Разработка математических моделей системы «Технологическое оборудование - груз» поворотного лесопогрузчика в режиме подтягивания груза Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

«5Й5йЯ { к Г ml I Ч а Г ml I A 11Т>1 J ■ A 11 L? ¡A* J ■ L J 1.11 А I П.ШКШ!

УДК 630.377.4

В.Ф. Полетайкин, И.А. Гончаров

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМЫ “ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЕ ОБОРУДОВАНИЕ -ГРУЗ” ПОВОРОТНОГО ЛЕСОПОГРУЗЧИКА В РЕЖИМЕ ПОДТЯГИВАНИЯ ГРУЗА

Статья посвящена разработке математических моделей системы “технологическое оборудование - груз” телескопического манипулятора поворотного лесопогрузчика в режиме подтягивания груза. Ключевые слова: лесопогрузчики поворотные, манипулятор, математические модели.

V.F. Poletaykin, I.A. Goncharov

MATHEMATICAL MODEL DEVELOPMENT OF "TECHNOLOGICAL EQUIPMENT-FREIGHT" SYSTEM OF THE ROTARY LOGGER IN THE FREIGHT PULLING UP MODE

The article is devoted to the mathematical model development of "technological equipment - freight" system of the rotary logger telescopic manipulator in the freight pulling up mode.

Key words: rotary loggers, manipulator, mathematical models.

Введение. В связи с тем, что переместительные операции занимают ведущее место в технологии лесной и деревообрабатывающей промышленности, вопросы эффективного использования манипуляторов приобретают особую значимость. Практика ведения лесозаготовок в России и за рубежом показала, что лесосечные машины манипуляторного типа останутся в ближайшем будущем основными машинами, поэтому совершенствование и создание новых машин такого типа весьма актуально [1-5].

Цель исследований. Разработать математические модели системы "технологическое оборудование - груз” для поворотного лесопогрузчика в режиме подтягивания груза.

Задачи исследований. Определение кинетической энергии системы и обобщенных сил, соответствующих обобщенным координатам системы.

Методика и результаты исследований. Для разработки математических моделей в работе использованы дифференциальные уравнения Лагранжа 2-го рода.

Расчетная схема системы "технологическое оборудование - груз” представлена на рисунке. Рассматриваемый режим может иметь место при работе манипулятора в качестве технологического оборудования лесопогрузчиков, валочно-трелевочных машин, машин для бесчокерной трелевки деревьев и других лесосечных и лесотранспортных машин.

После захвата груза рабочим органом он подтягивается к машине перемещением подвижных секций телескопической стрелы при помощи механизма выдвижения секций (МВС) и поворотом колонны относительно оси О. При этом стрела совершает сложное движение: секции стрелы совершают поступательное движение относительно оси Х и одновременно стрела совершает поворот относительно оси К и оси О. Полости гидроцилиндра подъема стрелы находятся в плавающем положении, что обеспечивает свободное перемещение груза по поверхности пути.

Данный режим позволяет сократить время цикла и повысить производительность поворотного лесопогрузчика. Однако следует учитывать, что при этом возникают динамические нагрузки, которые необходимо учитывать при проектировании.

Расчетная схема системы “технологическое оборудование - груз” (манипулятор с отклоняющейся колонной); 1 - опорно-поворотное устройство; 2, 3, 4 - наружная, средняя, внутренняя секции телескопической стрелы; 5 - гидроцилиндр подъёма стрелы; 6, 7 - гидроцилиндры МВС; 8 - механизм поворота манипулятора в горизонтальной плоскости; 9 - гидроцилиндр поворота колонны; 10 - колонна

