Разомкнутая модель управления кресла-тренажера пилота, управляемого по рывку Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.01 А.И. Родионов СГГ А, Новосибирск

РАЗОМКНУТАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ КРЕСЛА-ТРЕНАЖЕРА ПИЛОТА, УПРАВЛЯЕМОГО ПО РЫВКУ

1. Введение

В нашей работе [1] говорилось о построении разомкнутых моделей управления программных аэрокосмических, мехатронных и электромеханических систем высших порядков. К этим системам относятся системы с неполными дифференциальными программами движения, начиная с нелинейных по ускорениям. Уравнения движения таких систем выводятся в рамках Расширения Классической Механики на движение систем с неголономными связями высших порядков и являются основой разомкнутых моделей управления. Результаты нашего варианта построения такого Расширения Механики опубликованы в ряде работ, например, в [1-7].

В данной работе кратко представлены только «Appell - подобная» - RA и «LaGrange - подобная» - Rs.L аналитические формы уравнений движения из [1]. На их основе и на Расширении постулата Максвелла на электромеханические системы высших порядков строятся «LaGrange -Maxwell - подобная»- RL-M и RsA-M - «Appell - Maxwell - подобная» формы уравнений, удобные для решения прикладных задач электромеханики и мехатроники высших порядков. В качестве примера построена плоская электромеханическая разомкнутая модель управления электромеханического испытательного стенда - “кресла - тренажера” пилота или космонавта, управляемого по рывку.

2. Разомкнутые модели управления движением

Представим движение системы как движение Изображающей Точки (ИТ)в пространстве E3N по Риманову многообразию RS [1-4]. Оно определено голономными связями, определяющими конфигурацию RS числом

обобщенных координат системы qJ и стеснено неголономными связями -

неполными программами движения вида:

(к)

fp = fp(t,qJ ,-qJ) = о , p < s . (1)

Согласно [1-3] Appell - подобная" - RsA и "LaGrange - подобная" - Rs уравнений движения систем с неполными дифференциальными программами движения", определяющие с точки зрения теории управления разомкнутую модель управления, имеют вид:

RsA - форма

д «X = Л p диР + ^Г>( р) + дфр) = о

(и) (и-1)

Ч] д]^Р + ^Р(г,qj,... qj ) = 0 (2)

j = 1,2. . ..£, р < я -1, и = г + 2, q = 1,2, если к < 1, то г = 0, если к > 2, то г = к - q.

- форма

л

(3)

Лфг+ > (К(г+1 >)=л р д {/р + ф р)+дгр)

(г+2) (г+1)

qj д{/Р + wp(г,^,...qj ) = 0

ф = 1,2. ..г + 2, р < г +1, q = 1,2, если к < 1,то г = 0, если к > 2, то г = к - q.

Здесь, согласно [1], (^р есть обобщенный силовой фактор г-го

порядка:

(г) (г( N (г)

оф) = (р• вф) = (р-д„'ж) =2(f , • д0,71). (4)

і = 1

Физическая величина Кп есть универсальная динамическая мера

движения Кинэта.

(п) 1 N (п)

Кп = М(х )2/2=-2т<;(?()) . (5)

2 і=1

Заметим, что К = Т является кинетической энергией системы, а К2 = £

Л

- функцией Аппеля - энергией ускорений [8]. Лг+Х) = dtд гф - (г + 1)-хдг' есть

оператор Эйлера - Лагранжа Параметры q =1 при нелинейных, q = 2 при

(к) (

линейных по хі связях. Р(РІ) = Орві - вектор силового фактора задаваемых

сил равен р = f /, ц = ті /М, і < 3N, а есть /-компонента задаваемых

сил, О р - задаваемая обобщенная сила; 6і- ИТ - базисные координатные

векторы касательного к ^ пространства ES 6і = gijej; gij -

контравариантные компоненты метрического тензора Я определяются структурой выражения кинетической энергии системы [8]. Вектор - функция

Тк .Lдkfp определяет отличную от ^-градиентной часть управления.

Неопределенные множители Лагранжа, представленные в разных видах как

(г+2) (г)

Лр = Л (г) = Цр =Чр, могут быть найденыв результате решения систем уравнений (2-3).

3. Разомкнутые модели управления электромеханических систем и мехатронных модулей высших порядков

В динамике электромеханических систем и мехатронных модулей

высших порядков имеет место аналог уравнений Лагранжа - Максвелла -

RsL-М - форма уравнений, которая выглядит согласно [1] так:

л

Л'+[} (V,,) = х р 8 у/р -0'+1Я(.+1) + І Р)+д<;'(Т)

( ^) ( 5-1)

8{/р + Шр(ї,,... ) = 0

у =1,2... .5, р < 5 -1, 5 = г + 2, д = 1,2, если к < 1, то г = 0, если к > 2, то г = к - д (6)

Здесь L(r + 1) и R(r + 1) - функции Лагранжа и Релея (г+1)-го порядка -аналоги классических функции Лагранжа и Релея. Они вычисляются по формулам:

т т мех . т Эл т) т) мех . т) Эл

(г + 1) (г + 1) (г + 1) , (г + 1) (г + 1) (г + 1) , ^7^

При этом

т мех _ мех _ Т-Т мех т Эл _ Эл _ Эл Ь(г +1) = +1) П (г), +1) = К(г +1) П (г) .

