Расслоенные толерантные пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Замечание 2. Из

|Spir£| = 1 - |Atte| и (16) вытекает совсем не очевидная формула

\Spir£\ = (д - 1)|Att+| (18)

между мерами множества Att+ и множества спиралей Spir£ = I \ Atte.

Библиографический список

1. Zhuravlev V. One-dimensional Fibonacci tilings and derivatives of two-colour rotation of a circle // Preprint of Max-Planck-Institut fiir Mathematik. 2004 № 59.

2. Журавлев В.Г. Одномерные разбиения Фибоначчи // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. (В печати)

3. Мануйлов Н.Н. Перенормировки на одномерном торе // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2004. (В печати)

4. Мануйлов Н.Н., Шутов А.В. Глобальный порядок разбиения окружности // Молодежь.Образование.Экономика: Сб. науч. ст. участников 5-й Всерос. науч.-практ. конф. молодых ученых, аспирантов и студентов, 4 мая 2004 г. Ярославль; Ремдер, 2004. С. 314-320.

УДК 513.6

С.И. НЕБАЛУЕВ Расслоенные толерантные пространства

В статье определяются расслоенные толерантные пространства, являющиеся в теории толерантных пространств естественным аналогом топологических расслоенных пространств. В предлагаемой работе доказывается, что толерантное накрытие [1] определяет расслоенное толерантное

пространство, структурной группой которого является фундаментальная группа базы накрытия. Основная теорема статьи утверждает, что проекция расслоенного толерантного пространства является толерантным расслоением в смысле Гуревича.

Настоящая статья использует обозначения и результаты статьи [2], помещенной в этом же сборнике.

Определение 1. Расслоенным толерантным пространством назовем набор

£ = ((Е,т), (В,т), (Г,0) ,р),

в котором (Е,т) , (В,т) , (Г, 0) — толерантные пространства, а р : (Е,т) ^ (В,т) — толерантное отображение, такое что для каждой точки ж € В и соответствующей толерантной звезды ж = т (ж) = = { ж' € В | ж'тж} имеется толерантный гомеоморфизм

: т(ж) х Г ^ р-1 (т(ж)),

удовлетворяющий условию

р о = РГ1, (1)

где рг1 — проекция на первый декартов сомножитель.

Толерантные пространства (Е, т) , (В,т) , (Г, 0) в соответствии с традицией назовем пространством расслоения, базой расслоения и общим (или типичным) слоем. Толерантное отображение р будем называть проекцией.

Подпространство р-1(ж),т в (Е,т) назовем слоем над точкой ж € В. Из определения 1 следует, что отображение

г € Г -—> <#х(ж, г) € р-1(ж)

является для каждой точки ж € В толерантным гомеоморфизмом пространства (Г, 0) на пространство (р-1(ж),т).

Определение 2. Пусть £ = (Е, В, Г,р) — расслоенное толерантное пространство и О — некоторая группа толерантных гомеоморфизмов слоя (Г, $) на себя. Группу О назовем структурной группой расслоенного толерантного пространства £, если для каждого слоя р-1(х) имеется совокупность Ф(х) = толерантных гомеоморфизмов ^ : Г ^ р-1(х), на которую транзитивно действует справа группа О по формуле

(V д е О) (V ^ е Ф(х)) ^ • д = ^ о д е Ф(х);

при этом должно выполняться условие

Х2 е Т(Ж1> ^ ^1 {Х2} X Г е Ф(Х2). (2)

Из определения 2, в частности из транзитивности действия группы О, следует, что для точек х1, х2, х3 е В, таких что х3 е т(х1> П т(х2>, найдется элемент д е О, такой что

1 {хз} х Г = (^ | {хз} х Г) о д.

Отметим, что одно расслоенное толерантное пространство может допускать разные структурные группы.