На рисунке приняты следующие обозначения: Gi, G2, G3 - силы тяжести наружной, средней и внутренней секций стрелы; Gз, Gгр, Gр - силы тяжести захвата, груза и ротатора, приведенные в точку С - точку подвеса ротатора к стреле; Go - силы тяжести механизма изменения вылета, приведенные к центру массы средней секции; Gщ, Gl2 - силы тяжести гидроцилиндров выдвижения секций стрелы. Принимаем Gц1 = G^; Gцз, Gl4 - силы тяжести гидроцилиндров подъема стрелы и поворота колонны; Gnp.K- суммарная сила тяжести элементов конструкции колонны, приведенная к точке K; Pe - усилие на штоке гидроцилиндра поворота колонны; Рщ, Рц2 - усилия на штоках гидроцилиндров механизма изменения вылета, Рц = Рц2; Pf - сила сопротивления перемещению дерева; Li - размер стрелы при выдвинутых секциях; 1, ¡г, ¡з, ¡4, ¡5 - расстояния от оси вращения стрелы К до центров тяжести элементов конструкции; ¡, ¡6, ¡7, ¡8, ¡9, ¡10, ¡11 - размеры элементов конструкции манипулятора; a - угол поворота колонны в плоскости Z1OX1; á - угловая скорость

вращения колонны; S - ход телескопического устройства стрелы; S - скорость поступательного движения секций; ф - угол поворота стрелы в плоскости ZKX; ф - угловая скорость вращения стрелы; Vk - скорость

перемещения колонны; y и Yi - вспомогательные углы.

Стрела совершает вращение с одновременным втягиванием секций в плоскости ZKX, колонна вращается в плоскости Z1OX1. Углы поворота а и ф, а также величина перемещения секций S, однозначно

определяют положения данных элементов системы в плоскостях вращения. Исходя из этого, данную систе-

му можно рассматривать как систему с тремя степенями свободы (K=3) с обобщенными координатами a,S и ф.

Для составления уравнений движения данной механической системы воспользуемся уравнениями Лагранжа 2-го рода. В соответствии с числом степеней свободы системы записываем три уравнения Лагранжа:

d дГ дТ d ,дТ. дТ _п d .дТ. дТ __ ж

dt( дсп да~ а; dt( dS dS ~ Qs ; dt( дф дф~ Q '

где Т- кинетическая энергия системы; Оа - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате а; Ог - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате Б; Оф - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате ф.

Кинетическая энергия рассматриваемой системы равна сумме кинетических энергий колонны, стрелы и груза:

Т = Тк + Тгр + Тс, (2)

где Тк - кинетическая энергия приведенной к точке К массы колонны и элементов конструкции, смонтированных на ней (гидроцилиндров поворота колонны и подъема стрелы и других частей гидропривода);

Тгр - кинетическая энергия груза, захвата и ротатора; Тс - кинетическая энергия массы стрелы.

Кинетическая энергия колонны равна:

т • 2 т-2-2

Т = = тпр.к ^ка (3)

Тк = 2 = 2 ' (3)

Получено выражение приведенной к точке К массы колонны и элементов конструкции:

I2 I2

тпр.к = 0,25тк + 0,125тЦ3 • — + 0,125тЦ4 • -2- . (4)

^к ^к

Подставив (4) в (3), получим выражение для определения кинетической энергии колонны:

l2 l2

(0,25тк + 0,125тЦ3 • —+ 0,125тЦ4 • -8т)LKcc2

-Lrv

Tk =--------------------------------------------------------------------------------------2-K- . (5)

Так как захват, ротатор и груз перемещаются по поверхности погрузочной площадки, их кинетическая энергия равна:

(тр + тз + т )Ч2ГС Тгр =---------------------------------------------------------------------2-' (6)

где Vrc - скорость горизонтального перемещения масс тр, mз, тгр по поверхности погрузочной площадки.

