CC BY
13
УДК 539.3
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
© 2010 г. А.И. Болгова
Южно-Российский государственный
технический университет (НПИ), ул. Просвещения, 132, г. Новочеркасск, Ростовская область, 346428, [email protected]
South Russian State Technical University (NPI), Prosveshenie St., 132, Novocherkassk, Rostov Region, 346428, [email protected]
Впервые рассматривается задача о возбуждении упругих волн в двухслойной анизотропной среде. Один слой взят в главных кристаллических осях, другой повернут на угол в. Слои скреплены между собой. Показано, что решение в образах Фурье может быть получено как соотношение двух функций. Функция, стоящая в знаменателе, является дисперсионным уравнением рассматриваемой задачи. Исследование задачи зависит от точности определения дисперсионных кривых. В связи с этим найдены точки начала дисперсионных кривых, которые в данной задаче являются резонансными частотами. Показано, что эти точки не зависят от угла поворота в.
Ключевые слова: распространение волн, анизотропная среда, дисперсионные кривые.
In this paper we study the problem of elastic wave exciting in two-layer anisotropic medium. One layer is observed in the main crystal axis, another is turned on the angle в. The layers are clumped. It is shown that the solution in Fourier forms may be obtained as the ratio of two functions. The function in denominator is the dispersion equation of considered problem. Problem investigation depends on precision of dispersion curves determination. In view of the aforesaid the initial points of dispersion curves, which are a resonance frequency in this problem, are obtained and it is shown that these points are independent on the angle в.
Keywords: wave propagation; anisotropic medium; dispersion curves.
Рассматривается задача о распространении волн в теле, состоящем из двух слоев, выполненных из различных анизотропных (ортотропных) материалов. В 1-м слое (нижнем) тензор упругих постоянных имеет вид
cos 2 0 + C2233 sin2 0,
С = С
С1133 С
' 1 ~ 1 ~
СШ2 =1 С1212 sin 40+1C1122 sin 401112 2 4
-1 (с1111 cos2 0 - С2222 sin2 0)sin20, f ~ ~
С2222 = С1"1 sin4 0 + 2C1122 sin2 0cos2 0 + + 4C1212 sin2 0cos2 0 + С2222 cos4 0,
С
/~1133 • 2 я . ,~2233 „„„2 а
= C sin 0 + С cos 0 ,
С2212' =1 (~2222 cos2 0 - С1111 sin2 0)sin20 -
-1 С1122 sin 40-1 С1212 sin 40,
С = С
С3333 С
С
С1111 С1122 С1133 0 0 0 С С2323
С2211 £12222 2233 0 0 0
С3311 ^3322 СС3333 0 0 0 , (1) С С2313
0 0 0 2323 0 0
0 0 0 0 С1313 0 С С1313
0 0 0 0 0 С1212
а 2-й слой (верхний) задается упругими постоянными, повернутыми вокруг центральной оси на угол в, так что для постоянных справедлива формула: C'aw = Cv"lJ№lkla, где {а,р,у,8), (i,j,k,l)- новая и старая системы координат; C'JU - тензор ортотропных постоянных, необязательно совпадающий с постоянными нижнего слоя.
Таким образом, связь между константами следующая: Сш [ = С1111 cos4 в + 1С1122 cos2 в sin2 в +
+ 4С1212 cos2 в sin2 в + С2222 sin4 в,
С
= (~2233 - С1133 )cos0sin0, = C1313 sin2 0 + С2323 cos2 0 ,
= С2323 sin0cos 0 - С1313 sin0cos 0,
/~2323 „• 2 л . ,~1313___2 а
= С sin 0 + С cos 0,
= С1212 cos2 20- - C1122 sin2 20 + 2
+1 С1111 sin2 20 +1 С2222 sin2 20 .
4 4
Волна над буквой означает, что ортотропный верхний слой имеет постоянные, которые отличаются от нижнего.
Пусть а, b - векторы перемещения нижнего и верхнего слоя. Уравнения движения для установившихся колебаний принимают вид ащ +pco2Uk = 0, k=1, 2, 3, а(х,y,z,t) = ü(x,y,z)eiet,
+ peo V = 0 , k = 1, 2, 3, b(x,y, z,t) = V(x,y,z)eia,
(U), tkl = Aklm"smn (V),
(2)
___ __г klmn „
где = C £nn
,(w )=1
Будем считать, что слои склеены между собой, т.е.
