CC BY
28
УДК 533.951
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИ ИНТЕНСИВНЫХ
ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ С КОЛЕБАНИЯМИ В ЭЛЕКТРОННОЙ КОМПОНЕНТЕ ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЫ ДОКРИТИЧЕСКОЙ ПЛОТНОСТИ
А. Л. Галкин, В. В. Коробкин, О. Б. Ширяев
Рассматривается (Т-Ю)-динамика взаимодействия релятивистски интенсивных лазерных импульсов с колебаниями в электронной компоненте холодной плазмы докритической плотности. Электромагнитные волны релятивистской интенсивности в плазме представляют собой аналог высокочастотных немонохроматических волн Ахиезера-Половина с медленно меняющейся амплитудой. Описана нелинейная амплитудная самомодуляция мощного лазерного излучения в плазме.
Вопросы динамики мощных электромагнитных импульсов в веществе освещаются в ряде работ [1, 2]. В частности, взаимодействие лазерного излучения релятивистской интенсивности (/ > 1018 Вт/см2) с плазмой представляет собой одну из наиболее интересных и быстро развивающихся 'областей современной физики, которой посвящены многочисленные экспериментальные и теоретические исследования [3 - 11]. При взаимодействии такого излучения с газом на переднем фронте лазерного импульса в результате нелинейной ионизации быстро формируется плазма, в которой и происходит дальнейшее распространение высокоинтенсивного оптического поля. На его эволюцию оказывают влияние релятивистская нелинейность, обусловленная изменением показателя преломления плазмы из-за увеличения масс свободных электронов, которые электромагнитное поле разгоняет до скоростей, сравнимых со скоростью света, стрикционная нелинейность, связанная с модификацией диэлектрических свойств плазмы в результате
изменения распределения электронной плотности под действием пондеромоторной силы, а также эффект нелинейной генерации волн в электронной компоненте плазмы распространяющимся лазерным излучением. Таким образом, одна из важных задач состоит в развитии теории нелинейных релятивистски интенсивных электромагнитных волн в холодной плазме докритической плотности и, в частности, теории взаимодействия сверхмощных ультракоротких лазерных импульсов с плазменными колебаниями. В па-стоящей работе такая теория разработана в рамках одномерной геометрии. Ниже методом разложения по малому параметру, равному отношению невозмущенной плазменной частоты к частоте лазерного излучения, построены асимптотики решений уравнений Максвелла и релятивистской электронной гидродинамики, описывающие распростра нение лазерных импульсов конечной длительности в плазме. Учет конечности длитель ности лазерного импульса является ключевой задачей данного исследования.
Отметим, что важные теоретические исследования в этой области появились задолго до того, как возникла возможность генерации когерентного излучения релятивистской интенсивности. Так, в классической работе Ахиезера и Половина [12] из уравнений Максвелла и релятивистской гидродинамики электронной компоненты плазмы (при неподвижном ионном фоне) выведена система нелинейных обыкновенных дифферент! альных уравнений, описывающая распространение плоских волн высокоинтенсивного электромагнитного излучения в плазме. В этой же работе построены два решения этой задачи для случая произвольно высоких амплитуд - точное, соответствующее распро странению циркулярно поляризованных монохроматических электромагнитных волн, и приближенное, соответствующее распространению линейно поляризованных электро магнитных волн, которые в первом приближении также являются монохроматическими Оба эти типа волн возможны при условиях, когда в электронной компоненте плазмы отсутствуют колебания на плазменной частоте, вследствие чего и электромагнитное поле оказывается монохроматическим. Выполнение таких условий сопряжено с существенными ограничениями.
Позднее задаче Ахиезера-Половина был посвящен ряд работ, в которых, как пра вило, вводились различные дополнительные предположения. Так, например, в статье [13] рассматривался случай, когда фазовая скорость электромагнитных волн в плазме намного больше скорости света. В работе [14] представлены результаты подробною численного исследования решений задачи Ахиезера-Половина на фазовой плоскости. 13 [15, 16] была предпринята попытка отказаться от предположения об отсутствии низко частотных волн в системе "релятивистски интенсивное поле-плазма" и рассматривался
предельный случай, имеющий непосредственное отношение к взаимодействию мощного лазерного излучения с холодной плазмой докритической плотности: так как в разреженной плазме фазовая скорость распространения электромагнитного излучения близка к скорости света, в задачу Ахиезера-Половина может быть введен соответствующий малый параметр. В предыдущих работах авторов [15, 16] построены асимптотики общих решений задачи Ахиезера-Половина по этому параметру. Данные решения описывают нелинейные волновые структуры, влючающие в себя немонохроматическое электромагнитное излучение релятивистской интенсивности и взаимодействующий с ним плазмон. С физической точки зрения это означает, что электромагнитное излучение в плазме представляет собой поток фотонов с частотами, сдвинутыми относительно друг друга на величины, кратные плазменной частоте.