Скорость V гс величина переменная, напрямую зависящая от значения угла ф. Она определяется по следующим выражениям:

При (р> 90° и у2 = ф- 90° Vrc = Vk cos(y + у2) + S cos у . (7)

Скорость перемещения колонны Vk определяется из выражения:

VK = aLK . (8)

Таким образом, кинетическая энергия груза, захвата и ротатора для данного случая будет определяться из выражения:

T = (тр + тз + тгр )(аС LK cos(Y+Y2) + S cosY)2 (9)

Тгрі 2 . (9)

При (p< 90° и y2 = 90 °-ф Vrc = Vk cos(y 2 -y) + S cos у. (10)

Для данного случая кинетическая энергия равна:

(тр + тз + т )(аiLK cos(y2 - y) + Scosy)

гр ___ \ - р з гр/\ К \ > 2// ~----// (лл\

^Р2_ 2 ■

Элементы конструкции стрелы движутся с постоянной скоростью Ус, которая определяется из выра-

жения:

VCl = -jVK + S2 + 2VKScosy2 =-Jd2LK + S2 + 2dSLK cosy2 . (12)

Кинетическая энергия системы в конце первого этапа определяется следующим выражением:

Т1 = ~{Ф 2[(m3r52 + m^2r22 + m2r42 + m0r42 + тЦ1г12 + m1r32) + (т3(-r5S + 0,25S2) +

+ m^ 2(-0,5r2S + 0,0625S2)] + [а2 L"K (т3 + 0,5т ц 2 + т2 + т0 + т^ 1 + т1) + S 2(т3 + 0,5т ц 2) + (13)

+ 2aLKScos^2(m3 + 0,5тц2)] + [(a2LK cos2(y + у2))(тр + т3 + тгр) +

+ (2аLK cos(Y+ Y2)Scos у)(тР + m3 + тгр) + (S2 cos2 Y)(mP + m3 + тгр)] + [mnpKL2Kcx2]}.

Кинетическая энергия системы в конце второго этапа определяется по выражению:

Т2 = "^{Ф 2[(m1r32 + тцГ + m2r42 + т0г2 + тзГ52 + тц 2 Г2) + (т^(-'0,5^S + 0,0625S2) +

+ т2 (—r4S + 0,25S2 ) + т0 (-r4S + 0,25S2 ) + т3 (-2r5S + S2) + тЦ2 (-1,5r2S + 0,5625S2)] + (1 4)

+ [ах 2Lk (т1 + т2 + т3 + 0,5тЦ1 + тц2 + т0) + S2 (т2 + т3 + 0,5т цц + тц2 + т0) +

+ 2ах LkS cos Y2 (т2 + т3 + 0,5тц 1 + тц2 + т0)] + [(ах2Lk cos2 (Y2 - Y))(mр + т3 + тГр ) +

+ (2« Lk cos(Y2 - Y)Scos х)(тр +т3 +тгр) + (S2 cos2 ^)(тf + m3 + mrp)] + [mnp.KL2Kii2]}

Для получения уравнений движения системы на первом и втором этапах производим дифференцирование выражений (13) и (14) по составляющим уравнений Лагранжа. Далее подставляем результаты дифференцирования кинетической энергии в левые части уравнений Лагранжа (1).

Так как гидроцилиндры подъема стрелы находятся в плавающем положении, то сила тяжести стрелы в любой момент времени распределяется между точками K и C. Составляющие силы тяжести стрелы: GCK - часть силы тяжести стрелы, передающаяся на колонну; GCC - часть силы тяжести стрелы, передающаяся на захват, ротатор и груз.

Точка приложения равнодействующей сил тяжести частей стрелы может быть определена из выражения, составленного на основании теоремы Вариньона:

2G,l, = GcLc , (15)

где Gi - силы тяжести составных частей стрелы; l. - координаты центров тяжести частей G, относительно точки К; Gc - сила тяжести стрелы, равная сумме сил тяжести составных частей; LC - координата центра тяжести стрелы относительно точки К.

