Распространение звука в волноводе в присутствии неоднородной цилиндрической оболочки произвольной толщины Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета

Естественные науки 2008. Выпуск 2. С. 161-176

= ИНФОРМАТИКА =

УДК 534.26

Л.А. Толоконников, А.Г. Романов

Тульский государственный университет

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ВОЛНОВОДЕ В ПРИСУТСТВИИ НЕОДНОРОДНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ

толщины

Аннотация. Получено аналитическое решение задачи о распространении звука в волноводе в присутствии неоднородной цилиндрической оболочки произвольной толщины.

Изучение распространения звука в волноводах, содержащих препятствия, представляет интерес для различных приложений. Дифракция звуковых волн на сплошном однородном упругом цилиндре в плоском слое жидкости исследована в работе [1]. Задача дифракции звука на неоднородном трансверсально-изотропном полом цилиндре в плоском волноводе с акустически мягкими стенками решена в [2]. При этом рассматривался случай симметричного расположения тела и симметричного распределения источников звука первичного поля возмущений относительно оси волновода. В настоящей работе находится аналитическое решение задачи рассеяния звуковых волн на неоднородной упругой цилиндрической оболочке произвольной толщины при ее произвольном расположении в плоском волноводе и произвольном распределении источников звука.

Полагаем, что в плоский волновод с акустически мягкими границами помещена радиально-неоднородная упругая цилиндрическая оболочка с внешним радиусом гі и внутренним радиусом г2. Волновод и полость цилиндра заполнены идеальными жидкостями, плотности и скорости звука которых равны /?і, сі и р2,С2 соответственно.

Система прямоугольных координат х,у,г выбрана так, что ось х направлена по нижней стенке волновода, ось у перпендикулярна стенкам, ось ^ параллельна оси цилиндра. При этом нижняя стенка соответствует плоскости у = 0, верхняя у = (I. где (I — ширина волновода. Положение оси

оболочки определяется уравнениями:

х = Л'(). у = У(). —оо < < ос.

В волноводе вдоль оси х распространяется гармоническая звуковая волна давления pi с круговой частотой со, возбуждаемая заданным распределением источников звука на сечении волновода расположенного на расстоянии Л'о от оси цилиндра. В дальнейшем временной множитель e~lu}t будем опускать.

С цилиндрической оболочкой свяжем цилиндрическую систему координат г, ip,z с началом на оси оболочки. Введенные прямоугольные и цилиндрические координаты связаны между собой соотношениями:

х = Л'о + г eos у-: у = У() + г sin z = z.

Определим давление полного акустического поля р\ в волноводе и акустическое давление Р‘2 в полости цилиндра, а также найдем поле деформаций в упругой оболочке.

В рассматриваемой постановке задача является двумерной. Все искомые величины не зависят от координаты z.

Искомые давления р\ и р2 являются решениями уравнений Гельмгольца:

Apj (г, ф) + Щр0 (г, v)=0: ./ = 1.2. (1)

где kj = — — волновые числа в волноводе (j = 1) и полости цилиндра

с3

U = 2).

При этом

Pi=Pi+Ps, (2)

где р8 — давление рассеянного цилиндром акустического поля в волноводе, удовлетворяющее уравнению Гельмгольца

Ара(г,<р) + к\р8(г,ф) = 0. (3)

В области х > 0 давление первичного поля возмущений может быть представлено совокупностью распространяющихся в направлении оси х собственных волн волновода [1]:

ОО

Pi (х, у) = ^2 Ane%lnX sin Хпу, (4)

»=О

где 7п = \/kf — Л^; Хп = ——; Л„ — заданные амплитуды.

(л/

В цилиндрической системе координат, связанной с цилиндром, падающая волна может быть записана следующим образом:

ОО

Pi(K,(f)= ^2 amJm(kir)eimíp, (5)

т= — ОО

где

00 . / À аш = гт ^ Апе%1пХ° sin i AnYo — f>> aresin-^-

n=0 ^ ^

7т — цилиндрическая функция Бесселя порядка т.

При этом разложение (5) описывает общий случай произвольного расположения источников звука на сечении волновода х = 0.