Определение 3. Два расслоенных толерантных пространства £1 = = (Е1, В, Г,р1) и £2 = (Е2,В,Г,р2) будем называть эквивалентными, если существует толерантный гомеоморфизм Н : (Е1,Т 1) ^ (Е2,Т2), такой что

Р2 о Н = р1. (3)

Если же у этих расслоенных толерантных пространств одна и та же структурная группа О и дополнительно имеется свойство

(V х е В) (V ^ е Ф1(х)) Н о ^ е Ф2(х), (4)

то £1 и £2 будем называть О-эквивалентными.

Приведем примеры.

Пример 1. (Тривиальное расслоенное толерантное пространство) Пусть (В,т) и (Г, 0) — произвольные толерантные пространства. Определим тривиальное расслоенное толерантное пространство:

£ = ((В х Г,т х 0), (В, т), (Г,0),рп).

Определение 4. Расслоенное толерантное пространство £ = (Е, В, Г, р) назовем тривиализуемым, если оно эквивалентно тривиальному пространству (В х Г, В,Г,рг1).

Очевидно, что эквивалентность Н : Е ^ В х Г из определения 4 должна иметь вид Н = (р, Н2), где Н2 : (Е,т) ^ (Г, 0) — толерантное отображение.

Предложение 1. Расслоенное толерантное пространство £ = = (Е, В, Г,р) тривиализуемо тогда и только тогда, когда оно допускает тривиальную структурную группу.

Доказательство Если £ — тривиализуемо, то имеется толерантный гомеоморфизм Н : В х Г ^ Е с условием р о Н = рг1. Это позволяет в определении 1 для £ взять

(V ж € В) = Н |т(ж) х Г , а в определении 2 для £ и тривиальной группы О положить

(V ж € В) Ф(ж) = {^>х |{ж} х Г = Н |{ж} х Г} — одноэлементное.

Обратно, пусть £ = (Е,В,Г,р) допускает тривиальную структурную группу О, транзитивно действующую на Ф(ж). Значит, для любой точки ж € В множество Ф(ж) одноэлементно и состоит из толерантного гомеоморфизма (рх : Г ^ р-1(ж), такого что (см. (2))

(V ж2 € т(ж1)) ^Х2 = <#Х11 {ж2} х Г. (5)

В частности

(V ж € В) (^х = (х| {ж} х Г. (6)

Рассмотрим два отображения Н : Е ^ В х Г, Н-1 : В х Г ^ Е, определяемые формулами

(V у € Е) Н(у) = (р(у),<~-1

(V (ж, г) € В х Г) Н-1(ж, г) = (х(г).

Непосредственной проверкой убеждаемся во взаимной обратности отображений Н и Н-1. А так как по построению рг1 о Н = р, то остается доказать толерантность Н и Н-1.

Пусть у1ту2, тогда для точек ж1 = р(у1) и ж2 = р(у2) имеем ж2 € т(ж1). Следовательно (см. (5) и (6)),

(х2 = (Х11 {ж2} х Г, (Х1 = (Х11 {ж1} х Г. (7)

Если обозначить (-1(у1) = г1, (-21(у2) = г2, то из (7) следует

у1 = (Х1 (^1) = (Х1 (ж1,^1), у2 = (х2 М = (Х1 (ж2,^2).

Отсюда, в силу того что ж2 € т (ж1), а также (х1 : т (ж1) х Г ^ р-1 (т (ж1)) — толерантный гомеоморфизм, и что у1ту2, следует т х ^-толерантность

Н(у1) = (р(у1 ^(¿ыЫ) = (ж1,г1)тх0(ж2, г2) = (рЫ^-^Ы) = Н(у2).

Толерантность отображения Н-1 доказывается еще проще. Предложение 1 доказано.

Пример 2. (Толерантный лист Мебиуса) Рассмотрим декартов квадрат (12п х 12п, ¿2п х ¿2п) толерантного отрезка и произведем в нем отождествление точек

(V <-П») (V, . 0725) (А^) . ^

Обозначим через М2п множество классов по отношению эквивалентности =. Определим на М2п отношение толерантности д2п, полагая д2п-толерантными классы, имеющие (¿2п х ¿2п)-толерантные представители. Толерантное пространство (М2п,д2п) назовем толерантным листом Мебиуса.

