CC BY
18
УДК 533.951
РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОПОЛЯРИЗОВАННОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ В ПЛАЗМЕ (Ш-ГЕОМЕТРИЯ)
А. В. Боровский, А. Л. Галкин, О. Б. Ширяев
Проведен строгий линейный анализ неустойчивости пло-скополяризованной электромагнитной волны релятивистской интенсивности в 1 И-геометрии. Показано, что такая неустойчивость в области релятивистских интенсивностей приводит к комбинационному рассеянию (КР) на плазмонах вперед и назад. При этом центр линии рассеяния для отдельной гармоники КР формируется с учетом эффекта отдачи электронов при рассеянии электромагнитной волны. Далекие крылья линии усиления обусловлены генерацией ленгмюровских шумов. Форма линии и скважность пиков зависят от интенсивности опорной волны.
В последние годы усиливается интерес к вопросам электродинамики мощных электромагнитных (ЭМ) импульсов в веществе [1-5], что связано с успешным развитием лазерных пико- и фемтотехнологий [6]. Значительные усилия направлены на исследо вание проблемы рассеяния лазерного излучения релятивистской интенсивности в веще стве [7 - 13].
Ниже рассмотрим рассеяние распространяющегося излучения, обусловленное не линейными токами свободных электронов. Данный тип рассеяния преобладает при полной ионизации вещества. Релятивистские интенсивности излучения I > 1г = теи)2с3/(Апе2) = 2, 75-Ю18 (А[л«гс.м])-2 Вт/см2, при которых проявляется эффект утяжеления электронов при их движении в электромагнитном поле, достигаются на лазерных установках, генерирующих мощные ультракороткие (фемто- или пикосекундные) им пульсы [6]. На переднем фронте импульса вещество ионизуется, и основная часть излучения распространяется в плазмоподобной среде с нарушенной электронейтральностыо,
поскольку на электроны действует значительная пондеромоторная сила со стороны ЭМ поля. Ионы при распространении ультракоротких импульсов можно считать неподвиж ными.
В литературе, посвященной лазерной физике высоких интенсивностей, чаще рас сматриваются вопросы теоретического описания рассеяния циркулярно поляризованной ЭМ волны в плазме [7, 8, 12, 13]. Однако большинство экспериментов по фокусировк< мощных пико- или фемтосекундных лазерных импульсов в вещество проводится с плос-кополяризованным (линейно поляризованным) излучением. Поэтому построение теорш; рассеяния для плоскополяризованной волны в релятивистских условиях представляем несомненный интерес.
Ряд аспектов рассеяния плоскополяризованной монохроматической ЭМ волны высокой интенсивности в холодной плазме отражен в работе [11]. Однако плоскополяри зованные волны в плазме не являются монохроматическими [14]. Исходная квазимоно хроматическая лазерная волна, создав плазму передним фронтом и взаимодействуя с ней основной частью, трансформируется в специфическое образование ЭМ волну в плазме. Последней соответствуют частные решения системы уравнений Максвелла и релятивистской гидродинамики электронов, которые существуют в виде немонохрома тических волн с различной поляризацией, в том числе линейной. Именно эти решения естественно рассматривать в качестве опорных при описании процессов рассеяния.
Целью данной работы является построение теории одномерного рассеяния плоскопо ляризованной (немонохроматической) релятивистски-интенсивной ЭМ волны в холод ной плазме.
Основные уравнения. Следуя работе Ахиезера и Половина [15], распространение ин тенсивных ультракоротких лазерных импульсов в плазме описывают в рамках следую щей системы уравнений:
□ А = + гс7~х(А + Чф), Д(у? = тг-1, (V, А) = 0, (1)
Ф* = Ч>~Ъ 7 = (1 + |А + )1/2- (2)
Здесь А и - векторный и скалярный потенциалы ЭМ поля, ф - потенциал обобщенного импульса электронов, п - плотность электронов. Уравнения (1) - уравнения Максвелла в кулоновской калибровке. Уравнение релятивистской гидродинамики для электронов в ЭМ поле в отсутствие генерации электронных вихрей сводится к (2), где 7 реля тивистский массовый множитель. Нижний индекс £ означает частную производную по времени.
Выше А и ip нормированы на mc2/e, п - на невозмущенное значение электронной плотности, потенциальная составляющая импульса электронной жидкости р = на тс, время - на uj~q , где и>р0 - невозмущенное значение плазменной частоты, а про странственные координаты - на с/шр0.
Применив оператор дивергенции к волновому уравнению (1), приходим к уравнению неразрывности
nt + (V,n7"1(A + VV')) = 0, (3)
которое можно использовать вместо одного из уравнений (1) - (2).
