CC BY
31
МА ТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 534. 26
Л.А. Толоконников, д-р физ.-мат. наук, проф., (4872) 41-33-11, tolla @tula.net (Россия, Тула, ТулГУ), А.Г. Романов, асп., (4872) 21-21-27, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНОМ УПРУГОМ ПОЛОМ ЦИЛИНДРЕ В СЛОЕ ЖИДКОСТИ С ЖЁСТКИМИ ГРАНИЦАМИ
Получено аналитическое решение задачи дифракции звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами.
Ключевые слова: звуковая волна, полый упругий цилиндр, идеальная жидкость, рассеяние звука.
Исследование распространения звуковых волн в волноводных системах, содержащих препятствия, представляет интерес для различных приложений. Дифракция звуковых волн на сплошном однородном упругом цилиндре в плоском слое жидкости исследована в работе [1]. Задача дифракции звука на неоднородном трансверсально-изотропном полом цилиндре в плоском волноводе с акустически мягкими стенками решена в [2]. В работе [3] изучена дифракция звука на неоднородной анизотропной цилиндрической оболочке в волноводе с жесткими границами. При этом в [2, 3] рассматривался случай симметричного расположения тела и симметричного распространения источников звука первичного поля возмущений относительно оси волновода. Кроме того, в этих работах для определения поля смещений в упругом цилиндре предлагается численное решение краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе [4] найдено аналитическое решение задачи рассеяния звуковых волн на неоднородной упругой цилиндрической оболочке произвольной толщины при ее произвольном расположении и произвольном расположении источников звука в плоском волноводе с мягкими границами. В на-
стоящей работе методом, предложенным в [4], находится аналитическое решение задачи дифракции звуковыгс волн на неоднородном упругом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами.
Полагаем, что в плоском волноводе с абсолютно жесткими границами находится радиально-неоднородныш упругий полыш цилиндр с внешним г и внутренним Г2 радиусами. Волновод и полость цилиндра заполнены: идеальныши жидкостями, плотности и скорости звука которык равны>1 рц,е и Р2,С2 соответственно.
Система прямоугольный: координат х,у,г выыбрана так, что ось хнаправлена по нижней стенке волновода, ось у перпендикулярна стенкам, ось г параллельна оси цилиндра. При этом нижняя стенка соответствует плоскости у = 0, верхняя - у = й, где й - ширина волновода. Положение оси цилиндра определяется уравнениями
х = Хо, у = Уо, -°о<г <оо.
В волноводе вдоль оси х распространяется гармоническая звуковая волна давления р! с круговой частотой ю, возбуждаемая заданныш распределением источников звука на сечении волновода, расположенного на расстоянии Хо от оси цилиндра. В дальнейшем временной множитель
е—ю будем опускать.
С цилиндрической оболочкой свяжем цилиндрическую систему координат г,ф, г с началом на оси цилиндра.
Определим давление полного акустического поля р\ в волноводе и акустическое давление Р2 в полости цилиндра, а также найдём поле смещений в упругом цилиндрическом слое.
В рассматриваемой постановке акустические давления р^ и Р2 не завися от координаты: г. Они являются решениями уравнений Гельмголь-ца:
Ар; {г,ф)+к2р] (г, ф)=0; ] = 1,2, (1)
где к] =ю/С] - волновы1е числа в волноводе (( =1) и полости цилиндра ( = 2).
При этом р1 = р! + ps, где ps - давление рассеянного цилиндром акустического поля в волноводе, удовлетворяющее уравнению Гельмголь-ца.
В области х >0 давление первичного поля возмущений представим в виде разложения по собственныш функциям волновода с акустически жесткими границами:
ж
р! (х,у)= ТАпеГ/"х СОБ ^у,
п=0
,2 ^ 2 л кп . где уп = л к. - Хп; Хп = —; Ап - заданные амплитуды.
v 1 й В цилиндрической системе координат, связанной с цилиндром, падающая волна может быть записана следующим образом:
Р (г, ф)= Ъ^т^ш (к1г)е
тф
(2)
т =-оо
О
где ат = 1т Ъ Апв^пх° сов
п=0
X
п1 0
т агсБт
п
к
Зт - цилиндрическая
1 У
функция Бесселя порядка т .
