Распространение плоских волн поля дефектов через границу раздела вязкоупругих сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Распространение плоских волн поля дефектов через границу раздела вязкоупругих сред

Н.В. Чертова, Ю.В. Гриняев

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

На основе уравнений полевой теории дефектов, замкнутой определяющим соотношением вязкоупругих тел, рассмотрены закономерности распространения плоских волн поля дефектов через границу раздела. Записаны граничные условия, определяющие соотношения параметров поля дефектов на границе раздела, что позволило получить выражения для коэффициентов отражения и преломления и сдвига фаз волн на границе раздела.

Ключевые слова: полевая теория, среды с дефектами, волновые процессы, границы раздела

Propagation of plane waves of a defect field across the interface of viscoelastic media

N.V. Chertova and Yu.V. Grinyaev

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

An equation system of the field theory of defects, which is closed by a constitutive relation for viscoelastic media, is used to study mechanisms of propagation of plane waves of a defect field across the interface. We specify boundary conditions for determining defect field parameters at the interface, which allows obtaining relations for reflection and refraction coefficients and for the wave phase shift at the interface.

Keywords: field theory, media with defects, wave processes, interfaces

1. Введение

В настоящей работе на основе уравнений полевой теории дефектов, описывающих динамику трансляционных дефектов, рассмотрены макроскопические особенности неупругой деформации в вязкоупругих средах. Исследование проводилось на основе анализа решений в виде плоских гармонических волн, суперпозицией которых может быть представлено произвольное решение линейных уравнений полевой теории. В работах [1-4] были проанализированы закономерности распространения плоских волн поля дефектов в однородных вязкопластических средах и при наличии границ раздела, в настоящей работе рассмотрено прохождение указанных волн через границу раздела вязкоупругих сред. Актуальность данной задачи обусловлена тем, что волновые процессы являются важнейшей формой движения материи и представляют наиболее быстрый способ переноса энергии, который позволяет осуществить переход от неравновесного состояния системы к равновесному [5].

Механизмы распространения возмущений в материальных объектах различны. С точки зрения уравнений полевой теории дефектов распространение волн дефектов происходит вследствие того, что переменная плотность дислокаций, появляющаяся в какой-либо точке деформируемого тела, возбуждает поток дефектов в соседних точках, и наоборот, поток дефектов, возникающий в некоторой точке, приводит к изменению плотности дефектов в ее окрестности. Наряду со значимостью волновых процессов многочисленные исследования свидетельствуют об особой роли границ в процессах деформации [6-8], поэтому изучение поведения нагружаемого материала при наличии границ раздела представляет важную задачу механики деформируемого тела. Новизна постановки предлагаемой задачи заключается в том, что используется математическая модель, описывающая ряд материалов, соответствующих определению вязкоупругих сред [9]. Исследование прохождения волн через границу раздела предполагает вычисление коэффициентов

О Чертова Н.В., Гриняев Ю.В., 2008

отражения и преломления, которые представляют отношения амплитуд отраженной и преломленной волн к амплитуде падающей волны. Для определения этих величин необходимо знать граничные условия на поверхности раздела и волновые решения системы уравнений полевой теории дефектов в вязкоупругой среде. Указанные решения были получены в работе [10], граничные условия для параметров поля дефектов на поверхностях раздела будут рассмотрены в настоящей работе.

2. Система уравнений полевой теории дефектов

Система уравнений полевой теории дефектов, полученная в рамках континуального описания, традиционного для механики сплошных сред, и математического формализма калибровочных теорий, состоит из кинематических тождеств континуальной теории дефектов: да

Уа = 0, — = Ух1 ді

а)

и динамических уравнений калибровочной теории дефектов [11-13]:

ВУ ■ I = -рУ, 5(Уха) = -В—-а. (2)

Эг

Данная система уравнений содержит величины, определяющие упругий континуум и континуум дефектов. Как было установлено при анализе физического содержания калибровочной модели, описываемой функцией Лагранжа

£ = рV • V - а: е + Ш : I - £а: а, (3)

к первым величинам относятся эффективный импульс рУ и эффективные напряжения с, ко вторым — тензор плотности дислокаций а и тензор плотности потока дефектов I. Здесь У — эффективная скорость среды; 8 — эффективные деформации, связанные с напряжениями по закону Гука: о = С : е; С— тензор упругих модулей; р — плотность среды; В, Я — константы теории. Термин «эффективный» в данном случае подразумевает суммарный вклад от внешних воздействий и от дефектов материала. Знаки •, х обозначают скалярное и векторное произведение, : — скалярную свертку по двум индексам. В ряде известных работ [14, 15] при описании деформируемого тела рассматривают механическое, структурное, термическое состояния и соответствующие параметры. С точки зрения авторов этих работ деформация 8 и скорость У являются параметрами механического состояния, а а, I — параметрами структурного состояния. Величины, характеризующие механическое состояние, удовлетворяют уравнению динамического равновесия рЭУ

