CC BY
25
УДК 519.85 +621.9.015
МАКСАК ВЛАДИСЛАВ ИВАНОВИЧ, докт. техн. наук, пофессор, [email protected]
ЧЕРЕПАНОВ ДМИТРИЙ НИКОЛАЕВИЧ, канд. физ.-мат. наук, доцент, d_n_ch@mail. ru
ЦХАЙ ЭДУАРД БОРИСОВИЧ соискатель, ed_ts@sibmail. com
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ В ВИНТОВОМ СОЕДИНЕНИИ С УЧЕТОМ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТИ ВИТКОВ
Разработана математическая модель распределения нагрузки по виткам винтового соединения с учетом шероховатости поверхности витков. Приложены графики распределения нагрузки на витки с учетом и без учета шероховатости.
Ключевые слова: винтовые соединения; шероховатость поверхности; распределение нагрузки.
MAKSAK, VLADISLAV IVANOVICH, Dr. of tech. sc., prof [email protected]
CHEREPANOV DMITRY NIKOLAEVICH, Cand. of phys.-math. sc., assoc. prof., d_n_ch@mail. ru
TSHAI, EDWARD BORISOVICH, an applicant, ed_ts@sibmail. com
Tomsk state university of architecture and building 2 Solyanaya sq., Tomsk, 634003, Russia
LOAD DISTRIBUTION IN A SCREW CONNECTION TAKING INTO ACCOUNT THE SURFACE ROUGHNESS OF TURNS
A mathematical model of load distribution on the turns of screw connection taking into account the surface roughness of them is suggested. The graphics of load distribution on turns both with and without account of roughness are given.
Keywords: screw connections; surface roughness; load distribution.
Задача о распределении нагрузки по виткам впервые была решена профессором МВТУ Н.Е. Жуковским еще в 1902 г. [1]. Прошло более ста лет, но её решение уточняется до настоящего времени, т. к. реальные резьбовые соединения значительно отличаются от идеальной модели. Если Н.Е. Жуковский для упрощения принимал в качестве модели совокупность дисков прямоугольного профиля, то И.А. Биргер рассматривал резьбовое соединение с непрерывно идущими витками [2]. При схеме «гайка сжата - болт растянут» алгебраическая разность осевых деформаций тела болта и гайки компенсируется разностью прогибов витков, что и является причиной неравномерности распределения нагрузки между витками.
© В.И. Максак, Д.Н. Черепанов, Э.Б. Цхай, 2012
Впоследствии многие авторы решали эту задачу, однако она привлекает внимание ученых до настоящего времени.
Так, Дж. Гудьер в 1940 г. обратил внимание на опорный изгибающий момент, возникающий при затягивании гайки, который приводит к её конусо-образности, а следовательно, к появлению зазора между витками [3]. Этот зазор частично компенсирует разность осевых деформаций у опорного торца, что снижает нагрузку на виток.
Влияние контактных деформаций на распределение нагрузки по виткам изучал В. Б. Куклин [4], но в то время теория контактного взаимодействия шероховатых поверхностей была изучена недостаточно.
Целью представляемой работы является создание математической модели распределения нагрузки по виткам резьбового соединения с учетом контактных деформаций шероховатых поверхностей витков.
Пусть дх - интенсивность распределения осевой нагрузки по высоте резьбы при 0 < х < Н, где Н - высота гайки; х - расстояние от свободного торца до рассматриваемого витка. Обозначим через д0 нагрузку на первый виток (х = 0). Уравнение совместности деформации, согласно с общеизвестными принципами его построения, с учётом контактных деформаций и деформаций витков резьбы, можно записать в виде:
Л ( 2 2 Л
0 її Р-|
dx = К
/
«0
+ 25в («)-25в (дх ), (1)
где коэффициент 0 выражается через модуль Юнга Е и площади поперечных сечений болта А1 = 0,25тів2н и гайки А2 = 0,75 • 5 • Б - 0,25 • п • dн2 (dвн - внутренний диаметр резьбы; 5 - размер под ключ; Б - диаметр опорной поверхности гайки; dн - номинальный диаметр резьбы) следующим образом:
А1+А
0 =
ЕА1А ’
коэффициент К находится по формуле
К =
Кз іт
(2)
(3)
через 5в («0) и 5в (дх ) в формуле (1) обозначены выражения
х2 dx
х2 dx
Е 0 (х + 0,5^) Е 0 (х + 0,5^)
Дифференцируя равенство (1) по переменной х, получаем уравнение
(4)
(
0
Л
(
2 К
2у + 1*
24 • 1п2 -15
Л
из которого при х = Н следует, что д'Н = 0, а при х = 0 следует, что
2 К 2у + 1
4о
24 • 1п2 -15
%
©
(6)
Дифференцирование равенства (5) даёт следующее дифференциальное уравнение второго порядка:
2 К
27+1
л
24 • 1п2 -15
©
(7)
Понижая порядок уравнения путём замены переменной, получаем дифференциальное уравнение первого порядка
2 К 2у + Г
24 • 1п2 -15
Л
• = ±д
4 К
24 • 1п2 -15
41 - ^, (8)
© \2у + 3 Е
\ У
где постоянная интегрирования С1, с учётом 4^= 0 , выражается через нагрузку дн на последний виток гайки
4К 24 • 1п2 -15 2
~ 2V+1 I ~2
С - ,н
1 2у-3
Общий интеграл уравнения (8)
(9)
2 К 2у-1*
24 • 1п2 -15
Л
12у + 3
24 • 1п2 -15
- С,
©
■ = ±(Я - х)
(10)
содержит интеграл, не выражающийся через элементарные функции. Из равенства (8) находим её производную функции
4К
24 • 1п2 -15
2у + 3
г
2 К 2у + 1
42у+1 +
24 • 1п2 -15
Л
(11)
Поскольку известно, что функция 4х убывает на интервале от 0 до Н, то производная д'х функции должна быть меньше нуля, следовательно, выбираем знак минус.