При этом разложение (2) описывает общий случай произвольного расположения источников звука на сечении волновода х = 0.
Уравнения движения упругого слоя в случае установившихся колебаний в цилиндрической системе координат имеют вид
да
гг
дг да
+
1 да
Гф
Гф
+
г дф 1 да
+
агг афф
= -ю риг;
дг г дф
фф 2
+ -а
(3)
г
гф
-ю2 ри ф,
где р = р(г) - плотность материала оболочки; иг,иф - компоненты вектора смещения и в цилиндрической системе координат; а ^ - компоненты тензора напряжений. При этом компоненты иг ,иф вектора смещений не завися от цилиндрической координаты 2, и и2 = 0.
Компоненты тензора напряжений связаны с компонентами вектора смещений соотношениями
ди(
а
гг
а
ди
ХсЦу и + 2ц——;
дг
' диф
афф = ХсЦу и + 2ц
гф
1 ди
и
фф л
ф
г дф
+
иг
(4)
■ +
У
г дф дг
где X = Х(г) и ц = ц(г) - модули упругости материала оболочки.
Искомые функции р8, Р2 и иг ,иф должны удовлетворять граничным условиям на стенках волновода и на поверхностях полого цилиндра.
Граничные условия на абсолютно жестких стенках волновода заключаются в равенстве нулю нормальной скорости частиц жидкости:
дР1 () =0. дР1 (( й) = 0 (5)
ду ' ду
Граничные условия на поверхностях полого цилиндра заключаются в непрерывности нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости на внешней и внутренней поверхностях оболочки; равенстве на них нор-
г
г
где У]г = ---- радиальная компонента вектора скорости частиц
мального напряжения и акустического давления; отсутствии на этих поверхностях касательнык напряжений:
при г = Г]; - тиг = ]; агг = -р]; аГф = 0, (6)
Ф]
«юр ] дг
жидкости в волноводе (( = 1) и полости цилиндра (( =2).
Кроме того, давление р* должно удовлетворять условиям изучения на бесконечности по оси х, а давление р2 - условию ограниченности.
Давление рассеянного акустического поля р* будем искать в виде потенциала простого слоя
р 8(, у) = IV (х0, у0 у 1х0, у0 )й/о, (7)
¿0
где V! (0, у0) - неизвестна функция, описывающая распределение источников поля р* на внешней поверхности цилиндра; О(х,у|х0,у0)- функция Грина; ¿0 - окружность радиуса г с центром в точке (X0,Уо); й/о = г^фо - элемент контура ¿0.
Функция Грина является решением краевой задачи:
ДО + к^О = -8(х - х 0 )(у - у0); (8)
д((,0|х0,у0 )= -фо((, й|х0 ,у0 )=0; (9)
Фу Фу
( до Л Нш 4г --1к1О =0, (10)
х ^±оо \дг )
где г = л!(х - х0 )2 + (у - у0 )2 - расстояние между точкой наблюдения (х, у) и источником пол (х0, у0) на контуре ¿0; 8 - дельта-функция.
Решение задачи (8) - (10) имеет вид
о
еУп(х-х0) х >х_
е . ( \ х>х0, (11)
е -уп(х-х0 ) х <х0,
О (x, y|x0, у0 )= Е ~7ГЛ-Г"
ч СОБ %пу СОБ ^пу0
п=0 й(1 + 80п Яп где 8оп - символ Кронекера.
Ввода обозначение v(xо,у0) = г^1 (х0,у0) и переходя от декартовыгх координат х, у к полярныш координатам г, ф, вы1ражение (7) запишем так:
2л:
р* (г, ф)= Jv(cpо ) (г, ф|г, фо )йфо. (12)
0
Благодаря представлению функции Грина в виде (11) функция р*,
определенна формулой (12), удовлетворяет уравнению Гельмгольца (1), граничныш условиям (5) и условиям излучения на бесконечности. В ре-
зультате задача определения рассеянного поля ps сводится к нахождению функции распределения у(ф0), обеспечивающей выполнение условий (6) на поверхностях полого цилиндра.