ді

= Уа,

(4)

которое является условием совместности (1), (2). Система уравнений (1), (2) получена для обыкновенных точек пространства, в которых физические свойства среды,

характеризуемые величинами В, р, непрерывны. В

механике деформируемого тела часто встречается ситуация, когда свойства материала скачком меняются на одной или нескольких поверхностях раздела. Можно ожидать, что величины а, I, определяющие поле дефектов, также будут претерпевать разрыв. Получим соотношения, описывающие изменение поля дефектов при переходе через поверхность раздела, необходимые для решения задач о деформации тел с дефектами при наличии границ раздела.

3. Определение граничных условий полевой теории дефектов на поверхностях раздела

Предположим, как обычно принято при выводе граничных условий [16], что поверхность раздела Г, отделяющая среду (1), (2) от среды (3), заменена тонким переходным слоем толщиной А/, внутри которого параметры В, Б, р быстро, но непрерывно меняются от значений в\ З'1, р1 с одной стороны слоя до значений 2 2 2

В , £ , р вблизи другой стороны. Внутри слоя, как и в обеих средах, тензоры поля дефектов а, I и их первые производные являются непрерывными и ограниченными функциями координат и времени. Построим цилиндр, образующие которого перпендикулярны к поверхности раздела Г, а основания лежат на поверхностях слоя, на расстоянии А/ друг от друга (рис. 1). Проинтегрируем первые уравнения (1) и (2) по объему цилиндра. Поскольку во всем цилиндре а, I и их производные непрерывны, применим теорему Гаусса-Остроградского к полученным интегралам. На основе (1) получим равенство

| (V • а)ёх =| (п • ос)*!? = 0. (5)

V 5

Здесь п — единичный вектор внешней нормали к поверхности цилиндра, по которой берется второй интеграл. Если основание цилиндра, площадь которого А а, является достаточно малым, то можно считать, что тензор а имеет постоянное значение на каждом из оснований. Выражение (3) можно заменить следующим:

(^а + п2а)А а +

+ вклад от боковой поверхности = 0. (6)

Если высота цилиндра А/ стремится к нулю, то переходный слой сжимается в поверхность Г и в пределе

Рис. 1. К граничным условиям для компонент, определенных на граничной поверхности

при А/ —» 0 основания цилиндра расположатся по обе стороны поверхности Г, а часть интеграла (6), связанная с боковой поверхностью, станет бесконечно малой величиной. Обозначим а в точке на поверхности Т в среде (1), (2) через а1, а соответствующее значение а в той же точке поверхности, но на другой стороне, в среде (3), через а2. Положительную нормаль к поверхности Т обозначим единичным вектором п, проведенным от среды (1), (2) к (3). Таким образом, среда (1), (2) находится с отрицательной стороны поверхности Г, а среда (3) — с положительной. Следовательно, п2 = -п1 = п и при А/ —» 0 из (6) следует равенство

п (а2-а!) = 0, (7)

т.е. при переходе через поверхность разрыва нормальная и касательные компоненты тензора плотности дислокаций, определенные на граничной поверхности:

п (а2-а1) п = 0, п (а2-а!)хп = О, остаются непрерывными.

Прежде чем перейти к рассмотрению следующего равенства, отметим, что непрерывными и ограниченными функциями в обеих средах и внутри слоя являются не только характеристики поля дефектов, но и параметры механического состояния [16]. На границе раздела в случае идеального контакта для них справедливы следующие соотношения в скоростях или в смещениях:

|-[п-(и2-и1)] = 0, ^[пх(и2-и,)] = 0 (8)

ot ot

и в напряжениях:

п(а2 -ст1) = 0, (9)

где п — нормаль к поверхности раздела. Последнее равенство, полученное из (4) в результате преобразований:

|(У-а)<1т = |(п-а)<15 =|р

ёт,

(п^1 +п2с2)Аа +

+ вклад от боковой поверхности =

= -Р

ЭУ

дt

АаА/,

(10)

при А/ —> 0 предполагает, что

п (с2 - а1) п = 0 и п (а2 -а!)хп = 0. (11)

При наличии проскальзывания по границам раздела двух сред вторые равенства (8), (11) могут быть отличны от нуля, но конечны при сохранении сплошности тела.

Используя первое равенство (2) и теорему Гаусса-Остроградского, для тензора плотности потока дислокаций можно записать:

(12)

I (V • £1)с1т = | (п • £1)с1у = -[ (рУс1т.