Исходная система уравнений удовлетворяет законам сохранения для вещества и поля (см., например, [5]).
Плоские электромагнитные волны. Рассмотрим частные решения (1) - (2) в виде нелинейных плоских волн произвольной интенсивности
А(0 = eiA\0 + e2A2(£), <Ж), "(О, (4)
распространяющихся вдоль оси е3 ортогональной системы координат е,, г — 1,2,3. Здесь £ = x3 — qt - сопутствующая переменная, q - фазовая скорость волны, q = (1 + е2), с - малый числовой параметр.
Уравнения (1) - (2) сводятся для функций (4) к системе обыкновенных дифферен циальных уравнений [1]
е2«% А + F( А, v, О А = 0, е2д& + F( А, у, е)<р - 1 = 0, (5)
с нелинейностью F(A,ip, е) = {(1 + е2)/[^>2 + е2(1 + IAI2)]}1/2. В выражении F(A,ip,t) учтены релятивистская и стрикционная нелинейности, а также взаимодействие распро страняющихся плазменных и ЭМ волн.
Решения системы уравнений (5) назовем волнами Ахиезера-Половина (АП). Согласно [14] плоскополяризованную волну АП произвольной интенсивности в плазме можно интерпретировать как поток фотонов с волновыми векторами k0 ± ткр и частотами и;0 ± тшр(т = 0,1,2...), сдвинутыми относительно несущей на величины, кратные плазменной. Сама же плазменная частота изменена по сравнению со своим значением в невозмущенной плазме, ир ф ир0. Поток фотонов для отдельной гармоники пропор ционален квадрату модуля соответствующего коэффициента в разложении Фурье для векторного потенциала, см. ниже (9).
Уравнения одномерного рассеяния плоскополяризованной волны. Выберем в каче стве опорного решения произвольную плоскополяризованную волну АГ1 (см. рис. 1 в [14]). Это точное численное решение системы (5), которое обозначено функциями (4) Снабдим их нижним индексом "О". Рассмотрим на фоне опорной волны малые возму щения
А = А0 + 8 А, ч> = Уо + 8<р, п — по + 8п, р = ро + <5р- (6)
Здесь ро = У'0о, ¿р = ¥8ф. Система линеаризованных уравнений для возмущений
имеет вид
□ 8А = д^6(р + по-уо1 (8А + 8р) + 7о1(А0 + р0)<5" - п07^"3(А0 + р0)((А0 + р0), (¿А + <5р)),
(V, 8А) = 0, А8р = 6п, 8<8р = - 7о~1((Ао + Ро), (8 А + ¿р))], (7)
д{8п + У[по7о г(<5А + ¿Р) + 7о_1(Ао + Ро)6" - "о7о 3(Ао + Ро)((А0 + р0), (¿А + ¿р))]. Введем следующие обозначения для функций, фигурирующих в (7):
ГШ = по(07о_,(0. /2(0 = АКОъЧО, ЛО = ШоЪоЧО, (8)
где ро = д^фо, по и 7о выражаются через и [14]. Функции р являются пери
одическими и разлагаются в ряды Фурье по периоду скалярного потенциала
= (9)
т
Подставив (9) в (7) и применив преобразование Фурье по пространственной координа и для одномерной задачи получим систему уравнений
[-Х2 - (дг + гчх?]8К = ££ Л: [-Х2 - (дг + гчх)2]8А1 = £ £ Ь>тби1т,
¿=1 т то
(дТ + чх)8ф0=±ЕЫи1тАдг + Чх)8п0 = ±Е*18и1т, (10)
7=1 т 7=1 т
где 8изт = {8А11, 8А2т, 8тгт}, верхний индекс ] = 1,2, ...4 нумерует Фурье-образы
неизвестных четырех функций, а индекс т = 0, ±1, ±2,..., ±оо относится к простран ственной Фурье-гармонике каждой функции.
Коэффициенты в (10) описываются соотношениями
От = /т - X /п/т-п, = 0, = г " ™*Р)/п/т-п, < = ,
п п
61 = 0, Ь2 = Ь3т = Ьлт = 0.
771 ' 771 «/ 771' 771 771 *
Ст = "/ш. Ст = Ст = »(Х ~ т*р)/т> С" = ~^28т0.
х/*/*-„, = 0, £ = х(х - - £ /п5/^_п), < =
п п
М у- Г1г2 Г5 _ у- Г1.3 СП)
¿т Л пт—п' лт / * J пЛгл—п •
п п
Умножая систему уравнений для возмущений (7) на ехр(гт/гр£) и применяя операции> преобразования Фурье, получим бесконечную систему зацепляющихся уравнений для величин 61^ с произвольными номерами гармоник.
