О переносе энергии поля дефектов через границу раздела двух вязкопластических сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

О переносе энергии поля дефектов через границу раздела двух вязкопластических сред

Н.В. Чертова, Ю.В. Гриняев

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

На основе динамических уравнений континуальной теории дефектов проведен анализ потоков энергии поля дефектов через границу раздела двух вязкопластических сред. Получены соотношения, определяющие отражательную и пропускательную способности границ раздела, которые показывают, какая доля энергии падающей волны дефектов уносится отраженной волной и какая переносится преломленной во вторую среду. Рассчитаны и проанализированы зависимости коэффициентов преломления от угла падения первичной волны.

On transfer of the defect field energy across the interface of two visco-plastic media

N.V Chertova and Yu.V Grinyaev Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

Based on dynamic equations of the continuum theory of defects we analyze fluxes of the defect field energy across the interface between two visco-plastic media. Relationships governing the reflection and transfer capacity of interfaces are derived. They show what part of energy of the incident defect wave is carried away by the reflected wave and what part is transferred by the refracted wave to the second medium. Dependences of refraction indices on the angle of primary wave incidence are calculated and analyzed.

1. Введение

В ранее опубликованных работах [1-3] на основе динамических уравнений полевой теории трансляционных дефектов были рассмотрены закономерности распространения плоских волн поля дефектов в однородной вязкопластической среде, а также при наличии границ раздела двух сред. При анализе прохождения волн поля дефектов через границу раздела двух сред были определены коэффициенты отражения и преломления, связывающие амплитуды отраженной и преломленной волн с амплитудой падающей волны. В частном случае распространения волн поля дефектов в слабозатухающих средах были исследованы зависимости коэффициентов отражения от угла падения первичной волны. В настоящей работе рассмотрены зависимости коэффициентов

преломления от угла падения, но основное внимание уделено анализу отражательной и пропускательной способностей границ раздела, которые определяются тем, как энергия поля падающей волны распределяется между вторичными полями отраженной и преломленной волн. Поскольку параметры поля дефектов — тензор плотности а и тензор плотности потока I — обусловлены градиентами пластической дисторсии в [4]:

а = -VxP, I = -

Эр dt ’

то рассматриваемая задача дает представление о распределении неоднородностей пластической деформации на границе раздела двух вязкопластических сред.

© Чертова Н.В., Гриняев Ю.В., 2004

2. Описание модели

Динамические уравнения полевой теории трансляционных дефектов были получены на основе лагранжиана калибровочной модели [5, 6], представляющего сумму Ь = Ь1 + Ь2 лагранжианов материального упругого континуума

Ь1 = Р • Р/р-а: С : а (1)

и континуума дефектов

(2)

В приведенных выражениях а, I — тензоры плотности и плотности потока дислокаций; а — тензор эффективных напряжений; Р—эффективный импульс; р — плотность среды; С — тензор упругих модулей; В, £ — константы теории. В случае вязкопластической среды, определяемой соотношением

а = ПI, (3)

система уравнений полевой теории трансляционных дефектов примет вид

Ь2 - ВІ: I - £ а : а.

V-1 - 0, У-а = 0,

Эа _ г _ _ ч _ д1 — = Vx I, £ (Vxа) = - В — -а. дt дt

(4)

Здесь П — тензор коэффициентов вязкости, знаки (-), (х) обозначают скалярное и векторное произведение. Выражения (4) не содержат импульса среды, который при условии (3) убывает со временем по закону Р(^ = = Р0ехр( -/т), где Р0 - Р(0), т = п/В — время релаксации [1]. Согласно (4), на границе раздела двух вязкопластических сред а и I удовлетворяют условиям

4 -1 п2 -0, аП-аП -0,

її -12 - 0, £1а[ - £2а2 - 0,

(5)

где I1, аП, I2, а2 — нормальные, I^ а1, ї(2, а2 — касательные компоненты поля. Приведем некоторые результаты работ [1-3], необходимые для решения вопросов данной статьи.

3. Законы отражения и преломления

Будем считать, что граница раздела двух однородных сред совпадает с плоскостью z = 0 в декартовой системе координат. Среды, расположенные сверху при z > 0 и снизу при z < 0, характеризуются в рамках рассматриваемой модели соответственно параметрами В1, £1, п1 и В2, £2, п2. На границу раздела падает плоская волна (рис. 1) под углом 00 к оси z, с частотой ш и волновым вектором К0 - ^т0, где ^ -ш/V1, т0 — единичный вектор нормали к фронту падающей волны. Плоскость падения, содержащую вектор К0 и ось г, будем считать плоскостью xz, z0 — единичный вектор нормали к гра-

і 7.