Уравнения движения упругого слоя в случае установившихся колебаний в цилиндрической системе координат имеют вид:

догг

да

1 даГ{р (JГГ &\р(р

Г(р

дг

г д(р

1 0(7

г

-со риг;

(6)

ч>ч>

г dtp

Н—(у г

г<р

-и

где р = р(г) — плотность материала оболочки; иг. и^ — компоненты вектора смещения и в цилиндрической системе координат; — компоненты тензора напряжений.

Компоненты тензора напряжений связаны с компонентами тензора деформаций соотношениями (обобщенный закон Гука):

Огг — А(^ГГ ‘—/1 ¿-гг •

<7

+ £(р(р) + (7)

a yç — 2//£,v .

где A = À(r) и /I = //(/•) — модули упругости материала оболочки.

Компоненты тензора деформаций связаны с компонентами вектора смещения соотношениями:

диг 1 ди¡р иг

&гг = т; 5 = п Н 5

от г ÜÇ г

(8)

1/1 диг ди^ \

£rip 2 \r dtp дг г )

Полагаем, что функции р = p(r). X = А(г) и р = //(/•) являются дифференцируемыми .

Подставляя выражения (7) и(8) в уравнения (6), получаем следующие уравнения, записанные через компоненты вектора смещения:

Искомые функции рн. Р2 и иг, и<р, являющиеся решениями уравнений (3),(1) и (9) соответственно, должны удовлетворять граничным условиям на стенках волновода и на поверхностях оболочки.

Граничные условия на акустически мягких стенках волновода заключаются в равенстве нулю акустического давления:

Граничные условия на цилиндре заключаются в непрерывности нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости на внешней и внутренней поверхностях оболочки; равенстве на них нормального напряжения и акустического давления; отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений:

1 др.

где у^г =------—^ — радиальная компонента вектора скорости частиц жид-

го,зрз ог

кости в волноводе^' = 1) и полости цилиндра (,/ = 2).

Кроме того, давление р8 должно удовлетворять условиям излучения на бесконечности по оси х, а давление р2 — условию ограниченности.

Давление рассеянного акустического поля р8 будем искать в виде потенциала простого слоя

Ьо

где 1'\ (х{). у о) — неизвестная функция, описывающая распределение источников поля р8 на внешней поверхности цилиндра; С(х. у\х{).у{)) — функция

(9)

Р1(ж,0)=0; рг(х,с1)=0.

(10)

при г = г\ —шшг = V’ 1 г: (Тгг = —рг; огч> = 0;

(и)

при Г = Г 2 —гшиг = 1'2г- СУ гг = ^¡>2 ■

0

(12)

Грина; 1/о — окружность радиуса г\ с центром в точке (Л'(). Уо); (Но = г\с1<ро — элемент контура интегрирования Ьд.

Функция Грина является решением краевой задачи:

(ж, у) И ИСТОЧНИКОМ ПОЛЯ (хо,Уо) на контуре 1/0-

Краевые условия (14) для функции Грина вытекают из граничных условий (10) с учетом выражения (2) и разложения (4). Условия (15) получаем из условий излучения на бесконечности для давления р8.

Решение задачи (13)-(15) имеет вид

Вводя обозначение ь>(хо,уо) = гі^і(жо? Уо) и переходя от декартовых координат х. у к полярным координатам г, <р, выражение (12) запишем в виде:

При этом функция плотности распределения источников V на внешней поверхности цилиндра зависит только от одной угловой координаты, так как на этой поверхности г() = г\.

Благодаря представлению функции Грина в виде (16) функция рн. определенная формулой (17), удовлетворяет уравнению Гельмгольца (3), граничным условиям (10) и условиям излучения на бесконечности. В результате задача определения рассеянного поля р8 сводится к нахождению функции распределения источников ь>((ро), обеспечивающей выполнение граничных условий (11) на поверхностях оболочки.

