Разработка математической модели и алгоритма оптимального управления подвижной структурно-перестраиваемой избыточной системой, управляемой по каналам связи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Заключение. В статье, которая является продолжением серии работ [1 — 9], направленных на создание основ фрактальной ТМО, предложена постановка основной задачи этой теории, предложен и продемонстрирован метод сокращения затрат времени на моделирование затяжных переходных процессов, а также метод радикального сокращения размеров буферов фрактальных СМО при удержании вероятности отказа в заданных малых пределах.

Эти три новых результата развивают основы фрактальной ТМО, предназначенной для решения практических проблем проектирования телекоммуникационных систем в условиях фрактального трафика.

Библиографический список

1. William Stallings. Интернет и телекоммуникации [Электронный ресурс]. — URL: http://my.online.ru/it/press/ cwm/19_97/world.htm. (дата обращения: 13.03.2010).

2. Задорожный, В. Н. Предпосылки создания фрактальной теории массового обслуживания / В. Н. Задорожный // Омский научный вестник. — 2010. — № 2 (90). — С. 182— 187.

3. Задорожный, В. Н. Моделирование и расчет буферов фрактальных СМО / В. Н. Задорожный, О. И. Кутузов // Имитационное моделирование. Теория и практика (ИММОД-2011) : материалы 5-й Всерос. конф. — СПб. : ЦТ СС, 2011. — Т. 1. - С. 156-161.

4. Задорожный, В. Н. Проблемы генерации случайных величин с фрактальными распределениями / В. Н. Задорожный,

О. И. Кутузов // Омский научный вестник. — 2012. — № 3 (113). - С. 20-24.

5. Задорожный, В. Н. Методы моделирования очередей в условиях фрактального трафика в сетях с коммутацией пакетов : учеб. пособие / В. Н. Задорожный, О. И. Кутузов. — Омск : ОмГТУ, 2013. — 104 с.

6. Задорожный, В. Н. Метод ускоренного расчета буферов для фрактальных систем с очередями / В. Н. Задорожный / Омский научный вестник. — 2013. — № 1 (117). — С. 216 — 220.

7. Задорожный, В. Н. Аналитико-имитационные методы решения актуальных задач системного анализа больших сетей : моногр. / В. Н. Задорожный, Д. Ю. Долгушин, Е. Б. Юдин. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2013. — 324 с.

8. Задорожный, В. Н. Основная задача фрактальной теории очередей / В. Н. Задорожный, О. И. Кутузов // Информационные технологии и автоматизация управления : материалы V Всерос. науч.-практ. конф., 23 — 26 апреля 2013 года. — Омск : Изд-во О мГТУ, 2013. — С. 80 — 82.

9. Задорожный, В. Н. О качестве программных генераторов случайных чисел / В. Н. Задорожный // Омский научный вестник. — 2009. — № 2 (80). — С. 199 — 205.

ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 02.07.2013 г.

© В. Н. Задорожный

УДК 519.711.3:004

В. И. ПОТАПОВ

Омский государственный технический университет

РАЗРАБОТКА

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОДВИЖНОЙ СТРУКТУРНО-ПЕРЕСТРАИВАЕМОЙ ИЗБЫТОЧНОЙ СИСТЕМОЙ,

УПРАВЛЯЕМОЙ ПО КАНАЛАМ СВЯЗИ

Построена математическая модель и разработан алгоритм оптимального управления участвующей в конфликтной ситуации подвижной управляемой по каналам связи резервированной системой, у которой интенсивность отказов компонентов зависит от времени и точки пространства, в котором перемещается система. Ключевые слова: математическая модель, алгоритм, подвижная система, конфликтная ситуация.

В последнее время в силу целого ряда объективных причин приобрели актуальность задачи, связанные с разработкой математических моделей и алгоритмов управления подвижными объектами в конфликтных ситуациях, когда подвижный объект, участвующий в конфликтной ситуации, в течение времени конфликта и положения в пространстве

должен защищаться за счет собственных ресурсов (как правило — избыточности) от воздействия другой из конфликтующих сторон, стремящейся своими средствами увеличить вероятность отказа подвижного объекта в течение конфликта в пространстве взаимодействия, то есть уменьшить надежность каналов связи подвижного объекта с системой его

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013

14

управления и надежностью аппаратных компонентов подвижного объекта (подвижной системы).

