CC BY
115
7. VISUM 11.0 Fundamentals [Text] / PTV AG, Karlsruhe, 2009. - 690 p.
8. Рэнкин, В. У. Автомобильные перевозки и организация дорожного движения [Текст] / В. У. Рэнкин, П. Клафи, С. И. Халберт др. - М.: Транспорт, 1981. - 592 с.
9. Доля, В. А. Пасажирсью перевезення [Текст]: пудр. / В. К. Доля. - Харюв.: Видавництво «Форт», 2011. - 504 с.
10. Гаврилов, Е. В. Основи теорп систем i управлшня. [Текст] / Е. В. Гаврилов, М. Ф. Дмитриченко, В. К. Доля, О. Т. Лановий, I. Е. Линник, В. П. Полщук. - К.: Знання Украши, 2005. - 344 с.
-□ □-
Побудовано математичш моделi конкурентних про-цеЫв в економц з використанням вгдомих утверсальних моделей, що описують поведтку контрагентiв на ринку. На основi математичног моделi Лотки-Вольтерра i подальшого гг розвитку створена математична модель "виробник-перекупник", побудована гг модифшована верыя, проведеш дослгдження моделей, у тому чи^ i мультi-агентних, за допомогою математичного пакета Mathcad. Виявлено нестабшьтсть поведтки контр-агентiв
Ключовi слова: математична модель, економша, кон-куренщя, модифтащя, модель Лотки-Вольтерра, вироб-
ник, перекупник, Mathcad, нестабшьтсть
□-□
Построены математические модели конкурентных процессов в экономике с использованием известных универсальных моделей, описывающих поведение контрагентов на рынке. На основе математической модели Лотки-Вольтерра и дальнейшего её развития создана математическая модель "производитель-перекупщик", построена её модифицированная версия, проведены исследования моделей, в том числе и мульти-агентных, с помощью математического пакета Mathcad. Выявлены нестабильность поведения контрагентов
Ключевые слова: математическая модель, экономика, конкуренция, модификация, модель Лотки-Вольтерра,
производитель, перекупщик, Mathcad, нестабильность -□ □-
УДК 28.17.19
|DOI: 10.15587/1729-4061.2014.27855|
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ КОНКУРЕНТНЫХ ПРОЦЕССОВ
В. А. Ал ь-Рефаи
Аспирант* Email: [email protected] И. В. Наумей ко
Кандидат технических наук, доцент* Email: [email protected] *Кафедра прикладной математики Харьковский национальный университет радиоэлектроники пр. Ленина, 14, г. Харьков, Украина, 61166
1. Введение
Экономические системы всегда считались очень сложными, динамика рынка - хаотической, поэтому исследования в данной области проводились в большинстве случаев на основе статистических данных прошедших лет. Построение экономических прогнозов и расчёт перспектив дальнейшего развития, в некоторой мере, являлись лишёнными научной основы предположениями, не имеющими никаких весомых оснований для рационального использования и претворения гипотез в жизнь. Математическое моделирование с использованием современных компьютерных технологий предоставляет возможность изучить характер той или иной экономической ситуации, перспективы, гипотезы, затрачивая на эксперименты гораздо меньшие временные и материальные ресурсы. Таким образом, математические и имитационные модели экономических процессов всегда были и остались актуальны, поскольку предоставляют возможность промоделировать за малое время то, что крайне сложно и долго испытывать в реальной жизни [1].
Общеизвестно, что важнейшим инструментом развития экономики является конкуренция. Также конкурентные процессы имеют место быть и в других областях, таких как биология, экология, психология, военное дело, логистика и большая часть проблем исследования операций и многокритериальной оптимизации процессов. Все эти области знаний и деятельности обслуживаются математическими моделями одного класса - уравнениями динамических систем. Базовыми в этом классе моделей являются логистические уравнения, а также их системы, которые впервые предложил и исследовал Вольтерра еще в начале ХХ века. Он положил начало исследованию, так называемых, "мягких" моделей, варианты которых предлагаются в настоящей работе для описания конкуренции за прибыль в системе "производитель-перекупщик" (часто называемый "оптовым покупателем").
2. Анализ литературных данных и постановка проблемы
Конкурентные процессы - одна из наиболее значимых областей в экономике. От развития конкуренции
© В.
