтерра для двох видiв при слабких синусогдальних зовтштх впливах на швид-тсть розмноження. Дослиджено стштсть неавтономног системи. Знайдеш чисельш ршення при частотах впливу, близьких до частоти циклу незбуренног системи
Ключовi слова: модель Лотки-Воль-терра, збурення моделi, проблеми стш-костi, перюдичшршення, аттрактор, гра-
ничний цикл
□-□
Исследованы эффекты дестабилизации модели, описываемой решением системы дифференциальных уравнений типа Лотки-Вольтерра для двух видов при слабых синусоидальных внешних воздействиях на скорость размножения. Исследована устойчивость неавтономной системы. Найдены численные решения при частотах воздействия, близких к частоте цикла невозмущенной системы
Ключевые слова: модель Лотки-Воль-терра, возмущения модели, проблемы устойчивости, периодические решения,
аттрактор, предельный цикл -□ □-
УДК 519.866+ 519.711.2
DOI: 10.15587/1729-4061.2015.37800|
РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВЫХ ДВИЖЕНИЙ В СИСТЕМАХ ЛОТКИ-ВОЛЬТЕРРА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
Аль-Рефаи Валид Ахмед Махмуд
Аспирант* Email: [email protected] Альджаафрех Мохаммад Ракан Абед Алнаби
Аспирант*
Е-mail: [email protected] *Кафедра прикладной математики Харьковский национальный университет радиоэлектроники пр. Ленина, 14, г. Харьков, Украина, 61166
1. Введение
Известно, что впервые с необходимостью исследования периодических движений с помощью нелинейных моделей столкнулись радиоинженеры (Андронов, Хайт, Витт и другие) в первой половине ХХ века. К тому времени для этого уже существовали развитые, в частности Пуанкаре, Понтрягиным, Петровским и Хопфом, математические методы.
В то же время, экономические системы всегда считались очень сложными, динамика рынка - хаотической, поэтому исследования в данной области проводились в большинстве случаев на основе статистических данных прошедших лет. Построение экономических прогнозов и расчёт перспектив дальнейшего развития, в некоторой мере, являлись лишёнными научной основы предположениями, не имеющими никаких весомых оснований для рационального использования
и претворения гипотез в жизнь. Математическое моделирование с использованием современных компьютерных технологий предоставляет возможность изучить характер той или иной экономической ситуации, перспективы, гипотезы, затрачивая на эксперименты гораздо меньшие временные и материальные ресурсы. Таким образом, математические и имитационные модели экономических процессов всегда были и остались актуальны, поскольку предоставляют возможность промоделировать за малое время то, что крайне сложно и долго испытывать в реальной жизни.
Общеизвестно, что важнейшим инструментом развития экономики является конкуренция. Также конкурентные процессы имеют место и в других областях, таких как биология, экология, психология, военное дело, логистика и большая часть проблем исследования операций и многокритериальной оптимизации процессов. Все эти области знаний и деятельности
©
обслуживаются математическими моделями одного класса - уравнениями динамических систем. Базовыми в этом классе моделей являются логистические уравнения, а также их системы, которые впервые предложил и исследовал В. Вольтерра еще в начале ХХ века. Он положил начало исследованию, так называемых, "мягких" моделей, варианты которых предлагаются в настоящей работе, где рассмотрена математическая модель совместного сосуществования двух биологических видов (популяций) типа «хищник - жертва», известная как модель Вольтерра-Лотки, глубокие исследования и обобщения которой заложили фундамент математической теории биологических сообществ или так называемой математической экологии [1].
В настоящей работе содержится описание основных механизмов перехода к неустойчивости и хаосу в модели сосуществования двух достаточно многочисленных видов в замкнутом ареале, и алгоритмы их численного анализа, необходимые для решения задачи.
Объектом исследования является процесс динамики сосуществования видов «жертв» и «хищников» в среде их обитания с внешним воздействием; предметом исследования - модели типа Лотки-Вольтерра с возмущенной правой частью и численные методы их анализа.
Теория предсказывает, что при наличии определенных типов внешних воздействий со стороны среды на такую систему, её устойчивость может нарушаться, и движения приобретают квази-случай-ный вид [3, 4, 8].
3. Цель и задачи исследования
Цель работы - исследование и использование особенностей периодических процессов в эволюционных моделях для стабилизации их динамики.
Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:
1. Выбрать "мягкую" модель, адекватно описывающую динамику конкуренции в экологических и экономических системах.
2. Выбрать вид периодического возмущения.
3. Путем численных экспериментов выявить параметры, отвечающие за устойчивую динамику системы.
