Разностные методы решения краевых задач для волнового уравнения с дробной производной По времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.633

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ

А. А. Алиханов

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова,

360004 Нальчик, ул. Чернышевского, 173.

E-mail: [email protected]

Исследуются краевые задачи для волнового уравнения с дробной производной по времени. Получены априорные оценки для решения краевых задач первого и третьего родов в дифференциальной форме. Для рассматриваемых задач построены разностные схемы второго порядка аппроксимации. Для разностной схемы, аппроксимирующей первую краевую задачу, получена априорная оценка в разностной форме.

Ключевые слова: краевые задачи, априорная оценка, разностная схема, устойчивость и сходимость разностных схем, регуляризованная дробная производная.

Важным классом неклассических уравнений являются дифференциальные уравнения дробного порядка. Подобные уравнения возникают при изучении фильтрации жидкости в сильно пористой (фрактальной) среде [1—3]. При этом следует заметить, что порядок дробной производной связан с размерностью фрактала. Одними из ранних работ, посвящённых дифференциальным уравнениям дробного порядка, являются [4-6]. Разностным методам решения дифференциальных уравнений дробного порядка посвящены работы [7-9].

В прямоугольнике Qt = {(x,t) : 0 ^ x ^ l, 0 ^ t ^ T} рассмотрим первую краевую задачу:

д2 u д ( du \

~д2 = дХ ( k(x,t)дХ ) — в(x,t)d0tu—q(x,t)u+f (x,t), 0 < x < l, 0 < t ^ T, (1)

u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, 0 ^ t ^ T, (2)

u(x, 0) = uo(x), ut(x, 0) = ui(x), 0 ^ x ^ l, (3)

где 0 < c1 ^ k(x, t) ^ c2; q(x, t) ^ m > 0; |kt(x, t)|, q(x, t), |qt(x, t)|, |e(x, t)| ^ c3,

Яа / .s 1 f* ur(x,T)

д0*u(x,t) = —------- -----—ат

0t V ' Г(1 — a) Jo (t — т)a

— регуляризованная дробная производная Капуто (0 < a < 1).

В дальнейшем будем предполагать существование решения u(x, t) €

€ C4,4 (Qt) задачи (1)-(3) и считать, что коэффициенты уравнения (1) и функции f (x, t), uo(x), ui(x) удовлетворяют условиям гладкости, необходимым для построения разностных схем второго порядка аппроксимации.

Алиханов Анатолий Алиевич — старший преподаватель кафедры вычислительной математики Кабардино-Балкарского государственного университета.

Для того чтобы получить априорную оценку, умножим уравнение (1) на и(х,£) и проинтегрируем по х от 0 до I:

/ «й(х,£)и(х,£)^х — / (к(х,£)«х(х,£))ж«¿(х,£)^х+

Уо Уо

+ / в(х,^)и*(х, ^)д0^и(х,т)^х + / д(х,£)«(х,£)и*(х,£)^х =

= [ /(х, ¿)и*(х, ¿). (4)

Уо

Преобразуем интегралы, входящие в тождество (4):

I Пи(х, ¿)и*(х, ¿)^х = 1 д; I и2(х, ¿)^х = 1 II«*По,

— / (к(х,£)их(х,£))жи*(х,£)^х =

Jо

= —к(1, ¿)иж(I, ¿)и*(I, ¿) + к(0, ¿)иж(0, ¿)и*(0, ¿) + / к(х, ¿)иж(х, ¿)иж*(х, ¿)^х =

Уо

1 д 1 /"1

= - — к(х,£)иХ (х,£)^х — - к* (х,£)«Х (х,£)^х, (5)