Таким образом, в качестве причины отказа участвующего в конфликтной ситуации управляемого подвижного объекта являются отказы его аппаратных компонентов, отказы каналов связи системы управления и особенности свойств пространства, в котором перемещается управляемый объект.

Поскольку в данной постановке задачи интенсивность отказов является функцией нескольких параметров (времени и точки пространства), то для оценки надежности и оптимизации управления подобных подвижных избыточных объектов, участвующих в конфликтных ситуациях, необходима разработка новых математических моделей, описывающих поведение таких объектов с учетом указанных выше причин отказов.

В общем виде задача, рассматриваемая в данной работе, может быть описана на содержательном уровне следующим образом. Для участвующей в конфликтной ситуации перемещающейся в пространстве в заданную точку структурно-перестра-иваемой избыточной аппаратно-резервированной системы, управляемой по каналом связи, интенсивности отказов компонентов которой и каналов связи являются функциями времени и точки пространства, в которой находится подвижная система, определить оптимальные траектории движения системы, вектор настройки системы и векторы резервирования, обеспечивающие максимизацию значения вероятности безотказной работы конфликтующей подвижной системы в заданной точке пространства.

Перейдем теперь к формализации задачи и ее математической постановке. Будем считать, что участвующий в конфликтной ситуации подвижный объект представляет собой управляемую по каналам связи перемещающуюся в трехмерном евклидовом пространстве R3 избыточную А(п,т,8,д,Х$,г),т) систему, состоящую из п основных модулей, разбитых на q групп по п1,п2,...,пс[ (п >1) модулей в каждой. Интенсивности отказов модулей, входящих в соответствующую группу М^),х2М--.Ч(и) , являются функциями времени и точки пространства, в которой находится система. В состав подвижной системы входят, по числу основных, q групп резервных модулей по в1 ^2,...^? ^.>0) модулей в каждой группе

$1 + +--+sq = m, интенсивность отказов каждого из

которых также является функцией времени и точки пространства Х0^,г). В каждой q-ой группе основные модули при их отказе мгновенно замещаются резервными из этой же группы. Как только резервный модуль подключается вместо отказавшего основного в своей группе, он начинает функционировать с интенсивностью отказов Х,(^г), (1 < I < д).

Считаем, что вектор резервирования $=^, £2,...,£?) является переменным во времени, т.е. в моменты времени т,,т2,...,тг по командам может происходить перераспределение резервных модулей между группами, которое назовем настройкой системы, а соответствующие моменты времени тД1<ст<7) — моментами настройки и, соответственно, т = (т,,т2Г...т3) — вектором настройки. Каждому моменту настройки т^ соответствует вектор резервирования «а=(«а1.в„2...вад)- Количество настроек

за время движения системы t^ ограничено числом L(L>0).

В подвижной рассматриваемой системе каждая г-я группа модулей (1<г^) получает управляющие сигналы из центра управления, размещенного, например, в начале координат пространства, в кото-

ром движется система, по N. каналам связи. Причем, отказ в каждой группе О. каналов связи из №(0.<№) еще не приводит к отказу системы управления г-й группы модулей подвижной системы А, а отказ О + +1 каналов связи приводит к отказу.

Пусть — интенсивность отказов на едини-

цу длины одного канала связи г-й группы модулей системы А, которую назовем удельной интенсивностью отказов г-й группы каналов связи и будем использовать при разработке алгоритмов оптимального управления подвижной системой.

Формальная постановка задачи. При заданных Я,. =Я.1.({,г), (0<г<д) и Л(=Л,.^,г), (1<г<д) для системы A^n,m,s,q,X^t,г),^,Л.(t,г),Nl,Ql) , участвующей в конфликтной ситуации, алгоритм оптимального управления, включающий алгоритмы вычисления траектории ее движения т = г^), вектора настройки т = (т1,х2,...[т:1) и векторов резервирования £а =(за1,8а2,...,8а(}), (0<а<!.), отвечающих моментам настройки та, максимизирующих вероятность безотказной работы Р(1) подвижной конфликтующей системы в момент t^ прибытия ее в заданную точку г, пространства. То есть решить задачу оптимизации выбора траектории и пространственно временной стратегии резервирования избыточной подвижной системы, участвующей в конфликте [1].