Если отождествить концы толерантного отрезка (12п, ¿2п), то получим толерантную окружность (^2п,т2п). Определим толерантное отображение р : (М2п, М2п) ^ (^21П,Т2П) формулой

^ к = 072^) (V 1 = <Ш) Р (2П, ¿) = £

согласованной с проведенными выше отождествлениями.

Предложение 2. Четверка £ = (М2п, ^2п, 12п,р) является расслоенным толерантным пространством.

Доказательство Возьмем точку х е $2«, заданную своим представителем , к = 0, 2п.

тч к /0 2п

Если = = , то имеем совпадение толерантных пространств

Т2" (2П) х /з" = {"2П", 1+г} х = р-1 (Т2" (2П)) ■

Поэтому в качестве толерантного гомеоморфизма можно взять тождественное отображение.

* к 0 2п Г 2п-1 1 \

Если же — = — = —, то т2п(х) = <-, 0 = 1, — > и

2п 2п 2п' I 2п ' 2п |

Р 1(т2п(х>) =

У ,

2п 2п / ' V ' 2п /

При этом

1,

2п - Г 2п

'Л ^

ч2П 2п/

¿,¿',1" = 0, 2п^.

М2г

0,±

' 2п

1

2п - Г 2п

2п - 1 1 + / 1 + е

2п , 2п / Ч , 2п

(1, 21 + е)) , (2-, 21 - + е''>) е, е', е'' € {-1,0,1}

2п у \2П 2п

В этом случае толерантный гомеоморфизм можно задать следующим образом: ( ) ( )

/2п - 1 1 \ _ /2п - 1 1 \

V 2п , 21У V 2п , 2пу ,

»(о■ ) = К) ■ (^¥).

„ (± ,±) ■ (1,21-).

21 21У \21 21 У

В обоих случаях очевидно выполняется условие (1): р о (х = рг1. Предложение 2 доказано.

Отметим, что £ = (М2п, 52«, 12п,р) не тривиализуемо, так как тривиальная группа не может транзитивно действовать на двухэлементном множестве

{(2П-Г {0 ■ 1} х /2п = (X {0 ■ 1} х ¡2п\ .

I 2п 2п )

Отсутствие тривиализации показывает и следующее «геометрическое» рассуждение. При наличии тривиализирующего толерантного гомеоморфизма Н : М2п ^ 52п х /2«., ввиду его послойности, толерантная окружность 52п х { ^ М2п должна отобразиться в толерантную кривую, пересекающую все слои /2п в х /2п и состоящую из внутренних точек этого пространства. Но тогда линейно связное дополнение

М2„\ (52„ х {21})

должно быть толерантно гомеоморфно пространству

11

52« х /2п\Н (52п х {21}) ,

которое состоит из двух компонент линейной связности.

Пример 3. (Толерантные накрытия) Все необходимые сведения по толерантным накрытиям можно найти в работе [1].

Предложение 3. Если р : (Х,Т) ^ (X, т) — толерантное накрытие с линейно связными пространствами (Х,т) и (X, т), а х0 е X — произвольная точка базы, то система £ = (X, Х,р-1(х0),р) является расслоенным толерантным пространством, допускающим в качестве структурной группы фундаментальную группу п^, х0).

