Ковариантные формы принципов и уравнений движения систем с дифференциальными связями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Заключение

Операторы из множества обобщённого оператора Gsx могут быть использованы в приложениях и, прежде всего, для описания пространств с дробной размерностью и описания самых разных процессов в таких пространствах.

Может оказаться, что для тех или иных конкретных процессов в пространствах дробных размерностей будут подходить одни операторы дробного интегродифференцирования из множества обобщённого оператора Gsx, а для других процес-

сов больше будут подходить другие операторы из того же множества.

При выборе операторов из множества Gsx для приложений можно исходить из теоретического принципа простоты, согласно которому их двух операторов правильным должен быть признан наиболее простой из них. Но принцип простоты носит скорее рекомендательный характер. Окончательный отбор операторов из множества Gsx следует проводить, опираясь на конкретные результаты наблюдений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чуриков В. А. Обобщённый вещественный локальный оператор дробного интегродифференцирования // Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики: Матер. II Междунар. Российско-Узбекского симпозиума. -

Кабардино-Балкарская республика, Эльбрус, 28 мая - 1 июня 2012. - Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2012. - С. 285-287.

2. Чуриков В.А. Краткое введение в дробный анализ целочисленных порядков. - Томск: Изд-во ТПУ, 2011. - 72 с.

Поступила 22.02.2013 г.

УДК 531.01

КОВАРИАНТНЫЕ ФОРМЫ ПРИНЦИПОВ И УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИ

А.И. Родионов

Новосибирский Государственный технический университет E-mail: [email protected]

Представлен авторский взгляд на систему дифференциальных вариационных принципов и уравнений механики систем с произвольными дифференциальными связями. Он основан на варианте расширения классической механики, описывающем динамику голономных и неголономных систем произвольных порядков. Для несвободной системы вводится ее изображающая точка. Она движется в пространстве E3N по многообразию Rm, стеснённому также дифференциальными связями. На основе уравнений движения ИТ выводятся ковариантные формы уравнений и принципов механики неголономных систем высших порядков.

Ключевые слова:

Системы с произвольными дифференциальными связями, дифференциальные вариационные принципы механики неголономных систем произвольных порядков, изображающая точка системы, уравнения движения изображающей точки системы, ковариантные формы уравнений движения и принципов.

Key words:

Systems with any differential constraints, differential variation principles of mechanics of any orders nonholonomic systems, Affix of a system, Affix motion equations, covariant forms of motion equations and principles.

Введение

Современное состояние и развитие мехатрони-ки, авионики и точной электромеханики поставило вопрос об адекватных механических моделях динамики систем управляемого движения с полными и неполными дифференциальными программами движения высших порядков. К таким системам относятся системы, управляемые по резкости-рывку и производным более высоких порядков.

Во второй половине ХХ в. стало понятно, что большой класс движений систем, управляемых по какой-либо программе, может быть описан как класс систем с голономными и неголономными связями общего вида [1]. А уравнения связей исполняют роль программ движения. В рамках одно-

го формализма эти связи могут быть определены как дифференциальные связи высших порядков.

Известно, что построение механики твердых тел и распределенных систем на основе дифференциальных и интегральных вариационных соотношений и принципов является устоявшейся научной традицией [2-5] и с развитием вычислительных методов и техники приобрело большое практическое значение. Разделение всех принципов на вариационные соотношения и собственно принципы признается рядом авторов и имеет в рамках вариационного исчисления глубокий смысл. Придерживаясь этой точки зрения, мы всё же будем называть в дальнейшем соотношения и собственно принципы для краткости принципами. В данной

работе рассмотрим подробно только уравнения движений и дифференциальные принципы произвольных порядков. Каковы же эти уравнения и принципы?

Ответ на эти вопросы был получен в работах [6-13]. Так, в статьях [6, 9] были выведены уравнения движения систем с идеальными по Гартун-гу-Добронравову [5] дифференциальными связями высших порядков непосредственно из основных положений классической механики. А в статьях [10-13] описаны основы динамики систем с произвольными дифференциальными связями, приведены примеры задач и их решения. В [7] на основе результатов работы [6] были получены дифференциальные вариационные принципы для систем с идеальными по Гартунгу-Добронравову дифференциальными связями высших порядков и доказана их необходимость и достаточность.