Акустическое давление р2 в полости цилиндра, удовлетворяющее уравнению Гельмгольца (1) и условию ограниченности, будем искать в виде

Ав + к\С = -5(х - х0)<% - г/о);

(13)

С(х,0|ж0,г/о) = в(х,(1\х0,уо) = 0;

(14)

Нт г ( —--------ік\Є = 0, (15)

где г = \/{х — жо)2 + (у — Уо)2 — расстояние между точкой наблюдения

оо

еПп(ж-ж о; е-*7п(ж-жо

(16)

(17)

о

сю

Очевидно, что вектор смещения и в упругом слое является периодической функцией <р с периодом 2 тт. Поэтому функции иг(г,<р) и и ¿(г. у"), удовлетворяющие системе уравнений (9), представим следующими рядами Фурье:

СЮ

U,

\г,ф) = ^2 и1ш(г)е

гггкр.

т=—ос

сю

U

¥

(19)

(20)

т=—ос

Подставляя выражения (19) и (20) в уравнения (9), получим следующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций и\,п(г) И У/2,п(г) для каждого т:

о,

(21)

где Um = (uim, i/2/n)7 : /1,п- -Вт, С/i. — матрицы второго порядка А

Lm

А + 2д 0 0 р

в

т

/л/|0/,^ + 2д . А + /і ^

Л + 2р Н----ш

\

ш-

А + р

г

г

С

т

і

г

( л/ А + (2 + ш2)^ 2

А--------------------------и pr-

im, ( А'

г

/

г

г

\

гт ( р +

-р

т2 А + (2т2 + 1 )р

+ ш рг

\

/

Т* / Т

Штрих означает дифференцирование по г.

Представим функцию плотности распределения источников в виде разложения в ряд Фурье:

СЮ

V

^ггтр

(22)

771 = — СЮ

Коэффициенты Ь,п и Вт разложений (18) и (22), а также четыре краевые условия для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (21) подлежат определению из шести граничных условий (11).

Для определения коэффициентов Ьт подставим в первое граничное условие (11) выражения (19) и

где Jm'(kir)

Vh

d

СЮ

— +

ipiLU

dps

dr

m= — oc

d(hr)

Jm {k\r).

Из теории потенциала известно [3], что потенциал простого слоя (17) непрерывен на поверхности, по которой распределены источники, а его нормальная производная на этой поверхности имеет разрыв, равный по величине —тть>1. Интеграл (17) и производные от него следует понимать в смысле главного значения с переносом операции дифференцирования непосредственно на подынтегральную функцию.

Таким образом, учитывая, что

2тг

др8

дг

о

из первого граничного условия на цилиндре получаем соотношение

СЮ СЮ

LÜ2

Pi Ul,n(ri)eim* = ]Г

Т = Т і

771 =— СЮ 771 = — СЮ

2тг

-—”(<?)+ v(¥o)M(p,po)dpo. (23)

^*i J

о

д

Здесь М(<р, <ро) = —G(r,(f\ri,(fo)

Подставим разложение (22) в (23), умножим обе части полученного уравнения на е-гп* и проинтегрируем по р в пределах от 0 до 2тт. Учитывая, что

2тг

[ „imV -i„v , _ I 0, тфп

J V ~ \ 2тг, т = п,

О

получим бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных Ът:

СЮ

Ьщ ^ ^ С^пщЬп = fm (jw = 0, i 1; ±2, • • •), (24)

»= — оо

где

2тт 2тт

О О

/ш = - — [и2р1111т{г) - атк1^т(к1Г1}].

7Г

Для регуляризации системы уравнений (24) выполним замену неизвестных по формуле

Ът =ътн'т(к1г1), (25)

где Нт — цилиндрическая функция Ханкеля порядка т: Н,„ '(к\ г) =

жЬ)н^-

В результате система (24) принимает вид

ОО

Ьщ ^ ^ &птЬп = /т {ръ — 0, ¿1, ¿2, . . . ), (26)

» = — ОО

где

нт(кт). s _ S тЛ {и ®-пт ®-пт ТТ/ /, \ 5 Jm Jm-^rnK^l^lj*

Система (26) оказывается квазирегулярной и может быть решена приближенно методом усечения [5].

Подставляя в четвертое граничное условие (11) выражения (18) и (19), находим

д _ и2р2и1т(г2) ( ,

т Ы',(к2г2) • 1 7)

Замечаем, что коэффициенты Ьт и II,,, выражаются через величины </1т(Г1 ) и и2т(г2). Для определения последних необходимо решить краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (21). Краевые условия для этой системы получим из оставшихся неиспользованными четырех граничных условий (11).