Доказательство Ввиду линейной связности (X, т) можно зафиксировать для каждой точки х е X толерантный путь ш(х) в (X, т), соединяющий точку х0 с х. Для построения на т(х> х р-1(х0) каждой точке у е т(х> сопоставим толерантный путь а(х,у) длины 1 из точки х в точку у. Тогда толерантный путь ш(х) * а(х, у) соединит х0 с у. В доказательстве теоремы 9 работы [1], с помощью поднятий толерантного пути ш с началами в каждой точке слоя р-1(ш(0)), был определен толерантный гомеоморфизм

: р-1(ш(0)) ^ р-1(ш(1)),

зависящий лишь от класса [ш] толерантной гомтопности пути ш. С его помощью определим

(V у е Т(х>) (V г е р-1(х0)) <#х(у, 2) = <£кх)*а(*,у)](г)■ (9)

Тем самым мы получаем биекцию

: т(х> х р-1(х0) ^ р-1 (т(х>),

которая по построению удовлетворяет свойству

р о = рг1. (10)

Остается проверить толерантность отображений и Пусть

у, у' е т(х> и уту'. Тогда

Это следует из того, что толерантный путь а(ж,у') * а(у',у) * а-1 (ж, у) толерантно гомотопен тождественному, так как лежит в классе толерантности, а все классы толерантности стягиваются.

Воспользовавшись свойствами отображений ([^ (см. доказательство теоремы 9 в [1]), из (11) получаем

(х(у,г) = ([а(у',у)]((х(у ',г)).

Так как а(у,у') — толерантный путь длины 1, то по построению отображения имеем толерантность (х(у, г)т(х(у', г), что доказывает толерантность отображения (х, ввиду дискретности пространства р-1(ж), которому принадлежит г.

Обратно, пусть (х(у, г)т(х(у', г'). Тогда применяя к этой паре отображение р и формулу (10), получаем уту'. Далее предположим противное: г = г'. Тогда биективность ([^ дает, что ([^(х)](г) = ([^(х)](г'). При этом ([^(х)](г), С[^(х)](г') € р-1(ж). С другой стороны, срезы этих точек имеют толерантные между собой точки

(х(у,г) = ([а(х,у)](([^(х)](г)) € т(([^(х)](г)),

ех(у',г') = (нху^еих)]^')) € т(([^(х)](г')).

Этот факт противоречит предложению 3 работы [1]. Итак, £ = = (X, Х,р-1(ж0),р) — расслоенное толерантное пространство.

Рассмотрим теперь группу О = п(Х, ж0), действующую на дискретном толерантном пространстве р-1(ж0) как группа толерантных гомеоморфизмов по формуле

(V [7] € п(Х,жо)) (V г € р-1(жо)) [7] • г = (7-1](г).

И для каждой точки ж € X определим семейство

Ф(ж) = {: р-1(жо) ^ р-1(ж)} ,

где ш пробегает множество толерантных путей в (X, т) с началом ш(0) = = х0 и концом ш(1) = х. Группа п^, х0) действует справа на этих семействах

(V е Ф(х)) (V [7] е п^,х0)) ^Ы = = е Ф(х).

Это действие транзитивно:

(V <^[ш], е Ф(х)) = = о= • [ш * (ш')-1],

так как [ш * (ш')-1] е п(X, х0).

Наконец, если у е т(х>, то, применив (9), получаем

^х|{у} х р-1(х0) = <£[ш(х)*а(х,у)] е Ф(у).

Все это означает, что £ = (X,X,p-1(x0),p) допускает в качестве структурной группы фундаментальную группу п^, х0). Предложение 3 доказано.

Пример 4. (Векторные толерантные расслоения) Рассмотрим метрические толерантные пространства (Кп,т^) и (Сп,т^), в которых толерантность т^ определяется условием

\

- уг|2 < ^

х = (хЛ=1,п у = (у0^=1,п ^

П=1

где ё —фиксированное положительное действительное число.

Назовем действительным (комплексным) п-мерным векторным толерантным расслоением расслоенное толерантное пространство £, слоем которого является пространство (Кп,т^) (или (Сп,т^)), а структурной группой является ортогональная группа О(п) (или унитарная группа

и (п)).