и| =к = У|, ,„= (3)
=й =„ , °3к\Хз = к = (Зк\хз =к ■
На нижнем слое, который определяется постоянными (1), задаются следующие граничные условия:
из\„=0 = = =0, (4)
а на верхнем слое, который будем считать повернутым на угол в, граничные условия имеют вид
4
2
ч -H - f(xi' x2 ), х1, x2 e S , ^3314 -H - 0 ,
Xj, x2 g S , /32\x3-H - x3-H
- 0.
(5)
В другом случае граничные условия на нижнем слое выглядят так:
х3-0
- 0,
(6)
Таким образом, рассматриваются 2 задачи. Задача А -с граничными условиями (3) - (5) и задача В - (4) - (6).
В работах [1 - 4] показано, что, следуя схеме, применяемой И.И. Воровичем, решение задачи А, преобразованное по Фурье, можно представить в виде (/, а, х3,ю2 И (/, а) (у,а, а2)
да
где В — ЛЬ(х\, X,X )е'п+'ах2, Якт при фиксиро-
Bk -
, k=1, 2, 3,
(7)
" 'r^-(cj3 + j) dz
- ia~(c 23 + C44 )
dz
d2
-r2 - c44«2 + c33TT + Q dz
u3 - 0.
d2
- aur2 - 2aj6ra - a66a2 + —— + q2sp dz,
- aj6r2 - (a66 + aj2 Г - a26«2 + a45 TT
dz
- r(aj3 + ia(a36 + a45 )-d
dz dz
- aj6r2 -(aj6 + aj2 )r^-a26«2 + a45 ~ 2
dz
v3 - 0 , (10)
d2
ванном х3; От и - целые функции своих аргументов.
Аналогично предыдущему при дополнительных ограничениях можно показать, что решение задачи В, преобразованное по Фурье, также можно представить в виде
В'к — ^(Г",^^ИМ , к=1, 2, 3. (8) Оп (у,а,ю )
Очевидно, что решения (7), (8) имеют смысл, если знаменатель не обращается в нуль. Уравнения
D (т,а,ш2 )-0, DII (т,а,ш2 )-0
\у )— о, \у )— о (9)
называются дисперсионными. Множество точек в пространстве 3 комплексных переменных, определяемых дисперсионным уравнением, называются дисперсионным множеством.
Введем обозначения: СШ1=с1Ь С1122=с12, С1133=с13,
/-02222__^2233__п3333_ .^2323_ ,^1313_
С =с22, С =с23, С =с33, С =с44, С =с55, С1212=с,5б, А1Ш=ап, А1122=й12, А1112=«13 А1133^, А2222=«26, А2233=й23, А2212=,.26, А3333=й33, А3312=«36, А2323=«44, А2313=«45, А11313=«55, А1212=«66.
Выразим напряжения через перемещения. Подставим выражения для напряжений в уравнения (2), получим систему дифференциальных уравнений для определения перемещений с учетом новых обозначений. Применим к данной системе уравнений и граничным условиям интегральное преобразование Фурье по координатам х1, х2. Введем безразмерные переменные: х — —,
к
У
z - —, £ц - -h 3
2 pxw2h2
d 2
2 2 d „ -сЛГ -с66а +TT + Q dz
U + [- c12 ra -
- 'r^-(cJ3 + j) dz
u - 0,
- c66ralu2 +
[-(c66 + c-2 )raUj +[- c6ß72 - c22a" +
+ c
d2 2
44 dz2
+ Q2
- 'a_d(c23 + C44 )
dz
Щ - 0,
-a66r2 -2a26ra-a22a2 + a44 —- + Q2sp
dz
- ir(a36 + a45 )— - i a(a23 + a44)
dz
dz
v3 - 0,
- ir(j + aj3 )— - ia(a45 + a36 )—
dz
dz
- ir(a 45 + a36 )—- ia(a44 + a23 )—
dz
dz
- r2 - 2a45ra - a44a2 + a33 —- + Q2sp
dz
z-0 -(uJ,3 - iru3 Jz-0 - C44 (u2,3 - iau3 Jz-0 ,
v3 - 0,
z-j
~331z-j+i - f (r,a) , ~32
^ - ^ - u
4 z-0 2 lz-0 3 z-0
lz-j+| - 0.
- U-
■Iz-j+l
- 0,
(11)
0.2 — ———, а* —ак, у* —ук, ^ — Н—к, р — — .
С55 к —1
(р1, р2 - плотности нижнего и верхнего слоев соответственно; в дальнейшем символ «*» будем опускать.)
С учетом вышесказанного система уравнений (2) и граничные условия примут вид
Таким образом, получена система дифференциальных уравнений и граничных условий для определения перемещений в задачах А и В, преобразованных по Фурье.