2 д^ Уо 2 У о

г1 1 д /■1 1 /■1

д(х,£)и(х,£)и (х,£)^х = - — д(х,£)и2 (х,£)^х — - д*(х,£)и2 (х,£)^х,

2 д^ У о 2 У о

/ (х, ¿)и* (х, ¿)^х

1 Г4 1 Г4 1 1

2 уо /2(х,^х + 2 уо и2(х,^)^х = 2П/По + 2Пи*По•

Подставляя (5) в тождество (4), приходим к неравенству

2д£ (п^*П° + J к(х,£)иХ(х,£)^х + J д(х, ¿)и2(х, ¿)^х^ +

г1 11 сз сз

+ Уо в (х,£Н < 2 П/По + 2 Пи* Но + у Пих ||о + у 11и П о • (6)

Проинтегрировав неравенство (6) по т от 0 до ¿, приходим к неравенству

Пи*По + С1||ижПо + т|иПо + / Йт / в(х,т)ит(х,т)доги(х,Т1)^х ^

Уо Уо

< / ||и(х,т)ПоЙт + [ П/(х,т)ПоЙт + Сз / Пи(х,т)По^т + Сз / П/(х,т)По^т+

о о о о

+ 11и1(х)11о + С2 |ио(х) По + Сз||ио (х)|о. (7)

о

о

<

Справедливы неравенства

—-1—- / Йт / в(х,т)иг(х,т) / иТ1 ^ -Мх Г(1 — О) Уо ./о Уо (т — т1)

< IЮ Пит(X, т)||°-т + ^Го^;3—^ I‘ * /([ (т—^*') <

< | /‘ П'“Т(хт)по* + ^—О) / * /‘Йт (т"а [ *0 *

Ц ‘Пит (х_т >по *■ + 2^1^—а^^(! -ъ/ ‘

С /*С /1— ас /*1 /*с

< ~3 J0 ІК(х,т)Ц2Йт + 2Г2(1 _3а) J0 ЙХ J0 (/ - Т)1—“и2(х,т)Йт <

? + 0^0 I ІК(х,т)|2Йт. (8)

2 2Г2(2 — а)/ ,уо

Из (7) с учётом (8) приходим к неравенству

‘

о

+ / П/(х,т)11о-т + 11и1(х)11о + 11ио(х)||^!(о,г) ) , (9)

2 + ||«х II2 + ||и|о ^ Мі (|ит ІІ0 + Цих Ц0 + Ци|2)ЙТ+

/• і

2л_ ,11,.. Л™мі2 , ||„. ^™М|2

1/

0

где М1 > 0 — известное число.

Применив к неравенству (9) лемму 5.5 (см. [10, с. 112]), получим

2 + 11ихП2 + 1М1° < М2 П/(х,т)По-т + Пи1(х)По + 1К(х)П^21(о,г^ , (10)

где М2 > 0 — известное число.

Из априорной оценки (10) следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи (1)—(3) от входных данных.

Построение разностных схем. Устойчивость и сходимость. В прямоугольнике 5т введём сетку ОьТ = оьхоТ, где Оь = |х» = ¿Л, г = 0,1,... , N ЛЖ = I}, От = {¿7 = ;'т, У = 0,1, • • •, Уо, т;'о = Т}.

Прежде чем перейти к разностной аппроксимации задачи (1)—(3), найдём дискретный аналог регуляризованной дробной производной порядка а (0 < а < 1):

1 [^ и' (п)-П 1 /‘8 и' (п)-п

£

Г(1 _ а) Уо (/і _ п)а Г(1 _ а) 8= Л,-1 (/і _ п)а 1 і [ів и (/8-1/2)+ и (/«—1/2)(п _ ¿8-1/2)+ и (Сі)(п _ /в—1/2)2/2

^ ^8-1/2; I ^ ^8-1/2А'/ ^-1/2У I ^ \Л1А'/ ^-1/2У /^ ,

Г(1 _ а) ¿1^-і (/а _ п)а п

1 А Г*« и'(¿8-1/2)+ и"(/в)(п _ ¿8-1/2)+ и'"(6)(п _ /5-1/2)2/2 +

Г(1 _ а) ¿А-і (¿і _ П)а П+

1 V и (£2)(п *8—1/2)(*8 ¿8—1/2)

Г(1 — а) ^ У‘,-1 (Е — п)а

8=1 "' ‘8-1 1 7

1 Е^(*.—./2) Г А+Гпл—Е и"(‘.) Г 8—>+

Г(1 — а) .=1 “'*«-1 (*7 — п)а Г(1 — а) .=1 Лв-1 (Е — п)с

1 Е Г *« и,"({1)(п — *.—1/2)2/2+ и,"({2)(п — *.—1/2)(*. — *.—1/2)