Отметим, что все упоминавшиеся выше решения описывают плоские волны бесконечной длительности, так что и соответствующие интегралы энергии тоже бесконечны. Естественно, следующий шаг в развитии теории распространения сверхмощных лазерных импульсов в плазме состоит в построении соответствующих решений с конечными интегралами энергии. В качестве частного примера таких решений следует упомянуть оптические солитоны релятивистской интенсивности в плазме, построенные численно в [17] (см. также [18]). Приближенные аналитические выражения для этих солитонов получены в [19]. Как известно, общий подход к построению пространственно локализованных решений уравнений эволюции оптических полей состоит в том, чтобы рассматривать амплитуды соответствующих плоских волн как медленно меняющиеся функции координат и времени. При этом степень общности результата зависит от того, насколько общими являются "исходные" решения для плоских волн. Применительно к взаимодействию релятивистски интенсивных лазерных импульсов с плазмой этот подход реализован в работах [5, 8, 20, 21] для одного частного случая - в качестве исходного взято полученное еще в [12] решение, соответствующее распространению плоской монохроматической электромагнитной волны (см. также содержащуюся в этих работах библиографию). В настояйщей работе данный результат обобщен на случай линейно поляризованного немонохроматического излучения в плазме, описываемого общими решениями задачи Ахиезера-Половина. В одномерной геометрии построены решения уравнений Максвелла и релятивистской гидродинамики электронной компоненты плазмы, описывающие распространение пространственно локализованных сверхмощных лазерных импульсов в холодной плазме и их взаимодействие с плазменными колебаниями.
Исходные уравнения. Как известно, взаимодействие лазерного излучения с холодной
плазмой докритической плотности описывается системой уравнений Максвелла (ниже используется кулоновская калибровка) и релятивистской гидродинамики электронной компоненты плазмы (в случае ультракоротких лазерных импульсов ионы можно считать неподвижными):
71
(д2х - д?)А = -А, <рхх = п- 1, р3, = (у>- 7)х,
7
Щ + ^рз) = 0, 7 = \Д + |А|2+р§
(см. напр., [7, 9, 10]). В этих уравнениях А и 1р - векторный и скалярный потенци алы электромагнитного поля, причем Аз = 0, рз - продольная компонента импульса электронной компоненты плазмы, п - плотность электронов, 7 - релятивистский массовый множитель. Переменные нормированы следующим образом: А и <р - на тс2/е, п - на невозмущенное значение электронной плотности по, импульс электронной жидкости - на тс, время - на а;"1, где шр - невозмущенное значение плазменной частоты, а координаты - на с/и>р.
Асимптотические решения. Рассмотрим задачу о распространении линейно поля ризованного лазерного излучения в плазме: пусть А\ = 0. Введем новые координаты согласно следующим соотношениям:
{ = х-Я1, г, = е(х - в = (1)
где <7 = \/1 + б2 - фазовая скорость (нормированная на скорость света). При этом, как известно, - групповая скорость, а малый параметр е характеризует разреженность плазмы [15, 16]. В линейной теории данный параметр соответствует отношению плазменной частоты к частоте лазерного излучения. Так как групповая скорость распространения лазерного излучения, частота которого намного превосходит плазменную частоту, близка к скорости света, при переходе в систему координат, движущуюся с групповой скоростью, необходимо выполнить преобразование Лоренца, и при этом возникает масштабный множитель е во второй и третьей формулах в (1). Решения приведенной выше исходной системы уравнений могут быть представлены в виде еле дующих асимптотических рядов:
АЛЬ г, 0) = А1)0(£, т/, т, 0) + еА1Л({, г], г, 0) + ...,
ч>(£, V,т, ©) = , ъ т>+ еч>ЛЬ V, т, 0) + б2</>2(£, г/, г, 0) +...,
»7, т> = V, г> + eni(£> Ъ т, 0) + ..., Рз(£, V, т, 0) = рз,о(£, r¡, т, 0) + cp3,i(£,»/, 0) + ....