Акустическое давление p2 в полости цилиндра, удовлетворяющее уравнению Гельмгольца (1) и условию ограниченности, будем искать в виде
P2 ф)= IBmJm (М^- (13)
m =-оо
Очевидно, что вектор смешения u в упругом слое является периодической функцией с периодом 2л. Поэтому функции иТ (г,ф) и иф(,ф)
представим следующими радами Фурье:
оо
^(г,ф)= Zulm(г>™ф; Uф(r,ф) Е2m(У^. (14)
m =-оо m =-оо
Подставляя вы1ражения (14) в уравнения (3) с учетом (4), получим следующую систему линейны1х дифференциальные уравнений второго порядка относительно неизвестные функций ^^^ (г) и ^m (г) для каждого т :
AmUm BmUm СшЦ^ш = 0, (15)
где Um = (ulm, U2m ^; Лт, 1~т ,Cm - матрицы>1 второго порядка.
Представим функцию плотности распределения источников в виде разложения в ряд Фурье:
о
v(ф)= TbmeMф. (16)
m=-оo
Коэффициенты: Bm и Ьм разложений (13) и (16), а также четы:ре краевылх условия для нахождения частного решения системы: дифференциальные уравнений (15) подлежат определению из шести условий (6).
Из теории потенциала известно [5], что потенциал простого поля (7) непреры:вен на поверхности, по которой распределены: источники, а его нормальная производная на этой поверхности имеет разры:в, равныш по величине -77. Интеграл (12) и производныы от него следует понимать в
смыюле главного значения с переносом операции дифференцирования непосредственно наподыштегральную функцию.
Учиты:вая вы:ражения (16) и
8г
л 27 =--V(ф)+ Щф0 )М (ф, ф0 )^ф0,
г=г1 г1 0
из первого граничного условия (6) получаем систему линейны:х уравнений относительно неизвестные: Ь
м
о
Ьм + Е^ПМЬП = ^ (м = 0,±1,±2,^), (17)
П =-оо
2л 2л
где (Хпт =-Л- I I М(ф,фоУпф0е~1тфйф^йф-
2л2 о о
/т = --1-|со2Р1и1т(г)-атк1/т(к1г1)
, т ^ К1"чт\' / ^т'
л
М(ф,фо )=д( фг1 ,фо )г=; /т(к1г)=-(г)3т((1г) •
Для регуляризации системы: уравнений (17) вышолним замену неиз-вестны:х [6] Ьт = Ьт/т((г1). В результате полученная система может бы:ть решена методом усечения [7].
/^ч п ®2 Р2Щт (г2 )
Из четвертого граничного условия (6) находим Вт =
т к2/т(2г2)
2
Коэффициенты: Ьт и Вт вы:ражаются через величины: и1т(г) и и2т(г2). Для определения последних необходимо решить краевую задачу для системы: обы:кновенны:х дифференциальны:х уравнений (15).
Краевы:е условия для этой системы: получим из оставшихся неиспользованными четы:рех граничны:х условий (6). В матричном виде они записываются следующим образом [4]:
(ти т + Ет^т ; (18)
I г —Гл
+ рт^т \ =0, (19)
'г =г2
где Ет, - матрицы: второго порядка.
Таким образом, нахождение поля смещений в упругом цилиндрическом слое сведено к решению системы: обы:кновенны:х дифференциальные уравнений (15) с краевы:ми условиями (18), (19).
Найдем аналитическое решение задачи (15), (18), (19) методом, предложенны:м в [4].
Запишем краевую задачу (15), (18), (19), в безразмерном виде. Для этого введем безразмерные величины:
* г * ит * X * и * р * а г =—; ит =—; Х = —; и = —; р =—; а = —, г 1 X Хо ро г
где ро и Хо - некоторы:е характерные плотность и упруга постоянная; а - некоторая точка отрезка [/2,г]; а* - некоторая точка отрезка [/ /пЛ]
В качестве точки а возьмем середину отрезка [2/ /1,1] •
Предположим, что безразмерные модули упругости и плотность не*
однородного - упругого слоя представимы: многочленами относительно г (или аппроксимированы: такими многочленами). Будем иметь
X*(г*) = Я X(*-о*); ц*(С*) = Я-а*);р*( = Яр()(*-а*),
k =0 k=0 k =0
где Х(к), ц(к) и р(к) - коэффициенты: многочленов, Я - максимальна степень используемые многочленов.
