CC BY
63
--------------------□ □------------------------
Досліджено основні ефекти і закономірності, що характеризують модель співіснування двох видів при слабких синусоїдальних зовнішніх впливах на швидкість розмноження, описувану рішенням системи диференціальних рівнянь типу Лотки-Вольтерра. Знайдено чисельні рішення при частотах впливу, близьких до частоти циклу незбуреної системи; досліджено стійкість неавтономної системи
Ключові слова: модель Лотки-Вольтерра, проблеми стійкості, фазовий простір, аттрактор, хаос, нерезонансний тор
□--------------------------------□
Исследованы основные эффекты и закономерности, характеризующие модель сосуществования двух видов при слабых синусоидальных внешних воздействиях на скорость размножения, описываемую решением системы дифференциальных уравнений типа Лотки-Вольтерра. Найдены численные решения при частотах воздействия, близких к частоте цикла невозмущенной системы; исследована устойчивость неавтономной системы
Ключевые слова: модель Лотки-Вольтерра, проблемы устойчивости, фазовое пространство, аттрактор, хаос, нерезонансный тор --------------------□ □------------------------
УДК 28.17.19
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКОГО БАЛЛАНСА В СИСТЕМАХ ЛОТКИ-ВОЛЬТЕРРА С ВОЗМУЩЕНИЕМ ПРАВОЙ ЧАСТИ
Мохаммад Ракан Абед Алнаби Ал ьджааф рех
Аспирант
Кафедра прикладной математики Харьковский национальный университет радиоэлектроники пр. Ленина, 14, г. Харьков, Украина, 61166 Е-mail: [email protected]
1. Введение
В работе рассмотрена математическая модель совместного сосуществования двух биологических видов (популяций) типа «хищник - жертва», называемая моделью Вольтерра - Лотки. Впервые она была получена А. Лоткой (1925 г.) который использовал её для описания динамики взаимодействующих биологических популяций. Чуть позже и независимо от Лотки аналогичные более сложные модели были разработаны итальянским математиком В. Вольтерра (1926 г.), глубокие исследования которого в области экологических проблем заложили фундамент математической теории биологических сообществ или так называемой математической экологии [1]. В настоящей работе содержится описание основных механизмов перехода к неустойчивости и хаосу в модели сосуществования двух достаточно многочисленных видов в замкнутом ареале, и алгоритмы их численного анализа, необходимые для решения задачи. Объектом исследования является процесс динамики сосуществования видов «жертв» и «хищников» в среде их обитания с внешним воздействием; предметом исследования - модели Лотки-Вольтерра с возмущенной правой частью и численные методы их анализа.
Цель работы - системный анализ экосистемы и проведение численных экспериментов по исследованию и использованию особенностей и периодических процессов в эволюционных моделях.
2. Литературный обзор
Эффект хаотизации движений в детерминированных нелинейных системах, еще совсем недавно
казавшийся просто невероятным в рамках традиционных стереотипов классической механики и теории колебаний, сейчас уже представляется как научно обоснованное явление фундаментальной значимости. Интерес к этой тематике не только не ослабевает, но продолжает нарастать, о чем свидетельствует увеличивающийся поток научной информации в виде научных статей [2], в частности, в работе [3] приведено теоретическое обоснование результатов расчета по рассмотренной ниже модели 1. В докладах [4] и [5] показаны возможные сценарии перехода к хаотическому движению в таких экологических системах через бифуркации. Модель Лотки-Вольтерра и её обобщения широко используется, например, в монографии [6] по биологии и диссертации [7], работах по экологии [8, 9] и экономике [10], где, в частности, показано, что после незначительной модификации трофической функции, модель адекватно описывает взаимоотношение секторов производства и поставок.
Теория предсказывает, что при наличии определенных типов внешних воздействий со стороны среды на такую систему, её устойчивость может нарушаться, и движения приобретают квази-случайный вид [11, 12].
3. Математическое описание и модель объекта
Рассматривается в малом ареале (остров) экосистема из двух видов:
1) «жертвы» - в отсутствии хищников могут размножаться неограниченно;
2) «хищники» - размножение ограничено численностью жертв.