При построении асмптотических решений должно быть выполнено условие отсутствия секулярной зависимости от переменной 0. Подставляя эти ряды в приведенные выше исходные уравнения и приравнивая нулю слагаемые при различных степенях с, получаем
- ЛХоее + hAlfbr = ^1,0, (2)
- /¡Л1Лв@ + /(А1Лвт + {Aífi(r + fnAlfier - fHAlfle - 2fzAiflei) (3)
«о , , Al,o Z' "о, . . \
= — Aiti +- ni--2(^1.0^1,1 + Рз,оРз,1) ,
7o 7o V 7o 7
Íi4>Oee = 0, f¡4>lee + (/íí^Oe + 2/í^oeí + 2/í/^Oee) = 0, (4)
/|^20е + (/«¥>le + 2/^10{ + 2/j/vpiee) (5)
+ (/ír,¥>0e + + /4Voee + 2/íVOeí + ViVOe4) = "o - 1,
~í>3,oe = (Vo-70)0, (6)
- Лрз,10 - (рз,04 + /чРз,0в) = /c(vi - 7i)e + (v>o - 7o)í + Mfo - 70)0,
- nO0 + (-рз,о) = o, (8)
Ло
e
- /{»le - ("Of + /ч"0в) + /Й1®+ ( — Рз,0 ) + fr, ( — Рз,0 = 0.
\ 7o J¿ \ 7o / ©
(9)
Выше использованы следующие обозначения:
Jll = ( — ~ ^f (АИг + Рз.оРзл)) Рз.о + — Рз,ъ 7o = \A + А\0 + р\0.
\7o 7o / 7o v
Далее представлены результаты для нулевого приближения. Как следует из (4), <¿>0 и <¿>1 не зависят от 0. Кроме того, как следует из (6) и (8), от 0 не зависит и функция гг0/7о- Далее, используя условие отсутствия секулярных зависимостей от 0, из (7) и (9) легко получить следующее соотношение: п0/70 = '/'о1- Наконец, векторный потенциал определяется выражением
Ai,0 = а(у>0, 77) sin(A(77)r + 0), (10)
которое очевидным образом следует из уравнения (2), а для определения его фазы сл \ жит соотношение
л = (п)
Амплитуда лазерного излучения вычисляется по формуле
-1/4
(12)
Таким образом, в уравнениях (11) и (12) фигурируют две произвольные (достаточно гладкие) функции до{т}) и \(т]), которые возникают при интегрировании соответствуй щих уравнений и определяются из начальных и граничных условий. Последнее раь< , ство получено из условия отсутствия секулярной составляющей в решении уравнеьи (3). По этой же причине функция А не зависит от
Плотность и продольная составляющая импульса электронной компоненты плазм: г алгебраически выражаются через скалярный потенциал электромагнитного ноля:
~л--1"
п0 = -
1 /1 + !а2(¥>0,7?)
Ч>1
+ 1 -
4 &
соб 2(Х(т))т + 0), р3_о = (¿>о(гсо - !)•
Очевидно, в нулевом приближении по е отклик электронной компоненты плазмы п. распространяющееся электромагнитное излучение содержит медленную составляющую и вторую гармонику.
Скалярный потенциал электромагнитного поля является решением следующего уравнения:
1 /1 + |а2(^о,^)
¥>о« = 2 I-^-т— - 1 | ,
Уо
которое следует из (5), (6) и (8), причем
<¿>2 =
9_М
А2(7/) 4- с"1 —:— + ¥>о
-1/2
соэ 2(\(г])т + 0).
Первый интеграл уравнения (13) имеет вид
(13)
<Ро.+<Ро + <Ро +%(*])
1/2
= ад-
(14)
Следует отметить, что при до = const и А = 0 соотношения (10) - (14) переходят в соответствующие решения, полученные для задачи Ахиезера-Половина [15, 16].
Обратим внимание на простой частный случай, в котором уравнение (13) легко решается. Если скалярный потенциал </?о не зависит от то, очевидно, 1 + (г/2 = (¿>ц(г/), т.е. мы имеем дело с известной релятивистской нелинейностью.
Нелинейная амплитудная самомодуляция. Приведем пример описания пространственно локализованных электромагнитных волн в рамках представленного выше формализма. Так как в используемой нормировке в состоянии покоя системы "поле-плазма Ai = 0, у>=1,п = 1ирз=0 при х —+ ±оо, на произвольные функции аргумента Т] следует наложить естественные граничные условия
#о(±оо) = 0, А(±оо) = 0, Е{т?) > Е{±оо) = 2.
Пусть в рассматриваемом примере go(rj) = ехр(—Г)2), А(т/) = 0. Соответствующие про странственные распределения амплитуды векторного потенциала а и скалярного потенциала (¿>о в различные моменты времени изображены на рис. 1. Во-первых, очевидно, имеет место генерация плазменных колебаний распространяющимся лазерным импульсом. Во-вторых, как следует из рис. 1, взаимодействие электромагнитного излучения с ленгмюровской волной приводит к нелинейной самомодуляции лазерного импульса.