4. Определить численные значения параметров:
а) устойчивого роста;
б) хаотической динамики.
4. Математическое описание и базовая модель объекта
2. Литературный обзор и постановка проблемы
Эффект хаотизации движений в детерминированных нелинейных системах, еще совсем недавно казавшийся просто невероятным в рамках традиционных стереотипов классической механики и теории колебаний, сейчас уже представляется как научно обоснованное явление фундаментальной значимости. Интерес к этой тематике не только не ослабевает, но продолжает нарастать, о чем свидетельствует увеличивающийся поток научной информации в виде научных статей (например, [2] и библиография к ней). В частности, в работах [3, 4] приведены теоретическое обоснование результатов расчета по рассмотренной ниже модели. В докладах [4, 5] показаны возможные сценарии перехода к хаотическому движению в таких экологических системах через бифуркации. Помимо экологии, конкуренция - один из наиболее значимых процессов в экономике. Существует множество универсальных математических моделей [6-8], успешно применяющихся в разных отраслях науки, однако, точно описывающих конкурентные процессы современной рыночной экономики практически нет. Базовые модели [1, 8] были разработаны достаточно давно и не всегда верно описывают динамику современных конкурентных отношений. Изучение существующих математических моделей даёт возможность найти оптимальные пути для построения новых модификаций исходных моделей, подходящих к данной ситуации развития конкуренции и экономики в целом. Модель Лотки-Вольтерра и её обобщения широко используется, например, в монографии [9] по биологии и диссертациях [7], работах по экологии [10, 11] и экономике [12], где, в частности, показано, что после незначительной модификации трофической функции, модель адекватно описывает взаимоотношение секторов производства и поставок.
Рассматривается в малом ареале (остров) экосистема из двух видов:
1) «жертвы» - в отсутствии хищников могут размножаться неограниченно;
2) «хищники» - размножение ограничено численностью жертв.
Численность тех и других достаточно велика, и меняется гладко во времени.
dx/dt = гх - у1ху ,
¿у^ = -зу + Т2ху, (1)
где г, s, у 1, у2 =const > 0; х - число особей жертв; у - число особей хищников.
С помощью замены переменных
^=х ^^ п= у -у« (2)
система (1) преобразуется к виду
¿V dt = -у 1 (х*п+£,п),
¿V dt = у 2 (у*£,+£,п), (3)
которая имеет общий интеграл вида _е^е п/1'_= с
[Т1 (4 + х*)]х«/'" [72 (п+ у«)У«/Т2
Первоначальная автономная система (1) возбуждается малым, по сравнению с остальными параметрами, периодическим колебанием размно-жения одного или обоих видов этой экосистемы.
Обозначения и физический смысл переменных и параметров взяты из работы [3]. Пусть физические и биологические факторы вызывают периодическое изменение абсолютной и относительной скорости вымирания хищников
dxdt = гх - Yixy>
dydt = -S(t)y + Y2xy + ncos Wt.
(4)
Здесь S(t) = s(l+— cosQt); Q - частота периодиче-
s
ских возмущений, близка к частоте предельного цикла без возмущений. Автономная система, соответствующая (4), при n = 0 имеет нетривиальное состояние равновесия.
С помощью замены переменных £, = x -x,, x, = s/Y2, П = y -y,, y, = r/y 1 система (4) преобразуется к виду
d5dt = -Y i(x.n+Sn).
d^ndy = Y 2^ + ^) + (n - ny.)cos Wt - nncos Wt. (5)
150
Zn.O
a
0 Zn ,2
Пусть параметры таковы, что s = г = у 1 = у 2 = 1, тогда уравнения (5) примут вид
d^dt = £ + £n- nncos Wt.
В переменных р,9 система (6) запишется так:
(6)
%
/dt = -2р sin 8 cos 9(cos 8- sin 8) - npsin 6 cos Wt, d^dt = 1 + 2p sin 6 cos 6(cos 6 + sin 6 ) - nsin 6 cos 6 cos Wt. (7)
На рис. 1, 2 приведены результаты численного моделирования потери устойчивости предельного цикла. Бифуркационный параметр n = 0,15; £,0 = п0 = 0,1 -рис. 1 в сравнении с n=0,1 - рис. 2. Обозначения на рисунках: системное время - Zn0; Zn1 и Zn2 - численности видов.