Используя выражения (7),(8),(19),(20) и (2),(5),(17), из второго граничного условия (11) получаем следующее соотношение:

[А (п) + 2[х(п)]и !тЫ + т

(п) + гтп2т(г1)

___ 2тг 2тг

^ ОО

ТІ- oo 0 0

ще K(<p,<po) = G(ri,<p\ri,<p0).

Исключим из (28) коэффициенты Ъп. Запишем систему (26) в усеченном виде, выбрав порядок усечения N. Получим

N

Y 0nJ„=fm (m = 0,±l,±2,...), (29)

n=—N

ще dt,m = 5nm + а,,„і; 8nm — символ Кронекера.

В матричном виде система (29) имеет вид

ANbN = fN,

ще AN = (f3nm)NxN; fN = (f \. f2. ■ ■ ■ ■ f:\)r- bN = (h i.h2... ..h:\)T.

Методом обратной матрицы находим

ьм = (ЛлУ/л'

или в координатной форме

N

~ьі = Е "Ьіїі (* = 0,±1,±2,...,

±Ю, (зо)

где — элементы обратной матрицы (/1Л')_1.

Подставляя (30) в (28) и учитывая (25), получаем следующее соотношение:

/ -^(^1)

[Л(гХ) + 2р(г1)]и,1т(г1) Н---------[и\т{г 1) + гти2т{г\)] (кщ)-

п

1

N

£

1

2-л ^ Н,{клгл) I ^ — I / / (31)

п=-лг 1 ^ \^=-лг / о о

Подстановка выражений (19) и (20) в третье граничное условие (11) приводит к соотношению:

гт , 1

— Иіт(гі) +^2т(гі) ~ “'^2т(п)

(32)

Из пятого граничного условия (11) находим

/ -^(^2)

[Л(г2) + 2¿¿(г2)]т/1т(г2) Н-------[гііт(г2) + шш2т(г2)] = -Вт^(к2г2).

г 2

Подставляя в последнее уравнение выражение (27), получим [Л(г2) + 2 ц(г2)]и1т(г2) + ^^[иіт(г2) + гти2т(г2)\ +

г 2

и2р2^{к2Г2)

^1т(г2) = 0.

(33)

к2^(к2г2)

Подстановка выражений (19) и (20) в шестое граничное условие (11) дает соотношение:

гт. 1

(34)

іт , 1

---иіт{Г2) +и2т(г2)----------и2т(г2)

Г2 г2

Таким образом, нахождение поля смещений в упругом цилиндрическом слое сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (21) с краевыми условиями (31) (31).

Краевые условия (31) (31) в матричном виде записываются следующим образом:

{АтХ1т + Ет\] т)\г=г1 = И/Гт5 (35)

(.Ати'т + ^тит)|г=г2 = 0, (36)

где

М2р2^{к2г) . \

Ет = : ; Рт = . *тА

ітпр —р }

^пг — (^Ш) 0) , Шщ — Q>mJm{kІ^і)

1

2тт

ДГ / Д' \ 2- 2-

¿^(Ьо ' ■') 11

Найдем приближенное аналитическое решение задачи (21),(35),(36). Система дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами (21) может быть приведена к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка, имеющей вид

Х'т = Т(г)Ут, (37)

Где ~¥т = (Ут1> ^т2? -^тЗ; ^т4) 5

^ш1 = ^1т) ^га2 = ^2щ) ^тЗ = ^1т> ^т4 = ^2 т)

Т(г) — матрица четвертого порядка коэффициентов системы, являющихся функциями радиальной координаты г.

Система (37) как и система (21) является линейной и однородной.

Из теории линейных дифференциальных уравнений известно [6], что если все коэффициенты матрицы Т регулярны на некотором интервале \г — а\ < К, то система (37) имеет единственное решение, удовлетворяющее в точке г = а любым заданным начальным условиям, и это решение будет регулярно в области \г — а\ < К. Следовательно, решение системы может быть представлено в виде разложения в степенной ряд

ОО

Ушз(г) = £ Ог - а)" и = 1,2,3,4),

»=0

где У';}у — постоянные коэффициенты. При этом такое представление единственно и записанные ряды будут сходящимися в интервале | г — а | < К.