Положим, что А — система из начала координат должна попасть в заданную конечную точку пространства R3. Время движения системы t^ зависит от траектории и имеет естественное ограничение (<Т, указывающее на то, что время полета ограничено.

Введем следующие ограничения для подвижной системы. В связи с тем, что прочностные характеристики аппаратной части подвижной системы всегда ограничены должно соблюдаться условие

|г^)|<М для любого [0,^(С]. (1)

Из неравенства (1) следует, что для любого (е [0,(].

|г(флИ + у0; \Щ<Ме/2 + у0Ь (2)

где v0 — начальная скорость аппаратной части подвижной системы.

Последнее ограничение на траекторию движения подвижной системы:

Ц^еУ для любого (е[0,у, (3)

где У — заданная область конечной связности в R3 (ясно, что оеУ и г,еУ).

Это ограничение «запрещает» для траектории некоторые односвязные области пространства.

Чтобы завершить построение математической модели подвижной системы воспользуемся следующим приемом. Вместо каналов связи подвижной системы с центром управления введем в каждый г-й аппаратный основной модуль п. системы переменное число фиксированных элементов пД^г) и в каждую г-ю группу резервных модулей — О1 фиктивных элементов.

Проведя такую замену удалось избавится от каналов связи и получить новую А’( — систему

с переменным числом элементов в основном и резервном модулях, где л1(^г) = п + п,(^г) + п2((,г) + ... + п,г({,г), т1 =т + 01+02+... + 0,1.

Число фиктивных элементов л,(£,?) определяется из уравнения

ЛА (( '■г)|? | = Ч (*' ?) + о, $,г)Х0Ц,г). (4)

Отсюда, учитывая, что л,(£,г) — натуральное число (опуская при записи аргументы), получим

Л. = I

^[^■1 г А о

+ 1, 1 < і < д,

(5)

р;м=-др0м,

Р'А^г) = Акр^,т)-Ок+1р^,г),

1<к<т> с начальными условиями

Рс(0) = 1, Р1(0)=р2(0) = ... = рт1(0) = 0,

(6)

(7)

0„=Ак+Вк, 1<£<

О , , =В , ,

т +1 т +1 •

Ш

Коэффициенты системы уравнений (6) вычисляются по формулам

\ = Ха,(*)М^г)- 1<к<т\

1=0

^ =ХР((*)Я.1.(е,Л- 1<*<т‘+1,

1-0

где для 0<к<т1 имеет место

Г(лг‘-А + 1).К*, если 1 = 0,

[б,л,Кк, если 0<1<д; {т1 -к + 1)Як, если г = О,

(8)

«М*Н

Р,(*) =

[б, л,-п‘0,(і), еслиі< г < д,

р((лі1+1) = 6,л(г 1 < г < д,

(9)

(10)

8, =

»,(*) =

0, если в, = О,

1, если я,. > 1,

О, если к<в,,

1, если 1с > я,. +1.

(12)

где [Х] — ближайшее натуральное число, меньшее Х.

Легко понять, что физический смысл уравнения (4) состоит в том, что суммарная интенсивность отказов каналов связи г-го модуля «перекладывается» на г-й модуль аппаратной части подвижной системы.

Будем полагать, что поведение участвующей в конфликте подвижной А (л (и),т ,я)-системы может быть аппроксимировано марковским случайным процессом с конечным числом состояний, соответствующих числу отказов в системе. Тогда система дифференциальных уравнений Колмогорова, описывающих однородный марковский процесс, соответствующий функционированию подвижной А*-системы, имеет вид [2]:

Очевидно, что ©.(1) = 1—5..

Переменная Rk определяет число возможных попаданий конфликтующей подвижной системы А (л (£,г),иг ,я) в состояние с к отказами и вычисляется [2] по формуле

А +я,

(13)

где Рк(*’г) — вероятность пребывания подвижной А*-системы в момент времени ( в состоянии с к отказами.