Е
© Монаммад Ракан Абед Алнаби Альджаафрек, 2014
Численность тех и других достаточно велика, и меняется гладко во времени.
Первоначальная автономная система (1) возбуждается малым, по сравнению с остальными параметрами, периодическим колебанием размножения одного или обоих видов этой экосистемы.
Базовая модель Лотки-Вольтерра - совместного существования двух видов:
dx / dt = гх - у 4ху, dy / dt = -зу + у 2ху,
(1)
где г, s, у 1, у2- положительные константы - мальтузианские и трофические коэффициенты, соответственно; х - число особей жертв; у - число особей хищников; х,у >>1.
4. Анализ и преобразования модели
Проблема состоит в исследовании поведения системы, характеризующейся близостью периода Т циклов невозмущенной системы (1-2) и периода возмущения (1/ О).
Здесь О - бифуркационный параметр всех частных моделей, полученных из базовой (1-2). Поведение моделей исследуется вдали от начала: t >>0.
Во всех случаях синусоидального возмущения базовой модели для численного анализа задачи Коши типа (1-2), соответствующие модели приводятся к форме:
Z/ = ^,т, О^),
(3)
где ^,т,О^) = F(Z) + Р(т,О^) , ZT= (х(;),у(;)), при начальных условиях (х(0),у(0)) = (х0, уо) для каждой траектории.
Здесь автономное слагаемое вектора правой части системы (3) для всех моделей одинаково и имеет вид:
Нетривиальное состояние равновесия модели (1) х = 0, у = 0 имеет координаты
х*=^У2, у*= г/71С помощью замены переменных х:= х - х,, у: = у - у,, система (1) преобразуется к виду:
х=-Ті(х* ■ у+х ■ y), у=у2(у* ■ х+х ■ у)-
(2)
Её динамику в окрестности новой точки равновесия (0,0) исследуем аналитически. Для этого делим второе уравнение из (2) на первое и получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
Потенцируем и обозначим: ехр(С0)=С, 0! и 02 - однотипные функции переменных х и у. Соответственно, получим:
0(х,у) =01(х) 02(у) =
ех/У 1еу/У 2
[Уі(х + х*)] */Ті [у2(у + у*)]
у*/ У;
- = С
F(Z) =
'-у і(х*у + ху)л т 2(^х + ху) ,
Для рассматриваемых моделей возмущающие слагаемые в (3) имеют вид:
( msin Оt
Л о
Р,(т, О,t) = 1 I, Р2(т, О,t) =
{ 0
I msin Оt
- его общий интеграл.
Он представляет решения x(t), у() системы (2) как неявную функцию. Он постоянен на каждом решении системы (2), а значит, является, по определению, её первым интегралом [11]. Прямым дифференцированием функций 0! и 02 проверяем, что в точке (х*, у*) они имеют локальный изолированный максимум. А значит, и их произведение - функция 0(х, у) - тоже. Во всех приложениях интересны, в основном, финитные движения, в частности, периодические, поскольку только они имеют физический смысл. Для их выявления в данной системе сначала исследуем решение (2). При х0 > —х*, у0 > -у* решения периодические, поскольку функция 0(х,у) имеет максимум в (х*,у*) и, значит, фазовые траектории системы замкнуты (кроме стационарной точки х=0, у=0), т. к. принадлежат на XY ее линиям уровня, не содержащим других стационаров. Решая задачу Коши, получим графики периодических решений и фазовый портрет систем (1), (2).
р,(т О,).|'т“2“1, Р,(т, О,)-(“<ОО+ “>!.(4) ^ 1 о ) 4 I msin Оt
5. Численный анализ возмущенных моделей
Модель 1. Синусоидальное возмущение «жертв» Pl(m, О,
Приведены результаты работы MathCad-программы, фазовый портрет и график решения по точкам (рис. 1). Бифуркационный параметр - О мало отличается от частоты 1/Т цикла в (2); г^^о^1 - нормированные к 1 параметры из (1); при этом Т~1.
