CC BY
26
УДК 513.81
ХРОНОЛОГИЯ И ЛОРЕНЦЕВА ФУНКЦИЯ
РАССТОЯНИЯ
А.И. Романов
The global hyperbolicity of distinguishing space-time with finite Lorentz function of distance is proved. The chronological maps of such causal space-times are studied
В данной работе рассматриваются лоренцевы многообразия, которые в отличие от римановых имеют метрики сигнатуры (—Ь + ...+). Приложения лорен-цевой геометрии, рассматривающей лоренцевы многообразия, используются в разделах теоретической физики, изучающих свойства пространства-времени.
Далее будут рассматриваться лоренцевы многообразия, в которых условие конечности лоренцевой функции расстояния является инвариантом относительно конформных преобразований метрики (терминология взята из [1]).
В дальнейшем будем использовать следующее утверждение:
Лемма 1. Пространство-время (М,д) глобально гиперболично тогда и только тогда, когда когда оно сильно причинно и (М,д') удовлетворяет условию конечности расстояния для всех д' £ С(М,д).
Доказательство. См. [1], теорема 3.30. ■
Здесь через С(М,д) обозначен класс лоренцевых метрик на многообразии М, глобально конформных метрике д : д' £ С(М,д) -Ф4 д' = Од для некоторой гладкой функции О : М —У (0, оо).
Разделим лоренцевы многообразия на два непересекающихся класса: А и В. Класс В характеризуется следующим свойством. Пусть между точками р, s £ М выполнены следующие соотношения: s £ c/(J+), но s ^ J+. Таким образом, любую окрестность Us точки s £ М можно достичь направленной в будущее причинной кривой у, выходящей из р, однако сама точка s остается недостижимой. Допустим теперь, что имеет место следующая ситуация: существует настолько малая окрестность Us точки з, что для того, чтобы достичь ее направленной в будущее причинной кривой, выходящей из р, необходимо,
0 1999 А.Н. Романов
E-mail: [email protected] Омский государственный университет
чтобы, во-первых, эта кривая 7 целиком находилась бы в некотором (фик-сриманованном) компактном множестве К, а, во-вторых, ее риманова длина (измеренная в любой заранее выбранной римановой метрике), была бы больше любого наперёд заданного положительного числа N. Другими словами, чтобы «подойти» достаточно близко к точке з, причинная кривая 7 должна совершить достаточно большое количество «оборотов» во множестве К.
Если такая ситуация имеет место в некотором многообразии (М, д), то будем относить его к классу Я, в противном случае будем считать данное лорен-цево многообразие относящимся к классу А.
В качестве гипотезы можно выдвинуть предположение, что к классу В относятся лишь многообразия, не являющиеся причинными, то есть содержащие замкнутые причинные кривые. Однако это утверждение требует отдельного доказательства. В дальнейшем же будут приведены результаты, касающиеся только лоренцевых многообразий, принадлежащих классу А (даже если это не будет отдельно оговорено).
Следующее утверждение позволяет делать некоторые выводы о топологии лоренцева многообразия, исходя из его причинной структуры.
Лемма 2. Пусть пространство-время (М,д) принадлежит классу А. Если для некоторых точек p,s £ М, множество J+ П J~ не замкнуто в М, а !р п К Ф то тогда (замкнутое) множество c/(J+ П Js ) не является компактным.
Доказательство.
Допустим, что множество cl(J^T\J~) компактно. Так как множество J+P\J~ не замкнуто, то существует точка q £ c/(J+ П J~) такая, что q (( J+ П Js“. В этом случае q (( J+ (случай q (( J~ доказывается аналогично).
Рассмотрим последовательность точек qn С «/+ П J~ такую, что qn -У q, т.е. сходящуюся к q ( сходимость в исходной топологии многообразия М ).
Таким образом, имеем:
Яп ■ Р < Яп, qn ->■ Я-
Так как р < qn, то Vn существует причинная кривая идущая из р в qn. Продолжим 7„ до непродолжаемой причинной кривой. Любая окрестность точки q содержит все точки qn, начиная с некоторого п. А так как qn £ то q является точкой накопления последовательности причинных непродолжаемых кривых 7„. Отсюда следует (см. [1], предложение 2.18), что существует причинная непродолжаемая кривая 7, являющаяся предельной для последовательности 7„ и такая, что q £ 7. Выберем параметризацию 7 так, что 7 : ( —оо, оо) —> М и 7(0) = q, причем уменьшение параметра t кривой 7 соответствует движению по ней в прошлое.