При этом

где Г2{-к,а) = {V |V, +\2 н-1-уь=£; V,. 0<у, <в,+С?,},

у = (у1'у2'--'уд) — целочисленный вектор, представляющий сумму целочисленных векторов (у = х + г), ^ = (Х!,Х2.*,) и г = (г1,г2.гд).

Выражение (13) получено в предположении, что к отказов в рассматриваемой подвижной системе распределены следующим образом: в г-й группе основных модулей п1 —х. отказов, в г-й группе резервных модулей т1—z. отказов (1<1^). Если х . = 0 или z. = 0, то в соответствующей группе отказов не было.

Очевидно, что аналитическое решение поставленной задачи оптимального управления, участвующей в конфликтной ситуации подвижной А (л Ц,г),т ,- системой, не представляется возможным, поэтому воспользуемся приближенным численным методом для решения данной задачи, основанным на методе дискретизации [2 — 4].

Суть этого метода, применительно к рассматриваемой задаче, состоит в том, что систему дифференциальных уравнений (6), коэффициенты которой являются функциями времени и точки пространства, в которой находится подвижная система, необходимо заменить системой дискретных аналогов, у которых коэффициенты можно рассматривать как постоянные (с заранее установленной степенью точности) на дискретных интервалах времени и пространства, в котором движется конфликтующая система A*.

Прежде всего, получим оценку Из второго неравенства (2) следует

г(і,)\ = \т{\<М^/2 + у0і,.

Отсюда имеем

(14)

ґп

Коэффициенты 5 . и © .(к), являющиеся элементами векторов 8 = (81Г52.....8,) 'и 0(*) = (©1(А),©2(*),...,©„(*)),

определяются следующим образом:

Обозначим правую часть неравенства (14) через . Ясно, что ^Г<Т.

На вектор настройки т = (х1,т2,...,т1) из физических соображений естественно наложить следующее ограничение: тт(т5+1-т5)>а, смысл которого заключается в том, что две последовательные настройки подвижной системы АЧл’^г^т1,^) нельзя производить быстро, между ними должно пройти некоторое время, не меньше а.

Обозначим теперь через е точность измерения траектории г(() движения системы A*, при которой становится заметно, когда в какой-либо окрестности любой точки (0е [0, у траектория начинает отклонятся от касательной, проходящей через точку ?(£„). Используя величину е нетрудно вычислить временной интервал дискретизации А(.

Для этого разложим вектор-функцию г = Щ) в ряд Тейлора в окрестности точки (0е [0, у и ограничимся двумя членами:

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013

16

*•(£) = г ((0)+гРо) (*(0 )■+ ^г(?0) (Г(„ )2.

Отсюда ясно, что траектория г(*) в окрестности точки (0 не будет отличаться от касательной с точностью е, если

|г(ф-*0)2/2<е.

Исходя из выражения (1), следует, что это неравенство выполняется наверное, если выполняется неравенство

ЛТ(Г-^)2/ 2<е.

Отсюда следует, что за временной интервал дискретизации можно принять

Д( = л/2е/М. (15)

При этом из физических соображений ясно, что А(<а, так как в малой окрестности любой точки гей3 пространство можно считать изотропным, а настройка подвижной систем A* необходима только тогда, когда изотропность существенно нарушается.

Теперь, на основании (15), ^ может принимать дискретные значения где 0<£<1, а

^[(г-О/д].

Координаты вектора настройки А*-системы т = (т0 =0, т1,т2,...,т1) могут принимать значения из дискретного множества зс = {о,а,2а...йа}, где <в = [(,/а].

Ясно, что т0<т1<т2<.т1<т/. Каждому моменту настройки т, отвечает вектор резервирования ^=(^1.^2.--^,), 0<а<Ь.

Обозначим через *ш=соа, 0<со<со, тогда вектор настройки т будет описываться вектором натуральных чисел сб = (ш(0),ш(1),...,(о(£)) через отображение т^ю(ст), при этом ю(0) = 0.