Нелинейные периодические функции /*(£), входящие в систему линеаризованных уравнений (7), определены с точностью до сдвига £о системы координат. Так как выбор £о является случайным, либо уравнения (10), либо результат их решения (линейное рассмотрение) следует усреднить по сдвигу £0 в пределах периода в силу периодичное п> опорной волны.
Введение сдвига £о приводит к умножению Фурье-коэффициентов функций р ш экспоненциальные множители
Г+ £о) = X /т ехр{Мр(( + £„)) = ехр(г'т^£о)) ехр(гглА^)-
т т
В системе зацепляющихся уравнений (10) коэффициент с номером т умножается на ехр(гт&р£о)- Однако, так как неизвестные функции, на которые умножаются соответствующие коэффициенты, также зависят от £о, непосредственно усреднить уравнения (10) не представляется возможным. В данной работе реализован подход, основанный на численном усреднении по £0 конечных решений системы уравнений (10).
Распространение возмущений. Система уравнений (10) - (11) распадается на два независимых блока для функций (6А1, 8ф, 8п) и 8А2. Расчеты показывают, что инкре менты нарастания ЭМ возмущений, поляризованных перпендикулярно вектору поляри зации и волновому вектору опорной волны, на несколько порядков величины меньше по сравнению с инкрементами для возмущений, поляризованных в направлении вектора поляризации опорной волны. Рассмотрим распространение последних.
Для анализа задачи выбраны опорные решения со значениями средней интенсивности, лежащими в диапазоне < / > ~ 0,1 — 60, которые получались варьированием начальных значений для волны АП.
Для определения инкремента методом фй-алгоритма [16] решалась задача на собственные значения для системы зацепляющихся обыкновенных дифференциальных уравнений, которые были представлены в виде с?У/¿г = В У. В общем случае матри ца В бесконечномерная и состоит из горизонтальных ленточных матриц, содержащих по 4 строки и бесконечное число столбцов. Ленточная матрица нулевого порядка заполняется в соответствии с формулами (10) - (11)- Ленточные матрицы порядка ±т получаются путем замены коэффициентов в ленточной матрице нулевого порядка ви да х X гпкр и ее соответствующего сдвига вдоль главной диагонали. Ленточная матрица нулевого порядка определяется коэффициентами Фурье периодических функ ций /'(£)• Коэффициенты Фурье последних для анализируемых опорных решений АП сосредоточены в интервале —М<т< М, где М ~ 35. Поэтому число столбцов в ленточной матрице с отличными от нуля коэффициентами составляет по порядку величины 4(2М + 1) ~ 300. Для проведения конкретных вычислений бесконечномерную матрицу В следует аппроксимировать квадратной матрицей конечного ранга. Приведенные выше оценки показывают, что ранг последней не следует выбирать меньше 300.
На рис. 1 представлен расчет инкремента С (без усреднения, для £0 = 0) с использованием квадратной матрицы рангом Я. = 4(2,7 + 1) = 604. Число учитываемых гармоник в ^--пространстве при этом составляет 2] + 1 = 151.
Функция С(х) симметрична. Расчеты показывают наличие обширного краевого >ф фекта, который захватывает по 40 гармоник для положительных и отрицательных зна чений х- Интерес представляет центральная часть С(х), которая представляет собой периодическую последовательность линий с периодом кр. С увеличением ранга матрицы центральная (периодическая) часть С(х) расширяется, захватывая все большее число гармоник.
На рис. 2 представлены расчеты нескольких линий с учетом усреднения по Рас стояние между соседними линиями уменьшается с ростом интенсивности опорной вол ны.
Отметим, что третье уравнение (7) порождает особенности инкремента в Фурье-пространстве в точках х ~ ±ткр. Эти особенности интегрируемы, поэтому возможно корректное определение контура и интегральной ширины линии. Причинами появления особенностей являются использование кулоновской калибровки векторного потенциала
Рис. 1. Инкременты б? неустойчивости линейно поляризованной плоской волны Ахпезера Половина как функция продольной компоненты \ волнового вектора при начальных условиях д(А(0) = 5, <^(0) = 2, д{<р(0) = —1 и интенсивности 51,5 без усреднения по £0 для матрицы В с рангом Я. — 604.
или приближения гидродинамики холодной плазмы. Рассмотрение этого вопроса требует проведения дополнительных теоретических исследований.