Рассмотрим часть кривой 7, идущую в прошлое от точки q : у( —00, 0]. Заметим, что для любой точки а £ у( — оо,0] выполняется соотношение: а £ c/(J+) Действительно, т.к. 7 - предельная кривая последовательности то существует подпоследовательность ут С уп такая, что для любой точки а £ 7 каждая ее окрестность 11а пересекает все, за исключением конечного числа,
кривые из ут. Взяв точки гт такие, что rm £ )m,rm £ Ua, получим сходящуюся к а последовательность гт : гт —У а. Если выполнено еще соотношение гт £ «/+, то получим, что а £ c/(J+). В данном случае включение rm £ J+ выполняется всегда. В самом деле, если rm £ J+ то это означает, что кривая у (вместе с кривыми ут) покинула область c/(J+). Однако выйти из c/(J+) 7 может лишь через точку р, так как все ут «фокусируются» в р (по их определению), а 7 -предельная кривая для последовательности ут. Но такого быть не может, так как это означало бы существование отрезка (лежащего на кривой 7), соединяющего точки р и q и являющегося частью причинной кривой (7 - причинна), что противоречит выбору точки q : q £ Jp ■
Таким образом, мы показали, что Va £ у( — оо, 0], а £ c/(J+) Ясно, что выполнено также включение а £ c/(J+ П J~) (т.к. из а < q,q << г =$■, а << г, т.е. а £ int.J~) В результате имеем: часть кривой 7, идущая в прошлое от точки q, целиком находится во множестве c/(J+ П «/“), которое по сделанному предположению является компактным.
По построению кривой 7 (см. [1], предложение 2.18), последовательность 7т сходится к 7 равномерно на любом компактном множестве из R в случае, если кривые 7 и ут параметризованы длиной дуги, вычисленной относительно (полной) римановой метрики.
Так как ни для какого значения параметра t < 0 кривая 7 не покидает множества c/(J+ П«/“), а последовательность ут сходится к 7 равномерно на любом компактном множестве из R (то есть кривые ут «повторяют» движение 7), то получаем следующую ситуацию: если взять достаточно малую окрестность Uq точки q, то длины кривых дт, достигающих этой окрестности, с необходимостью должны быть больше любого наперёд заданного положительного числа N. Однако это означает, что пространство-время (М,д) принадлежит классу В, в то время как по условию (М,д) принадлежит классу А.
Полученное противоречие опровергает сделанное предположение о том, что множество c/(J+ П J~) компактно и тем самым доказывает лемму.
■
Следующее утверждение взято из [1].
Лемма 3. Пусть (М,д) - пространство-время. Если для некоторых точек p,s £ М, множество cl(J+ П J~) не является компактным, то существует лоренцева метрика д' £ С(М,д), глобально конформная метрике д такая, что d(a,b) = 00 для некоторых точек а,Ъ £ М. Я
Теперь применим полученные результаты к исследованию причинной структуры пространства-времени (М,д), для которого условие конечности расстояния является инвариантом при конформных преобразованиях метрики д.
Теорема 1. Пусть (М,д) - различающее пространство-время. Если пространство-время (М,д') удовлетворяет условию конечности расстояния для всех д' £ С(М,д), то пространство-время (М,д) является глобально гиперболическим.
Доказательство.
Покажем сначала, что (М,д) является причинно простым, ( т.е различающим с дополнительным условием, что множества Д+ и Дд замкнуты для всех р £ М).
Покажем, что множество Д+ замкнуто для любой точки р £ М (замкнутость Дд доказывается аналогично).
Допустим обратное: 3 точка q £ с/(Д+) \ Д+. Возьмем в /+ произвольную точку г. Покажем, что множество Д+ П Дд не пусто. Так как q £ с/(Д+), то 3 последовательность точек qn С Яд1-, сходящаяся к q (сходимость в исходной топологии многообразия М). Так как q £ /Д а множество /Д открыто (см. [1], лемма 2.5), то для достаточно больших п qn £ /Д, т.е. qn << г. Тогда из соотношений р < qn,qn << г получаем: р << qn т.е. г £ /+. Таким образом, имеем: множество /+ П /Д не пусто.
Получаем: Д+ П ДД ф 0 (т.к. /+ С Д+, /Д С ДД, /+ П /Д.)
Множество Д+ П Дд не замкнуто в М (q £ /Д = intJ~) :
(g £ /Д = intJ~) : q £ int(J~) , q £ с/(Д+), q «/+ => q £ с/(Д+ П J~) \ (Д+ П J~).
Тогда, по лемме 2, получаем, что множество cl(J+ П Дд) не компактно. Следуя лемме 3, можно найти метрику д' £ С(М,д) такую, что пространство-время (М, (Д) не удовлетворяет условию конечности лоренцева расстояния, что противоречит условию теоремы.