Обозначим Да=[ю(о)а, ю(о+1)а], 0<с^—1, и С - где 0 < V < \>(ст), а у(а) = (со(а+1) - со(сг) )[а/А1]

и введем множество Кс = [С-1.С1. 1<У<у(а).

Очевидно, что

5(0)

л* = 11 А»;

У=1

[о,м=^и до]и мча,*,],

причем для любых а#а' Д^Р Д„, = 0, для любых vФ^V и любого а справедливо Дто п Ау'о

Теперь система уравнений (6) с начальными условиями (7), описывающая поведение подвижной системы А^п1^,?),^1,®), разобьется на К(^) систем уравнений с постоянными коэффициентами и

£>£» по числу множеств Д , где

Щ) = Т У(о),

а=0

которые являются дискретным аналогом системы уравнений (6),

(р<ь) = _АуРоу'

(р1) =КР1-и-в1+иР1- ^к<т\ (16)

с начальными условиями

[ РЙо-1)(то-1). если V = 1,

рЖ-ЛЧ

[р^Ж-.Ь если 2<у<г(а), (17)

для 2<а<1 и

[ Рм>(°). еСЛи У = 1'

рМ=\

^,„-1(^-1)' если 2^',^Г(Ч, (18)

для а =1.

Коэффициенты А^ и определяются по формулам (8)^(13) с соответствующими изменениями, о которых говорилось выше. В частности, вместо п. будет п. + лД^.г), а вместо X. будет !.г.

Теперь проведем операцию дискретизации пространства, в котором перемещается участвующая в конфликтной ситуации система А*.

Допустим, что движущаяся система А* в момент времени (=(0 попала в точку пространства Т0=г. Требуется определить радиус р = р(А() максимального шара [7(г0,Д*) с центром в точке г0, за который подвижная система не выйдет за время (А(). Этот шар является пространственным аналогом элемента временной дискретизации.

Для этого решим дифференциальное неравенство |г(()|<М с начальными условиями Г(*0) = г0, г„,г^0) = га.

Получим | г(()| -1 г01 < | г01(( - (0) + М(( - ^ )2 /2 - ли0 ((- (0).

Отсюда, учитывая первое из неравенств (2), имеем

| |?Р)Н?о| | ^ К +

Следовательно,

р(Д{) = |у0 + ^-Д^Д(. (19)

Дискретизацию Х(=Х,.(*,г), 0<г<д и Д(=Д, (£,?),

1<1<д проведем, руководствуясь следующими соображениями.

Из построения множества Аго ясно, что для любого (е[0,у всегда можно найти такие а и V, что (еА . Выше было показано, что для любого те Я3 шар £7(г,Дг) = {?' ||г'-г| <р(Д()} является пространственным интервалом дискретизации.

Функции X. и Л. отображают четырехмерное евклидово пространство .К4 = О .К3 на R1, где ={фе[0,оо }, а R3 — физическое трехмерное пространство, в котором перемещается система А*. Элементом дискретизации в пространстве R4 является четырехмерный шар |г' - г | +*2 <р2+(Д*)2, объем которого и(у), где у = [/(г,Д{)®Дто, вычисляется по формуле и(у)=п2(р2+(А()2)2/2.

Теперь интенсивности отказов на элементе дискретизации у можно определить как средние интегральные:

^=Му)Г‘|л \ Х,((,г')йи', (20)

С, | ? —т |йр

л;=Мг)Г‘} л / \ц,г№, (21)

С1 I г'-фр

где г{х1,х2,х3),(1и = (1х1с1л:2(1х3.

Будем рассматривать R3 как ячеистую структуру с узлами в точках г(г') = (х1,х2,х3), где х1 = е 11, х2 = ег2, х3=ег3, а — целочисленный вектор. Будем

также считать, что подвижная система А* наблюда-

ется и корректируется только в точках г(г), что не противоречит реальности.

Установим, для каких векторов г рассматриваемая система не выйдет за пределы шара ЇУ(г0,Дґ).