В полном соответствии с теорией [3, 12], фазовый портрет в (х,у^) и его проекция на XY показывают, что амплитуда колебаний меняется нерегулярно, с тенденцией к неограниченному увеличению с ростом ^
а б
Рис. 1. Фазовые портреты модели 1: а — портрет на плоскости XY; б — портрет в расширенном фазовом пространстве
Модель 2. Синусоидальное возмущение численности «хищников» с аналогичными параметрами: P2(m, О, ^).
На левом графике (рис. 2, а) видна ’’перемежаемость”, характерная для состояний вблизи странного аттрактора, и нелинейные искажения синусоиды. Из-за разного поведения ’хищников” и ”жертв” одинаковые периодические возмущения прироста их численности демонстрируют разную динамику системы: фазовый портрет несимметричен, в отличие от модели 1 (рис. 2, б)
P4(m, Q,t) = (msin(Qt + а), msin Qt). Фазовый портрет представлен на рис. 4.
X
L4- *..
12-
1 • *• *• •
0.8 \ \ \
0 ДКВамШ/
2aJ
40 J у
60 J
8C J
LOO-/
f
а б
Рис. 2. Решения для модели 2: а — решение для "жертв”
во времени; б — фазовый портрет на плоскости XY
Модель 3. Возмущение типа P3(m, О, £) =^8^(0, £), 0) для ”жертв”
В этом случае потеря устойчивости не проявляется (рис. 3, а) - появление эффекта зависит от того, численность которого из видов возмущается и какой функцией, при неизменных амплитуде и частоте возмущения.
На правом графике (рис. 3, б) видно, что численности обоих видов стабилизируются вблизи нуля, что не предсказано теорией.
а б
Рис. 3. Фазовые портреты модели 3: а — портрет на плоскости ХУ; б — портрет в расширенном фазовом пространстве
Модель 4. Возмущение прироста обоих видов со сдвигом фаз
Возмущение правой части системы имеет вид:
Рис. 4. "Разбегание” двух первоначально близких фазовых траекторий
Численный эксперимент показал, что траектории, имеющие близкие начальные условия, со временем демонстрируют свойства ”разбегания” и ”перемешива-ния”, характерные для странного аттрактора.
6. Выводы
Проведено исследование проблемы динамического баланса двух биологических видов в замкнутой экосистеме с внешним возмущением популяций, которое моделируется малым по амплитуде синусоидальным возмущением правой части известной системы уравнений Лотки-Вольтерра. Применение методов качественной теории дифференциальных уравнений предсказывает неограниченные хаотические движения в неавтономной системе вблизи периодического решения автономной при совпадении периодов. Численные эксперименты показывают, что:
1) фазовые портреты систем, похожи на известные в физике ”фигуры Лиссажу” и имеют тип вырождающегося 2-мерного нерезонансного тора;
2) различные по характеру нерегулярности поведения ”хищников” и ”жертв” проявляются в фазовых портретах при одинаковых возмущениях;
3) синусоидальное воздействие на популяцию, например путем изменения скорости размножения одного или обоих видов вследствие сезонных изменений пищевого рациона или охоты, приводит к непериодической динамике системы;
4) определены параметры возмущений, приводящие вблизи ’’резонанса” О=1/Т, как к непериодическому росту популяций (модель 1), так и к непериодическим движениям в конечной области (модели 2 и 4), или к стабилизации вблизи нуля (модель 3). При этом возможна гибель популяций.
Всё это подтверждает, что даже достаточно простые модели экосистем выявляют их неустойчивость - чувствительность к малым внешним возмущениям.
Литература
1. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование [Текст] / В. Вольтерра. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 288 с.
2. Jost, C. The wolves of Isle Royale display scale-invariant satiation and density dependent predation on moose [Тех^ / С. Jost, G. Devulder, J. A. Vucetich, R. Peterson, R. Arditi // J. Anim. Ecol. - 2005. - № 74(5). - С. 809-816.
E
3. Мартынюк, А. А. Хаотическая потеря предельного цикла в задаче Вольтерра [Текст] / А. А. Мартынюк, Н. В. Никитина // Докл. АН Украины. - 1996. - № 4. - С. 1-7.