Выводы. В настоящей работе получены асимптотические решения уравнений Максвелла и релятивистской гидродинамики электронной компоненты холодной плазмы до-критической плотности (при неподвижном ионном фоне), описывающие распростра нение в ней лазерных импульсов релятивистской интенсивности. Построена теория взаимодействия мощного лазерного излучения с плазменными колебаниями. Ее прин ципиальное отличие от теории, основанной на задаче Ахиезера-Половина, состоит в возможности получать пространственно локализованные решения исходных уравне ний. Проведенные численные исследования продемонстрировали существенную роль эффектов генерации плазменных колебаний распространяющимся лазерным излучением и его нелинейной самомодуляции в плазме. Класс решений уравнений Максвелла и релятивистской гидродинамики плазмы, рассмотренный в настоящей работе, может, в частности, быть применен для построения теории неустойчивости распространения лазерного излучения в плазме, причем учет конечности длительности импульсов опти ческого поля может быть использован для устранения расходимостей в распределениях соответствующих инкрементов.
2 1 О
Рис. 1. Пространственные распределения амплитуды векторного потенциала а и скалярного потенциала <р0 при взаимодействии релятивистски интенсивного лазерного импульса с плазмоном в различные моменты времени.
В заключение следует отметить, что исходные уравнения, использованные в данной работе, записаны в рамках одномерного приближения. Такой подход допустим при условии, что апертура лазерного импульса значительно превосходит величину с/ир, где шр - плазменная частота (см., напр., [5, 8, 10]). При формировании плазмы в результате нелинейной ионизации распределение электронов может обладать существенной анизо тропией, а это приводит к возникновению дополнительных неустойчивостей с временами развития ~ о»"1. В принципе, данный эффект следует учесть при построении теории неустойчивостей описанных выше решений (в рамках многомерной геометрии), однако его роль в случае ультракоротких импульсов и плазмы докритической плотности, образующейся при ионизации газов, вряд ли окажется существенной.
Работа частично финансировалась РФФИ, проекты N 96-02-16401 и 96-02-18264.
ЛИТЕРАТУРА
[1] С и л и н В. П. Параметрическое воздействие излучения большой мощности на плазму. М., Наука, 1973.
-440 -430 -420 -410 -400 Х
[2] Александров А. Ф., Богданкевич JI. С., Рухадзе А. А. Основы электродинамики плазмы. М., Высшая школа, 1988.
[3] Ц и н ц а д з е Н. Л., Ц х а к а я Д. Д. Релятивистские нелинейные эффекты в плазме. Тбилиси, Изд-во Мецниерееба, 1989.
[4] Гаручава Д. П., М у р у с и д з е И. Г., Сурамлишвили Г. И. и др., Физика плазмы, 22 (10), 929 (1996).
[5] Г о р б у н о в В. М., К и р с а н о в В. И. Труды ФИАН, 219, 3 (1992).
[6] Лютер-Дэвис Б., Гамалий Е. Г., В а н г Янжи и др., Квантовая электроника, 19, 317 (1992).
[7] Б о р о в с к и й А. В., Галкин А. Л. Лазерная физика. М., Изд-во литературы по атомной технике, 1996.
[8] В u 1 а п о v S. V., Inovenkov I. N., Kirsanov V. I., et al. Phys. Fluids, В 4, 1935 (1992).
[9] В о г i s о v А. В., В о г о v s k i у А. V., Shiryaev О. В., et al. Phys. Rev., A 45, 5830 (1992).
[10] Chen X. L. and S u d a n R. N. Phys. Fluids, В 5, 1336 (1993).
[11] К г u s h el n i с k К., T i n g A., M о о г e С. I., et al. Phys. Rev. Lett., 78, 4047 (1997).
[12] A x и e з e p А. И., П о л о в и н Р. В. ЖЭТФ, 30, 915 (1956).
[13] Мах С. and Р е г k i n s F. W. Phys. Rev. Lett., 27, 1342 (1971).
[14] К a w P. К., S e n A., and V a 1 e о E. J. Physics, D 9, 96 (1983).
[15] Боровский А. В., Галкин А. Л., Ширяев О. Б. Краткие сообщения по физике, N 5, 33 (1998).
[16] В о г о v s к у А. V., G а 1 к i n A. L., К о г о b к i n V. V., et al. Phys. Rev., E 59, 2253 (1998).
[17] Козлов В. А., Л и т в а к А. Г., С у в о р о в Е. В. ЖЭТФ, 76, 148 (1979).
[18] К aw Р. К., Sen A., and К a t s о u 1 е a s Т. Phys. Rev. Lett., 68, 3172 (1992).
[19] Sudan R. N., D i m a n t Y. S., and S h i г у a e v О. B. Phys. Plasmas, 4 (5), 1489 (1997).
[20] Б о p о в с к и Й А. В., Ширяев О. Б. ЖЭТФ, 110, 865 (1996).
[21] Боровский А. В., Галкин А. Л, Коробкин В. В., Ширяев О. Б. Квантовая электроника, 24, 929 (1997).
Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 21 ноября 2000 г.