и конкурентоспособности иногда зависит благополучие страны в целом. Применение экономико-математического моделирования для описания конкурентных процессов является наиболее рациональным из всех возможных методов исследований [2, 3].
Существует множество универсальных математических моделей [4-6], успешно применяющихся в разных отраслях науки, однако, точно описывающих конкурентные процессы современной рыночной экономики практически нет [7, 8]. Базовые модели [9-12] были разработаны достаточно давно и не всегда верно описывают динамику современных конкурентных отношений. Для перспектив развития экономики необходимы инновационные решения [13]. Изучение существующих математических моделей даёт возможность найти оптимальные пути для построения новых модификаций исходных моделей, подходящих к данной ситуации развития конкуренции и экономики в целом.
С помощью специализированного программного обеспечения можно разработать и исследовать новую модель, на изучение экономической пригодности которой в реальной жизни уйдут годы. На исследование математической модели теоретическим способом, без использования вычислительной техники, требуется настолько большой временной интервал, что само исследование перестаёт быть рациональным.
В результате направленных действий для проведения исследований и использования всех современных достижений формируются широкие перспективы поиска, изучения и применения новых решений для экономических задач в такой важной области экономики как моделирование конкурентных отношений [14].
3. Цель и задача исследования
Объект исследования - математические модели конкурентных процессов в экономике, являющиеся обобщением моделей типа "Лотки-Вольтерра".
Методы исследования - использование известных универсальных моделей, описывающих поведение контрагентов на рынке, их анализ, использование математических пакетов, построение графиков зависимостей.
Цель работы - построение и исследование модифицированной модели на основе математической модели Лотки-Вольтерра, дальнейшее её развитие, создание программного продукта для моделирования и обработки экономической информации;
Задача исследования - выявить нестабильности конкурентных процессов и возможности их стабилизации в системах "производитель-перекупщик", в том числе и мульти-агентного типа.
4. Анализ и решение уравнений динамики как метод исследования моделей конкуренции в системах "производитель-перекупщик"
4. 1. Современное состояние вопросов математического моделирования конкурентных процессов
В зависимости от соотношения между количеством производителей и количеством потребителей различают следующие виды конкурентных структур:
- большое количество самостоятельных производителей некоторого однородного товара и масса обособленных потребителей данного товара. Ни один из потребителей не приобретает какую-либо существенную долю общего спроса. Данная структура рынка называется полиполией и порождает, так называемую, совершенную конкуренцию. Она скорее является идеализированной системой, практически не встречающейся в реальной жизни, но, тем не менее, данное понятие необходимо хотя бы для теоретических исследований;
- огромное число обособленных потребителей и малое количество производителей, каждый из которых может удовлетворить значительную долю общего спроса. Такая структура называется олигополией, и порождает, так называемую, несовершенную конкуренцию. В случае, когда рынок представлен относительно большим числом производителей, предлагающих гетерогенную (разнородную) продукцию, то говорят о монополистической конкуренции;
- единственный потребитель товара и множество самостоятельных производителей. Данная структура порождает особый тип несовершенной конкуренции, называемый монопсонией (монополия спроса);
- единственный производитель и множество потребителей. Данная структура является монополией. Её можно встретить только в некоторых очень ограниченных отраслях экономики, которые контролируются государством, или в новых ещё не подвергнутых конкуренции областях, инновационных решениях, где производители получают сверхприбыли;
- структура взаимосвязей, где единому потребителю противопоставляется единственный производитель (двусторонняя монополия), вообще не является конкурентной, но также не является и рыночной [3].
Сложность экономических систем превышает порог, до которого строится точная математическая теория. Поэтому неудивительно, что сколько-нибудь универсальных методов построения математических моделей в экономике не существует. Можно говорить лишь о некоторых общих принципах и требованиях к таким моделям. Основные из них:
- адекватность (соответствие модели своему оригиналу);
- объективность (соответствие научных выводов реальным условиям);
-простота (не засоренность модели второстепенными факторами);
-чувствительность (способность модели реагировать изменению начальных параметров);
- устойчивость (малому возмущению исходных параметров должно соответствовать малое изменение решения задачи);
- универсальность (широта области применения) [14].