ГПо\ 00

1 \

2 \ '

_Лт2

см Ф

\ !ут

Рис. 1. Отражение и преломление плоской волны на границе раздела двух сред

нице. Волновой вектор отраженной волны обозначим как К1 - ^т1, преломленной — К2 - k2т2.

Ранее установлено [1, 2], что система уравнений (3), (4) имеет решение в виде плоских гармонических волн, которые можно записать в виде

I, а - а0 ехр(-їшґ + ї^z)

для падающей волны,

IR, аR - а1 ехр(-їшґ + ї^г) для отраженной и

Iт, ат — 12, а2 ехр( їшt + їk2z)

(6)

(7)

(8)

для преломленной. Кроме того, было показано [2], что амплитуды трех волн поля дефектов связаны соотношениями

а0 - (т0 х10)/^1 ,

а R - (т1 х IlV ^ ’ а т - (т2 х 12 )/ V2 ,

(9)

где У1, V2 — скорости распространения волн. Величины V, V2 определяются одним и тем же выражением, приведенным ниже без индексов,

V

КВЛ V

(10)

Здесь п, х — показатели преломления и поглощения; tg 5 =п/Вш — тангенс угла потерь; С =д/ 3/ В. Используя граничные условия (5) для касательных компонент суммарного волнового поля

[20^0' + [20^1Г - [2012]е'К2Г, [г0[т010]]еїК0г + [г0[т1 Il]]e'K 1Г -

- £^г[ 2 0[ т212]]е'К 2",

2

при z = 0 можно получить закон отражения

00 =01 (12)

и закон преломления

sin 02/sm 0о = kj k2 = V2/V1. (13)

4. Коэффициенты отражения и преломления

Система уравнений (11) также позволяет определить амплитуды отраженной и преломленной волн при заданной амплитуде падающей волны. Были рассмотрены волны двух различных линейных поляризаций: горизонтально поляризованная волна с тензором I, первый индекс которого перпендикулярен плоскости падения (Ixi = Izi = 0, Iyi ф 0), и вертикально поляризованная волна с тензором I, компоненты которого принадлежат плоскости падения (Iyi = 0, Ixi ф 0, Izi ф 0). Из уравнений (11) для неизвестных амплитуд волн горизонтальной поляризации I1g, 12g можно получить следующие равенства:

10g + I1g = 12g ,

(14)

SV2 (Icg - Ixg)C0S 00 = S2V112 cos 02.

Решая (14), находим коэффициенты, связывающие амплитуды отраженной и преломленной волн с амплитудой падающей волны:

R = S1V2coS 00 - S2V1cos 02 g SjV2cos 00 + S2V[cos 02,

(15)

T = 2StV2 cos 00

g SjV2 cos 00 + S2V[cos 02,

где Rg = W Tg = 12g jI0g . Для вертикально поляризованной волны система уравнений (11) примет вид

(I0v - I1v )cos 00 = I2v cos 02,

(16)

SxV2(10v + Ixv ) = S2VtI 2,

и коэффициенты, связывающие амплитуды трех волн, запишутся в виде

R = S2V1 cos 00 - S^cos 02 v S2V1 cos 00 + Sj V2 cos 02 ’

(17)

T = ^Sy cos 00

v S2V1 cos 00 + S1V2 cos 02

Здесь Rv = I1v/ I0v , Tv = I2J I0v. В теории электромагнитных волн аналогичные величины известны как коэффициенты Френеля [7]. Учитывая закон преломления (13), выражения (15), (17) можно переписать следующим образом:

R = (SV2 )/(S2V) cos 00 - V1 - (V2I^ )2 sin2 00 g (ВД/^ош00 +yl 1 - (V2/V1)2sin2 00 ’

T =________’2(StV2)I(StV\)cos 00

g (^V^^cos00 W1 - (V2IV1)2 sin2 00 ’

(18)

R = ^/(ВДош 00 - У 1 - (V2/V1)2 sin2 00 v ^/(^cos00 W1 - (V2IV1)2 sin2 00 ’

T =_______________2cos 00_____________

v ^/(^cos00 W1 - V2/V1)2 sin2 00 '