Для того, чтобы все коэффициенты матрицы Т системы (37) представляли собой функции, непрерывные вместе со своими первыми производными на отрезке [/'2 • г і ] • необходимо, чтобы функции А (г) и //( /•) были непрерывными вместе со своими производными до второго порядка включительно, а функция р(г) была дифференцируема на этом отрезке.

Запишем краевую задачу (21),(35),(36) в безразмерном виде. Для этого введем безразмерные величины

* г * Щт /• -і г,\ \* ^ * Р * Р * а

Г =—; Щт =----------- (г = 1,2); А = —; р = —; р = —; а = —,

П п Ао Ао р0 п

где (){) и Ао некоторые характерные плотность и упругая постоянная; а некоторая точка отрезка [7*2,п.]; а* — некоторая точка отрезка [7*2/7*!, 1 В результате получим следующую запись краевой задачи:

д* тт* и I Г}* ТТ* / I тт* __

т т ' т т ' т т >

(Л^и^' + ^и^)|г=1 =Ш„г;

<Атит + ^;и;„)|г=г2/г1 = 0.

(38)

(39)

(40)

При этом

Ао

Ао

^о,

Л ________ л Д* . г> ____________________ и г>* . ___ и (~і* . тр ___________________ и гр

-п-т — л0 т — вті — 2 т> -С/т — _ 1 ^

П

7*

п

ті тп

7*1

ті

№т = \0\¥*; ит = пиі; ит' = и

г* I.

т ч

1

Здесь

и

т

Кт,М;т)г; А

*

т

в

т

( л */ , о..*/ , ^

У' + 2р*' +

А* + 2 р* 0 0 р*

А* +іі* \

гт-

\

с.

т

гт-

-11

А* + ¡1

/

гт Л+/ _ А* + 3р* \ ^

гт

, А* + Зр*

\ г*

уГ +

"22

'11 - г*

гр і

,, А* + (2 + т2)р*

X

-22

, и2р*р0 2 + —;------У*і;

/

, т2\* + (2т2 + 1)^

[і

Ао

, и2р*р0 2 + —;-------гг;

А

о

Е

1

А* ітХ*

т

г* V гтр

-р

1 / А* + “2Р2^(к2ГіГ-)гі іт>, \

» Рш = “Г I Ы^(к2ПГ*)Хо

• \ * ^ I

гтр —р у

штрих у величин, помеченных звездочкой, означает дифференцирование по

7*

Все элементы матриц, присутствующих в (38)—(40), являются безразмерными.

Применим метод степенных рядов для решения системы (38).

Предположим, что безразмерные модули упругости и плотность неоднородного упругого слоя представимы многочленами относительно г* (или аппроксимированы такими многочленами). Будем иметь

п

А*(г*) = £ АМ(г* - а*)к; к=О И

ц*(г*) = Е ^к)(г* - а*)к; (41)

к=0 И

Р*(г*) = £ р(к\г* - а*)к,

к=О

где А<*>, ц(к) и р(к) — коэффициенты многочленов, К — максимальная степень используемых многочленов.

При этом будут выполняться условия регулярности коэффициентов системы (37). Следовательно, решение системы (37), а значит и системы (38), можно искать в виде рядов по степеням (г* — а*).

Каждую составляющую вектора и* будем искать в виде:

т

ос

*

7/ •

т

Х>$(г*-а*)" и = 1,2). (42)

п=0

Ряды (42) будут сходящимися на отрезке [г 2 /п, 1].

Получим рекуррентные соотношения для нахождения коэффициентов у/,”) и ?4т- Запишем систему (38) в координатной форме 2

£(А'т^т" + В^и]т' + С^п^) = О (¿ = 1,2), (43)

¿=1

где Л*т{], — элементы матриц А*т,В^С^.