Формализация экономической задачи проводится наряду с принятием некоторых предварительных условий, предположений, ограничений. Стремление к простоте модели продиктовано ограниченными возможностями вычислительной техники и экономии временных ресурсов при исследовании модели. Практическое значение модель приобретает тогда, когда ее изучение имеющимися средствами более доступно, чем изучение самого объекта. Требования чувствительности и устойчивости являются отражением объ-
ективных характеристик экономических процессов. Одна и та же математическая модель может применяться для исследования экономических задач различного содержания. Это свойство и называется универсальностью [14].
Одна из первых и простейших конкурентных моделей - модель Питера Ланкастера [10] противоборства двух армий.
Состояние системы описывается точкой (х, у) положительного квадранта плоскости. Координаты этой точки, х и у - это численности противостоящих армий. Модель имеет вид:
f = X(a - ЬХ)-
(2)
x' = - b(x,y)y , y' = -a(x,y)x.
(1)
При a, b - const, это - жесткая модель, которая допускает точное решение
В математике известны методы, позволяющие сделать выводы общего характера, не зная точно явного вида функций a и b. В этой ситуации принято говорить о мягкой модели - модели, которую возможно модифицировать (за счет выбора функций a и b в данном примере).
Общим выводом в данном случае является утверждение о структурной устойчивости исходной модели: изменение функций a и b изменит описывающие ход военных действий кривые на плоскости (x, y) (которые уже не будут гиперболами и разделяющей их прямой), но это изменение не затрагивает основного качественного вывода.
Вывод состоит в том, что положения "x выигрывает" и "y выигрывает" разделены нейтральной линией "обе армии уничтожают друг друга за бесконечное время".
На основании математических предположений можно считать, что топологический тип системы на плоскости (x,y) не меняется при изменении функций a и b: происходит лишь искривление нейтральной линии.
4. 2. Исследование модели "один производитель -один перекупщик"
Опишем производителя, подобрав все характерные параметры, и составив уравнение. Изменение прибы-
dx
ли производителя в единицу времени — находится
dt
в левой части, где x - изначальное количество прибыли, полученное от определённого количества продаж, a - коэффициент прироста прибыли. Учитываются издержки производства, которые, в первом приближении, прямо пропорциональны объёму произведенного товара ( здесь рассматривается классическая экономическая ситуация, не описывающая производство интеллектуальных продуктов, которые создаются один раз и продаются множество). Эти издержки отражаются в произведении коэффициента b на количество прибыли от произведенного товара, которая является следствием количества проданного товара.
Таким образом, производитель моделируется с помощью логистического уравнения (оно же уравнение Ферхюльста), что лишний раз доказывает универсальность математических моделей для разных областей науки:
Опишем теперь уравнение динамики перекупщика с учетом необходимых параметров. Составим уравнение, исходя из следующих соображений.
dy
Прибыль перекупщика в единицу времени — находится в левой части. Естественно, что если значение будет отрицательным, то вместо прибыли перекупщик будет иметь убытки, аналогично с хищниками, которые питаются жертвами и вымирают от бескормицы в системе Лотки-Вольтерра. d - коэффициент, отображающий удельную прибыль на перекупке. В любом случае прибыль перекупщика зависит от количества товара, выпущенного производителем, поэтому в данном уравнении также присутствует переменная х, отражающая эту зависимость. Таким образом, уравнение приобретает следующий вид:
dy = y(-c + dx).
(3)
Как видим, это уравнение полностью совпадает с уравнением, описывающим хищников из модели Лот-ки-Вольтерра, тем не менее, совместно с уравнением (2) оно приобретает другой смысл, формально не меняясь, и отображает ситуацию на рынке.
Таким образом, мы получили модифицированную расширенную математическую модель, описывающую конкурентные процессы взаимоотношений производителя и перекупщика, которая имеет следующий вид:
£=x(a - bx), | = y(-c + dx).
(4)
Полученную модификацию модели Лотки-Воль-терра (4) будем называть моделью "производитель-перекупщик". Она отличается от базовой модели лишь в первом уравнении (2), и является начальной отправной точкой для дальнейших исследований. Она была модифицирована и доработана, по аналогии с моделью Лотки-Вольтерра.
4. 3. Трехмерная модель
Далее в работе исследуется текущая модель (4), а также её модификация, в которой добавляется ещё один производитель ^ и третье уравнение, аналогичное по смыслу первому):
£=x(a - bx),
= y(-c + dx + gz),
dt
dz = z(e - fz). (5)
Соответственно, и в уравнение перекупщика добился новый параметр, характеризующий коэффициент прибыли на перекупке товара нового производителя.