+г(ГЛО) ------ (е - п)*-------------------^^-п =

1Е

= 0(т2) + Г(2 — О) ^[^(*1—^+1 — Еа)и*>. +

+ Г(3 — О) ^(*°—а+1— Еа — ( (*]—а+1+Еа))и«,. +

8=1

1 Е С и (£1)(п — *8—1/2)2/2 + и (£2)(п — ¿8—1/2)(*8 — *8—1/2)

<

где шш(п,¿8—1/2) < £1 < тах(п,*8—1/2), ¿8—1/2 < £2 < *8.

Так как

1 Е Г*«иот(£1)(п — *8—1/2)2/2 + иот(£2)(п — *8—1/2)(*8 — *8—1/2) ,

Г(1 — а) ¿4-1 (*е — п)а П

< 3ММ т2 /•*; -п =3М1—^ = 0(т2)

^8Г(1 — а) Л (Е — п)а 8Г(1 — а) 1 и

где |иОТ (*) | < М при всех * € [0, Т], то

до%и=да^.и+о(т 2) (11)

при этом

1Е

а х ^-/-1—а ./.1—а\

о‘

До* и = Е(Е?+1 — Е—8>и«,8+

Е

Г(2 — а) 8=1'

+ Гт31г0^ Е(*?—?+1—*?—?—(*;—?+1+‘‘—а »и«., • (12)

8=1

Учитывая равенство и^,8 = и* — 2и**,8, преобразуем (12) к виду

1Е

да° и = ^ (Еа+1—Еа)и° +

о*^ Г(2 — а) 8=1 3—8+1 3 — *,8

гй1-^ ]C(tJ:?+^ — Еа — (2 — аЕ«^,.

8=1

Задаче (1)—(3) поставим в соответствие следующую разностную схему:

Уй = Л(сту + (1 — 2ст)у + сту) — ЬА^ у — 2-(У + У) + Р, (14)

1 < г < N — 1, 1 < у < уо — 1;

у(0, *) = 0, у(1, *) = 0, 0 < * < Т, (15)

у(х, 0) = ио(х), у*(х, 0) = и1 (х), 0 < х < I, (16)

где Лу = (аух)х, а = к(х,), Ь = в(х,*Е), - = ^(х,*^), р = /(х,), и1 (х) = = и1 (х) + 2 т (Лио (х) — д(х, 0)ио (х) + / (х, 0)).

Погрешность аппроксимации разностной схемы (14)—(16) на решении и = и(х,*) дифференциальной задачи (1)—(3) при любом значении постоянной ст, не зависящей от Л и т, имеет порядок 0(т2 + Л2).

Исследование устойчивости разностной схемы (14)—(16) будем проводить методом энергетических неравенств (см. [11, с. 341]), для чего преобразуем уравнение (14) к виду

(Е — стт2 Л)уй = Лу — ЬА^о у — 2 “(У + У) + р. (17)

Умножив уравнение (17) скалярно на у* = у‘+, получим

((Е — стт 2л)у**,у*) — (Лу,у*) + (ЬАа* У,У*) + 2 (-(у + у),У‘) = (<АУ° )• (18)

Преобразуем слагаемые равенства (18):

((Е — стт2л)Уй*,у-) = 2 (||у*||о + стт2(а(—1),у2х])* — 1 стт2(а*,у2й],

_ (ЛУ, У

2

а, 1((Ух + ух)2)і _ у (у|ї)*

= (аУ*>Ух°] =

=1 (а(-1) > (у* +у*)2 _т 2уХ*] * _ 8 (а*> (у* +у*)2 _т 2У°*

(19)

(ьда;У-Уї) = г(21—а) ) а+1 _ і1-а)У1.'Уу + + г(3 _ а) (6(х. ‘і) Ей-а+1 _ і-а _ <2 - “К-а+1)Уіі,*. уЛ

2(й(у + У)> у? ) =1 (у2 + У2)*) = ^ (й(-1) > у2 + У2 )* _ у2 + У2)>

1 |і 112 . 1 и л 112 . 1 і

* 2

(^>У?) < оЦ^Ц2 + 7ЦУ*Ц0 + 7ИУ*Цо>

где а( 1) = а(х,*Е—1), — 1) = с-(х,—1).

