CC BY
74
144 с.
V.I. Platonov, S.S. Yakovlev, A.V. Chernyaev
LIMITING POSSIBILITIES OF THE EXTRACT WITH UTONENY OF THE WALL OF THE ANISOTROPIC MATERIAL IN THE CREEP MODE
Results of theoretical researches of limiting possibilities of an extract with an uto-neniye of a wall of cylindrical details from an anisotropic material are given in a creep mode.
Key words: an extract with an utoneniye, anisotropy, deformation, tension, destruction, damageability, speed of deformation, creep, temperature.
Получено 20.01.12
УДК 593.3
А.А. Трещев, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 35-54-58, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
Н.В. Васильев, асп., (4872) 35-54-58, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ГИБКОЙ ПЛАСТИНЫ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ C УЧЕТОМ БОЛЬШИХ ПРОГИБОВ
Рассмотрено моделирование напряженно-деформированного состояния гибких слоистых пластин из разносопротивляющихся материалов. Получены результаты расчета модельной задачи по определению напряженно-деформированного состояния трехслойной пластины из ортотропного разносопротивляющегося материала.
Ключевые слова: пластина, анизотропия, ортотропия, напряженно-
деформированное состояние, разносопротивляемость, геометрическая нелинейность.
Рассмотрим упругое равновесие прямоугольной трехслойной пластины, отнесенной к декартовой системе координат. Внешние слои пластины одинаковы по своим свойствам и при этом в произвольной точке каждого слоя одна из плоскостей упругой симметрии параллельна срединной плоскости, а остальные две перпендикулярны к координатным линиям x1 = const, x2 = const. Примем, что пластина нагружена нормально приложенной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q. Верти-
кальную ось х3 направим в сторону прогибов.
При решении поставленной задачи для всего пакета слоев в целом введены традиционные для данного класса задач технические гипотезы [1]:
1) нормальное к срединной плоскости перемещение *№ не зависит от координаты х3 (е3 = 0);
2) нормаль к срединной плоскости после деформации поворачивается на угол /1 относительно оси х1 и /2 относительно оси х2;
3) при определении параметров напряженного состояния влиянием нормальных напряжений <г3 пренебрегаем.
Деформированное состояние пластин определим компонентами перемещений точек срединной поверхности иь и2, и3 = w.
Компоненты тензора деформаций выразятся через параметры деформации 8у и кривизны х срединной поверхности (1, ] = 1, 2) согласно
У
общим формулам
е(, =еу + х31у. (1)
Рассмотрим геометрически нелинейную задачу изгиба слоистой пластины в декартовой системе координат при величинах максимальных прогибов порядка толщины этой пластины. Таким образом, точность рассматриваемой теории ограничим рамками геометрических соотношений Т. Кармана [1,2]. Применительно к конкретным условиям задачи деформации и кривизны срединной поверхности запишем следующим образом :
);
Ц = -. (2)
Выражения для деформаций с учетом принятых гипотез представим
в виде
К \2 К \2
е11 = иЪ1 + 2( - Х3У 21 е22 = и2’2 + - Х3^Ь2>
(3)
У12 = иЪ2 +и2,1 + ^1 ^2-х3(/1,1 +/2,2), У13 =/2 + w,1, У23 =/1 + ^2.
Для конкретизации структурной анизотропии материала пластин примем ортотропное тело. Тогда общие уравнения упругости для орто-тропного разносопротивляющегося материала примем в соответствии с указанными выше гипотезами [1]:
^ е11 С1111 С1122 0 0 0 " ^11'
е22 2 2 о С2222 0 0 0 а 22
е13 = 0 0 3 3 О 0 0 • < т13
е23 0 0 0 С2323 0 т23
. е12. 0 0 0 0 С1212_ „ т12
или
е11 = С1111а11 + С1122а22, е22 = С1122а11 + С2222а 22, е12 = С1212^12, е13 = C1313G13, е23 = С2323а 23, где константы С.... имеют следующий вид:
С1111 = А1111 + В1111а11; С1122 = А1122 + В1122(а11 +а 22);
С2222 = А2222 + В2222а22 ; С1212 = (А1212 + В1212^2а12)х12;
С1313 = (А1313 + В1313Л/2а13)т13; С2323 = (А2323 + В2323^2а23)I23, где а = а^.