В этом случае интеграл по замкнутой поверхности цилиндра от компонент I, определенных на этой поверхности, будет равен интегралу от импульса по объему цилиндра. Выражение (12) можно заменить следующим:

(п^‘11 +п25212)Аа +

+ вклад от боковой поверхности =

= -рУАаА/, (13)

где У — средняя скорость цилиндра. Если высота цилиндра А/ —» 0, то переходный слой сжимается в поверхность и часть интеграла (13), связанная с боковой поверхностью, станет бесконечно малой величиной. Поскольку параметры механического состояния являются непрерывными и ограниченными функциями координат и времени, то правая часть (13) при А/ —» 0 равна нулю, как и в (10). Учитывая направление нормалей, можно получить, что

п-(В212 -5111) = 0. (14)

Таким образом, на границе раздела остается непрерывным произведение компонент тензора плотности потока дислокаций, принадлежащих граничной поверхности, на константу, характеризующую инерционные свойства ансамбля дефектов. Дивергенция, взятая от последнего соотношения (2):

-У - о

В—V-!-дt

и интегрирование по объему цилиндра позволяют связать скачки скоростей компонент тензора плотности потока дислокаций и компонент тензора напряжений, определенных на поверхности раздела: г2 ат1Л

П

В

\

дУ

д t

-В

= п (ст2 -а1).

(15)

)

Учитывая (9), на основе (15) можно записать выражение

Г -т2 эт1 ^

= 0, (16)

п

В

Э1

Ъг

-в

1^1

Ъг

\

у

которое является обобщением (14) с учетом временных изменений потока дефектов.

Рассмотрим условия, получаемые на границе раздела из вторых равенств (1) и (2). Заменим поверхность раздела переходным слоем. Цилиндр, показанный на рис. 1, заменим прямоугольной площадкой, стороны которой параллельны и перпендикулярны поверхности Т. Длина сторон прямоугольника, проходящих через переходный слой (рис. 2), равна его толщине А/, а длина сторон, находящихся по обе стороны слоя, — А Т. Проинтегрируем второе соотношение (1) по площади прямоугольника, плоскость которого задается нормалью пп:

Г т пн Г ГЭ0С"

]п0-(Ух1)ск=]п0- —

а®.

(17)

Рис. 2. К граничным условиям для компонент, определенных на поверхностях, перпендикулярных граничной плоскости

Используя теорему Стокса, преобразуем левую часть равенства в интеграл по контуру вдоль границ прямоугольника:

/«•*=Н'£'К

(18)

Положительное направление нормали п0 задается направлением обхода контура. На рис. 2 показаны единичные векторы т,. т2 в направлении обхода контура вдоль нижней и верхней его частей. Пренебрегая бесконечно малыми величинами более высокого порядка, можно аппроксимировать (18) выражением

(т111 + Т212)ДГ + вклад от боковых отрезков =

(19)

=П"|-Г4'-

По мере того как слой сжимается в поверхность, доля, вносимая боковыми отрезками и пропорциональная толщине слоя А/, становится малой величиной. Считая положительной нормалью к поверхности Тнормаль п, проведенную от среды (1), (2) к среде (3), единичный касательный вектор т можно определить следующим образом:

т=п0хп. (20)

Так как

Т) = -т2 = -т и (п0 хп) - I = п0 • (пх1), (21)

то (19) эквивалентно равенству

да

~э7

из которого, учитывая ограниченность производной в правой части равенства, при А/ —> 0 получим:

пх(11-12) = 0. (22)

Таким образом, при переходе через границу раздела компоненты тензора плотности потока дислокаций, определенные на плоскостях перпендикулярных поверхности раздела, остаются непрерывными. Поведение аналогичных компонент тензора плотности дислокаций можно определить на основе последнего уравнения (2). Используя теорему Стокса, запишем это равенство в виде:

п0 • (п х (I1 - 12)ДГ = п0 • | ^ |Д7Д/,

/^а.с1г = /п0.|-^-ст|ск.

(23)

В первом приближении интеграл по контуру можно представить следующим образом:

(т^а1 + т25,2а2)АТ + вклад от боковых отрезков =

= п0-| - ^-ст \ATAL

При А/ —> 0 вклад от боковых отрезков прямоугольника, пропорциональный А/, исчезает, как и член, записанный справа, поскольку тензор напряжений, тензор плотности потока дислокаций и его производные являются непрерывными и ограниченными функциями. Отсюда для компонент тензора плотности дислокаций, за-

данных на поверхностях, перпендикулярных граничнои поверхности, при переходе через границу будет справедливо соотношение

пхО^а1 -£2а2) = 0.