Так как элементы матриц А*т, В*п, С*п выражаются через безразмерные модули упругости и плотность, то на основании выражений (41) эти элементы запишем в виде многочленов

А* — V'' /ПК) (г* _

к=0

£т,3 = Е -Вт’Дг* - а*)*; (44)

к=0

та = Е СКт15(г -а )*,

к=0

где

лО) — \0) I 2и^- А^ — и^- А^ — А^ — 0-

т11 — А ^ 5 /±т22 — Р > У1т12 _ ^т21 _ и)

В

(к)

т11

(к + т{к+1)+^{к+1}) + Х(к)+гУк);

и(к) - и(к) - ■ Вт12 — Вт21 — гт

\(к) + ц(к)

гр *

г>(к)

5 -°т22

(.к + 1)^к+1) +

\1

Ск)

а

(к)

1

(к + 1)Х{к+1)

\(к) + (2 + т2)/1^

+

и РоР

гр *

Ск)

X

-г

о

1)

п(к) _ ™

гп 12 г*

С,

(к) _ гт

т21 г*

(к + 1)Х{к+1) -(.к + 1)/1{к+1) +

Х^ + 3^

+ 3//*)

а

(к) тп 22

(к + 1)^к+1) +

Ш2Л(*0 + (2 ш2 + 1)^

+

М2р0р{к) . 2

Лг

гг.

Причем при к > Я

Х(к) = ^(к) = р(к) = 0

РК

Производные и*т' и и*т" согласно (42) имеют вид

СЮ

*

7/ •

т

' = Х1(П + 1)4т+1)(

г* -а*)п;

71 = 0

СЮ

* //

7/ •

] т

^(п + 1)(п + 2)Ц^+2)(

г* -а*)п.

п=О

Тогда на основании (42),(45) и (44) получаем следующие выражения:

л* ?/* п

т%2 гут

сю

£

«=о

Яп

(к) (п+2-к)

iljm

.к = 0

сю

/ * * \ 71

(г — а ) ;

»=0

С* и*

ijm

Ял

5> +1 - к)В%

{к) (п+1-к)

iljm

.к = 0

(г* -а*)п;

СЮ

£

»=0

Ял

(к) г,ХП-к)

7П1] у 7П

.к=0

(г* -а*)п,

где Н\ = тт(Л, п).

Подставляя последние выражения в уравнение (38) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени (г* — а*), получим уравнения для определения коэффициентов (] = 1,2):

е е к»+1 - *)(«+з - к)А^4::2-к)+

./=1 д-=о

+ (п + 1 - &)В^--и^1 к^ + С^Ьи^ = О,

п = 0,1, 2,; г = 1, 2.

Выделяя член с индексом к = 0. получаем 2 2 1?!

¿(п + 1)(п + 2)4^”г+2) = - ^2 Е КП + 1 ~~ Шп - к)Ат^1] +

] = 1 ] = 1 т=О

+Д®.«<Г4} (< = 1,2). (46)

Составим из (46) систему двух уравнений при ¿ = 1,2 относительно неиз-

вестных и1т и и2т

п+2) т;г ^(п+2)_

п _1_ л ,,(П+2) — fl .

allU1 т + ai2U2m — «1)

т 1 “-ч z' /|

„ î;(n+2) I п î;(n+2) _ J ' '

0>2lUim + a22U2m — «2

im 1 2

где

dij = (n + l)(n + 2)A^.; (¿,j = 1,2);

2 Л1

(Ji = + 1 ^кШп ~ к)А{^1] + + cS&ufc*}.

j = 1 m=0

Решение системы (47) имеет вид

иъ^2) = -^(a22di - a12d2); = -^(andi - a2i^i), n = 0,1,..., (48)

где A = a 11 f/22 - 012021-

Выражения (48) представляют собой искомые рекуррентные соотно-

(»+2) (п+2) (п — к) (п—к) (п+1 — fe) (п+1 —fe)

шения, выражающие Цт ',Цт через Цт ',Цт \и\т \и\т (п=0,1,... ).

Формулы (48) позволяют вычислять все коэффициенты разложений (45) за исключением и (j = 1,2).

Коэффициенты ti^l и u{jll можно определить, если краевую задачу (38) (40) свести к задачам с начальными условиями в точке г* = а*.