О дифференциальных принципах

При дифференциальных связях вида

Г ■ (к)

\ур = ур(ъ х,-, ж,-ж,-) = о [р < 3Ы -1, , = 1,2,...,3N к >2

принципы систем с идеальными по Гартунгу-Доб-ронравову дифференциальными связями высших порядков выглядят согласно [7] так:

N $(к-?) (к)

- тЛ )<5* Г = °.

-д)

(1)

Здесь 8к - частная изохронная вариация вектора

(к)

г , q=1 для нелинейных, а q=2 для линейных по

(к)

Г связей. Оказалось, что один из Принципов (1)

при q=2 эквивалентен принципу из [4] для систем

(к)

с линейными по q1 уравнениями связей.

Что же касается известных принципов и вариационных соотношений, то исторически они были сформулированы как независимые. И каждый имел своё собственное обоснование и интерпретацию. Принципы Даламбера-Лагранжа (&=0), Су-слова-Журдена (&=1), Гаусса (&=2), Манжеро-на-Делеану ^>3) в предложенных обозначениях

(к)

имеют вид X № - ш,яе) 8кг = 0. Обратим

внима-

са позволил в работе [14] получить вариационное условие и замкнуть систему уравнений, описывающую процесс удара абсолютно твёрдого шара по упругому полупространству.

Естественно, возник вопрос о полной системе дифференциальных принципов механики в рамках парадигмы классической механики, адекватных различным типам дифференциальных связей. Такая система принципов для систем с идеальными по Гартунгу-Добронравову дифференциальными связями была выведена в векторной форме и представлена в виде таблицы в работе [8].

Изображающая точка системы

и её уравнения движения

Для вывода полной системы дифференциальных принципов мы воспользовались в [8] понятием изображающей точки системы (ИТ) [4-6], движущейся несвободно в абстрактном пространстве Ет по многообразию Rm.

Представим г^у,,^) как гХхз^ЖзыЖм) а

$1(Х1,'¥1^1) как ^1([з1-2,/з1-1,1з1), m^=m3^-2=m3^-1=m3^;

N

М = ^ш„. Введем, как это сделано в [4, 7-13],

1=1

ИТ, имеющую массу М, радиус-вектор хХ), где Xi=XЛ^^i, Н=т/М, £=1,2,...,3^ Тогда, согласно [10], система векторных уравнений движения ИТ, приведённая к одному дифференциальному порядку и подобная уравнениям Лагранжа 1-го рода, примет вид:

(к)

(к)

ние на то, что принцип Даламбера-Лагранжа необходим и достаточен для описания движения голономных систем и систем с линейными по скоростям неголономными связями. Принцип Сусло-ва-Журдена - для голономных систем и систем с произвольными по скоростям неголономными связями. Принцип Гаусса - для голономных систем, систем с произвольными по скоростям и линейными по ускорениям неголономными связями. И для описания движения классических голономных и неголономных управляемых систем этих принципов вполне достаточно. Так, именно принцип Гаус-

М х = Ж +Хрдфр1д х + Тк, Тк ±дур/д х а)

(к) М (5-1)

<1$р = (дур / д х) х + ЧР(г,X,,... X,) = 0 Ь)

р = п < 3Ы -1; q = 1,2; 5 = г + 2,

г = 0 при к < 1, г = к - q при к > 2. (2)

В уравнениях (2) и далее предполагается суммирование по двойному немому индексу в соответствии с правилом Эйнштейна. Здесь 3^мерные векторы силового фактора задаваемых сил

(г) I—

Ж (Р), Р = (£ / V М ). Неопределенные множители Лагранжа Хр могут быть представлены в разных видах, удобных при численном решении конкретных

(г+2) (г)

прикладных задач Хр =Хр (г) = /лр =ПР • п - общее

число линейных и нелинейных связей ^го и связей более низких порядков, приведенных к единому

( к )

дифференциальному виду ур =ур(г,х,,х,х,) = 0.

Введем силовой фактор «потерянных сил» Р [2, 5, 6] как Р=Р-МХ. Тогда, например, принцип Даламбера-Лагранжа примет вид (Р-50х)=0, а принципы (1) будут выглядеть так:

Г (г) (к)

|(Р-5к х) = 0, г = к - д, [ к > 2, д = 1,2.

