Концентрация напряжений на контуре отверстия в анизотропной пластине при растяжении под углом к главному направлению Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2008, том 51, №3________________________________

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

УДК 624.04

А.А.Ходжибоев

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ НА КОНТУРЕ ОТВЕРСТИЯ В АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЕ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ ПОД УГЛОМ К ГЛАВНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомовым 01.02.2008 г.)

В статье рассматривается решение задачи по расчёту концентрации напряжений на контуре незакреплённого отверстия в теле горного массива от действия тектонических напряжений.

Проблема расчета подземных гидротехнических сооружений (ГТС) в связи с действием тектонических напряжений остаётся актуальной задачей. Горный массив представляет собой анизотропную среду. Анизотропия среды обуславливается трещинами. Трещиноватый массив характеризуется толщиною ненарушенного слоя, шириною раскрытия и углом падения трещин. Тектонические напряжения характеризуются направлением в пространстве и интенсивностью.

Рассмотрим аналитическое решение круглого отверстия в теле анизотропной пластины, растягиваемой (сжимаемой) на бесконечность (рис.1).

Рис. 1. Расчётная схема незакреплённого отверстия под действием вертикальных и горизонтальных тектонических напряжений в случае плоской деформации.

В большинстве случаев направления главных модулей упругости Етах и не совпадают с направлениями действия растягивающих (сжимающих) тектонических напряжений. В работе [ 1] приведена формула определения тангенциальных напряжений на контуре отверстия, когда коэффициенты анизотропии являются чисто мнимыми корнями характер истиче-

ского уравнения. Для нашего случая, когда коэффициенты анизотропии представляют собой корни характеристического уравнения

—У - (-— —)У +— = 0 (1)

77 ' V/^ 77 У/ 77 47

E1 G12 E1 Е2

и являются чисто вещественными, формулу тангенциальных напряжений можно написать в виде

РЕЙ 2 2 2

ов=—^{[cos р + (у 1У2 -п)sin ^](-/i/2)cos в +

Ei

+[(1 + n) cos2 (р + (—У У ) sin2 (J£>]sin2 в — (2)

—п(1 + п + УУ ) sin р cos р sin в cos в} ,

где Ее - касательный модуль упругости, который вычисляется по формуле

l sln4 в f l 2к, ^

E

E

- +

V Gl2

sln2 в cos2 в +

л У

cos4 в E,

(3)

Е1 = Ех - модуль упругости в направлении оси 1, X ; Р - тектоническое напряжение; р - угол действия напряжения, отсчитываемый от горизонтальной оси против хода часовой стрелки; О — угол, определяющий положения контрольных точек. При действии растягивающего напряжения Р под углом р = 45 ° к главному направлению 1, формула (1) принимает следующий вид:

<Ja =■

PEe

{[l - (Г2Гі + n)] • (Г2Гі ) cos"в +[(l + n) - r2rl) sln2 в -

—n(1 + n + УУ ) sin в cos в} ,

где У ,y2 - корни уравнения (1), Ев вычисляется по формуле (3). Формула (4) для контрольных точек 1, 2 и 3 записывается:

при

в = 0

<уа = P-

2 E,

{[1 - (Г2Гі + n)] • (-Г2Гі)} ,

(4)

(5)

при в = 450

PE.

'450

l

l

2E

{[l-(ГіГі + n)]•( r2r1)- +[(l + n)-ГіГі)~-

2

2

-n(l + n + Г2ГіЬ}

1 PE

450

4E,

{[l - (Г2Гі + n)] •( r2У1) +[(l + n) - Г2Гі ] -

-n(l + n + r2r1 )} :

(б)

при в = 900

PEo 2 E

P

{[(l + n) r2r1 ]} ^^{(l + n)-Г2Гі} .

(7)

Рассмотрим задачу концентрации тангенциальных напряжений вокруг круглой выработки, устраиваемой в теле горного массива, сложенного трещиноватыми породами со следующими параметрами [2]: E = 2 • 105 МПа - модуль упругости материала ненарушенной

породы (известняк), v = 0.2 - коэффициент Пуассона материала ненарушенной породы, 8 = 0.03 см - ширина раскрытия трещин, h = 40 см - расстояния между трещинами (толщина

ненарушенного слоя), £ = 3 -10 4 - постоянная. Для использования (1) и (2) ось max совместим с осью X. При этом P действует под углом p относительно оси X. Остальные параметры равняются:

геометрическая характеристика трещин

1 =

8

0.03

h •£ 40 • 3-10-

(8)

наибольший модуль упругости

Emax = E1 = Ex = E = 6-10 МПа >

(9)

наименьший модуль упругости

4

Emin = Е2 = Еу = Е /(1 + £) = 1.7-105 МПа, (10)

модуль сдвига

G12 = Е/2(1 + v + ^) = 0.81-105МПа . (11)

Подставляя эти данные в уравнение (1), получим коэффициенты анизотропии:

у = 1.4675, у2 = 0.3016, п = у+у = 1.7691. (12)

Приступаем к определению значения тангенциальных напряжений на контуре отверстия для рассматриваемой задачи по формулам (5) - (7):

при в = 0, Ев= Е2 ,ав = 0.07525 • Р ; в = 45°, Ее = 2.08-105 кг / см2, ав = -0.2443 • Р;

в = 90°, Е = Е ,&в = 1.16325 • Р;

Для точки 4, которая лежит на конце диаметра, перпендикулярного направлению действия растягивающего (сжимающего) напряжения Р, где в = 135°, по формуле (2) находим <7в = 0.7405 • Р. Эпюра <Г0 приведена на рис.3.