Lc = 2 G/!l . (16)

Gc

Значение ОС определим из уравнения равновесия стрелы относительно точки К:

2Mk = 0 ; - GcLc - GCCLi = 0; GC = . (17)

Li

Значение ОК = ОС — ОС ■

(18)

Значения ОС и ОК величины переменные, зависящие от размеров 1_1 и ЬС, поэтому при моделировании режима движения стрелы с грузом их необходимо определять на каждом шаге варьирования факторов.

Сила сопротивления перемещению дерева, сил тяжести стрелы, захвата и ротатора:

На первом этапе движения стрелы обобщенная сила QS1 равна сумме проекций всех сил, совершающих работу в направлении обобщенной координаты Б, то есть QS1 = £ ■

Составляющая силы сопротивления Рг на первом этапе движения Рп на направление координаты Б:

Отсюда обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате Б для первого этапа 0 < ДS <

0,5Б, будет равна:

Обобщенная сила Q в конце первого этапа движения равна сумме моментов всех сил относительно точки К, совершающих работу в данном направлении:

Обобщенная сила Qa1 равна сумме моментов всех сил, совершающих работу относительно оси вращения колонны:

Подставив выражения обобщенных сил QS1, QS2, Qv,, Qv2, Qa1, Qa2 в правые части уравнений

Лагранжа (1), получим полные уравнения движения системы "рабочее оборудование - груз” для первого и второго этапов 0 < ДS < 0,5Б и 0,5Б < ДS < Б.

Математическая модель движения системы "рабочее оборудование-груз” для первого этапа движения (0 < ДS < 0,5Б) имеет следующий вид:

Рг = (Од + О3 + Огр + ОС)/.

(19)

(20)

QS1 = ^ РЯ1 = РЦ2 [(0,5ОЦ2 + О3 + ОР + О3 + ОГР ) ■ Я1П У + Pf 1 ■ 00Я У].

(21)

QVl = ^ м к = [—Оц 2 (/2 — 0,255) — Оз( /5 — 0,55) — (Ор + Оз + Огр )(Ь1 — 0,55) —

— ^^0 ^4 — О'2 14 — ОЦ1 Д — /3 ] 008 у — Pf 81П. у(^1 — 0,55) — (^^Ц1 + ^^0 + О'ц2 )^7 81П у +

+ (О~1 + О'2 + О'з + О'р + О'з + О'гр )/б 81П у — Pf 008 у/^ •

(22)

^1 = ^ Мо = ^ я1п а219 [(Ос + Опр.к )Ьк 00Я а1 + Pf 008 У(Ьк + ^)].

(23)

По аналогии получены обобщенные силы для второго этапа движения стрелы:

(25)

Qa2 = МО = ^ 81П а2 19 [(ОС + ОПр.К )ЬК 008 а1 + Pf 008 У (ЬК + 16 )] ■

(26)

S (m3 + 0,5шд 2) + а (m3 Lk cos Y2 + 0,5m^ 2 cos Y2) —

— а (m3 Lk sin Y2 • Y2 + 0,5тд 2 Lk sin Y2 • Y2) +

+ а( mpLk cos(y + ^2)cos y + m3Lk cos(y + Y2) cos y + mrpLk cos(y + ^2)cos y) —

— а (ШрLk sin(y + Y2XY + Y2)' cos y + m3Lk sin(y + Y2XY + Y2)' cosy +

+ mrpLK sin(Y + Y2)(Y + Y2)' cos y)— а(шрLK cos(y + Y2)sin Y' Y+

+ Ш3Lk cos(y + Y2)sin Y' Y + шгрLk cos(y + Y2)sin Y' Y) +

+ S(mp cos2 y + m3 cos2 y + m^p cos2 y) —

— 2S(mp cos y sin Y ' Y + m3 cos y sin y ' Y +m^ cos y sin y ' Y)] —

2

— (m3(—r5 + 0,5S) + mц 2(—0,5r2 + 0,125S))] =

= Рц2 — [(0,5G42 + G3 + Gp + G3 + ) ' sin y + Pf 1 ' cos y] ,

ф [m3(r52 — r5 S + 0,25S 2) + mQ 2(r22 —0,5r2 S + 0,0625S 2) +

+ m2r42 + m0r42 +mQ 1r12 + m1r32 ] + <£>[m3 (r5S + 0,25 • 2S • S) +

+ mQ2(0,5r2S + 0,0625 • 2S • S)] = [—G02(l2 — 0,25S) — G3(l5 — 0,5S) — (27'