(24)

4. Прохождение волн поля дефектов через границу раздела вязкоупругих сред

Воспользуемся результатами предыдущего раздела при решении задачи о распространении волн поля дефектов через границу раздела вязкоупругих сред. В простейшем случае нормального падения волн на поверхность раздела, перпендикулярную оси х, граничные условия (7), (14), (22), (24) запишутся в виде:

а2 -а1 =0 В212 - В1!1 =0

XI XI ° 1 ° 1 V; и,

Б2^^ - 5,1а1уг- = 0, 5,2а2 - = 0, /2-/;г=о, /2-4=о.

(25)

Согласно [10] в вязкоупругой среде, определяемой со-

отношением

~ _е1 . —V

°у - °у + °у >

(26)

где упругие о у и вязкие а у напряжения выражаются через компоненты вектора смещений (/,, тензор упругих модулей Сум и тензор коэффициентов вязкости Лг/и:

_е1 „ ^ „ V ^ „ ЭСЛ-

^ =СуЫдки1, а] =у\ук1дкГ1, Ъ=-д СуЫ = + М-(8*8 а + 8г/5 ]к).

Луи = Щ&и + У(8*8 а + 8г/8 ]к).

(27)

система уравнений (1), (2) имеет решения в виде плоских волн. Здесь X, (х — коэффициенты Ламе; £ и у — объемная и сдвиговая вязкость упругого тела. Волновые решения для потоков дефектов в [10] имеют вид:

1ш(х) = ^-<*1 ехр(;11х),

-Мх) = ~^Г~а 2 ехр(;12х),

Вк2

1Ах)=-^гаъехр(}к2х),

Вк2

со3

1ух(х) = ехр(г£3х) + ”Р а2 ехр (;12х),

$к2(к3 ~к2)

1уу(х) = Чг ехр(г^х) + ” 2к\, ах ехр(;11х),

0^4 (л^з — к] )

1уг(х) = Чъ ехр(;13х),

со3р

1ЛХ) = 44 ехр(;13х) + —-~аъ ехр(;12х),

8к2{к2-к1)

■М-х) = Я5 ехр(;13х),

!ЛХ) = Ч6 ехр(;13х) + ” 2^ 2 ах ехр(;11х).

ок^ (л^з — к^ )

Здесь к2, к2, к2, к4 — волновые векторы:

к2 =

к1 =

(со/Сх)2

1-(та + 2у))/(Х + 2ч)'

/ \2 , ч 2

СО /'"/^ 4

\ J

к2 = (СО/С2)

1 - ;соу/(х

(29)

Cj и С2 — продольная и поперечная скорости упругих волн:

Q =

С3 —скорость континуума дефектов:

2 - 2С|.

(30)

(31)

(32)

Неизвестные константы ах, а2, qx, q2, <73,q6 находятся из граничных условий. Первые три константы Я), а2, </1 определяют амплитуды волн вектора смещений [10]

и Х(х) = я1 ехр^х),

IIу (х) = а2 ехр(;А:2х), (33)

и2(х) = а3 ехр{1к2х).

Выражения (29) можно представить в виде:

Ух

С,

ojn4+i%4)

Сл

к = со = со(я2 + г%2)

2 ^2 С2 ’

(34)

если ввести комплексные скорости VX,V2,V4 и показатели преломления И поглощения (пх,Х\), («2, %2), (п4, Х4) [5], связанные с величинами tgS! = со(£ + 2у)/(Х + 2ц), tgS2 = coy/jx, tgS4 = со£,/А, называемыми тангенсами углов потерь:

nl^g2^ 1 +1+1

I 2(tg28j +1)

Xi =

^/tg28i + 1-1

2(tg251 + 1)

(35)

Определения (и2,%2) и (и4,%4) аналогичны(35).Показатели преломления определяют фазовую скорость волн, показатели поглощения характеризуют скорость убывания амплитуды волны в направлении ее распространения. Зная решения для потоков дефектов (28), на основе второго равенства (1), соответствующего в случае плоской волны:

;соаху (х) = 0,

тау](х) = дх12](х), (36)

таг](х) = -дх1у](х),

можно найти выражения для волн плотности дислокаций. Соотношения (36) также определяют структуру волн поля дефектов. В частности, из них следует, что

компоненты тензора плотности дислокации, принадлежащие плоскости волны, равны нулю. Динамика аналогичных компонент тензора плотности потока /хг определяется волнами упругих смещений (33) согласно первого равенства (2). Граничные условия (8), (9) для продольных компонент вектора смещений (33) запишутся в виде:

$1 ,

ikx Мх (ах +ах) = ікх Мх ах . о -

(37)