(8)

П(г) - (г)-й аналог потенциальной энергии в таких электромеханических системах, для которых она вычисляется по формуле

П = куш/ 2. (9)

Тогда функции П(Г) и R(Г+1) имеют вид:

(г)(г) (г+1)( г + 1)

п(г) = куЯіЯі/2, ^г+1) = гу Яі я у/2 ^

Здесь ку и Гу - квазиупругие и диссипативные коэффициенты системы. Если же потенциальная энергия системы представляется в виде, отличном от (10), то уравнения движения составляются в RsA-M форме

1(г)/п\ а. п(гЬг\^п(г)>

_ /I ll-.tr — II . / \ / , , -г I ' ' ' 1 -1- ’ ' '

'П^П

8Х=Хр8Цр-8^) + 0Т)(П) + $(Р)+ду>(Т)

(и) . (и-1)

ду 8]у/р + Шр(ї,яу,...Яу ) = 0

І = 1,2...5, р < 5 -1, и = г + 2, д = 1,2,

(11)

если к < 1, то г = 0, если к > 2, то г = к - д Здесь

І) = (4г)(-80П ■ ёу). (12)

Уравнения (6) и (11) адекватно описывают движение электромеханических систем и мехатронных модулей с неполными

<

дифференциальными программами движения (1) и являются основой разомкнутых моделей управления таких систем.

Пример

Известно, что живой организм наиболее неприятно реагирует на резкие и неожиданные изменения ускорения, то есть на рывок. В качестве примера рассмотрим разомкнутую модель управления движением плоской модели (2, ф) кресла - тренажера пилота, управляемого по рывку и представленного на рисунке.

Здесь: ш-масса всей системы,

= / - момент инерции тренажера относительно оси х; с - жесткость пружин; Ь - коэффициент демпфирования; В - магнитное поле в зазоре; R -активное сопротивление катушки; L - индуктивность катушки; п - число витков катушки; г - средний радиус катушки. Управляющие напряжения

В т

и ,и2 подаются на катушки. Силы Ампера являются управляющими

силами. За механические обобщенные координаты взяты: Я\мех = гс = х -отклонение центра масс стола от положения статического равновесия, 42мех = Ф - угол ф. Будем считать его малым. Заряды, протекающие по катушкам К1 и К2 -. д1эл = д, д2эл = е, взяты за электрические обобщенные

координаты. При этом - 1д = д, 1е = де .

Управление движением тренажера осуществим, например, в соответствии с неполной дифференциальной программой движения, задаваемой уравнением

/ = к

мех

2

к

мех

20

= 0.

(13)

Составим его уравнения движения в RsL-M-форме. В результате уравнения разомкнутой модели управления движением кресла-тренажера в переменных х,ф,ид,ие,ц примут вид:

шх+ (Ь-цш)х+ сх = 0, /(ф-цф-ф ) + сі ф = 0

сі * *

Ь—(ц( ші х - / ф)) + Я ц( ші х - / ф) = 4%гпіВ и 4 — 4 * * *

Ь—(ц( шіх + / ф)) + Я ц( шіх + / ф) = 4%гп1Вие

—

(14)

3

<

... ' 3

шхх+ /(ф+ 2(ф) )ф = 0

1. Родионов А.И. К динамике мехатронных систем с неполными дифференциальными программами движения / А.И. Родионов // Вестник СГГА. (Физика) - Новосибирск: Изд-во СГГА, - 2002. - Выпуск 7. - С. 205-211.

2. Родионов А.И. Основания неголономной механики произвольных порядков / А.И. Родионов // Труды междунар. науч.-тех. конф. "Науч. основы высоких технологий" 1997, Новосибирск, Россия. - Т.6. “Математика и физика”. - С. 62-64.

3. Родионов А.И. Уравнения движения неголономных систем высших порядков / А.И. Родионов // Сб. науч. тр. НГТУ. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1997. - № 2(7). - С. 85-96.

4. Родионов А.И. Составление и исследование уравнений движения голономных и неголономных систем методом обобщенных сил / П.И. Остроменский, А.И. Родионов // Научный вестник НГТУ. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1997. - № 1(3). - С. 121-140.

5. Rodionov A.I. On nonholonomic dynamics of any orders / A.I. Rodionov // Korus 2001. Proc. Of the 5 Korea-Russia Intern. Symp. on Science and Technology. June 26-July 3, 2001, Tomsk, Russia. - Vol.1, Mechanics. - P.250-254.

6. Rodionov A.I. On dynamics of mechatronic systems with incomplete differential programs of motion / A.I. Rodionov, V.M. Kaveshnikov // Proc. of 11 World Cong. in Mech. and Machine Science. April 1-4, 2004, Tianjin, China. -Vol.3, Mechatronics, - P. 1331-1335.

7. Rodionov A.I. On dynamics of arbitrary orders mechatronic systems / A.I. Rodionov // APEIE-2004. Proc. of 7 Intern. conf. on actual problems of electronic instrument engineering. September 21-24, 2004, Novosibirsk, Russia. - Vol. 1. - P. 165-171.

8. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. - М.: ГИФ-МЛ, 1961. - 824 с.

© А.И. Родионов, 2007