Растяжения анизотропной пластины под углом к главному направлению Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

РАСТЯЖЕНИЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ ПОД УГЛОМ к ГЛАВНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ

STRETCHING OF AN ANISOTROPIC PLATE AT AN ANGLE TO

THE MAIN DIRECTION

А.А.Ходжибоев A.A.Hojiboev

ТТУ им. акад. М.С.Осими

В статье рассматривается решение задачи по расчёту концентрации напряжений на контуре незакреплённого отверстия в теле горного массива от действия тектонических напряжений.

In this article we consider the problem of stress concentration on the contour of unfixed excavations in the body of the massif from the impact of tectonic stresses.

Проблема расчета подземных гидротехнических сооружений (ГТС) на действия тектонических напряжений остаётся актуальной задачей. Горный массив представляют собой анизотропную среду. Анизотропия среды обуславливается трещинами. Трещиноватый массив характеризуется толщиною ненарушенного слоя, шириною раскрытия и углом падения трещин. Тектонические напряжения характеризуются направлением в пространстве и интенсивностью.

Рассмотрим аналитическое решение круглого отверстия в теле анизотропной пластины, растягиваемой (сжимаемой) на бесконечность (рис.1).

У

CFt

Г - ¥ -------у?

1 1 \ \ Г V* <

К- 1 1 , Id jS 1

t 4 V \ ч,

L _ ------ _ ___t

Рис I Ркче^пх cXL'ALi hiTiiiKptiiiiii'HHi'L о досрелп in-д дсПпвпсы кс^шыгхьных и tppmOHTnubiiLEi тыпчтагчкнк тъифгачэпгП п сот*гае nnflihvtl Яофорнщин

В большинстве случаев направления главных модулей упругости Е и ЕтП не

совпадают с направлениями действия растягивающих (сжимающих) тектонических напряжений. В работе [2] приведена формула определения тангенциальных напряжений на контуре отверстия, когда коэффициенты анизотропии являются чисто мнимыми корнями характеристического уравнения. Для нашего случая, когда коэффициенты анизотропии представляют собой корни характеристического уравнения

1

-г4 - (— --

1

2v

12

■у

1

--= 0

(1)

12 2

и являются чисто вещественными, формулу тангенциальных напряжений можно написать в виде

__ _ РЕв (Г__„2 „ , (......\„;„2 ____\__„2

-{[cos (р + (/1у2 -n)sin (p](-y1Y2)cos 0 +

1

+[(1 + n) cos2 ^ + (-у 1 у2) sin2 (p\ sin2 0--n(1 + n + y1y2) sin (p cos (psin в cos 0},

где Eg — касательный модуль упругости, который вычисляется по формуле

(2)

_ sin4 в Ee E1

- +

1 2к

12

V G12

E

sin2 0 cos2 6 +

cos4 в

(3)

Е1 = Ех — модуль упругости в направлении оси 1, X ; Р — тектоническое напряжение; ф _ угол действия напряжения, отсчитываемый от горизонтальной оси против хода часовой стрелки; в — угол, определяющий положения контрольных точек. При

действии растягивающего напряжения P под углом ф = 45° к главному направлению 1, формула (1) принимает следующий вид:

PE

{[1 - (ГгП + n)] • (r2fi)cos2 в + [(1 + n) - y2yx)sin2 в -

Ei

-n(1 + n + f2f1)sin #cos #}, (4)

где У],У2 ~ корни уравнения (1), Eg вычисляется по формуле (3). Формула (4) для контрольных точек 1, 2 и 3 записывается:

E

при £ = 0 ав= P-M[1 - (Г2Г1 + n)] ■ (-Г2Г1)} (5)

2 Ej

PE 1 1

при в = 45°, f-{[1 -(у2ух + n)]• (-у2ух)~ + [(1 + n)-у2ух)--

2Ej 2 2

1 PE

-n(1 + n + = "E {[1" + n)] • (-^1) + [(1 + n) - У2У1] -

-n(1 + n + ^2^1)} (6)

PE P

при e = 90° , ve=-f {[(1 + n) - Г2Г,]} - - • {(1 + n) - угУх} . (7)

2 Ej 2

Рассмотрим задачу концентрации тангенциальных напряжений вокруг круглой выработки, устраиваемой в теле горного массива, сложенного трещиноватыми породами со следующими параметрами [3]: E = 2 • 10 МП а — модуль упругости материала ненарушенной породы (известняк), V = 0.2 — коэффициент Пуассона материала ненарушенной породы, 8 = 0.03 СМ — ширина раскрытия трещин, h = 40 см — расстояния между трещинами (толщина ненарушенного слоя), ^ = 3 -10 4 — постоянная. Для использования (1) и (2) ось max совместим с осью X . При этом P действует под углом ф относительно оси X . Остальные параметры равняются:

геометрическая характеристика трещин

£ 0.03

^ =-Т =-т = 2'5 , (8)

h40•3•10 4

наибольший модуль упругости

. = E = E = E = 6 • ,05

max

E„„„ = E1 = Ex = E = 6 • 105 МПа, (9)

наименьшии модуль упругости

Emin = E2 = Ey = E/(1 + £) = 1.7-105 МПа, (10)

модуль сдвига

в12 = Е /2 (1 + у + = 0.81 ■ 105 МПа . (11)

Подставляя эти данные в уравнение (1) получим коэффициенты анизотропии:

у.1 -1.4675, у2 -0.3016, п = г1 +Г2 = 1-7691. (12)

Приступаем к определению значения тангенциальных напряжений на контуре отверстия для рассматриваемой задачи по формулам (5) - (7):

при 0 = 0, Ев= Е2,ав= 0.07525 • Р; 6 = 45°, Ев= 2.08-105 кг / см2, ств =-0.2443 Р; 0 = 90°, Ев= Е1,ав = 1.16325 • Р;

Для точки 4, которая лежит на конце диаметра, перпендикулярного направлению действия растягивающего (сжимающего) напряжения Р, где 0 = 135°, по формуле (2) находим (Г0 = 0.7405 • Р . Эпюра СТ0 приведена на рис.3.

Нулевые точки в эпюре ст0 определяются из условия св= 0

а • tg20 + Ь ■ tg0 + с = 0, (13)

где а =[(1 + п) -у1у2], Ь = ~п(1 + п ^ У1У2), с =[1" О1Г2+п)] •(-Г1Г2) (14) Из (13) с учётом (14) и (12) получим: 01 = 67 , 02 = 6 .

Для определения <уд шах и <уд шк1 исследуем функцию <7в (4) на экстремум. Для этого перепишем формулу (4) с учетом (14)

РЕ± 2 Е1

с ■ ео82 в + а ■ 8т2 в + Ь ■ в ■ ео8-

(15)

и получим

daQ PE,

'в

dO 2E1

|c (-sin20) + a ■ sin 20 + b ■ cos20}.

Из условия равенства нулю выражения (16) находим

* ( b Л в - arctg

(16)

(17)

2 (a - c)

Внося (17) в (15), с учётом (14), получим = = 0.1661P , что соответствует

углу в = 36° .

Для сравнения рассмотрим случай изотропии при ф = 45° и Ee= E1 = E2 = E = const, v12 = v, G = E /[2(1 +v)], тогда из (1) и (2) соответственно получим /1 — У2 ~ 1, = P (1 _ 2sin2#) .

Нулевое значение тангенциального напряжения по формуле (11) получится при в = 15° (рис.4).

2fy P=l ---

ч 1

ь------------1

Р=1 /

(•вЫ. Кпцчяггрш«и тфятшщ нн китаре «чмргпи *1йи|»«1НиП цтк ищи щш р[¥стя»(»11 в е под углом

Рассмотрим задачу по определению тангенциальных напряжений на контуре круглого незакрепленного отверстия от действия P = 1. Возьмем данные площадки строительства Рогунской ГЭС [1]: 8 = 0.01см , h = 20cм , угол падения а = 70° (сильно наклоненный моноклиналь), Е = 9 • 103 МПа , V — 0.2 . Используя эти данные, из (1) с учетом (8)-(11) находим — 2,1846, 72 = 0.7473. Затем с использованием (2) определим тангенциальные напряжения на контуре отверстия (рис.5).

Вывод:

Под влиянием анизотропии абсолютные значения тангенциальных напряжений в рассматриваемых задачах уменьшаются по сравнению со случаем изотропии. Анализ концентрации напряжений в случае анизотропии показывают, что наибольшие значения (Гg наблюдается в точках при 0 = 0° и в = 180° .

Литература

1. Количко A.B. Современное состояние подземного машзала Рогунской ГЭС, ГТС, 2000, №4, с.35-39.

2. Лехннцкнй С.Г. Теория упругости анизотропного тела.- М.-Л.: Гостехиздат, 1950, 299 с.

3. Руппенейт К.В. Деформируемость массивов трещиноватых горных пород.- М.: Недра, 1975,

223 с.

Ключевые слова: - тектонические напряжения - горный массив - анизотропная среда - трещиноватый массив - аналитическое решение - плоская деформация - отверстие - ширина раскрытия трещин.

Key words: - tectonic stress - massif - anisotropic medium - fractured massif - analytical solution -plane strain - hole - crack opening width.

Республика Таджикистан г.Душанбе ул. акад. Раджабовых 10а 734042. Телефон/факс: (+992 37) 2255916, (+992 37) 2254478, E-mail: [email protected]

Рецензент: заведующий кафедрой «Промышленное и гражданское строительство» Таджикского технического Университета им. М.С. Осими доцент, к.т.н., Шарипов Л.Ш.

2SS