Решив эту систему, получим выражения, по виду совпадающие с (7), применив обратное преобразование Фурье - искомое решение рассматриваемой задачи. Подынтегральные функции в обратных преобразованиях будут содержать знаменатели, и дальнейшее исследование будет зависеть от точности определения дисперсионных кривых из уравнений (9). Поэтому определим точки начал дисперсионных кривых, которые важны для дальнейшего не только с точки зрения построения дисперсионных кривых, но и определения тех с которых начинается распространение волн в двухслойной среде.
В точках начала дисперсионных кривых а = у = 0. В этом случае система уравнений (10) принимает вид д гщ
1 8 2u , d 2u, 9
„ + Q2u = 0, c„ —2 + Q2u - 0, c„ —-3 + Q щ - 0,
8z2 1 44 8z2 2 33 dz2 3
d 2v,
d 2v,
d 2v,
d 2v,
1 2 9 L/Vi 9
2- + Q spVj + aA5—T - 0 , a45 — + q p + a44 2
dz 8z 8z 8z
- 0,
d 2v3 333 "dz2
+ Q2 spv3 - 0,
причем а= аМ).
u +
u2 +
+
v- +
+
V2 +
+
V- +
CO
2
+
V2 +
d
+
Vj +
+
V2 +
2
+
u
3
c
a
x
x
c
2
55
i3
!3
aij -
S -
h
c
a
a
55
55
55
2
u2 +
Решение системы будем искать в виде ик = Ake''
D „ D
V, = Bker . Тогда ß = D, ß2 =■
Рз =
■\lc33
следовательно, и = Atc cos Dz + Als sin Dz,
. c D , s D
щ = A cos —z + A sin ,— z,
u3 = A3c cos
•JC44 D
z + A3s sin-
D
:z .
VC33 VC33
Для нахождения ^ подставим vk в уравнения (12):
(V +D2"
sp№l - aA¡r¡¿B2 = 0, -rf -l5B +
a
' 2 D1spx
-r +
44
a
B=o.
44 У
Из этой системы
—„ +1 + -J(a44 + i)2 - 4 (-44 - —45 2 )
2 2 44
Г =D sp-
44
2(—44 —45 У"
r2 2 =D2 sp-
+ 1 "Уд4 + 1)2 - 4(—44 - —452) 2(—44 —45 )
Выражения для vk: v1 = B^sin^ z + B^ cos (z + B12sin(2 z + B12cos(2 z, (13) v2 = Bs2l sin(z + Bc2l cos (z + Bs22 sin(2z + Bc22 cos (2z .
Подставляя (13) в (12), получим связь между коэффициентами, входящими в выражения для vk:
Bu = f(( B; B2 = f( B; B2 = f (( )B222 ;
(e)n2
Bu = / (ri )В22, где / (r) =
45 '_
(D2 sp-r) ' Тогда выражения для vk принимают вид
V1 = /(ri)B2si sinriz + /(ri)B2C1 cosriz +
+ /(i!2 )B2s2 sinr2 z + /(i!2 )B22 c0s r2 z ,
V = B^j sinrz + B2Cj cos rz + Bs22 sinr2z + B^ cos r2z,
D4sp , Ds • D/^
v3 = B32 cos ■
z + B3s sin-
-z '
A2c cos
VC44
A3s sin
D
= B3s sin
. D^[sp
+ B32 cos
Difsp
2,|2~DA3
cos
D л/2зз
Г
a33sp
-DB¡ sin
. Dyfsp
+ DB3s cos
Dyfsp
- sy[24DA22 sin-^ = —44 {riB2-
i cos r1 ■
-r B2 sinr +r Bs2 cosr -r2 B222 sinr)+ + —45 (ri )B2sicos ri - rj(ri )b22I sinri +
+ r2j (r2 )В22 cos r2 - r2j (r2 )В2 sinr2 ),
- sDA2 sin D = a45 (rB^ cos r1 -
- r1 B^ sinr1 + r2 B2s2 cosr2 - r2 B222 sinr2)+ + ^i/"(ri )В21 cos ri - rij(ri )b22i sinri +
+ r 2j (r 2 )B2s2 cos r2 - r2j (r 2 )B<22 ^2 ^
D^sp
B¡ sin D(i + #)J
+ B3s cos D(1 + #) /a~ V a
= j (r,«)
/
«44(bB221 cos7l(1 + #)-7lB221 sin7j(1 + #) + 72B22 <»(2(1 + #)"
B222 sin (2 (1 + #))+ «45 (((f((l )B221 cos(l (1 +
-(f(( )B221 sin (1 (1 + (2/ ((2 )B22 cos(2 (1 + #)- (2./((2)B222 sin(2 (1 + #))= 0 ,
«45 ((B2! cos(1 (1 +Í)-(1B221 sin(1 (1 +l) + (2 B222 cos(2 (1 +£)-
-(2B222 sin(2 (1 + #)) +
+ (1f ((1 )B221 cos (1 (1 + #)- (1f ((1 )B221 sin (1 (1 + £)■+
+ (2.f ((2 )B222 cos (2 (1 + #)- (2f ((2 )B222 sin (2 (1 + #))= 0 .