Подставляя (19) в равенство (17), приходим к неравенству

Оценивая теперь выражение (ЬАа0у, у0), имеем

о* *

(ЬАао у, Уо)

<

сз

2Г2(2 — а)

Е(

8=1

(*1^+1 — Еа) У

‘,8

+

+

сз

¿2—а

3 / *2—а *

( 3 8 + 1т ~ — (2 — а)*]-а+И (У*,8 — У‘,8)

8=1

2Г2(3 — а)

<СзПу* П° + 2Г2 (2 — а) *3-8+l— *3Пу*,8По+

+ сзПУ*||° <

сз*

1—а

+

< сз

сз

Д —а

2Г2(2 — а)

2 + сз * По + ~4

Д —а

-а

Е — 8+0* 3 — 8 + 1

8=1

8=1

У* ,8 — У* ,8 По <

Д—а

Е

'*11 о + ТГТТТ—О) X/(*1-а+1 — *1-а) (ПУ*,8По + Пум11о) , (21)

4Г2 (2 — а)

8=1

2

о

2

о

Е

2

где 6>8 € (0,1), 8 = 1, 2,..., у, ¿е—8+0* = —8 + ^8т.

Подставляя (21) в (20), находим

2

1

*11 о + (ст — 4)т2 (а( 1),У*2

+ 4 (а( 1), (У* + У*)2

+

2

—1) ,у2 + У2

<

<

5Сз *1—а 3

з *3 \^(*1—а

4Г2 (2 — а) 8=11 3—8+1

— *1_а) (ПУ* ,8 П о + |1У* ,8 П о ) + 2 (СТ — 4) т 2 (а* ,уйй ] +

+ 8 (а^ (уй + уй)2] + 4 (-*, у2 + у2) + 4—

* По +

+

2сз + 1 и м2 1

4

о • (22)

1

*

Умножим неравенство (22) на т и просуммируем по у' от 0 до у:

+1ц2 ^ мз ^ ( ХЖ1 -8+1 _‘1, -8) (ЦУМЦ0 + ЦуМІІо) + (°_ 4 V2 ||угХ]|о)т+

І '=0 \ 8=0 ,,1 І „,і-1і I2

+ мз^ (||У* + у* 1]|о + Iу 11° + Iу 1цо + Iу+1ц° + Ну?11° +11^11°) т (23)

і'=0

где

— 1Ы1° + _ 4)т2||у*х]|0 + Цух + У*]|0 + ЦуЦ0 +

Мз > 0 — известное число, не зависящее от Л и т, ст ^ 1. В силу неравенства

і і

Ы1° + ІІУГ.яНо) т —

І'=0 8=0

(

8=0

УмЦо + Цум11°)

<

і

X) (ЦУ*,8Ц0

8=0

-а /1-а\ ‘1-а \ Л

1-а

і'-8 + 1 ‘і'-в

і '=0

і ¿_^ ЧІуМІІо

8=0

+ ІІУмІІо) т

из (23), наосновании леммы 4 из [12], при т < то = 1/(2Мз(1+*^- а)) приходим к неравенству

і' Ц0т + Цу0Ц2

(24)

где М4 > 0 — известное число, не зависящее от Л и т.