Здесь ах, ах , ах —амплитуды падающей, отраженной и преломленной (прошедшей) волн продольных смещений; кх,кх —волновой вектор кл в первой и второй среде; М1”,М1+ —компоненты комплексного модуля вязкоупругой среды М1 = X + 2ц - гю(^ + 2у) = Ьх - іЬх* (27). Вычисленные на основе (37) коэффициенты отражения и преломления для продольных компонент вектора упругих смещений имеют вид:

ЯГ _ кхМх -кхМх _ д/р'МГ ->/р+М1+

Км; + к?мх д/р-мг + д/р+мх ’

_ 4 _ 2к[М[ _ 2д/р~М1~ (38)

п1 ах кхМх+кхМх ^р ~м~ + А/р+М1+

Аналогичные выражения могут быть получены на основе (8), (9) для поперечных компонент вектора смещений:

к2М2 - к2М2 _ т]р~М2 - д/рЧЇЇ

к2 М2 + к2 М2 ^

Уп2 7о 22

2 к2М2

р м2 + Vp М2 2-\]р ~М2

-\]р~М2 +ЛІР+МЇ

(39)

12ш2 ТЛ21И2 гпЗ=гп2. гпЪ=гп2-

Здесь верхние символы -, + также обозначают амплитуду а2 компоненты IIу, волновой вектор к2 и модуль М2 = Ц - гсоу = Ь2 - гХ2» в первой и второй средах. Согласно (14) и (28) для компонент тензора плотности потока дислокаций, определенных на граничной поверхности, имеют место равенства:

Р ґ о -л_Р + Р/ 0 -\_Р +

(aj ах ) - ах , (а2 а2) - а2 ,

к[

К

(a® -а3) = y-j- а3.

К"-*

(40)

2 2 Совместное выполнение первых равенств (37), (40) возможно при наличии сдвига фаз ф^~, ф^ волн 1Ш в первой и второй средах или их разности ф = - ф^1", удов-

летворяющей условию

ехр(;ф) =

КГ

к:

(41)

Отсюда разность фаз, возникающая на границе, будет равна

сов ф = .

11+Р+(1 + 1е8^88Г)

(42)

Ар (1+гё281)

Соотношения, аналогичные (42), могут быть получены для компонент и 1Х2.

Для компонент / ■ и аи-, определенных на плоскостях, перпендикулярных граничной поверхности, условия (25) с учетом (36) позволяют записать следующие системы уравнений:

+ ?2а2 + Ях + р2 а2 = + р2 а2 .

*з° Яг + к2Р2а\-къдх -к2Р2а2 =

для 1ух и оси,

Ч°2 + р\а\ +42+ Р\а\ = 42 + Р\а\

/ 0 0 , 7 0 т-» О 0 1 — — 7 — т—' — —

кг д2 + кх Рх ах ~к3д2 - кх Рх ах =

(43)

(44)

Б+(к^д2+кхРхах)

для 1уу иа?,

о - + ,оо 1 - - Б к-, а-,

Чз + Чз _ <7з > кз <7з 'З'з _ ~

(45)

для 1у2 и а22. Здесь через Р2 обозначены коэффициенты Р2,РХ, стоящие в формулах (28) перед амплитудами смещений, в случае преломленной, отраженной и падающей волн. В явном виде эти коэффициенты расписаны в формулах (I), (III) Приложения. Не представляет сложности вычисление коэффициентов отражения и преломления амплитуды <73 на основе (45):

у1в~Б~ -л1в+Б+

Чз_

Уз

к;Б'

к^Б~ +к^Бл

Яз

Уп=~Т

Чз

2 к^'

л1в~Б~ +л/й+5’4 2 у1в~Б~

>+ ^В~Б~ +4~1

(46)

к^~ + к^п у1В~Б~ +

Системы уравнений (43) и (44) с учетом (37) и аналогичных равенств для IIу могут быть преобразованы к виду:

Чх + Чх = 4? + (р2 ~Г2 )<^2 ■

О _ + к\

<71 -<71 =——^<71 +~1

Л к-’х К’х

б+р:

.ЩР2

м;

<?2 <?2 = <?2 + (ГХ+ ~ Г\ )а\

<72

_ Б+к:

к\

Мг

-Л

л2 ’

1 ■

Допуская сдвиги фаз в волнах потоков дефектов <2 и в волнах плотности С, эти равенства можно записать следующим образом:

(дх + = дх ехр(;£>1+) +

+ [^2+ ехр(;е1+)-^2” ехР 0Ш]а2>

(Д° - Чх )ехр(ге! ) = ехрО'^) +

(

Б~к;

ехр(;С1+) - МгЕ} ехр(;С1~) 51 М0

(<?2 + 42 )ехр(г'б2 ) = <72 ехрО'бг ) +

+ [^+ ехр(г'б2) - ехр(;б2“ Ж ,

(<?2 “ 42 )ехр(;'е2_) = ^-^чХ ехр(г<?2 ) + о къ

(

Б+Рх

\

Т-ехр(;С2 ) - 11 схр(;6'2)

Мл

Если сдвиги фаз удовлетворяют условиям Г7! ехр(;'е1+) - г; ехр(;£>Г) = о,

^-ехр(^)-.^

Мо

м;

схр(/6'| ) = О,

^1+ехр(/е^)-^ ехр(г02) = О,

^ схр(/6'2 ) - ^ ^ схр(;67) = 0.