Как видно из полученной системы, она разбивается на 2. 1-я определяет коэффициенты |лз2, BC, B2 }. Её определитель
pao? D
SCr,
-# = 1'
(14)
-33 vc33 Va33 2-я система определяет остальные коэффициенты (42, A22, B2s, , , B:s2, B222 }. Её определитель
зз V "зз
Для нахождения неизвестных коэффициентов подставим , vk в граничные условия (11). В результате
получим A22 = 0, Aj2 = 0, As2 = 0, и, кроме того, систему уравнений для определения остальных неизвестных: A2 cos О = f ((1B21 sin(1 + f ((1B21 cos (1 +
+ f ((2 )B22 sin (2 + f ((2 )B222 cos (2 ,
О = B221 sin + B221 cos + B222 sin (2 + B222 cos (2,
- 2h 0 j к Kih j (Ii )2rih j (r2)sr2H j (r2)2r2h
0 - 24h srih 2rih sr2h 2r2h
s D sh 0 ñ 2r1h -ft ГН ft 2r2h -ft sr2H
0 % 2rih -ft, rih ft 2r2h - %4 sr2h
0 0 ñ 2ri -ft r ft 2r2 -ft r
0 0 % 2m -ft r ft r -ft r
D D
где 2h = cos D, sh = sm D, 2 4h = cos ■J^u 4h = sin Г
= 0, (15)
D
^rih
= COS ri :
rih
= smri , 2r2h = cosr2
r2h
= sm r,
= (1 + #) , -V = (1 + #), = 00^72 (1 + #).
= (1+4 =^1(«45 + /(^1)), ^2 =72 («45 + /(% )) ,
^3 =(1 («44 + «45/ (,1)) . ^4 =(2 («44 + «45/(2 )) •
Таким образом, получены уравнения (14), (15) для определения точек начала дисперсионных кривых (задача А) в случае 2 слоев, выполненных из различных материалов. Левая часть уравнения (14) не зависит от угла поворота в. Численный анализ уравнения (15) показал, что точки начала дисперсионных кривых не зависят от в (рисунок).
44
44
33
33
33
a
44
44
33
33
33
33
33
Аналогичные вычисления для задачи В, когда скользящая заделка на нижней границе заменяется на жесткое сцепление, показали, что определитель системы для коэффициентов А, ВС, В£ } имеет вид
Pa3. sc„
(16)
/— I—
"V сзз V азз Приведем (без вывода) определитель для коэффициентов А, АС, В^, Вс21, В22, В2С2}:
- sh 0 f {hi Klh f {hi Hih f [hl)s,2h f {h2)C,2h
0 - S4h Shih Chih Sh2h Ch2h
s Q ch 0 % chih Shih %2 Ch2h -%2 Sh2h
0 - ^44Q C4h % chih Shih %4 Ch2h - %4 Sh2h
0 0 Я h shi %2 Ch2 -%2 Sh2
0 0 Я Chi shi % Ch2 -%4 Sh2
Зависимость начал дисперсионных кривых от угла поворота:
---- полученных из уравнения (14);--из (15);
.............. - из (16);------из (17)
= 0. (17)
Точки начала дисперсионных кривых в задаче В также не зависят от угла поворота в.
Начала дисперсионных кривых задачи А меньше, чем задачи В. Однако ^ задачи А, полученные из (16), расположены выше, чем ^ задачи В, полученные из (17). Следовательно, распространение волн в задаче В начинается при меньших чем в задаче А.
Таким образом, доказано, что в 2 анизотропных слоях, один из которых взят в главных осях, а другой повернут относительно этих осей на угол в, точки начала дисперсионных кривых не зависят от угла поворота в.
Литература
1. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, № 5. С. 1076-1079.
2. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, № 4. С. 817-820.
3. Наймарк Н.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969. 528 с.
4. Белоконь А.В. Колебания и волны в полуограниченных и ограниченных телах : автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Л., 1987. 20 с.
Поступила в редакцию
16 марта 2010 г.