В данной модели конкуренцией между производителями пренебрегаем.
5. Результаты исследования математических моделей
Исследования моделей (4) и (5) проводились в среде Mathcad при различных значениях параметров а— и начальных значениях хо, уо, zo. На графиках по оси абсцисс - изменение прибыли производителя, а по оси ординат - изменение прибыли перекупщика.
5. 1. Результаты для двумерной модели
Для модели (4), исследуя график на рис. 1, получаем следующие результаты: при х=0.6 прибыль перекупщика практически неограниченно растёт. Прибыль производителя, как видим, остаётся постоянной в широком временном интервале. Стационарная точка является седлом.
Исследуем систему при других начальных условиях: а=0.1, Ь=0.3, с=0.3, d=0.3 (рис. 2). На данном графике отображена зависимость прибыли перекупщика от производителя. При данных начальных условиях прибыль перекупщика равна нулю в точке с координатой по оси абсцисс 0.35. Данная стационарная точка представляет собой устойчивый узел.
tí
z
zl
М'
zi
Ai
zB
7*
У У У
И' ,<i .(!) ,<¿ 7(í a<¿ .í¿
7zi rzj :z6 . z7 .zS 7z?
Рис. 2. Зависимость прибыли перекупщика от прибыли производителя при различных начальных условиях и параметрах a=0.1, Ь=0.3, c=0.3, d=0.3
- trace 1
- trace 2
trace 3
— trace 4 trace 5
■ ■ - ■ trace С ~ " trace 7
— " trace 8 у-ууу trace 9
trácelo
Рис. 1. Зависимость прибыли перекупщика от прибыли производителя при различных начальных условиях и параметрах a=0.3, b=0.5, c=0.3, d=0.7
На рис. 3, при других значениях параметров, отображено качественно идентичное приведенному на рис. 1, поведение системы.
Аналогичные результаты получены и при исследовании системы из трёх уравнений, описывающей взаимодействие двух производителей и перекупщика.
УУ'УУ
XXX
Рис. 3. Зависимость прибыли перекупщика от прибыли производителя при различных начальных условиях и параметрах a=0.2, Ь=0.1, c=0.4, d=0.3
5. 2. Результаты для трехмерной модели
Ниже приведены графики, позволяющие наблюдать состояние модифицированной системы при появлении второго производителя.
На графиках рис. 4, 5 отображена зависимость перекупщика (ордината) от 1-го и 2-го производителя (абсцисса).
График достаточно быстро выходит на стационар, прибыль перекупщика практически неограниченно
растёт. Т. е. разницы между одним производителем и двумя практически не наблюдается. Графики достаточно похожи. Прибыль перекупщика не зависит от количества производителей.
Рис. 4. Зависимость прибыли перекупщика от прибыли первого производителя при различных начальных условиях и параметрах а =0.3, Ь=0.5, с=0.3, d=0.4, е=0.2, f=0.4, д=0.5
Рис. 5. Зависимость прибыли z<2> перекупщика от прибы-
<3>
ли z<3> второго производителя при различных начальных условиях и параметрах а =0.3, Ь=0.5, с=0.3, d=0.4, е=0.2, f=0.4, д=0.5
При определённых объёмах производства прибыль перекупщика стремительно растёт. Рис. 6 иллюстрирует рост прибыли z<2> перекупщика от времени 2<0> производителя.
Рис. 6. Зависимость прибыли перекупщика от времени производителя при различных начальных условиях и параметрах а =0.3, Ь=0.5, с=0.3, d=0.4, е=0.2, f=0.4, д=0.5
Исходя из графика на рис. 6 можем заключить, что на временном интервале прибыль перекупщика стремительно растёт в очень короткие сроки.
Процесс быстро выходит на стационар, прибыль первого производителя держится на одном уровне. Сравнение рис. 5 и 7 показывает, что фазовые портреты при разных значениях параметров качественно подобны.
Рис. 7. Зависимость прибыли перекупщика от прибыли второгопроизводителя при значениях параметров а=0.2, Ь=0.3, с=0.3, d=0.4, е=0.4, f=0.4, д=0.5
Прибыль перекупщика растёт при увеличении объёма производства второго производителя. Прибыль производителя держится на одном уровне. Процесс быстро выходит на стационар.