Пусть вектору г0 отвечает целочисленный вектор і -(іі’Ь’Ь)- Тогда очевидно, что для всех ,

удовлетворяющих неравенству

(гі-W+{t2-t°2f +(i3 -г”)2 <[ -

(22)

точка г(г)67(го,Д0

Теперь, после проведенной дискретизации с учетом (20) и (21), формула (5) принимает вид

n,a;|?|-qx

XI

+ 1

(23)

для teА .

Выполнив дискретизацию компонентов рассматриваемой задачи перейдем к вычислению управлений, максимизирующих вероятность безотказной работы Р(1) подвижной конфликтующей системы А* в момент t^ достижения системой заданной точки г, пространства.

Необходимо вычислить управления

г = т. Т = (Т0,Т1,...,Х1) и

S =

Тогда

L,T,M,va,a,e,rf, множество V.

2. Вычислить tf“ = ±(- v0 + + 2M|r,|).

3. Вычислить Д( = д/2е/М .

4. Вычислить 7 = [(Г-(/тіп)Дґ].

5. Вычислить р =(у0 + MДt/2)Дt.

6. Положить j=0 .

7. Вычислить ^ + ,/Д*.

8. Вычислить <а = Ц{/а].

9. Для всех векторов т = (тогт;1,...,хь), где хстє%, выполнить процедуру п.п. 10 — 25.

10. Положить ст = 0.

11. Положить г0 = 0.

12. Положить у=1.

13. Вычислить z = ю(ст)+v.

14. Вычислить Х°Г,Л°Г для всех 0<г<д (Ло„=0) по формулам (20) и (21) соответственно.

15. Вычислить Д, 1<г<д по формуле (23).

16. Для всех натуральных решений *„=(*<,!.

) ова уравнения

+s„, + — + s„=m +

±Q,

где pUt) — решение системы уравнений (16) с начальными условиями (17), (18), выполнить процедуру п.п. 17 — 20.

17. Для всех целочисленных векторов/ = = (г1,г2,г3)є/2 где 7Z =/' fU* П V а множества определяются следующим образом:

матрицы, строки которой составлены из последовательности координат векторов резервирования в, максимизирующих Р(1). При этом задача максимизации Р(1) для фиксированных т и S, то есть выбор оптимальной траектории г(£), эквивалентна задаче максимизации Р(^ в любой точке te[0,tf]. Этот факт доказан в [2].

Теперь для решения задачи потребуется еще несколько неравенств, которым подчиняется траектория т = г(*), а именно: оценки снизу и сверху величины |г,-г(0|. _

Обозначим через ^) длину пути от точки г(£) до г, по траектории г((). Очевидно, что

МО = \ \г(х)\<1х<тах\т(х)|({,-*) = (Мг, + у0)((, -().

* I I I I

Обозначим г^) = (М^ + у0)(^ -{), а г^({) = М*2 /2 +

В [2] показано, что неравенство

выполняется для всех tє[0,tf].

В рассматриваемой задаче Р^) представляет функционал качества управления. Обозначим его через Р\ї,Б,гт], где т,5,г(() — управления, тогда алгоритм решения данной задачи, в котором использован принцип последовательной оптимизации, можно описать следующим образом.

Алгоритм

1. Задать .лї},{А,0(ґ,г)ЛІ(гІг)І...Лд(ґІг)}1

{л,(і,г), Л2((,г).Лд((,г)........^},{о„о2.....о,},

^ = {* ||г _iVi| е}; ?.={Щ-i\<hMt,+vo )(f,-Of-;

у = {і|еієу}, a rf=eif,

выполнить процедуру п.п. 18—19.

18. Если Iz=0, идти к п. 27.

19. Вычислить

...s“-i.sJ?(Ci);Ci]= Е PUС).

4=0

где r(f“+1) = ei, т„ =(хогт1г...,т0)г а принцип вычисления векторов s°, 0<ц<а-1 описывается в п. 21 этого алгоритма (ясно, что для ст = 0 {s0}).

20. Вычислить вектор iz eIz, для которого

Р] К - К0.«1° в,L ’■s.}. ■?|5 (Ci);С ]=

= max Р] \y„, {s0°, s°,..., s °_,, s„}, ? (£,)I Ci ],

где ?°(С)=е/г. _

21. Вычислить вектор s°, для которого

PjhM.s?.......e..sJ,?°(Ci);Ci]=

= max Pj [т„, {s0°, s,° s“_i,sJrF° (C,); Ci ] •

22. Положить v= v+1.