Рис. 2. Динамика системы при п=0.1: а — временная зависимость; б — фазовый портрет
Здесь начальные значения £,0,По выбраны так, чтобы при п = 0 траектория находилась в области притяжения к особой точке (х*,у*) в системе координат хОу . Изменения динамики очевидны, как в фазовом пространстве, так и на графике решений, если сравнить рис. 1, а и рис. 2, а. Причина появления хаоса здесь та же, что и появление нерезонансного тора при размерности задач п>2. А именно, неавтономность системы в результате явно зависимого от времени периодического возмущения с периодом, несоизмеримым с периодом собственного движения. Заметим, что хаотические движения появляются не только в окрестности странных аттракторов, которых в данной задаче быть не может, ввиду её малой размерности (п=2).
2
Zn.l 1
-1
0 1 2
Zn ,2
Рис. 1. Динамика системы при п=0.15: а — временная зависимость численности; б — фазовый портрет
0.5
Zn ,1 0
-0.5
-1
0.5
0.5
3
0
а
5. Выводы
В работе, на основе анализа литературных источников и характерных признаков поведения объекта, выбрана динамическая модель для дальнейшего исследования. Такая модель относится к типу "мягких". Она сохраняет все качественные особенности данного класса объектов и абстрагируется от вопросов о точности решений и их совпадений с динамикой конкретного объекта.
В качестве первого приближения выбраны синусоидальные возмущения скорости роста популяций. Это обосновано тем, что линеаризация невозмущенной модели имеет синусоидальные решения. Было подтверждено выдвинутое предположение о бифуркации при совпадении или близости периодов этих движений.
В результате численных экспериментов выявлены бифуркации при изменении как амплитуды п, так и периода возмущения О. Трофические параметры невозмущенной системы, как известно для системы Лотки-Вольтерра, к бифуркациям не приводят.
Малое изменение амплитуды - в пределах 0.05 -приводит к переходу системы от периодических движений к устойчивому росту, и затем, к хаотическим колебаниям. При этом показатели Ляпунова X*,Х'2 могут иметь противоположные знаки. Значит, бифуркация вносит, в силу нарушения симметрии характеристических показателей на полупериодах, несимметричность в структуру характеристических показателей, а с ней неустойчивость и "уход" траектории на бесконечность.
Литература
1. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование [Текст] / В. Вольтерра. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 288 с.
2. Jost, C. The wolves of Isle Royale display scale-invariant satiation and density dependent predation on moose [Тех^ / С. Jost, G. Devulder, J. A. Vucetich, R. Peterson, R. Arditi // Journal of Animal Ecology. - 2005. - Vol. 74, Issue 5. - P. 809-816. doi: 10.1111/j.1365-2656.2005.00977.x
3. Мартынюк, А. А. Хаотическая потеря предельного цикла в задаче Вольтерра [Текст] / А. А. Мартынюк, Н. В. Никитина // Докл. АН Украины. - 1996. - № 4. - С. 1-7.
4. Никитина, Н. В. О хаотической потере устойчивости [Текст] / Н. В. Никитина // Докл. НАН Украины. - 1997. - № 11. -С. 61-65.
5. Hayashi, С. Bifurcations and the Generation of Chaotic States in the Solutions of Nonlinear Differential Equations [Тех^: 4-й Нац. конгр./ С. Hayashi, H. Kawakami // Теорегическая и прикладная механика. - Варна, София, 1981 - С. 537-542.
6. Hoppensteadt, F. Predator-prey model [Тех^ / F. Hoppensteadt // Scholarpedia. - 2006.- Vol. 1, Issue 10. - P. 1563. doi: 10.4249/ scholarpedia.1563
7. Сорокин, П. А. Моделирование биологических популяций с использованием комплексных моделей, включающих в себя индивидуум-ориентированные и аналитические компоненты [Текст]: дис. ... канд. физ.-мат. наук / П. А. Сорокин - Долгопрудный, 2004.- 153 c.
8. Эрроусмит, Д. К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями [Текст] / Д. К. Эр-роусмит, К. М. Плейс. - М.: Мир, 1986. - 243 с.
9. Brauer, F. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology [Тех^ / F. Brauer, C. Castillo-Chavez. - Springer-Verlag, 2000. - 201 p.
10. Arditi, R. How Species Interact: Altering the Standard View on Trophic Ecology [Тех^ / R. Arditi, L. R. Ginzburg. - Oxford University Press, 2012. - 112 р.
11. Гусятников, П. П. Качественные и численные методы в задачах оптимального управления в моделях хищник-жертва и популяции леммингов [Текст]: дис. ... канд. физ.-мат. наук / П. П. Гусятников. - Москва, 2006.- 101 с.
12. Nasritdinov, G. Limit cycle, trophic function and the dynamics of intersectoral interaction [Тех^ / G. Nasritdinov, R. T. Dalimov // Current Research J. of Economic Theory. - 2010. - Vol. 2, Issue 2. - P. 32-40.
