CC BY
6
УДК 62-501.72
В.И. Потапов
Омский государственный технический университет, г. Омск
ПОСТАНОВКА ДВУХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОДВИЖНОЙ СТРУКТУРНО-ПЕРЕСТРАИВАЕМОЙ ИЗБЫТОЧНОЙ СИСТЕМОЙ, УПРАВЛЯЕМОЙ ПО КАНАЛАМ СВЯЗИ
В последнее время в мировой практике участились случаи отказов летательных аппаратов с катастрофическими последствиями. В качестве причин отказов выдвигаются отказы элементов управляемой подвижной системы, отказы в каналах связи системы управления и особенностями свойств пространства в котором перемещается управляемая система. Поэтому для оценки надёжности и оптимизации управления подобных подвижных избыточных систем необходима разработка новых математических моделей, описывающих поведение таких систем с учетом указанных выше причин отказов.
В общем виде задача может быть поставлена следующим образом.
Для перемещающейся в пространстве перестраиваемой избыточной системы, управляемой по каналам связи, интенсивности отказов элементов которой и каналов связи являются функциями времени и точки пространства, в которой находится система, определить оптимальные траектория движения системы, вектор настройки и векторы резервирования, обеспечивающие максимальное значение вероятности безотказной работы системы в заданной точке пространства.
В данной работе рассматривается управляемая по каналам связи перемещающаяся в
трехмерном евклидовом пространстве Я3 избыточная
Л(п,Ш5,д,А(ґ, г),т) система, состоя-
щая из п основных модулей, разбитых на И групп по
щ,п2 ,...,пч(ц> I)
модулей в каждой.
Интенсивности отказов модулей, входящих в соответствующую груп-
пу Я1 (і,г),
являются функциями времени и точки пространства, в которой
находится система. В состав подвижной системы входят, по числу основных, И групп резервных модулей по 5 ,8 ,-5
(8 > 0) модулей в каждой группе 5 + 5 + •••+ 8
= т, ин-
1 2 q I
1 2 q
тенсивность отказов каждого из которых также является функцией времени и точки пространства Л0 ^,г).
В каждой -ой группе основные модули при их отказе мгновенно замещаются резервными из этой же группы. Как только резервный модуль подключается вместо отказавшего основного в своей группе, он начинает функционировать с интенсивностью отказов 4 @,г),(1 < I < q).
Считаем, что вектор резервирования
8 = (8 ,8 ,-,8
) является переменным во време-
1 2 q
ни, т.е. в моменты времени ?1,Т^
£
по командам может происходить перераспределение
резервных модулей между группами, которое назовем настройкой системы щие моменты времениТ7 (1< 7 < £)- моментами настройки и,
т = (т ,т
1 2
,-,т
£
)— вектором настройки. Каждому моменту настройки Т7 соответствует вектор резервирования
8 = (8 ,8 7 71 7 2
,.,8 ) .
7q
В подвижной А системе каждая группа модулей (1 < I < q) получает управляющие сигналы из центра управления, размещенного, например, в начале координат пространства, в
, а соответствую-соответственно,
котором движется система, по
N1 каналам связи. Причем, отказ в каждой группе Qi
каналов связи из
мм< N) еще не приводит к отказу системы управления i -ой группы модулей подвижной системы А, а отказ ^ +1 каналов связи приводит к отказу.
Пусть
Л; (КТ )
- интенсивность отказов на единицу длины одного канала связи ; -й
группы модулей системы А, которую назовем удельной интенсивностью отказов ; -й группы каналов связи и будем использовать при разработке алгоритмов оптимального управления подвижной системой.
Положим, что А система из начала координат должна попасть в заданную конечную
точку Ту. пространства
Я . Время движения системы tу зависит от траектории и имеет естественное ограничение t^ < Т . Ограничено также
г() < М
для любого t е [0 tf ] и число
настроек, не превосходящее
ь(ь > 0).
Для описанной управляемой по каналам связи подвижной перестраиваемой избыточной системы А поставили следующие задачи оптимального управления.
Задача 1. При заданных
Л =ЛО/X
(о < ; < q) и
л = Ai (t, r ),
(1 < i < q)
для сис-
темы А разработать алгоритм вычисления траектории ее движения
r = r (t), вектора настройки Т
= (т,т2,...,т ) и векторов резервирования {sCT } = (sa l, 2 ,..., X
(0 < а < L),
отвечающих настройкам
Та ,Т0 = 0,
максимизирующих вероятность безотказной работы
f
p(t
) системы А в момент tf прибытия ее в заданную точку
Гf пространства. То есть поставлена оптимизационная задача выбора траектории и пространственно временной стратегии резервирования избыточной подвижной системы.
^Задача z. о условиях задачи!разработать алгоритм, позволяющий найти минимальное
число И избыточных модулей, для которого существует хотя бы одно управление, реали- зующее для системы А неравенство
P[m, r,{sa }, r(t);tf ] > а
где а - заданное число (0 < а < l), и вычислить управление максимизирующее функционал
Р[ X ].
Основная идея построения математической модели для решения поставленных задач заключается в том, что каналы связи каждой i -ой группы модулей избыточной системы А
заменяются некоторым числом
Щ (t, r) фиктивных модулей, добавляемых к модулям основным из i -ой группы, и Qi пы i .
фиктивных модулей, добавляемых к резервным модулям груп-
Таким образом система А заменяется на новую систему Л ременным числом основных модулей
без каналов связи, но с пе-
п (і,г) = п + п1(ґ,г) + п2(і,г)ь-ь п (і,г)
277
и числом резервных модулей, равным лей определяется из уравнения
т = т + Q1 + Q2 Ь-----Ь . Число фиктивных моду-
Ы1А1 г ) г = п г )Х1 г )ь £Ао(ґ, г )
Поведение полученной таким образом новой подвижной А системы при аппроксима-
_ции марковским процессом описывается уравнениями Колмогорова [1]
Р'(0) = Ро
ГИ I Р () I 101
Р = в(і) Р
с начальными условиями
Г Ро () 1
I I I I
1
1
где
р
I : Г
Ро _ I;
I I
I I
[. р 1 (t)]
L0J
а Р () - вероятность пребывания системы А в момент времени t в состоянии с к отказав-
шими модулями; элементы матрицы О линейно зависят от Л О,г )•
Приближенное решение задачи оптимального управления рассматриваемой подвижной системой основывается на методе дискретизации [2].
т
Библиографический список
1. Потапов, В.И. Новые задачи оптимизации резервированных систем/В.И. Потапов,
С.Г. Братцев.- Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1986.- 112с.
2. Потапов, В.И. Дифференциальная игра между управляемыми подвижными объекта-ми/В.И. Потапов, С.Г. Братцев; Омский политехнический институт.- Омск, 1985.- 31с. -Деп. в ВИНИТИ 17.07.85, № 6002-85.