23. Если v < v(ct), идти к п. 13.

24. Положить ст = ст +1.

25. Если ct<L, идти к п. 11.

26. Вычислить вектор т°, для которого

Pi[^,S0,r0(ff);ff]=maxPJ.[^,S0,r0(f/);t/],

v0t. Из выражения (2) следует, что

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013

где S0 — матрица, строки которой составлены из последовательных координат векторов в£,Ш1°,...[И°.

27. Положить 7=7 + 1.

28. Если у < 7 , идти к п. 7.

29. Вычислить у , для которого

Р] [х°150гг°((/);(,]=тщс [х°г5°,?°((,);(,].

30. Конец (управление {тЛгр)} , где величины т = тI, 5 = 5°, г(£) = е/х для teАvа соответствуют индексу ], является оптимальным).

Библиографический список

1. Потапов, В. И. Постановка двух задач оптимального управления подвижной структурно-перестраиваемой избыточной системой, управляемой по каналам связи / В. И. Потапов // Динамика систем, механизмов и машин : материалы VIII Междунар. науч.-техн. конф., посвящ. 70-летию ОмГТУ. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2012. - С. 276-278.

2. Потапов, В. И. Новые задачи оптимизации резервированных систем / В. И. Потапов, С. Г. Братцев. — Иркутск : Изд-во Иркут. ун-та, 1986. — 112 с.

3. Потапов, В. И. Противоборство (дифференциальная игра) двух нейрокомпьютерных систем / В. И. Потапов, И. В. Потапов // Информационные технологии. — 2005. — № 8. — С. 53 — 57.

4. Потапов, В. И. Надежность технических нейросистем : моногр. / И. В. Потапов. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. — 212 с.

ПОТАПОВ Виктор Ильич, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Информатика и вычислительная техника», заслуженный деятель науки и техники РФ.

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 11.07.2013 г.

© В. И. Потапов

уДК 519.711.2:625.85 В. Д. БЕЛИЦКИЙ

А. В. КАТУНИН

Омский государственный технический университет

ТЕЗАУРУС МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕССА УПЛОТНЕНИЯ АСФАЛЬТОБЕТОННОЙ СМЕСИ

Приводится тезаурус математических моделей процесса уплотнения асфальтобетонной смеси. Показано, что обеспечение релаксации смеси в процессе ее уплотнения дает возможность достигнуть качества покрытия и наименьшей энергоемкости процесса уплотнения смеси. Рассмотрены алгоритм и условие реализации рациональной скорости движения дорожного катка в процессе уплотнения, что позволяет разработать алгоритм определения технологических показателей процесса уплотнения асфальтобетонной смеси, отвечающих условию минимизации энергозатрат.

Ключевые слова: математическая модель, процесс уплотнения, асфальтобетонная смесь, период релаксации.

Представление о характере изменения напряжений и деформации материала, в зависимости от его физико-механических свойств при механическом воздействии, дают реологические модели. Последние представляют среду в виде упрощенных механических моделей, составленных из элементов, каждый из которых или их сочетание дают представление об основных свойствах материала и характере напряженно-деформированного состояния под действием внешних нагрузок. Модели идеально пластического тела описывают моделью Сен-Венана. Материал такого типа под действием внешней нагрузки не деформируется пластически до тех пор, пока напряжение не превзойдет определенный предел пластичности тп [1]. Условие наступления пластической деформации как остаточной деформации сдвига определяется соотношением т = тп. Чтобы описать поведение материала, способного проявлять как

упругие, так и вязкие свойства, обычно применяют прием, позволяющий использовать уравнения Гука и Ньютона. Один из путей предложен Максвеллом, который, продифференцировав по времени уравнение Гука

- = —, (1)

М ЕсН

сложил полученную скорость деформации с той скоростью, которая определяется уравнением Ньютона

СІЕ _ X Л Г]

(2)

где т — напряжение, 8 — относительная деформация; Е — модуль упругости; t — время; п — коэффициент динамической вязкости.