Из оценки (24) следует устойчивость разностной схемы (14)—(16) и сходимость к решению дифференциальной задачи (1)—(3) со скоростью 0(т2 + Л2), при ст ^ 4, в смысле нормы

_ МЫ!2 + (° _ 4)т2цуЫ1° + ЦУх + ух]|° + цуцо + цу2ц0

Аналогично рассмотрена третья краевая задача для уравнения (1) с начальным условием (3), для которой методом энергетических неравенств получена априорная оценка, а также построена разностная схема второго порядка аппроксимации.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Нигматуллин, Р. Р. Особенности релаксации системы с «остаточной» памятью [Текст] / Р. Р. Нигматуллин // Физ. твёрдого тела. — 1985. — Т. 27, № 5. — С. 1583-1585.

і =8

і

2

1

2

2

Алиханов А. А.

2. Чукбар, К. В. Стохастический перенос и дробные производные [Текст] / К. В. Чукбар // ЖЭТФ. -1995. — T. 108, №5(11). —C. 1875-1884.

3. Шогенов, В. Х. Обобщённое уравнение переноса и дробные производные [Текст] / В. Х. Шогенов, С. К. Кумыкова, М. Х. Шхануков—Лафишев // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной Академии Наук. — 1996. — T. 1, № 3. — C. 43-45.

4. Pitcher, E. Existence theorems for solution of differential equations of non-integral order [Text] / E. Pitcher // Ibit. —1938. — Vol. 44, No. 2. — P. 100-107.

5. Mandelbrojt, S. Sulla generalizzazione del calcolo delle variazione [Text] / S. Mandelbrojt // Atti. Reale Accad. Naz. Lincei. Rend Cl. Fis. mat. netur. Ser. 6. — 1925. —Vol. 1. — H. 151156.

6. Бабенко, Ю. А. Тепломассообмен. Метод расчёта тепловых и диффузных потоков [Текст] / Ю. А. Бабенко.—Л.: Химия, 1986. — 144 с.

7. Шхануков, М. Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной [Текст] / М. Х. Шхануков // Докл. РАН. — 1996. — T. 348, № 6. —

C. 746-748.

8. Шхануков—Лафишев, М. Х. Локально-одномерная схема первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с дробной производной в младших членах [Текст] / М. Х. Шхануков—Лафишев, Ф. М. Нахушева, М. Х. Абрегов // Вестн. КБНЦ РАН. — 1998. — T. 1, № 1. — C. 35-40.

9. Дигурова, А. М. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих краевые задачи для дифференциального уравнения на фракталах [Текст] / А. М. Дигурова, М. Х. Шха-нуков / Сб. научн. тр. IV Всерос. симп. «Математическое моделирование и компьютерные технологии».— Кисловодск, 2000.—T. 2.— C. 14-15.

10. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа [Текст] / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. — М.: Наука, 1967.— 736 с.

11. Самарский, А. А. Теория разностных схем [Текст] / А. А. Самарский. — М.: Наука, 1977.— 656 c.

12. Самарский, А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа [Текст] / А. А. Самарский // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. — 1963. — Т. 3, № 2. — С. 266-298.

Поступила в редакцию 19/VII/2008; в окончательном варианте — 25/IX/2008.

MSC: 35L05, 35L35

DIFFERENCE METHODS OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS SOLUTION FOR WAVE EQUATION EQUIPPED WITH FRACTIONAL TIME DERIVATIVE

A. A. Alikhanov

H. M. Berbekov Kabardino-Balkarian State University,

360004 Nal’chik, Chernyshevskogo str., 173.

E-mail: [email protected]

Boundary value problems for wave equation with fractional time derivative are studied, priori estimates for solution of boundary value problems of the first and third kind in differential form are obtained,. Difference schemes of the second order approximation are constructed for the mentioned problems. A priori estimate in difference form is obtained for difference scheme approximating the boundary value problem of the first kind.

Key words: boundary-value problem, prior estimate, difference scheme, firmness and, convergence difference scheme, regularized fractional derivative.

Original article submitted 19/VII/2008; revision submitted 25/IX/2008.

Alikhanov Anatoly Alievich, Senior Lecturer, Dept. of Calculus Mathematics of Kabardino-Balkarian State University.