Таким образом, множества Д+ и Дд замкнуты и пространство-время (М,д) является причинно простым. Причинная простота пространства-времени (М,д) автоматически влечет за собой его сильную причинность. Теперь, по лемме 1 сразу получаем желаемый результат: Пространство-время (М,д) является глобально гиперболическим.
Приведем следствие теоремы 1:
Следствие 1. Пусть (М,д) - пространство-время. Если пространствовремя (М^д1) удовлетворяет условию конечности расстояния для всех д' £ ('( М. д!. то множества Д+ и Д+ замкнуты в М. Я
Теорема 1 утверждает, что для пространств с конечной лоренцевой функцией расстояния условия различаемости и глобальной гиперболичности эквивалентны. Следующее утверждение усиливает этот результат.
Теорема 2. Причинное пространство-время (М,д) является глобально гиперболическим тогда и только тогда, когда (М,д') удовлетворяет условию конечности расстояния для всех д' £ С(М,д).
Доказательство.
1) Пусть (М,д) - глобально гиперболическое пространство-время. Так как конформный множитель не меняет структуру пространства-времени, то тогда весь класс лоренцевых метрик д' £ С(М,д) допускает лишь конечные лорен-цевы расстояния (см [1], следствие 3.7). Причинность пространства-времени (М,д) следует непосредственно из его глобальной гиперболичности.
2) Пусть (М, д) - причинное пространство-время и условие конечности расстояния выполнено для всех метрик д' £ С(М,д). Покажем,что (М,д) - различающее пространство-время. Допустим обратное: (М,д)- не различающее. Тогда существуют по крайней мере две точки риз такие что р ф- s и If = If (или 1~ = /“), т.е. имеющие одинаковое хронологическое будущее (или прошлое).
Итак, If = If. Пусть a - направленная в будущее времениподобная кривая, выходящая из р. Тогда все точки кривой а, отличные от р, принадлежат множеству If. Рассмотрим последовательность точек qn, ни одна из которых не совпадает с р, такую, что qn £ а , qn —У р. Вследствие равенства If = If и того, что все qn лежат в If, получаем:дп £ If Vn £ N. Из соотношений Яп ->■ р, Яп G получаем: р £ cl(If) = cl(Jf). Меняя в приведенных рассуждениях местами точки р и з,получаем: s £ cl(If) = cl(Jf). Так как по условию для любой метрики д' £ С(М,д), пространство-время (М,д') удовлетворяет условию конечности расстояния, то (см. следствие 1), множества Jf и Jf замкнуты в М. Вместе с приведенными выше включениями это даёт:
sed(Jf) = Jf,Ped(Jf) = Jf.
Тогда существует направленная в будущее причинная кривая 71, идущая из s в р, и направленная в будущее причинная кривая у2, идущая из р в s. Объединение этих двух кривых даёт замкнутую причинную кривую 71 +72. Однако вследствие причинности (М,д) замкнутых причинных кривых в нём быть не может. Полученное противоречие доказывает, что (М,д) - различающее. Вспоминая, что для любой метрики д' £ С(М,д), пространство-время (М, д') удовлетворяет условию конечности расстояния, то по теореме 1 получаем требуемое утверждение: пространство-время (М,д) является глобально гиперболическим.
Применим теперь полученные результаты для сравнения структур гладкости двух пространств, имеющих в некотором смысле одинаковую хронологию.
Гомеоморфизм двух многообразий / : М —У М' будем называть хронологическим, если f(If) = Для любой точки х £ М. Два пространства-времени в случае существования такого гомеоморфизма называются хронологически гомеоморфными.
Следующий результат взят из [3]:
Лемма 4. Пусть (М,д) и (М\дг) - два различающих пространства-времени, и f : ]М —У М' - хронологический гомеоморфизм. Тогда / является гладким конформным преобразованием. Я
Для более узкого класса многообразий данное утверждение можно усилить:
Теорема 3. Пусть (М,д) и (М1 ,д') - два причинных пространств а-времени, удовлетворяющих условию конечности расстояния для всех метрик, глобально конформных данным. Тогда, если / : М —У М' - хронологический гомеоморфизм, то / является гладким конформным преобразованием.
Доказательство.
Из теоремы 2 следует, что оба пространства-времени глобально гиперболические, а следовательно, и различающие. Далее, по лемме 4, получаем требуемый результат.
Таким образом, в классе пространств с конечным лоренцевым расстоянием хронологическая гомеоморфность эквивалентна диффеоморфности.
Литература
1. Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. М.: Мир, 1985.
2. Пенроуз Р. Структура пространства-времени. М.: Мир, 1972.
3. Malament D.B. The class of continuous timelike curves determines the topology of spasetime. J.Math.Phys. 1977. Vol.18. N 7. P.1399-1404.