При этом физические константы А... , В, для ортотропного тела
А Л- ^кт ~ укт ' ^ х А
вычисляются следующим образом по данным опытов на простое растяжение и сжатие вдоль главных осей ортотропии:
А1111 = (1/Е+ +1/Е-)/2; Вц11 = (1/Е+ -1/Е-)/2;
А2222 = (1/Е2 + 1/Е2 )/2; В2222 = (1/Е+ - 1/Е2 )/2;
А1122 =-(у+2/Е2 + у12/Е2 )/2; В1122 = -(у+2/Е2 - у12/Е2 )/2;
А1212 = (1/Е12 +1/Е12) - 0,2^[(1/Е1+ +1/Е++1/Е1 +1/Е2 ) - 2(у+1/Е1+ + у31/Е1 )]; В1212 = л/2(1/Е+ -1/Е12) - 0Д25л/2[(1/Е]+ + 1/Е+ -1/Е- -1/Е-) -
2 4(v +1 / Е1+ 2 у 21 / Е1 )];
А1313 = (1/Е1+3 +1/Е13) 2 0,25[(1/Е1+ +1/Е3" +1/Е1 +1/Е3) 2 2(у31/Е1+ + у31/Е1 )];
В1313 = >/2(1/Е1+3 -1/Е13)-0Д25а/2[(1/Е+ +1/Е+ -1/Е- -1/Е-)-
-4(у +1 / Е1+ 3 V з 1 / Е1 )];
А2323 = (1/Е2+3 +1/Е23) 30,25[(1/Е2 +1/Е+ +1/Е2 +1/Е3 ) 32(у+2/Е+ +V32/Е2 )];
В2323 = >/2(1/Е+3 -1/Е23) - 0,12^а/2[(1/Е+ + 1/Е3+ -1/Е- -1/е3-) -
3 40^ +2 /Е2 3 V32 /Е3 )];
где ^2 /Е2 = +1 /Е1+ ; ^2 /Е2 = V31 /Е1 ; ^3 /Е3" = +1 /Е1+ ;
^3/Е3 = V31/Е1 ; V +3/Е3+ =V+2/Е2 ;
V33 / Е3 = V32 / Е2 .
181
Дифференциальные уравнения равновесия для пластины примем в традиционной для данного класса задач форме [1]:
Ыи ,1 + Ыу ,у = 0;
^,.+Q.,.+ып,. . w,iJ+N.,. w,iJ + N.,. w,= з ц; (5)
М11,1 + Му ,. = 0 .
Решаемая задача изгиба пластинки имеет нелинейность двоякого характера, вследствие чего появляются определенные трудности при решении ее конечных разрешающих дифференциальных уравнений. Для решения поставленной задачи авторами предлагается использовать методику последовательных нагружений, предложенную В.З.Власовым и в последующем усовершенствованную В.В.Петровым в форме двухшагового метода последовательных возмущений параметров [4].
Проведем линеаризацию с одновременным построением разрешающих уравнений.
Пусть некоторое деформированное состояние пластинки будет начальным, а искомые функции и., w,/ будут определены на заданном уровне нагружения.
Рассмотрим состояние, соответствующее некоторому малому возмущению нагрузки ч + 8 ц , которой будут соответствовать малые возмущения искомых функций w + 8 w , и. +8 и . и V223 .
Опуская очевидные преобразования, выпишем уравнения статики в приращениях:
8^1Ы +8^12,2 = 0; 8^22,2 +8^12,1 = 0;
8М 11,1 +8М12,228Q1 = 0; 8М22,2 +8М12,128Q2 = 0;
(6)
8Q1,1 +8Q2,2 +8^11,1 w,11 +8^22,2 w,22 +8^’,11 ^11,1 +
+ 8w,22 N22,2 +8^12,2 w,12 +8^12,1 w,12 +8^’,12 ^12,2 + ^12,1 8w,12 = —8Ч.
Для получения значений приращений внутренних усилий и собственно величин внутренних усилий на первоначальном этапе необходимо записать исходные геометрические соотношения в приращениях по вышеописанной методике, соответственно получим
8ец = 8и1,1 + w,l•8w,l - х3(8/2,1),
8е22 = 8и2,2 + ^2 8w,2-х3(8/1,2 ), (7)
8у12 = 8и1,2 +8и2,1 + w,l 8w,2 + w,2 8w,l +8w,l 8w,2 —Х3(8/1,1 +8/2,2 ),
8У13 = 8/2 +8w,l, 8у23 = 8/1 + 8w,2.