(48)

м:

м;

<1 ™1 то коэффициенты отражения и преломления для амплитуды 1ух и находятся в виде:

_ дх _ л1в~Б~ схр(;А(у*,) - VВ+Б+ схр(;А6|)

у[в~Б~ ехр(;АЙ) + ехр(;АС1) ’

у ______________________2^В~Я~ ехр(гА 6;)_

^1° ехр(гАЙ) + т/5+5+ ехр(;АС1)

и для амплитуды 1^ и а^, таким образом:

_д2 _ '/в~Б~ exp(iAQ2) - ^[в*S* ехр(;АС2)

'п

<?2 ехр(гДе2) + у1в+Б+ ехр(;АС2) ’

у =в1= 2т[в~Б~ ехр(гА^2) (49)

<?2 л/^" ехр(;Дб2) + л1в+Б+ ехр (г Д С2)

Здесь да = а+ - 6Г; = с; - сх - дс2 = о+_ - с- .

Соотношение, определяющее разности сдвигов фаз, обозначенные символом ТУ, который последовательно принимает значения {А<2Х, А<22, АОх, АС2), следуетиз условий (48) и имеет вид:

сое IV =

т т + пи пи (т+)2 + (т»+)2

(50)

где т = Яе{^2, Рх, Р2, Рх}- пи = 1т{^2, Р2, Рх}- вы-

ражения Рх = БРХ/МХ и Р2= БР2/М2 приведены в (V), (VII) Приложения.

На основе соотношений, аналогичных (43)-(50) можно вычислить коэффициенты отражения и преломления для компонент /_( и которые будут равны

rt4= — = rti’ Уt4 = — = Уа>

q4 q4

45 45

Ъ5=^ = Ъ> yt 5 = — = yt3,

45 45

r =vl = r v =?L = V

^t6 о *2? yt6 о yt2‘

46 46

Сдвиги фаз волн Izi и ayi на границе также удовлетворяют условиям (48), поэтому

Qt(Ql) = Ql(QxX G4+(G4-) = G1+(G]-),

Qt (Ql) = Q\ (Ql), Gt (G~6) = g+2 (g; ).

5. Обсуждение результатов

Как показали результаты исследований [10], макроскопические особенности динамических деформаций вязкоупругих сред с дефектами трансляционного типа определяются волнами упругих смещений и поля дефектов. В настоящей работе рассмотрено прохождение указанных волн через границу раздела в случае нормального падения волн. Выражения (38), (39) определяют распространение волн упругих смещений через границу раздела. На рис. 3, а, б приведены модули коэффициентов отражения и преломления продольной компоненты смещений Uх в зависимости от тангенсов углов потерь (35), характеризующих затухание волн, при различных соотношениях упругих импедансов граничащих сред. Как следует из представленных результатов, модули коэффициентов отражения при равных импеданс ах изменяются одинаково с ростом затухания при любых соотношениях tgSj" < tgS^ или tgSj" > tgS^ (кривые 7, /, рис. 3, а), как и модули коэффициентов преломления при различных импедансах (кривые 2, II и 3, III, рис. 3, б). Модули коэффициентов отражения при различных соотношениях p-Cf и р+С^ ведут себя по-разному с ростом затухания при tgSj" < tgS^ и tgSf > > tgSf (кривые 2, II и 3, ///, рис. 3, а), как и коэффициенты преломления при р ~С[ = р+С\ (кривые 7, /, рис. 3, б). При слабом затухании волн (tgS^ «1 и tgSf «1) из формул (38), (39) следует решение для упругой среды, как и при tgSf =tg81". Что касается волн поля дефектов, то компоненты тензора плотности дислокаций, определенные на поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны, в данном случае axi, равны нулю. Динамика аналогичных компонент тензора плотности потока дислокаций Ixi задается градиентами упругих смещений. При прохождении волн Ixi границы раздела появляются разности сдвигов фаз в первой и второй средах (42), обеспечивающие выполнение граничных условий. На рис. 3, в приведены разности сдвигов фаз при различных значениях тангенсов углов потерь. Кривые 7,2,// (рис. 3, в) соответствуют положительной разности сдвигов фаз

(соБф > 0), /, ///, 3 — отрицательной (соБф < 0). Величины, приведенные на рис. 3 при tgS = 0, определяют распространение волн в упругом теле с дефектами. Закономерности прохождения волн компонент 1ху, 1Х2 через границу раздела аналогичны 1ХХ.

