Различающие и глобально гиперболические пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические

структуры и моделирование УДК 514.12

2013. № 1(27). С. 11-13

РАЗЛИЧАЮЩИЕ И ГЛОБАЛЬНО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

А.Н. Романов

В работе изучаются условия, которые приводят хронологическое качество пространства-времени к достаточно сильному условию — глобальной гиперболичности. Ключевым моментом является поведение лоренцевой функции расстояния.

Работа посвящена исследованию поведения лоренцева расстояния на различающих и глобально гиперболических пространствах.

Будем использовать следующие вспомогательные результаты (см. 1-3).

Лемма 1. Пространство-время (М,д) глобально гиперболично тогда и только тогда, когда оно сильно причинно и (М,д') удовлетворяет условию конечности расстояния для всех д' е С(М,д).

Здесь через С(М,д) обозначен класс лоренцевых метрик на многообразии М, глобально конформных метрике д :

д' е С(М,д) ^ д' = Пд для некоторой гладкой функции П : М ^ (0, то).

Лемма 2. Пусть пространство-время (М,д) принадлежит классу А. Если для некоторых точек р,в е М, множество П J- не замкнуто в М, а 1+ П I- = 0, то тогда (замкнутое) множество П J-) не является

компактным.

Будем считать, что к классу пространств А не относятся лишь те пространства, в которых одновременно имеют место как явление захвата причинных кривых, так и явление конечной недостижимости (между некоторыми точками).

Лемма 3. Пусть (М, д) — пространство-время. Если для некоторых точек р,в е М, множество П J-) не является компактным, то существует лоренцева метрика д' е С(М,д), глобально конформная метрике д такая, что ¿д> (а,Ь) = то для некоторых точек а,Ь е М.

Copyright © 2013 А.Н. Романов

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского E-mail: [email protected]

12 А.Н. Романов. Различающие и глобально гиперболические пространства

Теперь применим указанные результаты к исследованию причинной структуры пространства-времени (М, д), для которого условие конечности расстояния является инвариантом при конформных преобразованиях метрики д.

Теорема 1. Пусть (М, д) — различающее пространство-время класса А. Если пространство-время (М, д') удовлетворяет условию конечности расстояния для всех д' е С(М,д), то пространство-время (М, д) является глобально гиперболическим.

Доказательство. Доказательство этого утверждения сводится к следующим рассуждениям. Покажем сначала, что в условиях теоремы пространство-время (М, д) является причинно простым (то есть различающим с дополнительным условием, что множества 3+ и 3" замкнуты для всех р е М).

Так как различаемость предполагается выполненной, остаётся доказать замкнутость множеств 3+ и 3". Проведём доказательство, например, для множества 3+ : покажем, что оно замкнуто для любой точки р е М (замкнутость 3" доказывается аналогично).

Допустим обратное: множество 3+ не замкнуто, то есть существует точка д е с/(3+) \ 3+ Возьмём в 3+ произвольную точку г и покажем, что множество 3+ П 3- не пусто и не является замкнутым..

Действительно, так как д е с/(3+), то существует последовательность точек {дп} С 3+ сходящаяся к д : дп ^ д (сходимость в исходной топологии многообразия М). Так как д е I- (утверждение, эквивалентное тому, что г е 1+), а множество I- открыто (см. [6], лемма 2.5), то некоторая окрестность точки д так же принадлежит I-. Так как дп ^ д, то, начиная с некоторого п, все точки дп попадают в эту окрестность, а следовательно ив I-, то есть для достаточно больших п имеем: дп е I- или иначе: дп << г.

Таким образом, р < дп, дп << г. Отсюда получаем: р << г (по свойствам соотношений <, <<), то есть г е 1+.

В результате имеем: множество 1+ ПI- не пусто (так как существует време-ниподобная кривая арг, соединяющая р с г — её существование гарантировано соотношением р << г; и если ^ е арг, в = р, в = г, то в е 1+ П I-).

Далее из соотношений

1+ С 3+, I- С 3-, /+ П I- = 0

получаем:

3+ П 3- = 0.

Из приведённых ниже соотношений видно, что множество 3+ П 3- не замкнуто в М :

д е 1- С гп£(3-), д е с/(3+), д е 3+ д е с/(3+ П 3-) \ (3+ П 3-)

Тогда по лемме 2 получаем, что множество с/(3+ П3-) не компактно. Далее, следуя лемме 3, можно найти метрику д' е С(М,д), глобально конформную

метрике д такую, что пространство-время (М, д') не удовлетворяет условию конечности лоренцева расстояния, что противоречит условию теоремы.

Таким образом, множества Jp+ и Jp замкнуты для любой точки р е М, что вместе с различаемостью (М, д) указывает на его причинную простоту, то есть пространство-время (М, д) является причинно простым.

Причинная простота пространства-времени (М,д) автоматически влечёт за собой его сильную причинность. Теперь по лемме 1 сразу получаем желаемый результат: пространство-время (М,д) является глобально гиперболическим. ■

Литература

1. Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. M. : Мир, 1985.

2. Пенроуз Р. Структура пространства-времени. М. : Мир, 1972.

3. Malament D.B. The class of continuous timelike curves determines the topology of spasetime // J. Math. Phys. 1977. V. 18, N. 7. P. 1399-1404.