CC BY
51
Автоматика, телемеханика и связь на железных дорогах
113
УДК 681.3
РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЕ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ МИНИМАЛЬНЫМИ СПЛАЙНАМИ И ВЕЙВЛЕТАМИ
С.Б. Голубых
Аннотация
Сигналы могут обрабатываться с использованием как сплайнов, так и вейвлетов, а также при их совместном использовании. Задачи по обработке сигналов как правило требуют значительных вычислительных ресурсов, поэтому оптимизация таких алгоритмов под параллельные вычисления позволит более эффективно использовать мощности параллельных вычислительных систем. Рассмотрены как новые варианты обработки сигналов с применением сплайнов и вейвлетов, так и методы распараллеливания такой обработки.
Ключевые слова: обработка сигналов; сплайн; вейвлет (всплеск);
распараллеливание вычислений
Введение
Обработка сигналов используется при передаче, хранении, сжатии и восстановлении больших объемов информации. Подобные объемы возникают при массовых телеграфных и телефонных связях, при передаче телеметрической и телеграфной информации и в ряде других случаях. Основными требованиями к подобной обработке является достоверность передаваемой информации, устойчивость к помехам, простота и скорость обработки. Это требует использования адекватного математического аппарата, а именно сплайнов и вейвлетов (всплесков). Основная задача такой обработки — сокращение объема числового потока за счет выявления и отбрасывания несущественных (с той или иной точки зрения) частей.
1. Обработка сигналов
1.1. Основные положения
Обработка числового потока может производится в двух направлениях: в направлении сохранения аппроксимации и в направлении сохранения основных спектральных характеристик. Классическим аппаратом обработки в первом направлении являются сплайны, а аппаратом обработки во втором направлении служат вейвлеты.
Известия Петербургского университета путей сообщения
2004/1
114
Автоматика, телемеханика и связь на железных дорогах
Преимуществом первых является аппроксимация и устойчивость, а преимуществом вторых — в простоте и скорости обработки.
Сплайны и всплески тесно связаны между собой: каждая цепочка вложенных пространств минимальных сплайнов порождает всплесковое разложение. Поскольку мощность множества упомянутых цепочек — континуум, то такова же мощность множества предлагаемых всплесковых разложений. Все они находят простую реализацию в виде явно выписываемых формул декомпозиции и реконструкции. Кроме того, эти всплесковые разложения наследуют хорошо исследованные асимптотически оптимальные аппроксимацинные свойства сплайнов.
1.2. Применение сплайнов для аппроксимации данных
Вложенность аппроксимирующих пространств полезна для организации экономичных способов обработки информации и при построении приближенных методов решения задач математической физики. В случае равномерной сетки удобно рассматривать линейные пространства, базис которых получен из одной образующей функции с компактным носителем сдвигом ее аргумента на целое число шагов. В частности, если образующая функция удовлетворяет масштабирующему уравнению, то ее можно зафиксировать для всей последовательности вложенных пространств. В классе Sm элементарных минимальных сплайнов степени т единственным решением этого уравнения является В-сплайн, и потому фиксация образующей функции для всей последовательности вложенных пространств минимальных сплайнов приводит лишь к последовательности вложенных пространств В-сплайнов.
Совокупность пространств минимальных сплайнов степени m, рассматриваемых на последовательности двукратно измельчающихся равномерных сеток, распадается на цепочки пространств, в которых каждое следующее пространство содержит предыдущее. Эти цепочки не пересекаются, пространства из одной цепочки обладают одинаковой гладкостью, а их образующие сплайны в направлении укрупнения сетки равномерно стремятся к B-сплайну.
Здесь в случае последовательности двукратных измельчений сетки образующая функция фиксируется для каждого пространства в отдельности. Это приводит к тому, что множество Sm распадается на непересекающиеся (бесконечные в обе стороны) последовательности вложенных пространств с аппроксимацией (т+1)-го порядка на функциях класса Cm+1. Предлагаемые последовательности пространств и базисные системы применимы для построения вариационно-разностных методов. Вводимое здесь калибровочное соотношение обеспечивает быстрый переход от разложения по базису любого пространства этой последовательности к разложению по базису предыдущего пространства и восстановление всей последовательности по любому наперед заданному
2004/1
Известия Петербургского университета путей сообщения
Автоматика, телемеханика и связь на железных дорогах
115
пространству минимальных сплайнов. В случае В-сплайнов это соотношение превращается в масштабирующее уравнение.
Аппроксимация и интерполяция, широко используются при построении конечно-элементного и сеточного методов приближенного решения задач математической физики, при сжатии и восстановлении потоков числовой информации, при их фильтрации и статистической обработке. Значительное место среди средств приближения и интерполяции занимают пространства сплайнов. Стремление к разработке экономичных методов приводит к использованию функций с малым носителем с теми или иными минимальными свойствами. Наиболее часто применяются пространства с базисом из функций, носители которых имеют минимальную кратность перекрытия (обычно именуемую кратностью накрытия). К ним относятся B-сплайны, сравнительно недавно разработанные интерполяционные минимальные сплайны, а также ряд конечно-элементных аппроксимаций. Подобные аппроксимации называются минимальными. Они позволяют значительно снизить трудоемкость вычислений.