Докажем теперь, что проекция всякого расслоенного толерантного пространства является толерантным расслоением в смысле Гуревича. В отличие от аналогичного утверждения в топологии в толерантном случае на базу не накладывается никаких дополнительных условий.

Теорема 1. Пусть £ = ((Е,т), (В,т), (Г, $),р) — расслоенное толерантное пространство. Тогда его проекцияр : (Е,т) ^ (В,т) является толерантным расслоением (в смысле Гуревича).

Доказательство Примем обозначения статьи [2]. Через (р(В), кв) обозначим пространство толерантных путей в пространстве (В, т). В пространстве (Е х р(В),т х кв) рассмотрим пространство

В = {(у,^п)| ^п(0) = р(у)}

и толерантное отображение р : (р(Е), кЕ) ^ (В,т х кв), такое что

(V € р(Е)) р(ып) = (ып(0),р о ^п).

Для доказательства теоремы 1, согласно предложению 2 статьи [2], нам достаточно построить накрывающую функцию Л : (В,т х кв) ^ ^ (р(Е), кЕ) для р, представляющую собой толерантное отображение правое обратное к р:

р о Л = 1в.

Пусть : (/п, ¿п) ^ (В,т) — произвольный толерантный путь в (В,т). Обозначим через жк = («) , к = 0,1 точки траектории пути Пусть у € Е и р(у) = ^п(0) = ж0, то есть (у,^п) € В. Построим толерантный путь Л(у,ып) = : /п ^ Е индуктивно по точкам его траектории ук = («) , к = 0,1, определяя начальную точку у0 = у. По условию имеем р(у0) = ж0. Тогда можно зафиксировать точку

го = рг2 о (-ЧуД

которая является единственной точкой г0 € Г удовлетворяющей условию

(х0 (жо,го) = уо.

Следующую точку траектории шп определим формулой

у1 = ^хс (х1,20). (12)

Так как — толерантный гомеоморфизм, х0 = шп(0) т шп (П) = х1, то у1 = (х1, 20) Т (х0, 20) = у0. При этом построенная точка у1 лежит над х1. В самом деле, по формулам (12) и (1)

р(у1) = р о ^хс (х1, 20) = рГ1(х1, 20) = хЬ

Продолжая индуктивно процесс построения толерантного пути шп (П) = = ук, предположим, что уже построены точки у0,..., е Е, такие что

(V г = 0, к - 1) угтуг+1 и (V г = 0, к) р(уг) = хг. Как и выше, однозначно определяется точка 2к е Е, такая что

= рг2 о ) и ^ (хк, ) = ук. (13)

И по аналогии с (12) определяем

ук+1 = ^ (хк+1,2к). (14)

И те же соображения, что и раньше, дают

ук+1 = ^ (хк+1, ) Т ^ (хк, ) = ук;

р(ук) = р о ^ (хк+1,2к) = рГ1(хк+1,2к) = хк+1.

Тем самым в пространстве (Е,Т) индуктивно построен толерантный путь А(у,шп) = шп, такой что

' к"

(V к = 0, п) шп ( ^ = ук, р о шп = шп, шп(0) = у0 = у.

Следовательно, построено отображение А : В ^ р(Е), такое что р о А = %.

Осталось показать толерантность отображения Л. Пусть (у, ып), (у',ы>т) € В и уту', ыпквы>т. Последнее означает ([2], определение 5), что существуют подходящие наборы элементарных преобразований, превращающие пути ып и ыт в просто толерантно гомотопные:

П±(к1,£1) о ... о п±(к5,£5)(^п) = аг - аГ = п±(к! ,4) о ... оп±(к,4)(ыт).

Рассмотрим пути Ып = Л(у,ып) и ы'т = Л(у', ы^г) и применим к ним те же элементарные преобразования

П±(к1,£1) о ... о)(Ып) = вг, П±(к1,4) о... оп±(к,4)(ы'т) = вГ.