На рис. 1 приведены результаты вычислений распределения нагрузки по виткам с учётом только контактных деформаций. На рис. 2 приведены результаты вычислений с учётом контактных деформаций и деформаций витков. Здесь же пунктиром представлены соответствующие нагрузке 100 кН экспериментальные данные, полученные в работе [5].
На рис. 3 показаны зависимости распределения нагрузки на витки от параметров шероховатости поверхности витков Яа, равных 2 и 20 мкм.
С учётом равенств (6) и (9) при х = 0 из уравнения (8) получаем условие
=-
4К
т-2--! 24 • 1п2 -15 2
72у-1 I_______________________,
2у + 3 Е 2у + 3 Е
которое позволяет подобрать значение постоянной интегрирования С так, чтобы этому условию удовлетворяли найденные из равенства (10) значения д0 и дн искомой функции.
х, мм
Рис. 1. Распределение расчетного давления на витки резьбового соединения от их расстояния х до опорного торца с учетом только контактных деформаций
%
х, мм
Рис. 2. Распределение расчетного давления на витки резьбового соединения от их расстояния х до опорного торца с учётом контактных деформаций и деформаций витков. • - результаты эксперимента
& 1
1 - 11 = 300 кН, Яа = 2 мкм
2 - 17 = 250 кН, Яа = 20 мкм
3 - Я = 200 кН, Яа = 2 мкм
4 - Я = 150 кН, Я„ = 20 мкм
х, мм
Рис. 3. Распределение расчетного давления на витки резьбы в зависимости от расстояния х до опорного торца с учётом контактных деформаций и деформаций витков
Интеграл в формуле (10) находился численным методом. Для расчётов использовались следующие значения параметров: высота гайки Н = 28 мм, Е = 2 -1011 Па (модуль Юнга для стали), Лвн = 30,8 мм, Лн = 36 мм, «размер под ключ» 5 = 50 мм, В = 51,7 мм, ц = 0,3 (коэффициент Пуассона для стали), I = 2(1 -ц2)/Е, Гср = 32 мкм, J = 0,5Гср, Яа = 0,76 мкм, Яр = Щ,
К3 = 0,7, т = 0,5, у = 2.
Внешняя нагрузка Я варьировалась на интервале (50-300) кН с шагом 50 кН. Если учитываются только контактные деформации, то, проводя аналогичные выкладки, вместо формул (9), (10), (12) можно получить следующие равенства:
4К А+1
С, =
2у + 3
2К 2у + 1 ‘
Г~4К т
- С
х
©
= ±( - х).
(13)
(14)
2
0
2
Ян
2
Выводы
Полученные результаты позволяют уточнять влияние шероховатости поверхности витков резьбы на распределение осевой нагрузки по виткам винтового соединения. Более грубым обработанным поверхностям соответствует более равномерное распределение осевой нагрузки.
Снижение шероховатости поверхности витков способствует уменьшению контактных деформаций, что приводит к увеличению неравномерности нагрузки по длине свинчивания.
Библиографический список
1. Жуковский, Н.Е. Распределение давлений на нарезках винта и гайки / Н.Е. Жуковский // Полное собрание сочинений. - М. : ОНТИ, 1937. - Т. VIII. - C. 48-54.
2. Биргер, И.А. Расчет резьбовых соединений / И.А. Биргер. - М. : Оборонгиз, 1959. - 259 с.
3. Goodier, J.N. The Distribution of Load on the Threads of Screws / J.N. Goodier // J. of Appl. Mechanics. - 1940. - Marz. - A10/16.
4. Куклин, В.Б. Уточнение расчетов резьбовых соединений / В.Б. Куклин // Вестник машиностроения. - 1957. - № 7. - С. 24-30.
5. Пат. 2.436 053. Российская Федерация, МПК G01L 5.24. Способ определения нагрузки на витки резьбового соединения / Э.Б. Цхай, В.И. Максак, Д.Н. Черепанов ; опубл. 10.12.2011, Бюл. № 34.