(3)

N

1=1

Выражение (3) задаёт пару дифференциальных вариационных принципов, описывающих движение неголономных систем ^го порядка. Здесь при q=1 имеем дифференциальное вариационное соотношение, а при q=2 - собственно вариационный принцип [7], которому можно придать вид:

(к-2)

^к-2 = 0, 2к-2 = ( Р )2 /2М.

(4)

(г)

[(б; )е']е, + А„(д/ / дд) +©к, = 0;

4Ґ

(к) (5) (5 -1)

/р / 4 = (д /р / д д )д+(?, д,..., д ) = 0;

',у = 1,2,..., т, _р < и < т -1, д =1,2, 5 = г +2, г = 0 при к <1, г = к - д при к >2. (5)

Здесь ОР=О/+ОіФ, О/ - і-я задаваемая обобщен-

ная сила;

бф=-

((дТ / дд ')) -дТ / дд'

= -д£ / дд' = ...

;-я обобщенная сила инерции;

(к)

Г = /* (г, д,..., д) = о

- уравнения связей, представленные в терминах геометрии Rm; е£ - координатные векторы взаимного базиса в касательном к Rm пространстве Ет;

ческого тензора пространства Rm, определяемые выражением для кинетической энергии системы [4, 5], ©Г(Тк-е). Заметим, что при градиентном управлении движением ©к]=0.

йт^-форма, подобная уравнениям Аппеля:

В этой форме принцип (4) подобен по виду принципу Гаусса и при k=2 тождественен ему. При этом функция Z0 равна принуждению по Гауссу Zw [1, 2, 4-7]. Исходя из этого, назовём функцию Zs принуждением я-го порядка. Заметим, что принцип (4) эквивалентен принципу, предложенному в работе [4]. Обратим внимание на то, что все представленные выше дифференциальные вариационные принципы

(г) (к)

могут быть заданы одной формулой (Р-5к х) = 0, где г=0 при ^1, r=k-q при ^>2, д=1,2.

Ковариантные аналитические формы уравнений движения

Для решения конкретных практических задач механики управляемого движения выведем более удобные аналитические формы уравнений движения и дифференциальных принципов высших порядков. Соотношение х=х(1,д), выражающее декартовы координаты через обобщенные, выделяет в Е№ риманово многообразие Rm. Задача состоит в представлении движения материальной системы с помощью терминов геометрии Rm. Эта задача была решена в [6, 11-13]. Согласно этим работам все ко-вариантные формы уравнений движения выводятся единообразно путём скалярного ум.нож. ения (2) на координатные векторы е1=3х|^=ЗХ|^!=... с последующими алгебраическими и дифференциальными преобразованиями для той или иной формы уравнений. Таким образом, получим следующие ковариантные формы уравнений движения.

йт^-форма, подобная уравнениям движения в обобщённых силах:

' $<г) <к)

( 5)

(к)

д К( 5) / д д1 = б() + А, (д г / д д) + ©у;

(к) (5) (5 -1)

(д/р / д д )д7+жр (ґ, д,..., д)=0;

1 = 1,2,...,т, р = 1,2,..., и < т -1, д = 1,2, 5 = г + 2,

г = 0 при к < 1, г = к - д при к > 2.

(6)

Здесь, согласно [6, 10-13], К8 - универсальная кинетическая мера движения я-го порядка - кинэта.

(5) 2 1 Л (^) ,

К = М(х) /2 = — Xт,(г) ; К) - часть кинэты,

2 «=1

( 5 )

квадратично зависящая от д1; О(г) - обобщенный силовой фактор г-го порядка

(г) Л Г(г) дV}

/) = Х|^

*=1 V

Й' ’ = ( ^ е1 > = Ы-.д д/

Заметим, что при г=0 уравнения движения в RmA-форме становятся уравнениями Аппеля. йтЛ-форма, подобная уравнениям Лагранжа:

л (к)

л(г+1)(К(г+1)) = б(г) +Яр(дГ / дд7) + ©к/;

(к) (г+2)

(д Г / д д7) д7 + ^ = 0;

/ = 1,2,..., т, р = 1,2,..., и < т -1,

д = 1,2,

г = 0 при к < 1, г = к - д при к > 2.

а)

б)

(7)

Здесь Л/г+1) = — 1

( г+1) дд1

1 д

г +1

(г)

дд

. Назовём этот

дифференциальный оператор оператором Эйлера-Лагранжа порядка (г+1). Заметим, что при q=1 уравнения (7а) будут выглядеть так

(к)

л(к)(К(к)) = б(к-1) + Хрдг /дд+©к.