Разложим выражения приращений деформаций для прямоугольной пластинки через приращения напряжений в рад Тейлора и удержим все
члены не выше первого порядка малости:
деп деп деп деп де11
8е11 = “-----8а11 + “-----------8а22 + “-8а12 + “-------8а13 + “---8а23;
да11 да 22 да12 да13 да 23
де22 де22 де22 де22 де22
8е22 = “-----8а11 + “-----------8а22 + “-8а12 + “-------8а13 + “---8а23;
да11 Эа 22 Эа12 Эа13 да 23
5 де^ де^ де^ де^ де^
8е12 = “ 8а11 + “ 8а22 + “ 8а12 + “ 8а13 + “ 8а23; (8)
да11 да 22 да12 да13 да 23
5 де^ де^ де^ де^ де^
8е13 = “-8а11 + “-8а22 + “-8а12 + “-8а13 + “-8а23;
да11 да 22 да12 да13 да 23
= де23 8а , де23 8а , де23 8а , де23 8а , де23 8а
8е23 = “-8а11 + “-8а22 + “--8а12 + “-8а13 + “-8а23
да11 да 22 да12 да13 да 23
или
8е11 = А11118а11 + А11228а 22 + А11128а12 + А11138а13 + А11238а23;
8е22 = А22118а11 + А22228а22 + А22128а12 + А22138а13 + А22238а 23;
8е12 = А12118а11 + А12228а 22 + А12128а12 + А12138а13 + А12238а 23; (9)
8е13 = А13118а11 + А13228а22 + А13128а12 + А13138а13 + А13238а23;
8е23 = А23118а11 + А23228а 22 + А23128а12 + А23138а13 + A23238а23, де - ■
где = А.кт (и ., к, т = 1,2,3).
дак1
Обращая указанные выражения, получим
\Сикт ]~ = \Аикт ]
8а11 = С11118е11 + С11228е22 + С11128е12 + С11138е13 + С11238е23;
8а22 = С22118е11 + С22228е22 + С22128е12 + С22138е13 + С22238е23; (10)
8а12 = С12118е11 + С12228е22 + С12128е12 + С12138е13 + С12238е23;
8а13 = С13118е11 + С13228е22 + С13128е12 + С13138е13 + С13238е23;
8а23 = С23118е11 + С23228е22 + С23128е12 + С23138е13 + С23238е23.
Приращения внутренних сил и моментов определяют традиционным образом, интегрируя выражения для приращений напряжений по толщине пластины, т.е. получим выражения для приращений усилий:
h/2 h/2 h/2 h/2
8Нп = 18аiidz; 8Н. = \8aydz; 8Qk = /8тkzdz; 8Му = \8aijzdz. (11)
—h/2 —h/2 —h/2 —h/2
Вычислив (11), учитывая (7), и, подставив в (6), получим конечную линеаризованную систему разрешающих дифференциальных уравнений в приращениях перемещений.
Окончательно система разрешающих уравнений имеет следующий
вид:
8иЪ11 Аш + 2 8и1 ’22 А212 + 8и 2 ’12 ^1122 + 2 8и2,12 А212 _8/Ъ12 01122 —
- 8/Ъ12 01212 - 8/2>11 біШ - 8/2>22 01212 =
= Fl (8^, 8^1, 8и 2,8/1,8/2, w, Щ, и2, /1, / 2),
8иЪ22 D2222 + 28и1 ^11 А212 + 8и2’12 А122 + 28и2>12 А212 -8/Ъ22 02222 -
-8/Ъ11 01212 -8/2 ’12 01122 -8/2 ’12 01212 =
= е2 (8^, 8и1, 8и2 ’ 8/1 ’ 8/2, и1, и 2, /1, / 2),
-8^’1 А313 +8и1,11 01111 + 2 8и1, 22 01212 +8и2,12 01122 + 2 8и 2,12 01212 -
-8/1,12 КШ2 — 8/1,12 ^1212-8/2>11 КИ||-8/2-22 К1212 - 2 8/2 Аш =
= Fз(8W’ 8и1,8и 2,8/1,8/2, и1, и 2,/1, / 2), (12)
-8^,2 А313 + 8и1,22 02222 + 28и1,11 01212 + 8и2,12 01122 + 28и2,12 01212 --8/2,12 К1122 -8/2,12 К1212 -8/1,22 К2222 --8/1,11 К1212 - 2 8/1^1313 = А(8^ 8u1’8и 2’ 8/1’8/2’ w’ u1’и 2’/1’/ 2^
8^11 А313 +8w’22 ^2323 + 28/1,2 ^2323 + 28/2,1 А313 - Я =
= F5 (8W’ 8и1, 8и2, 8/1, 8/2, W’ и1, и2, /1, / 2),
где ^укт (Х1, х2 ) ]_/г / 2 Сукт (Х1, х2, х3 )dx3;
0укт (х1, х2 ) = /_/г / 2 Сукт (х1, х2, х3 )x3dx3;
Кукт (х1, х2 ) = ]_/г / 2 Сукт (х1, х2, х3 )х3 (Ех3 •
Правые части ¥.(8^,8их,8и2,8/1,8/2,w,их,и2,/1,/2) уравнений (12) имеют весьма громоздкий вид, поэтому в данной статье не приведены.
Для полноты системы разрешающих уравнений (12) необходимо задать граничные условия [1,2]. В частности, для жесткого опирания они примут вид и. = 0; /. = 0; w = 0 и соответственно в приращениях - вид 8и. = 0 ; 8/. = 0 ; 8w = 0.