—*
Каждую составляющую вектора ит будем искать в виде:
иМ = Яи(М(( -О*) ( = 1,2). (20)
k=0 * * *
Элементы: матриц АМ,ВМ,СМ вы:ражаются через безразмерные модули упругости и плотность. Поэтому эти элементы: запишем в виде многочленов
* Я (к) С * *) * Я (к) С * *) * Я () ( * *)
Атг' = * Ат' V - О / ; Втг' = * Вт' V - О / ; Сту = * Сту V - О / . k=0 k=0 k=0
(21)
Подставляя (20) и (21) в (15) и приравнивая нулю коэффициенты: при каждой степени (( - о*) , получим уравнения для определения коэффициентов и(М (г = 1,2):
Е Е [(+1 -к)(п+2-ъЩиМ1-+(+1 -^(иМ1-
'=1к=0
= 0,
п =0,1,1, ...; г = 1,1,
где Я = шт(Я, п) .
Из последней системы: уравнений находим рекуррентны:е соотно-(п+1) (п+1) (п-к) (п-к) (п+1-к) (п+1-к)
шения, выражаюш,ие и\т > 1м через и1м \и2т ,и1т >и2м ^
(п = 0,1,...). По полученны:м соотношениям можно вышислигь все коэффициенты: разложений (20) за исключением и(М и иММ (( = 1,2 ) .
Коэффициенты: и^М и и(М можно выиислить, если краевую задачу
**
(15), (18), (19) свести к задачам с начальными условиями в точке г =а
[4].
В результате решения краевой задачи (15), (18), (19) имеет вид
и*М = Е <2р Е иМ(г* - о*) (' = 1,2), (22)
р=1 п=0
где иМ=§; и2р = §2р; и( = §3р; ^ = §4р,
2,3,. и любы:х р (р = 1,2,3,4) и(М = иМ.
9
Подставив выражения (22) в краевые условия (18) и (19), получим систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Qp (p =1,2,3,4).
Определив из системы коэффициенты Qp и подставив их в (22),
получим аналитическое решение краевой задачи (15), (18), (19).
Таким образом, поле смещений в упругом цилиндрическом слое описывается выражением (22), рассеянное акустическое поле в волноводе - выражением (12), а акустическое поле в полости цилиндра - выражением
(13).
Работа выполнена при поддержке РФФИ (09-01-97504-Р-центр).
Список литературы
1. Применение метода интегральных уравнений к задаче дифракции акустических волн на упругих телах в слое жидкости / В.Е. Белов [и др.] // Акустический журнал. 1994. Т. 40. № 4. С. 548-560.
2. Толоконников Л.А., Садомов А.А. О дифракции звука на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке в слое жидкости // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 12. Вып. 5. С. 208-216.
3. Садомов А.А. Дифракция звука на неоднородной анизотропной цилиндрической оболочке в волноводе с жесткими границами при симметричном распределении источников первичного поля// Вестник ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2007. Вып. 1. С. 76-83.
4. Толоконников Л.А. Романов А.Г. Распространение звука в волноводе в присутствии неоднородной цилиндрической оболочки произвольной толщины // Изв. ТулГУ. Сер. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 151-160.
5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М. : Наука. 1966. 724 с.
6. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск : Наука и техника. 1968. 584 с.
7. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М. : Физматгиз. 1962. 708 с.
L. Tolokonnikov, A. Romanov
Diffraction of a sound wave by an inhomogeneous elastic hollow cylinder in a layer of fluid with hard bounds
The analytical solution of diffraction of a plane sound wave by an inhomogeneous elastic hollow cylinder in a layer of fluid with hard bounds is obtained.
Получено 19.01.09