Существует большое количество разнообразных пространств сплайнов с различными полезными свойствами: гладкостью, качественной аппроксимацией, численной устойчивостью, неотрицательностью базисных функций, минимальной кратностью накрытия носителями функций базиса при заданном порядке аппроксимации. Некоторые пространства сплайнов обладают интерполяционным локальным базисом, определенными фильтрационными свойствами и т. п. Выбор пространства сплайнов обычно определяется типом данных и целями, которые ставятся при их обработке. Это в равной степени относится как к приближенному решению задач математической физики (неотрицательность или известный тип особенностей точного решения, особенности в коэффициентах, угловые точки или точки пика области и т.д.), так и к обработке числовой информации, поступающей от измерительной аппаратуры (со спутников и т.п.). Особое значение приобретает вопрос о возможности обработки данных именно с помощью данного аппарата сплайнов с сохранением нужной точности и без выхода за пределы разрядной сетки. Для его решения необходимы эффективные оценки констант в неравенствах аппроксимации и констант эквивалентности соответствующих сеточной и Соболевской (или равномерной) норм для рассматриваемых сплайнов.
Свойство минимальности рассматриваемых аппроксимаций позволяет экономить ресурсы вычислительного устройства. Например, при решении краевых задач упомянутое свойство приводит к минимизации ширины ленты у матрицы соответствующей конечномерной задачи, а в итоге уменьшается число арифметических операций при отыскании решения.
Множество минимальных сплайнов с заданным порядком аппроксимации m довольно многообразно и определяется m параметрами.
Известия Петербургского университета путей сообщения
2004/1
116
Автоматика, телемеханика и связь на железных дорогах
Одним из способов задания этих параметров служит задание характеристического многочлена, который полностью определяет минимальный образующий сплайн и получается из характеристического многочлена с помощью некоторого разностного оператора, не зависящего от упомянутых параметров. Выделение сплайнов определенной гладкости приводит к классам пространств минимальных сплайнов, находящимся во взаимно однозначном соответствии с определенными плоскостями ^-мерной гиперплоскости рассматриваемых параметров. Подобное систематическое исследование минимальных сплайнов позволяет решить вопрос об удобных оценках констант аппроксимации и устойчивости во всем множестве пространств минимальных сплайнов, стремиться к получению эффективных оценок с явной зависимостью от параметров и к выделению наиболее приемлемых областей изменения параметров. Результаты проведенных исследований можно использовать для программной реализации алгоритма выбора нужных пространств сплайнов (для используемого диапазона представления чисел на ЭВМ) или для автоматизированного переключения вычислений на подходящий процессор.
1.3. Совместное использование сплайнов и вейвлетов
До сих пор при обработке сигналов методы аппроксимации сплайнами и вейвлетного разложения использовались порознь, и идея работы состояла в том, чтобы при обработке сигналов использовались оба этих подхода одновременно с тем, чтобы использовать преимущества обоих. Использование сплайнов характеризуется качественным приближением к структуре оригинальных сигналов, однако это справедливо при сохранении постоянным шага сетки при обработке сигнала сплайнами. В случае, если в процессе обработки будет выявлена необходимость уменьшить шаг сетки, сплайновую аппроксимацию приходиться начинать с начальной точки, а уже выполненные вычисления остаются не востребованными и получаются просто не нужными. Такой недостаток отсутствует у вейвлетного разложения. В случае совмещения применения обоих этих методов появляется возможность использования результатов проведенных вычислений со сплайнами на крупной сетке в том числе и на более мелкой, применяя к ним некоторое вейвлетное преобразование.
2. Возможности распараллеливания процессов обработки сигналов
Характерной чертой рассматриваемого подхода является возможность распараллеливания вычислений получаемых алгоритмов обработки сигналов. Предложены параллельные алгоритмы обработки сигналов, позволяющие эффективно производить вычисления на параллельных системах. В основу предложенных алгоритмов был положен один из
2004/1
Известия Петербургского университета путей сообщения
Автоматика, телемеханика и связь на железных дорогах
117
мировых стандартов для написания приложений под параллельные вычисления как наиболее широко используемый — MPI, что обеспечивающий переносимость и масштабируемость предлагаемых алгоритмов.
3. Заключение
Апробация предложенных методов на реальных параллельных системах показала как справедливость одновременного использования аппроксимации сплайнами наравне с вейвлетным разложением, так и довольно высокие экономические вычислительные показатели при их применении на параллельных системах.
4. Литература
Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория минимальных сплайнов. СПб: Издательство С.-Петербургского Университета, 2000 Чуи К. Введение в вэйвлеты. М.: Мир, 2001 Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск, 2001
Воеводин В.В. Информационная структура алгоритмов. М.: Изд-во МГУ, 1997 Воеводин В.В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. СПб: БХВ-Петербург, 2002
УДК 681.3
ЗАЩИЩЕННЫЙ ПРОТОКОЛ ДОСТАВКИ ПОЧТОВЫХ СООБЩЕНИЙ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНФРАСТРУКТУРЫ ЦЕНТРОВ СЕРТИФИКАЦИИ
Д.А. Азбукин
Аннотация
Электронные массовые рассылки являются потенциальной угрозой для пользователей сети Интернет. Рассмотрен защищенный протокол доставки электронных писем, который исключает само существование массовых рассылок. В основе протокола лежит электронная цифровая подпись, которая добавляется к служебному заголовку письма на этапе отправления письма и вычисляется антисамфильтром при его получении.
Ключевые слова: электронная почта; защита от спама; центр
сертификации; электронная цифровая подпись
Известия Петербургского университета путей сообщения
2004/1