Найдем фундаментальную систему решений системы (38) на интервале [r2/ri, 1]. Пусть Ui,U2,U3,U4 образуют такую фундаментальную систему, где Uр = (Up\. Up2)- Однородность системы (38) позволяет представить решение краевой задачи в виде линейной комбинации

4

иш = ^ <2рир, (49)

р=1

где (¿р — некоторые коэффициенты.

Рассмотрим порядок построения фундаментальной системы решений для системы уравнений (38).

Необходимым и достаточным условием существования фундаментальной системы решений, определенных и непрерывных на интервале (7*2/п., 1), является непрерывность на этом интервале коэффициентов системы дифференциальных уравнений первого порядка (37). С учетом сделанных выше предположений это условие выполняется. Тоща в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать любые четыре решения задачи Коши для системы (38) с начальными условиями, являющимися линейно независимыми.

В качестве таких начальных условий можно выбрать следующие:

ир|г,=а, = (51р,52 р)т;

(50)

и/|г,=а, = (<5зрАр)т,

где р - порядковый номер задачи Коши (] 1.2.3.1).

При этом начальной точкой а* может являться любая точка [7*2/7*!, 1].

Имея в виду, что каждая составляющая вектора Х5Р представляется разложением вида

СЮ

ип = Е ий V - “*)" а = 1,2), (51)

п=0

находим

и2р = ^2Р; ^ = ¿3,; и!£=54р. (52)

Таким образом, решение краевой задачи (38)—(40), записанное в координатной форме, имеет вид:

4 оо

4» = £ ^ V - «т а = 1,2). (53)

р= 1 п=0

Заметим, что для п = 2,3,... и любых р (р = 1.2, 3,4)

(54)

Коэффициенты 1/^ определяются по формулам (52) и рекуррентным формулам (48).

В качестве точки а* возьмем середину отрезка [7*2/7*!, 1], то есть

* П + 7*2

а = —--------.

27*1

Подставив выражения (53) в краевые условия (39) и (40), получим систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов (¿р (р =1.2.3. 1).

Определив ИЗ полученной системы коэффициенты (}р и подставив их в (53), получим аналитическое решение краевой задачи (38-40).

С учетом (54) выражение (53) можно записать в виде:

4 / 4 \ оо

4» = ЕQp\ufp + Ог* -а*)1 + ЕQp Е-“Т а =2)-

р= 1 \р=1 / п=2

(55)

Таким образом, процедура решения рассматриваемой задачи (2), (6), (10), (11) состоит из двух этапов.

На первом этапе решается краевая задача (38) (10). По формулам (48) вычисляются коэффициенты и{'"п] (п = 2,3,... ;j = 1, 2) и находятся коэффициенты Qp (р = 1, 2,3,4). В результате поле смещений в упругом цилиндрическом слое описывается выражением (55).

На втором этапе находятся рассеянное цилиндром акустическое поле в волноводе и акустическое поле в полости цилиндра. Для этого вычисляются значения функций и¡,п(г) в точках г = г\ и г = Г2- Затем из системы (26) определяются коэффициенты Ьт, и по формуле (25) вычисляются коэффициенты Ът. Кроме того, по формуле (27) определяются коэффициенты Вт. В результате рассеянное акустическое поле в волноводе аналитически описывается выражением (17), а акустическое поле в полости цилиндра — выражением (18).

Библиографический список

1. Белое В.Е. Применение метода интегральных уравнений к задаче о дифракции акустических волн на упругих телах в слое жидкости / В.Е. Белов [и др.] // Акустический журнал. -1994. -Т.40. -№ 4. -С.548-560.

2. Толоконников Л. А. О дифракции звука на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке в слое жидкости / Л.А. Толоконников, А.А. Садо-мов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. -2006. -Т.12. -Вып.5. -С.208-216.

3. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А.Самарский. -М.: Наука, 1966. -724 с.

4. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах / Е.А. Иванов. -Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

5. Канторович Л.В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович, В.И. Крылов. -М.: Физматгиз, 1962. -708 с.

6. Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. Т.З. 4.2. - М.: Наука, 1969. -672 с.

Поступило 20.06.2008