На рис. 2, 3 представлены зависимости коэффициентов преломления компонент тензора плотности потока дефектов Tg(00), Tv (00) для сред, в которых распространяются слабозатухающие волны. Эти волны удовлетворяют условиям tgS1 << 1, tgS2 << 1, при которых отношение V2/V1 = C2/C2 является действительным (10). Коэффициенты преломления Tg(00), Tv (00), полученные при V2 / V1 < 1 и различных соотношениях параметров S1/S2 = 0.43, 1, 1.43, 2.43, не имеют особенностей и изменяются монотонно от максимального значения

Tg = Tv = 2/((S 2Ю/(ад +1) (19)

при 00 = 0 до нуля при 00 = П 2 (рис. 2). Численные значения отношений V2/V1, S1fS2 выбирались с учетом двух факторов: определения особенностей величин, описываемых выражениями (18) и рассмотрения возможных сочетаний свойств граничащих сред. Например, зависимости, полученные при S1 / S 2 = 1, описывают закономерности распространения волн поля дефектов в двух средах, которые различаются лишь инерционными свойствами континуумов дефектов, определяемыми отношением B1 /В2.

При V2/ V1 > 1 значения коэффициентов преломления Tg(00), Tv (00) непрерывно увеличиваются от минимального при 00 = 0 (19) до максимального при угле полного внутреннего отражения, задаваемого условием sin 00 = V2 [3] (рис. 3).

Коэффициенты отражения компонент тензора плотности потока дефектов Rg(00), Rv(00) были проанализированы в работе [3] для трех соотношений параметров модели S-^/ S2 = 0.43, 1, 1.43. В указанной работе не было рассмотрено соотношение S^ S2 = 2.43. Это значение не изменяет выводов, полученных относительно Rg(00), Rv(00) при V2/V >1 и Rv(00) при V2/V <1 но величина Rg(00) при V2/V1 < 1 и S1/S2 > V1/V2 , что выполняется при S1/S2 = 2.43, обращается в нуль, когда

V 6

1.0

0.5 ” 1

| | |\ *

0 0.5 1.0 1.5 0О

Рис. 2. Коэффициенты преломления компонент тензора плотности потока дефектов, перпендикулярных (а) и параллельных (б) плоскости падения, ^2/ VI = 0.6

Рис. 3. Коэффициенты преломления Tg(00), Tv(00) при V2/V1 ■ = 1.033; sJs2 = 0.43 (1); 1 (2); 1.43 (3); 2.43 (4)

sin 0 0 * =

= J[(1 - V2Si/S2Vi)2]/m/V)2(1 - (Si/S2)2)]. (20)

Угол 00* является углом полной поляризации, при котором падающая произвольно ориентированная волна отражается вертикально поляризованной, поскольку |Д8(00)| = 0. Фаза Rg(00) при 00 = 00* изменяется скачком от нуля до п.

5. Отражательная и пропускательная способности границ раздела

Для решения задачи о потоках энергии поля дефектов на границе раздела двух сред воспользуемся выражением для плотности потока энергии

H = S (ах I),

(21)

впервые полученным, наряду с объемной плотностью энергии W = (В1:1 + £ а : а)/2, при анализе теоремы живых сил в упругом континууме с дефектами [8]. Эта теорема представляет уравнение баланса механической энергии [5]. Учитывая (9), можно показать, что

W = B\I |2, H = s/v\I|2m = (С2/v)Wm,

(22)

где т — направление нормали к фронту волны. Согласно (22), количество энергии в первичной волне (рис. 1),

которое падает на единицу площади поверхности раздела за единицу времени, будет равно

H = sjV1II0 I2 cos 0О,

для отраженной и преломленной волн соответственно получим

HR = SjVx\I1 |2cos015 HT = S2/V2| I212 cos 02. Отношения

H°- = Ы7|Л> r>

(23)

P = ' R

PH

U =

Ht S2 V COS 02 I j |2

H S1V2cos 00

I2 2 I0

определяют отражательную и пропускательную способности границ раздела. В соответствии с законом сохранения энергии

Р + и = 1.

Это можно проверить, подставляя в (23) выражения

(18).

Отражательная и пропускательная способности границы раздела зависят от поляризации падающей волны. Их можно выразить через соответствующие величины р,, иРи, иу поля дефектов, поляризованного пер-

пендикулярно и параллельно плоскости падения. Если компоненты падающей волны образуют с плоскостью падения угол ф, то

Ig = I sin ф, Iv = I cos ф.