Рис.3. Растяжение (сжатие) анизотропного горного массива под углом р = 45° к направлению трещин.

Нулевые точки в эпюре ав определяются из условия (Ув = 0

а ■ tg2О + Ь ■ tgО + с = 0, (13)

где а =[(1 + п) — У1/2] , Ь = —п(1 + п + У1У2) , с = [1 — (лг 2 +п)] ■ (—ЛГ2) (14)

Из (13) с учётом (14) и (12) получим: О = 670, О2 = 60.

Для определения <гвтя& и сгвп6п исследуем функцию с О (4) на экстремум. Для этого перепишем формулу (4) с учетом (14)

РЕа

2Е

{о • cos2 в + a • sin2 в + b • sin в • cos- в|

(15)

и получим

d&a РЕа

йв 2Е

{о(-sin2в) + a• sin2в + b• cos2в|.

(16)

Из условия равенства нулю выражения (16) находим

в = arotg

(17)

Внося (17) в (15), с учётом (14), получим <гв =CT0min = 0.1661Р, что соответствует углу в = 36°.

Для сравнения рассмотрим случай изотропии при р = 45° и Ев= Ех = Е2 = Е = const, — = — , G = Е/[2 (1 + —)], тогда из (1) и (2) соответственно получим У1 =У2 = 1, ав = Р(1-2sin2в) .

Нулевое значение тангенциального напряжения по формуле (11) получится при в = 15° (рис.4).

Рис.4. Концентрация напряжения на контуре отверстия в изотропной пластине при растяжении под

углом р = 450 .

Рассмотрим задачу по определению тангенциальных напряжений на контуре круглого незакрепленного отверстия от действия Р = 1. Возьмем данные площадки строительства Рогунской ГЭС [3]: 5 = 0.01 см , к = 20 см, угол падения а = 70° (сильно наклоненный моноклиналь), Е = 9 -103 МПа, V = 0.2 . Используя эти данные, из (1) с учетом (8)-(11) находим уг = 2,1846, у2 = 0.7473 . Затем с использованием (2) определим тангенциальные напряжения на контуре отверстия (рис.5).

у,2,тіп.

-| у 1-2.1846 у2-0.7473

45°40',ае=0

I

х, 1,тах

Е1 =9 • 1 О^мПа 18° в,2=1.57.10«п»

' у=0.2

8=0.01 см

Ь=20см

Рис.5. Концентрация напряжений при растяжении анизотропной пластины под углом р = 110° .

Выводы

Под влиянием анизотропии абсолютные значения тангенциальных напряжений в рассматриваемых задачах уменьшаются по сравнению со случаем изотропии. Анализ концентрации напряжений в случае анизотропии показывает, что наибольшие значения сгв наблюдаются в точках при в = 0° и в = 180° .

Институт сейсмостойкого строительства и Поступило 01.02.2008 г.

сейсмологии АН Республики Таджикистан

ЛИТЕРАТУРА

1. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.-Л.: Гостехиздат, 1950, 299 с.

2. Руппенейт К.В. Деформируемость массивов трещиноватых горных пород. - М.: Недра, 1975, 223 с.

3. Количко А.В. Современное состояние подземного машзала Рогунской ГЭС, ГТС, 2000, №4, с.35-39.

А.А.Хочибоев

ГУНШАВИИ ТПИДДАТХр ДАР ГИРДИ СУРОХИИ ДАР ДОХИЛИ ПЛАСТИНАИ АНИЗОТРОПЙ ЧОЙ ГИРИФТА ^АНГОМИ КАШИДАШАВЙ ДАР ТАХ,ТИ КУНЧ НИСБАТ БА РАВИШИ АСОСЙ

Дар мак;ола х,алли масъалаи х,исоби шиддатх,ои тангенсиалй дар гирди халкди сурохии коркардх,ои зеризаминй, ки дар дохили чинсх,ои кух,ии зери таъсири шиддатх,ои тектоникй вучуд дошта пайдо мешаванд, ичро карда мешавад. Хосиятх,ои анизотропии чинсх,ои кух,и, ки ин иншоотро их,ота мекунанд, ба воситаи параметрх,ои таркишх,о ифо-да меёбанд.

A.A.Hojiboev

STRESS CONCENTRATION ON ENTRY CONTOUR IN ANISOTROPIC PLATE BY ANGULARLY TENSION TO PRINCIPAL DIRECTION

In article is taking into task solution of stress concentration of body massif. Fissured massif is characterized by inviolate layer thickness, hade and breadth crack opening.