— (Gb + GP + GAb) (L1 — 0,5S) — G0 14 — G2 14 — G01 l1 — G1 l3 ] cos Y —

— Pf sin y(Li — 0,5 S) — (Gtíi + G0 + G~q 2 )ly sin y +

+ (G1 + G2 + G3 + Gb + Gp + GAb)l6 sin Y — Pf cos /l6

[а(ХКш3 + LK 0,5шц 2 + LKm2 + iL^m + 1 + L^mi) +

+ S (m3LK cosy2 + 0,5шЦ2Lk cosy2) — S(m3LK siny2y2 + 0,5шЦ2Ьк sin y2y2) +

+ а(шРL2Kcos2(y + y2) + m3L2Kcos2(y + y2) + шгрL2Kcos2(y + y2)) -

— 2а(ш p l2kcos(Y + Y2)sin(Y + У2)(У + У2) +

+ Шз l2kcos(Y + y2)sin(y + У2)(У + У2У +

+ шгр L2Kcos(y + y2)sin(y + У2)(У + У2)') +

+ S(mp LKcos(y + y2)cosy + m3 LKcos(y + y2)cosy + шгр LKcos(y + y2)cosy) —

— S(m p LKsin(y + y2)(y + y2)'cosy+ m3 LKsin(y + y2)(y + y2)'cosy +

+ mrp LKsin(Y + У 2 )(У + У2)' cosy) —

— S(mp LKcos(y + y2)sinyy + m 3LKcos(y + y2)sinyy + m rpLKcos(y + y2)sinyy) +

+ ашПР.КL2k ] = PC sin а219 — [(Gck + G’KpK )LK cos а1 + Pf cos y (Lk +16)].

Математическая модель движения системы "рабочее оборудование - груз” для второго этапа движения (0,5S < AS < S) имеет следующий вид:

[S (ш2 + m3 + 0,5шц 1 + Шц2 + m0) + а(т2LK cos y2 + m3LK cos y2 +

+ 0,5mц 1Lk cos y2 + Шц 2Lk cosy2 + m0LK cos y2) — а(т2LK sin y2 • Y2 +

+ m3LK sin y2 • Y2 + 0,5mц1Ьк sin y2 • Y2 + Шц 2LK sin y2 • Y2 + m0LK sin y2 • Y2 ) +

+ а(тРLK cos(y2 — y) cos y + m3LK cos(y2 — Y) cos y + mrpLK cos(y2 — y) cos y) —

— а(тРLK sin(y2 — Y)(Y2 — Y) cos y + m3LK sin(y2 — Y)(Y2 — Y) cos y +

+ mrpLK sin(y2 — Y)(Y2 — Y) cosy) — á(mpLK cos(y2 — y)siny • Y +

+ m3 LK cos(y2 — Y) sin y • Y + mrp LK cos(y2 — Y) sin у/ ) +

+ S (mp cos2 y + m3 cos2 y + mrp cos2 y) — 2S (mp cosy sin y • / + m3 cos y sin y • / +

2

+ m^ cosy sin y • / )] — [r~ {Шц 1(—0,5r1 + 0,125 S) + m2(—r4 + 0,5S) +

+ m0(—r4 + 0,5S) + m3(—2r5 + 2S) + шЦ 2(—1,5 r2 + 1,125 S)}] =

= Рц1 — [^ц2 + 0,5G~ц 1 + G3 + ^^2 + G0 + ^Gp + G'33 + ^Gpp ) • sin y + Pf 2 • cos y]