Пусть далее

Hv = (SjVOl I0v |2cos 00 = H cos2 ф,

Hg = (SJV1)\ I0g |2cos 00 = H sin2 Ф,

Hrv = №/V0| Ilv |2 cos 00 = Hr cos2 ф,

HRg = (S^V1) I1g f cos 00 = HR sin2 Ф. Тогда

(24)

(25)

(26)

P =

Hr HRg + H

H

R _ 11 Rg 11 Rv _ 11 Rg „;„2

H

H

sin" ф +—— cos" ф = Hg Hv

(27)

H

= Pg sin2 ф + Pv cos2 ф,

где

Pg =■

H

H

H

-= I

/I

1g / T0g

= Rg

Rv

H

|I1v Г/I I0v Г =| Rv

(28)

Подобным образом можно получить, что

H T HTg + HTv H

Tg HTv _ HTs-2

H

sin" ф+-------— cos" ф =

Hg Hv

(29)

H

= Ug sin2 ф + Uv cos2 ф,

где

ug = ^ = S2V1 cos 021 I2g \2n I

H S1V2 cos 00

2

0g

U,, =

HTv = S2V cos 02 | t |2 Hv ~ SV cos 00

I0

(30)

t 2v / t 0v

„ = S2^1 - (V2IV1)2sin2 00 I |2 g S1V2 cos 00 I ^ ’

U = S2VjA/1 - (V2/V1)2sin2 00 . T .2 v S1V2 cos 00 1 v| '

Зависимости Р,(0о), Ри (0о), и,(0о), ии (0о), представленные на рис. 4-7, также удовлетворяют условиям Р, + и, = 1, Ри + ии = 1.

6. Обсуждение результатов

Отражательная способность границ раздела, характеризуемая величинами Р,(0о), Ри (0о), показывает, какая доля энергии падающей волны дефектов, уносится отраженной волной. Для волн горизонтальной поляризации величины Р,(0о), не имеющие особенностей при ¥2/V < 1 и 5Х/52 < ¥х/¥2 , убывают по мере увеличения отношения 51/52 (рис. 4, а). Исключением является кривая 4, полученная при 5^52 = 2.43, которая обращается в нуль при 0о = 0о* (2о). При ¥2/¥1 > 1 отражательная способность Р, (0о) не имеет особенностей при 5^52 < ¥\/¥2, этому условию удовлетворяют 5\152 = 1, 1.43, 2.43, но ее значение увеличивается с ростом отношения 5Х/52 (рис. 4, б). Этой закономерности не следует кривая Р,(0о) при 5Х/52 = о.43.

В случае волн вертикальной поляризации отражательная способность Ри(0о) при ¥2/¥1 < 1 и 5Х/52 < < ¥1/¥2 (5^52 = о.43, 1, 1.43) (рис. 5, а) обращается в нуль, когда угол падения равен углу полной поляризации 0о = 0о [3]. При 5Х/52 = 2.43, не удовлетворяющем условию 5Х/52 < ¥Х1 ¥2, отражательная способность Ри (0о) монотонна. Несложно проанализировать отражательную способность границ раздела для волн вертикальной поляризации Ри (0о) при ¥2/¥1 > 1 (рис. 5, б).

Пропускательная способность границ раздела, характеризуемая величинами и,(0о), ии (0о), определяет, какая доля энергии первичной волны переносится во вторую среду. На рис. 6 и 7 приведены зависимости для волн горизонтальной и вертикальной поляризации. Соответствующие величины и,(0о), ии(0о) на рис. 6, 7 не имеют особенностей и обращаются в нуль, когда угол падения 0о равен я/2 при ¥2/¥1 < 1 или углу полного внутреннего отражения при ¥2/ ¥1 > 1.

В случае нормального падения, когда различие между компонентами волн горизонтальной и вертикальной поляризации исчезает, потоки энергии поля дефектов на границе двух сред распределяются следующим образом:

P =

U =

((SV^KSV) -1 ? (S^/^V) +1 у

4(^2)/^)

((svysv) +1)2

(31)

Слабозатухающие волны, для которых справедливо, как отмечалось ранее, равенство ¥2/¥ = С2/С\, при нормальном падении первичной волны характеризуются величинами:

ря ' I б

1.0 -

У I

Г)

б/]

1 I I

0 0.5 1.0 1.5 Во

Рис. 4. Отражательная способность границ раздела горизонтально поляризованных волн тензора плотности потока дефектов; ¥2 / ¥1 = = о.6 (а); 1.о33 (б)