(15)

Поскольку обратные элементарные преобразования являются частичными (см. условие (1) в [2]), то следует обсудить возможность их применения к Ып и ы'т. В самом деле, пусть в траектории пути ып имеем жк = жк+1. Тогда формулы (13) и (14) показывают, что

ук = (жл, ¿к), ук+1 = (х*(жл+1, ¿к) = (жл, ^) = ук. Таким образом,

/к\ /к + 1\

жк = Ып I ^ = Ып I —— I = жк+1 ^

^ ук = Л(у,ып^ = Л(у,ып^= ук+1. (16)

Из свойства (16) можно сделать еще один важный вывод: вг = Л(у, аг) = = аг и вГ = Л (у' ,аГ)а'г. Поэтому для доказательства толерантности Л нам надо показать, что

аг — аГ ^ аг — а'г.

Обозначим для краткости аг (Г) = жк, аГ (*) = жк, аг (*) = ук, а'Г (Г) = ук. При этом имеем по условию жктж^ при |к - 1| ^ 1. Нам надо показать, что

(V к, 1 = 0, п) |к - 1| ^ 1 ^ укту;.

По предположению у0 = уту' = у0. А по построению А

у0 = Рх(x0, 20)ту0 = рхс(х0, 20).

Так как х0 е т(х0>, то дополнительно имеем у0 = р^(х0,и0) для некоторого однозначно определенного и0 е Е. Отсюда толерантная гомеоморфность р~т влечет . Последняя толерантность вместе с х0тх/ показывает, что

у0 = Рхс (х0, и0)ту1 = Рхс (х1,20).

Аналогично доказывается, что у1Ту0.

Рассмотрим теперь другое представление для точки у/. А именно для точки х/ е т(х0> имеется однозначно определенная точка и0 е Е, такая что

у! = РХс(x/l, 20) = Рхс(х1,и0). (17)

Так как у0 = рхс(х0,20), то доказанная толерантность у/Ту0 влечет толерантность 20$м0. Если к этому добавить х1тх/, то формула у1 = = рхс (х1,20) вместе с (17) показывает, что у1ту/.

Таким образом, все четыре точки у0, у0, у1, у' попарно Т-толерантны. Те же самые рассуждения и формулы (13) и (14) по индукции доказывают, что любая четверка ук, ук, ук+ь ук+1, к = 0,г - 1 состоит из попарно Т-толерантных точек. Это означает, что аг ~ а'г, чем завершается доказательство теоремы 1.

Библиографический список

1. Небалуев С.И. Фундаментальная группа, толерантные пространства и толерантные накрытия // Чебышевский сборник: Тр. VI Междунар. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Тула: Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та, 2004. Т. 5, вып. 3. С. 144-152.

2. Небалуев С.И., Кляева И.А. Толерантное расслоение пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 3. (В печати)

УДК 513.6

С.И. НЕБАЛУЕВ, И.А. КЛЯЕВА

Толерантное расслоение пространства толерантных путей

В статье строится толерантное пространство толерантных путей и доказывается, что оно определяет толерантное расслоение в смысле Гуре-вича.

В алгебраической топологии важную роль играют расслоения, связанные с пространством непрерывных путей. Такую же роль должно играть в теории толерантных пространств пространство толерантных путей.

Толерантное пространство [1] является математической моделью понятия схожести и представляет собой пару (X, т), состоящую из базисного множества X и отношения толерантности т С X х X, которое должно быть рефлексивным и симметричным. Если (х',х2) е т, то будем называть точки х/ и х2 толерантными и записывать х'тх2. Толерантным отображением / : (X, т) ^ (У, 0) толерантных пространств (X, т) и (У, 0) назовем отображение / : X ^ У, сохраняющее толерантность точек, то есть для х'тх2 получаем /(х^0/(х2).

Роль единичного отрезка в гомотопической теории толерантных про-

странств играют пространства (/п,^п), в которых 1п = {П|к = 0,п} — множество точек деления единичного отрезка на п частей, а толерант-