4. Hayashi, С. Bifurcations and the Generation of Chaotic States in the Solutions of Nonlinear Differential Equations [Тех^: Докл. Кн. 1/ С. Hayashi, H. Kawakami // Теорегическая и прикладная механика. - Варна, София, 1981 - С. 537-542.
5. Hoppensteadt, F. Predator-prey model [Тех^ / F. Hoppensteadt // Scholarpedia. - 2006. - № 1(10). - 1563 с.
6. Brauer, F. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology [Тех^ / F. Brauer, C. Castillo-Chavez, Springer-Verlag, 2000. - 201 p.
7. Сорокин, П. А. Моделирование биологических популяций с использованием комплексных моделей, включающих в себя индивидуум-ориентированные и аналитические компоненты [Текст] : дис. ... канд. физ.-мат. наук / П. А. Сорокин. - Долгопрудный, 2004.- 153 c.
8. Arditi, R. How Species Interact: Altering the Standard View on Trophic Ecology [Тех^ / R. Arditi, L. R. Ginzburg. - Oxford University Press, 2012. - 112 р.
9. Гусятников, П. П. Качественные и численные методы в задачах оптимального управления в моделях хищник-жертва и популяции леммингов [Текст] : дис. ... канд. физ.-мат. наук [Текст] / П. П. Гусятников. - Москва, 2006.- 101 с.
10. Nasritdinov, G. Limit cycle, trophic function and the dynamics of intersectoral interaction [Тех^ / G. Nasritdinov, R. T. Dalimov // Current Research J. of Economic Theory. - 2010. - № 2(2). - С. 32-40.
11. Эрроусмит, Д. К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями [Текст] / Д. К. Эрро-усмит, К. М. Плейнс. - М.: Мир, 1986. - 243 с.
12. Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / В. И. Арнольд. - М.: Наука, 1987. - 304 с.
---------------------□ □------------------------
Запропонована методика прогнозування рівня паводкових вод на основі побудови апроксимуючих кривих з використанням статистичних даних як про рівень води рік під час паводку (повеней), так і про метеорологічні дані. Дана методика також дозволяє проводити дослідження взаємозв’язку рівня паводкових вод і метеорологічних даних для виявлення вагомих факторів впливу на їх підняття
Ключові слова: рівень паводкових вод, метеорологічні дані, апроксимуючі криві, методика прогнозування
□----------------------------------□
Предложена методика прогнозирования уровня паводковых вод на основе построения аппроксимирующих кривых с использованием статистических данных как об уровне воды рек во время паводка (наводнения), так и о метеорологических данных. Данная методика также позволяет проводить исследования взаимосвязи уровня паводковых вод и метеорологических данных, с использованием коэффициента контингенции для выявления значимых факторов влияния на их поднятия
Ключевые слова: уровень паводковых вод, метеорологические данные, аппроксимирующие кривые, методика прогнозирования ---------------------□ □------------------------
УДК 514.166.06
МЕТОДИКА ПОБУДОВИ АПРОКСИМУЮЧИХ КРИВИХ ДЛЯ ОЦІНКИ І ПРОГНОЗУВАННЯ РІВНЯ ПАВОДКОВИХ
ВОД
О. І. Клапоущак
Аспірант
Кафедра комп’ютерних технологій в системах управління і автоматики Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу вул. Карпатська, 15, м. Івано-Франківськ,
Україна, 76019 E-mail: oksana [email protected]
1. Вступ
Негативний вплив від паводків (повеней) спостерігається як в Україні (2008 р. - 2013 р.) [1 - 3], так і за кордоном зокрема, а саме: Китай (2008 р., 2013 р.) [4,
5]; Велика Британія, Іспанія, Франція, Італія (2013 р., 2014 р.) [6] та Німеччина [7], тому задачі прогнозування і контролю рівня паводкових вод залишаються актуальними і надалі, оскільки середньорічні збитки від паводків у 1995 - 1998 роках склали 899.3 млн грн.,
50 Р..............................................................................................................................................................................................................................................................
© О.