Динамика компонент тензора плотности дислокаций и тензора плотности потока дислокаций, определенных на поверхностях, перпендикулярных граничной плоскости (/ •, 12( и а^, а^), существенно различна. Ранее было установлено [10], что распространение диагональных компонент тензора плотности ауу, а22 и соответствующих компонент потоков 12у, 1у2 не зависит от волн упругих смещений. Коэффициенты отражения и преломления указанных величин (46) также определяются константами модели В и 5, характеризующими континуум дефектов, и не зависят от упругих и вязких свойств среды. Коэффициенты отражения и преломле-ния 1ух, /,, и а.х, а.,., атакже !:х, аух и /~, а,- (49),

Рис. 3. Модули коэффициентов отражения (а) и преломления (б) компоненты вектора смещений их, разность сдвигов фаз волн компоненты тензора плотности потока дислокаций 1ХХ (в). Зависимости

I, 2, 3 рассчитаны при (^5]~ = = 1.51§8); I,

II, III—при tgSj_ > tg81f =1.5tg8, tg81f =tg8). Кривые 7,/

получены при равных безразмерных импедансах граничащих сред (р”С|" =р+С!+=1); 2,11—при р~С\ =0.6, р+0[+ =1; 3, III—при

р-сг=1, р+С!+=1.з

Рис. 4. Разность сдвигов фаз волн I I и а2Х, : кривые 1 — -1, 2 — А025 I—II—ДС2 при = 1§8/1.2, =

= 1§8, =1§8/1.8, tg§4 = tg5/l.5. Зависимости получены при

равных импедансах граничащих сред (р”С|" = р+С\+ = 1, р_С2 = = р+С% = 0.7, р“С3“ = р+С3+ = 0.4, р~а = р+С£ = 0.3, В~8~ = = £+5+ =0.8) (а); при р“С3“ <р+С3+ (р“СГ = Д р+Сг+ =1.2Д р“С2 = 0.7Д р+С^ = 0.75Д р“С3“ = 0.4Д р+С3+ = 0.5Д р“С4 = = 0.3Д р+С4=0.35Д Я"£_=0.7Д £+5+= 0.85Д) (б); при р“С3“ > р+С3+ (р-СГ = 1.21), р+Сг+ = Д р“С2 = 0.751), р+С^ = = 0.10, р“С3“ = 0.51), р+С3+ =0.41), р“С4 = 0.351), р+С4 = 0.3Д £“5“ = 0.851), £+5+ = 0.71)) (в)

Yti

1.0

0.5

0.00 0.25 0.50 0.75

Yt2

1.0

0.5

0.00

0.25

0.50

0.75

tg 5

tg 8

Рис. 5. Модули коэффициентов отражения и преломления волн I а2Х (а, б) и 1уу,а2у (в, г) при tg81“ =tg8/1.5, tg81+ = tg8,

tg8J = tgS/1.8, tg8j = tg8/1.6. Зависимости 1 получены при равных импедансах граничащих сред (см. рис. 4, а); 2 и 3 — при больших (рис. 4, б) и меньших (рис. 4, в) значениях импедансов второй среды

кроме констант В, S, зависят от разности сдвигов фаз волн (50), определяемых различными константами среды. Разности сдвигов фаз, учитывая выражения величин F2, Р2, Pl9 приведенных в Приложении, опре-

деляются громоздкими соотношениями. На рис. 4 приведены численно рассчитанные зависимости cos JF(tgS) для трех соотношений импедансов граничащих сред. В случае слабого затухания волн, условием которого являются tgSj « 1, tgS2 « 1, tgS4 « 1 и при котором выражения F2, Fx, Р2, Рх существенно упрощаются в (II), (IV), (VI), (VIII), разности сдвигов фаз находятся в виде: _ + 2

COSAQ ~ Р ^ ^2 ) С08Д(7 р+S-(C+)2

cosAGj

CzKQ /Q)-i] С2+[(С2-/С3-)2-1]’

с08Да“;Ш§7с“40-

(с4+)2сг((сг/с3-)2- 1)

Эти предельные выражения разности сдвига фаз волн / , а2Х и / , а2у также зависят от констант упругого континуума и континуума дефектов. На рис. 5 приведены зависимости модулей коэффициентов отражения и преломления от величины затухания при различных значениях импедансов граничащих сред. Результаты настоящей работы необходимы для рассмотрения прохождения волн в слоистых вязкоупругих материалах с дефектами, исследования потоков энергии, переносимой волной при прохождении границы, и могут быть использованы в качестве эталона частного случая при произвольном угле падения волн на границу раздела.