Р/ б

0.4 - I

У

0.2 ~л —=~<^2

3

0 0.5 1.0 [ 1 1.5 Во

Рис. 5. Отражательная способность границ раздела вертикально поляризованных волн тензора плотности потока дефектов; ¥2/¥1 = = о.6 (а); 1.о33 (б); 5^52 = о.43 (7); 1 (2); 1.43 (3); 2.43 (4)

Рис. 6. Пропускательная способность границ раздела горизонтально поляризованных волн дефектов, ¥2/ ¥1 = о.6 (а); 1.о33 (б); 5Х/ 5 2 = = о.43 (7); 1 (2); 1.43 (3); 2.43 (4)

IV 1.0 2 б

3 ^

4 1 ч

0.5 - ] I I I ^

0 0.5 1.0 1.5 I Во

Рис. 7. Пропускательная способность границ раздела вертикально поляризованных волн дефектов, ¥2/ ¥1 = о.6 (а); 1.о33 (б); 5^ 5 2 = = о.43 (7); 1 (2); 1.43 (3); 2.43 (4)

-ц у'-]. 1 / / V 2 2

■(75В^/(5В)+1)2'

7. Заключение

Проведенные исследования отражательной и про-пускательной способностей границ раздела двух вязкопластических сред позволили установить особенности переноса энергии поля дефектов через границу раздела. В общем случае доля энергии, переносимая отраженной и преломленной волной, зависит от констант модели 51; В1, щ, 52, В2, п2, определяющих свойства среды и ансамбля дефектов, а также угла падения первичной волны. Проанализированные зависимости на рис. 2-7 не учитывают влияния коэффициентов вязкости, поскольку соответствующие им величины характеризуют среды, волны в которых испытывают слабое затухание.

Среди всех значений 0о, принадлежащих интервалу [о, л/2], следует отметить угол нормального и касательного падения первичной волны, углы полной поляризации отраженной волны 0о, 0о* и угол полного внутреннего отражения. При нормальном падении (31) чем меньше отношение констант обеих сред (51¥2)/(52¥1) отличается от единицы, тем меньше энергии уносится отраженной волной. В случае касательного падения первичной волны, возможного лишь при ¥2/¥ < 1, вся энергия уносится отраженной волной: Р%(П2) = = — (П 2) = 1, (л/ 2) = иV (П 2) = о. При углах пол-

ной поляризации, определенных некоторыми соотно-

шениями параметров обеих сред (20), (25) в [3], имеющая произвольные ненулевые компоненты падающая волна отражается горизонтально Pv (00) = 0 или вертикально Pg (00*) = 0 поляризованной. Угол полного внутреннего отражения, наблюдаемый при sin 00 = Vj/V2 , характеризуется тем, что волна поля дефектов, а следовательно, и пластическая деформация распространяются вдоль поверхности раздела, не проникая вглубь второй среды Ug (00) = Uv (00) = 0. Полученные результаты позволят исследовать закономерности переноса энергии поля дефектов через границу раздела двух вязкопластических сред с произвольным затуханием, через слой материала и в слоистых средах.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 02-01-01188).

Литература

1. Чертова Н.В., Гриняев Ю.В. Закономерности распространения плоских волн дефектов в вязкопластической среде // Письма в ЖТФ. - 1999. - Т. 25. - Вып. 18. - С. 91-94.

2. Чертова Н.В. Анализ структуры волн поля дефектов в вязкопластической среде // Письма в ЖТФ. - 2003. - Т. 29. - Вып. 2. - С. 8387.

3. Чертова Н.В., Гриняев Ю.В. Закономерности распространения плоских волн поля дефектов в вязкопластической среде при наличии границ раздела двух сред // ПМТФ. - 2004. - Т. 45. - № 1. -С. 115-125.

4. Косевич А.М. Основы механики кристаллической решетки. - М.: Мир, 1972. - 280 с.

5. СедовЛ.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1983. - Т. 1.528 с.

6. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Полевая теория дефектов // Физ. ме-зомех. - 2000. - Т. 3. - № 5. - С. 19-32.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Тео-

ретическая физика. - М.: Физматлит, 2001. - Т. VIII. - 616 с.

8. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Теорема живых сил в упругом континууме с дефектами // ЖТФ. - 1998. - Т. 68. - № 3. - С. 82-83.

V(StB2)/(S2B2) - 1 ySBv(S2B7+1, 4J(SB)/(S2 B2)