А при г=0 эти уравнения становятся уравнениями Лагранжа 2-го рода.

Уравнения движения в обобщенных силовых факторах (Я^’-форма)

- контравариантные компоненты метри- согласно [9-11], равны

бф/) + б (г) + б! ? +©к = 0;

(к) (г+2)

(д/р / дд7) д + ^ = 0;

1 = 1,2,...,т, р = 1,2,...,и < т-1, д = 1,2; г = 0 при к < 1, г = к - д при к > 2. (8)

Здесь обобщённые силовые факторы ОФ) и Ог),

л

(5) Л

ОТ=-д К(,)/ д д =-л(г +1)( К(г +1))...

1 = 1,2,..., т, 5 = г + 2, д =1,2; г = 0 при к < 1, г = к - д при к > 2,

(к)

О г) =а„ 5 /' / з д.

Отметим, что при г=0 уравнения движения в обобщённых силовых факторах эквивалентны уравнениям движения в обобщённых силах [9].

Ковариантные аналитические формы принципов

Получим ковариантные формы записи дифференциальных принципов механики из уравнений (6)-(9).

(к)

йтф-форма принципов. Умножим (5) на 8к д1 и

просуммируем по ;. С учётом того, что /=0 и

(5) (к)

8/ = (д/р /дд)8к д = 0, получим:

Г

7 (г)

(к)

[[(бГ)е;] Є1 + ©к1 І 8кд = 0,

,,1 = 1,2,...,т, д = 1,2;

г = 0 при к < 1, г = к - д при к > 2... (9)

В такой форме принципы (9) при ©ч=0 приведены в [9].

йт^-форма принципов. Уравнениям (7) соответствуют Принципы:

(5) (к)

(дК(5)/дд7-б7(г) -©к)5*д = 0;

1 = 1,2,..., т, 5 = г + 2, д = 1,2;

г = 0 при к < 1 , г = к - д при к > 2, (10)

которые выводятся из них аналогично принципам (9). Если ввести характеристическую функ-

( 5)

цию = К(5) - б]г) ■ д1, определяющую состояние

движения системы при векторе задаваемых сил Г=Г(£^ ^), то принципы (10) примут вид

(5) (к)

(дЯа /дд7' -©к)8*д> = 0;

1 = 1,2,..., т, 5 = г + 2, д = 1,2;

г = 0 при к < 1, г = к - д при к > 2.

Заметим, что при q=2 и ©^=0 имеем собственно принцип (11):

ЗА = 0. (11)

Нетрудно показать, что Rs=Z(r). Здесь ^ - зави-

(к)

сящая квадратично от д1 часть функции Zr. Действительно,

(г) (г) (5) (г ) (г ) (г )

= М(а)2 /2-(Ж- еу.)ду. = М(а)2/2- (Ж- а) =

(г) (г) (г) (г)

= (М(а)2 /2 - (Ж- а) + (Ж)2 /2М)(^ ^).

Это доказывает эквивалентность (4) и (11).

При ©^=0 и с учётом того, что

(5) (5 )

д2{г) / д д = д2г / д д7,

принципы (10)и (11)примут вид

(5) (к)

дг / дд7Хд7 = 0, 8к^к-2 = 0. (12)

Соответствующий вид будут иметь и уравнения движения в этой форме

(5) (к)

д^ / д д = ірг / д д +©к. (13)

Назовём (12) и (13) ДтСА-формой принципов и уравнений.

йтЛ-форма принципов. В этой форме принципы выглядят так:

л (к)

(л(г+1)(К(г+1)) - б/)-©^ )8к д = 0;

1 = 1,2,..., т, д =1,2;

г = 0 при к < 1 , г = к - д при к > 2. (14)

Они выводятся аналогично принципам (10) и

при q=1 и ©к)=0 имеют вид

(к)

л(к)(К(к)) - бГ) 18к д = 0.