6. Выводы
На базе модели Лотки-Вольтерра разработана математическая модель "производитель-перекупщик", описывающая конкурентные отношения между субъектами экономического рынка. Разработана модификация модели "производитель-перекупщик", включающая еще одного производителя.
Исследованы модели "производитель-перекупщик" и её трехмерная модификация. Проведен анализ поведения моделей; с использованием пакета получены графики.
В результате проведенных исследований конкурентных процессов в экономике получены теоретические и экспериментальные данные, расширяющие возможности анализа, исследования и прогнозирования поведения контрагентов на рынке. Полученная модель имеет значительные возможности для дальнейшего усовершенствования и отображения изменяющейся ситуации на рынке.
Экономическая система, описываемая моделями (4) и (5), является "нестабильной" в том смысле, что один из участников имеет либо бесконечно большую прибыль, либо нулевую. Эта ситуация похожа на ту, которая возникает для классической модели Вольтер-ра [15] конкуренции видов. Для стабилизации необходима более реальная модель с конкуренцией между несколькими производителями и несколькими перекупщиками.
Литература
1. Автухович, Э. В. Математическая модель экономики переходного периода [Текст] / Э. В. Автухович, Н. Н. Оленев, А. А. Петров, И. Г. Поспелов, А. А. Шананин, С. В. Чуканов. - М.: ВЦ РАН, 1999. - 144 с.
2. Юданов, А. Ю. Конкуренция: теория и практика [Текст] : уч.-метод. пос. / А. Ю. Юданов. - М.: Прогресс, 1996. - 224 с.
3. Щербаковский, Г. З. Внутренний механизм конкуренции и конкурентные силы [Текст] / Г. З. Щербаковский. - М.: Экономика, 1997. - 178 с.
4. Dai, G. Coexistence Region and Global Dynamics of a Harvesting Predator - Pray Systems [Text] / G. Dai, M. Tang // SIAM J. Appl. Math. - 1998. - Vol. 58, Issue 1. - P. 193-210. doi: 10.1137/s0036139994275799
5. Glass, L. Oscillations and chaos in physiological control systems [Text] / L. Glass, M. C. Mackey // Science. - 1977. - Vol. 197. -P. 287-289.
6. Glass, L. Pathological conditions resulting from instabilities in Physiological control systems [Text] / L. Glass, M. C. Mackey // Ann. N. Y. Acad. Sci. - 1979. - Vol. 316, Issue 1. - P. 214-235. doi: 10.1111/j.1749-6632.1979.tb29471.x
7. Goel, N. S. On the Volerra and other nonlinear models of interacting population [Text] / N. S. Goel, S. C. Maitra, E. W. Montroll // Rev. Modern Phys. - 1971. - Vol. 43, Issue 2. - P. 231-276. doi: 10.1103/revmodphys.43.231
8. Gopalsamy, K. Stability of Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics [Text] / K. Gopalsamy. -Dordrechtb: Kluwer, 1992, - 212 p. doi: 10.1007/978-94-015-7920-9
9. Gourley, S. A. A predator - prey reaction - diffusion system with nonlocal effects [Text] / S. A. Gourley, N. F. Britton // J. Math. Biol. - 1996. - Vol. 34, Issue 3. - P. 297-333. doi: 10.1007/bf00160498
10. Математическое моделирование: процессы в сложных экономических и экологических системах [Текст] / под. ред. А. А. Самарского, Н. Н. Моисеева, А. А. Петрова. - М.: Наука, 1986. - 208 с.
11. Дэмбэрэл, С. К математической модели взаимодействия экономических и экологических процессов [Текст] / С. Дэмбэрэл, Н. Н. Оленев, И. Г. Поспелов // Математическое моделирование. - М., 2003. - 108 с.
12. Краснощеков, П. С. Принципы построения моделей [Текст] / П. С. Краснощеков, А. А. Петров; 2-е изд. - М.: Изд-во Фазис, 2000. - 411 с.
13. Прасолов, А. В. Математические модели динамики в экономике [Текст] / А. В. Прасолов. - Спб.: Изд-во Университета Экономики и Финансов, 2000. - 270 с.
14. Портер, М. Международная конкуренция [Текст] / М. Портер. - М.: Мир, 1994. - 428 с.
15. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование [Текст] / В. Вольтерра. - М.: Наука, 1976. - 248 с.