Приложение

Fi =

со3р

р V23C32

Sk2(k2-k22) S(F22-C32y

(I)

С

с

l + tgzS2 +1 + tg82 + tg^82 -1

+ I

С

с

tgS2^--J^/l + tg/S2 + 1 -

Fi =

l + tg282 -1

p C3ZC2

1-

Q

C,2

2 Y

С

+ tg282

l-^L+tg282

-1

S(l-C32/C22)

itgS2c2/c22 1 -click

(II)

при tg§2 «1.

= co3p^

1 - 2/7 2 ,2

PC3ViF42

SkUft-kt) S(V?-Cl)

F, =

Fx =

p C2C2

SCi (1 - с2 /с2)

/(tg8t - tg84 (1 - C3 /Cf))

i-c32/c2

при tgSj « 1, tg84 « 1.

р _ sf2 _ c2v2

2 М2 f22-c32’

р - сП 2_^с2( 7 ”1 -V )

(IV)

(V)

+

1 + tg 82 -1

+ Z

tgS2-JVi+tg2^"+i ■

/ 0 \

>4

, C2 , V z J

Pl =

1 + tg 82 -1

ci

c2(i-c32/c22)

1 +

c,z

*tgS;

+ tg S2

\

i-c32/c22

при tgS2 «1. SFX _

Pi =

c3V42

Mx VX(VX2-C32) 2

(VI)

(VII)

P =

c2c2

1 ЛQ3

(

( r2 ^ 1—T + tgSjtgS

Q

tg§! -tg8,

1 —

.H

c2

+ z

(tgSi -tgS/

с

1-

1-—T+tg81tg84

С

•\/Vi+tg2C

)

l]-Jl + tg281 -1

-у/лД + tg2S1

Wi+tg^T-i

+i-

+i+

v /у

-\/l + tg2Si

f r1 ^2 v C>

+ tg28i

-1

^1=^3

✓~r 2 2

C3 C4

c^i-cl/c2)

1+

^(tgS, -tg84(l-c32/c2)) i-c32/c2

(VIII)

при tgSj « 1, tgS4 « 1.

Литература

1. Чертова H.B., Гриняев Ю.В. Закономерности распространения плоских волн дефектов в вязкопластической среде // Письма в ЖТФ. - 1999. - Т. 25. - Вып. 18. - С. 91-94.

2. Чертова Н.В. Анализ структуры волн поля дефектов в вязкопластической среде // Письма в ЖТФ. - 2003. - Т. 29. - Вып. 2. -С. 83-87.

3. Чертова Н.В., Гриняев Ю.В. Закономерности распространения плоских волн поля дефектов в вязкопластической среде при наличии границ раздела двух сред // ПМТФ. - 2004. - Т. 45. - № 1. -С. 115-125.

4. Chertova N. V, Chertov М.А. Propagation features of plane waves of defect field across the interface boundary between viscoplastic media with arbitrary damping // Int. J. Engng. Sci. - 2006. - V. 44. - No. 20. -P. 1601-1610.

5. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. -М.: Наука, 1990. - 432 с.

6. Алехин В.П. Физика прочности и пластичности поверхностных слоев материалов. - М.: Наука, 1983. - 280 с.

7. Орлов JT.Г. О зарождении дислокаций на внешних и внутренних поверхностях кристаллов // ФТТ. - 1967. - Т. 9. - № 8. - С. 2345-2349.

8. Панин В.Е. Физическая мезомеханика поверхностных слоев твердых тел // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 6. - С. 5-23.

9. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Теория упругости. Т. VII. Теоретическая

физика. - М.: Наука, 1987. - 244 с.

10. Чертова Н.В., Чертов М.А. Распространение плоских волн поля дефектов в вязкоупругой среде // Письма в ЖТФ. - 2005. — Т. 31. — Вып. 7. - С. 25-32.

11. Косевич А.М. Дислокации в теории упругости. - Киев: Наукова думка, 1978. - 219 с.

12. КадичА., ЭделенД. Калибровочная теория дислокаций и дискли-наций. - М.: Мир, 1987. - 168 с.

13. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Полевая теория дефектов. Часть I // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 5. - С. 19-32.

14. КоларовД, Болтов А., Бончева Н Механика пластических сред. -М.: Мир, 1979.-302 с.

15. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.

16. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. - М.: Наука, 1976. -535 с.

Поступила в редакцию 20.03.2008 г.

Сведения об авторах

Чертова Надежда Васильевна, к.ф.-м.н., старший научный сотрудник ИФПМ СО РАН, [email protected] Гриняев Юрий Васильевич, д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник ИФПМ СО РАН