Заметим, что эта форма принципов также допускает введение характеристической функции Rr+1=Z(r-1) для систем с г=1,2,... и вектором задаваемых сил вида Г=Г(£ ^). Действительно,

(г) (г) (г +1) (г+1)

О(г) = (Ж- е;) = (Ж-д х / д д ) =

$ (г-1) (г+1) (г+1) (г-1) (г + 1) (г)

= — ( Ж-5 х / дд7' ) - ( Ж-д х / дд' )/(г + 1). (15)

С учётом (15) принципы (14) примут вид

Л (к)

(Л1г+1)( Яг+1) -©к )8кд = 0 =

Л (к)

= (Л (г+1)( ^-1))-©к )8кд;

1 = 1,2,..., т, д =1,2; г = к - д >1,

( г-1) ( г-1)

где Лг+1 = К(г+1) - ( Ж - а ) = ^-1), а принцип (14) будет выглядеть так:

Л (к)

(Л(к)( ^-1))-©к, )8кд = 0.

Соответствующий вид будут иметь и уравнения

Л (к)

л(/+1) (^(г-1)) = л/ / д д+©к.

Назовём (17) RmGЛ-формой принципов и уравнений.

йт6( )-форма принципов. Этой универсальной форме записи уравнений (8) соответствуют принципы:

(к)

(б£ -©к1 )8кд = 0;

1 = 1,2,..., т, д = 1,2; г = 0 при к < 1 , г = к - д при к > 2,

где Оч=ОФ+Ойи Оч)=О(г).

Здесь обобщённый силовой фактор инерции Оф) может быть вычислен по любой из приведенных выше формул, а сами принципы могут быть записаны в представлениях взаимодействующих парциальных движений и взаимодействующих тел [9].

Заключение

Возможны и другие ковариантные формы уравнений движения и принципов неголономных систем высших порядков, которые в данной статье не рассматриваются. Интегральные вариационные

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коренев Г.В. Введение в механику управляемого тела. - М.: Наука, 1964. - 568 с.

2. Ланцош К. Вариационные принципы механики. - М.: Мир, 1965. - 408 с.

3. Полак А.С. Вариационные принципы механики. - М.: ГИФ-МЛ, 1960. - 599 с.

4. Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2002. - 275 с.

5. Добронравов В.В. Основы механики неголономных систем. -М.: Высшая школа, 1970. - 269 с.

6. Родионов А.И. Уравнения движения неголономных систем высших порядков || Сборник научных трудов Новосибирского государственного технического университета. - 1997. - № 2 (7). -С. 85-96.

7. Родионов А.И. Принципы неголономной механики высших порядков || Сборник научных трудов Новосибирского государственного технического университета. - 1998. - № 1 (10). -С. 69-78.

8. Родионов А.И. О дифференциальных принципах механики || Сборник научных трудов Новосибирского государственного технического университета. - 1998. - № 2 (11). - С. 124-134.

9. Остроменский П.И., Родионов А.И. Составление и исследование уравнений движения голономных и неголономных систем методом обобщенных сил || Вестник Новосибирского государ-

принципы, описывающие движения неголоном-ных систем высших порядков, будут рассмотрены в следующей работе. Представленные нами результаты могут быть положены в основу целого ряда более детальных исследований в области теории неголономных систем высших порядков. Естественным образом они могут стимулировать и уже породили появление ряда прикладных работ в различных областях неголономной механики, меха-троники, электромеханики и электродинамики [12, 13].

ственного технического университета. - 1997. - № 1 (3). -С. 121-140.

10. Родионов А.И. К динамике мехатронных систем с неполными дифференциальными программами движения // Вестник Сибирской государственной геодезической академии. - 2002. -Вып. 7. - С. 205-211.

11. Rodionov A.I., Kaveshnikov V.M. On dynamics of mechatronic systems with incomplete differential programs of motion // IF-T0MM-2004: Proc. of XI World Cong. in Mech. and Machine Science. - Tianjin, China, 2004. - V. 3 «Mechatronics». -P. 1331-1335.

12. Родионов А.И., Сырецкий Г.А. Разомкнутые модели управления движением транспортных систем третьего порядка // Транспорт: Наука, техника, управление. -2011. - № 4. -С. 12-15.

13. Родионов А.И. Уравнения аналитической динамики систем с дифференциальными связями произвольных порядков. Ч. 1 // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. - 2012. - № 4 (49). - С. 99-106.

14. Родионов А.И., Матвеев К.А. К динамике удара абсолютно твёрдого шара по упругому полупространству // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. - 2012. - № 1 (46). - С. 93-108.

Поступила 16.04.2013 г.