В работе проводился расчет собственных векторов задачи, что позволяет разобрать ся с природой возмущений для различных областей спектра. Вблизи максимума линии происходит генерация возмущений 8А, 8ф и 8п, что означает возникновение рассеянной волны и ленгмюровских шумов. При некотором смещении от центра линии преобладает генерация 8А и 8ф. Здесь мы имеем дело с гидродинамическим аналогом релятивистского комптоновского рассеяния фотонов опорной волны на движущихся электронах. На крыльях линии также происходит генерация возмущений 8А, 8ф и 8п, что соответствует взаимодействию с плазмонами. Для плазмонов в модели холодной плазмы величина X может быть любой, поэтому значение инкремента на далеких крыльях линии слабо
0100010202020102000000020000000000000102020153000000020100005323484801010202020000010001040910
в
10 п
8 I 6 т 4 г
2 :
и I 1 1 1 1 1 1 1 1 Ч ( I I | I I | I I I I I I I I I I | I I ........ I I I I I I I I I I |
-3 -2 " -1 0 1 2
X
Рис. 2. Инкременты С неустойчивости линейно поляризованных плоских волн Ахиезера Половина как функция продольной компоненты х волнового вектора при начальных условия А(0) = 5, <¿>(0) = 2, ¿^<¿>(0) = —1 и интенсивностях < I >= 3,82(1), 51,5(2), усредненны' по для Я = 412.
зависит от х (белый шум).
Таким образом, плоскополяризованная немонохроматическая волна неустойчива в релятивистском диапазоне интесивностей. Спектр рассеяния вперед и назад в \ пространстве состоит из периодического набора линий, представляющих собой гармо ники ВКР, сдвинутые относительно друг друга на величины, кратные кр. На форму отдельной линии влияет релятивистский гидродинамический аналог комптоновско; о рассеяния фотонов на электронах, движущихся в поле опорной волны со скоростями, близкими к скорости света. Крылья линии обусловлены генерацией ленгмюровских шумов распространяющейся опорной волной.
Экспериментальное определение скважности линий инкремента и их ширин, например, при рассеянии излучения назад, в принципе может позволить сделать оценки ин-
тенсивности опорной волны и величины электронной плотности.
Отметим также, что в данной работе впервые проведен строгий линейный анализ неустойчивости распространения в веществе плоскополяризованной немонохроматической волны произвольной амплитуды. Этот анализ основан на применении нового метода определения инкрементов решений системы дифференциальных уравнений с периоди ческими коэффициентами [13].
Работа частично финансировалась из грантов РФИИ 96-02-16401, 96-02 18264.
ЛИТЕРАТУРА
[1] С и л и н В. П. Параметрическое воздействие излучения большой мощности на плазму. М., Наука, 1973.
[2] А л е к с а н д р о в А. Ф., Богданкевич Л. С., Рухадзе А. А. Основы электродинамики плазмы. М., Высшая школа, 1988.
[3] П и н ц а д з е П. Л., Ц х а к а я Д. Д. Релятивистские нелинейные эффекты в плазме. Тбилиси, Мецниереба, 1989.
[4] Г о р б у н о в В. М., К и р с а н о в В. И. Труды ФИАН, 219, 3 (1992).
[5] Б о р о в с к и й А. В., Галкин А. Л. Лазерная физика. ИздАТ, Москва, 1996.
[6] В о г i s о V А. В., В о г о V s k i у А. V., К о г о b к i n V. V., et al. Phys. Rev. Lett., 68, 2309 (1992).
[7] К и p с а н о в В. И., С а х а р о в А. С. Физика плазмы, 21, N 7, 623 (1995).
[8] К и р с а н о в В. И., С а х а р о в А. С. Физика плазмы, 21, N 7, 632 (1995).
[9] Quesnel В. et al. Phys. Rev. Lett., 78, 2132 (1997).
[10] Quesnel B. et al. Phys. Plasmas, 4 (9), 3358 (1997).
[11] S a k h a г о v A. S. and К i г s а п o v V. I. Phys. Plasmas, 4, 3382 (1997).
[12] Боровский А. В., Г а л к и h А. Л., Коробкин В. В., Ширяев О. Б. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 2, 13 (1998).
[13] Боровский А. В., Галкин А. Л., Коробкин В. В., Ширяев О. Б. ЖЭТФ, 113, 2034 (1998).
[14] Боровский А. В., Галкин А. Л., Ширяев О. Б. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 5, 33 (1998).
[15] А х и е з е р А. И., П о л о в и н Р. В. ЖЭТФ, 30, 915 (1956).
[16] Галкин А. Л. Дис. на соискание уч. степ, доктора физ.-мат. наук. Москва, 1997.
Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 8 июля 1998 г.