Начальные или накопленные к следующему этапу нагружения параметры системы обозначены буквами w, и1, и 2, /1, / 2, а
8w, 8и1,8и2,8/1,8/2 - текущие приращения, полученные за очередной этап нагружения.
Вид переменных коэффициентов В1]кт, 0/]кт, К]кт, определяет НДС
пластины, накопленное к рассматриваемому этапу расчета. В отличие от традиционной методики последовательных нагружений для повышения точности решения исходной задачи с учетом геометрической и физической нелинейности на первом шаге нагружения после решения классической задачи необходимо учесть влияние разносопротивляемости материала пластинки на ее НДС. Для решения этой задачи на первом шаге необходимо решить задачу о малом изгибе пластины с учетом лишь физической нелинейности по методу «упругих решений» Илюшина.
Решение полученной системы разрешающих дифференциальных уравнений в приращениях (12) предлагается проводить численным методом - методом конечных разностей.
Решение линеаризованных уравнений в конечно-разностной форме проводится в два этапа: на первом шаге решается задача изгиба пластинки при малых прогибах по методу упругих решений А.А. Илюшина с учетом лишь физической нелинейности, а на втором - по двухшаговому методу последовательных возмущений параметров В.В. Петрова с учетом нелинейностей двух видов.
Для апробации описанного выше подхода была решена модельная задача об изгибе жестко защемленной ортотропной пластины из слоистого композита (рис.1). Обкладки пластины выполнены из стеклопластика, а средняя часть пластины - из графита марки АТ^ [1]. Размеры в плане пластины 1,2х1,2 м; равномерно распределенная нагрузка принималась от 0 до 575 кПа.
Для решения задачи разработан пакет прикладных программ на базе системы МА^АВ Я2009.
В результате проведенных расчетов получены следующие результаты для трехслойной структурно-анизотропной пластины: распределение изгибающих моментов М п, М 22, М12 вдоль главных осей анизотропии рассматриваемой пластины, графики зависимости перемещений и1, и2, w и напряжений ау от величины нагрузки.
Было проведено сравнение полученных результатов с данными классической теории, причем разница по величинам перемещений составляла для различных величин нагрузки от 5 до 23 %. Для силовых факторов, в том числе моментов, разница колебалась в пределах от 2 до 15 %, и до
30 % процентов для напряжений.
На рис. 1, 2 показаны графики изменения некоторых параметров напряженно-деформированного состояния пластины.
Проведенные авторами исследования напряженно-деформированного состояния трехслойной пластины из анизотропного материала показали, что пренебрегать учетом явления разносопротивляемости при расчете многослойных пластин в условиях больших прогибов на поперечный изгиб нельзя, так как это может привести к значительным погрешностям в определении параметров напряженно-деформированного состояния.
Величина нагрузки в долях от максимального значения равномерно распределенной нагрузки q=0.575 МПа
Рис. 1. График изменения прогиба Ж в центре пластины
* -Н с
3 2
С 10 ГК ^
к о
&
в
*
к
X
о
о
2 £ ^ Й ой
Ї О » Я лЯ
я ос
ч ч
^ м
и
0.00015
0.0001
0.00005
0
-0.00005
-0.0001
-0.00015
♦ с учетом разносопротивляемости без учета разносопротивляемости
Расстояние I, м вдоль стороны пластины
Рис. 2. График изменения перемещения их (иу)
Разработанные авторами методики расчета приобретают особую актуальность в связи с широким распространением анизотропных разносо-противляющихся материалов в строительных конструкциях, авиастроении и технологическом оборудовании и в отсутствии надежной теории для расчета таких материалов.
Список литературы
1. Трещев А.А., Н.М. Матченко. Теория деформирования разносо-противляющихся материалов. Тонкие пластины и оболочки. М.; Тула: РА-АСН; ТулГУ, 2005. 186с.
2. Трещев А.А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. М.; Тула: РААСН; ТулГУ. 2008. 264 с.
3. Трещев А.А. Анизотропные пластины и оболочки из разносопро-тивляющихся материалов. М.; Тула: РААСН; ТулГУ. 2007. 160 с.
4. Петров В.В., Кривошеин И.В. Методы расчета конструкций из нелинейно-деформируемого материала: учеб. пособие. М.: Изд-во АСВ, 2009. 208 с.
A.A. Treschev, N. V. Vasiliev
SIMULATION STRESS-STRAIN STATE FOR FLEXIBLE LAMINATED PLATES OF ANISOTROPIC DIFFERENT RESISTANT MATERIALS TAKING INTO ACCOUNT GEOMETRIC NONLINEARITY.
Modeling of stress-strain state of flexible laminated plates of anisotropic different resistant materials. The results of the calculation model problems on the definition of the stress-strain state of layered plates of anisotropic different resistant materials are discussed.
Key words: plate, anisotropy, stress-strain state, different resistant, large deflections.
Получено 20.01.12