ф[т1г3 + mó 1(r1 —0,5r1 S + 0,0625S ) +m2(r4 — r4S + 0,25S ) +

+ m0 (r42 — r4 S + 0,25S2) + m3 (r52 — 2r5 S + S2) +

+ mó 2 (r22 — 1,5r2S + 0,5625S2)] + <ф[т01 (0,5r1S + 0,0625 • 2S • S) +

+m2 (r4S + 0,25 • 2S • S) + m0 (r4S + 0,25 • 2S • S) +

+ m3 (2r5S + 2S • S) + mó2 (1,5r2S + 0,5625 • 2S • S)] =

= [—Gq 2(l2 — 0,75S) — G3 (I5 — S) — (Gb + Gc + GlB) (L — S) —

— G0(l4 — 0,5S) — G2 (l4 — 0,5S) — Gó 1(l1 — 0,25S) — G1 /3]cosy —

— Pf sin y(L1 — S) — (Gó 1 + G0 + Gó 2 )l7 sin y +

+ (G1 + G2 + G3 + Gb + Ge + GAb )l6 sin Y — Pf cos yl6

[¿(¿Кт1 + LKm2 + LKm3 + LK 0,5тц1 + ^ктц2 + L2Km0) + S(m2LK cos y2 +m3LK cos y2 +

+ 0,5mц 1Lk cos y2 +тц2LK cos y2 + m0LK cos y2) — S(m2LK sin y2 • /2 +

+m3LK sin y2 • У2 +0,5шЦ1Ьк sin y2 • /2 +тц2LK sin y2 • /2 +m0LK sin y2 • /2) +

+ ¿(mpLK cos2 (y2 — /) + m3LK cos2 (y2 — /) + mipL2K cos2(y2 — /)) —

— 2á(mpL2k cos(/2 — y) sin(/2 — y)(/2 — /y +m3L2k cos(/2 — y) sin(/2 — Y)(/2 — Yy +

+ mrpL2k cos(/2 — y) sin(/2 — y)(/2 — y)') + S(mpLkcos(Y2 - Y)cosY +

+m3LKcos(/2 - y)cosy +mipLKcos(/2 - y)cosy) — S(mpLk sin(/2 — y)(/2 — /)' cos / +

+m3Lk sin(/2 — Y)(Y2 — Yy cos Y + mipLK sin/2 — Y)(Y2 — Yy cos /!)—

— S(mpLk cos(/2 — y) sin / • / +m3Lk cos(/2 — y) sin / • / +

+ mip Lk cos(/2 — y) sin / • /) + атЛрК. LK ] =

= PC sin а219 — [(G¿f + G^p K )LK cos а1 + Pf cos / (Lk +16)].

Заключение. В результате проделанной работы получены математические модели движения системы "технологическое оборудование - груз” поворотного лесопогрузчика в режиме подтягивания груза, позволяющие исследовать влияние на уровень динамических нагрузок на элементы конструкции конструктивных и эксплуатационных факторов (скорость поступательного движения секций, угловая скорость вращения стрелы, угловая скорость вращения колонны и т.д.).

Литература

1. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 2. Динамика. - М.: Наука, 1968. - 624 с.

2. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. 2. Динамика. - М.: Высш. шк., 1966. - 411 с.

3. Полетайкин В.Ф. Проектирование специальных лесных машин: учеб. пособие. - Красноярск: Изд-во СибГТУ, 2011. - 282 с.

4. Колесников П.Г. Моделирование рабочих режимов лесопогрузчика с переменным вылетом груза: монография. - Красноярск: СибГТУ, 2007. - 128 с.

5. Полетайкин В.Ф. Прикладная механика лесных подъемно-транспортных машин. Лесопогрузчики гусеничные: монография. - Красноярск: СибГТУ, 2010. - 280 с.