CC BY
35
А. А. Макаров
О РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИИ ВЭЙВЛЕТНЫХ МЕТОДОВ СЖАТИЯ ИНФОРМАЦИИ
Вэйвлеты (всплески) широко применяются при составлении эффективных алгоритмов обработки больших потоков цифровой информации (см. [1-6]). Ввиду того, что информационные потоки стремительно нарастают, резко увеличиваются объемы цифровой обработки этих потоков и, поскольку чаще всего требуется обработка их в реальном масштабе времени, становится актуальным использование высокопроизводительных вычислительных систем с параллельными и многоядерными процессорами.
Многоядерный процессор идеально подходит для многократного сплайн-вэйвлетного расщепления цифровых потоков: обработку каждого потока можно поручить одному из ядер процессора; даже два ядра существенно ускоряют обработку и при сжатии, и при восстановлении потоков цифровых сигналов. В данной работе используются сплайн-вэйвлетные системы (см. [7, 8]) с гарантированно высокой точностью приближения гладких цифровых потоков.
Для процессов декомпозиции и реконструкции в случае Д^-сплайнов приведены экономичные параллельные формы алгоритмов с точки зрения загруженности всей системы процессоров.
1. Сплайн-вэйвлетное разложение. На интервале (а,/3) € Е1 рассмотрим сетку
При К0 ^ 1, Ко £ К1 обозначим Х(К0,а,(3) класс сеток вида (1) со свойством Kq1 (Xj+i — xj)(xj — ^ Ко Vj € Z. Сетки с этим свойством называются
локально квазиравномерными. Введем характеристику hx мелкости сетки X, полагая hx= supj6Z (xj+1 -xj).
Рассмотрим пространство ДДА^-сплайнов третьего порядка (подробнее см. [9]). Образующие пространства BV(X) функции со*, j € Z, называются координатными В у-сплайнами.
Исходную сетку X дополним новым узлом £ и на полученной таким образом сетке X рассмотрим сплайны Щ, (£).
Итак, пусть £ - упомянутый новый узел, £ 6 (х^, Xk+\), a xj - узлы вновь полученной сетки:
Функции можно отыскать по тем же самым формулам, что и функции 0Jj(t),
заменив узлы исходной сетки Xj на узлы xj, j £ Z.
При этом справедливы калибровочные соотношения (подробнее см. [10])
X = {xj}jez
X : ... < X-i < Хо < Xi < ...; ad= lim xj, /?=f lim Xj.
j—t—oo j—t+oо
(1)
Xjd= Xj при j ^ k, x;t+1 d= £, xjd= Xj~i при j ^ k + 2, Xd= {xj | j € Z}. (2)
(3)
j
© А. А. Макаров, 2007
где для г, € Ъ числа pitj отыскиваются, например, при помощи построения системы функционалов, биортогональной к рассматриваемой системе сплайнов.
Рассмотрим некоторое линейное пространство *В над полем вещественных чисел и сопряженное ему пространство *В* линейных функционалов / над пространством 03. Значение функционала / на элементе V £ обозначим (/,и). Пусть система функционалов {/;}^е2 биортогональна системе {изр}^>ег, а {fj}je‘z биортогональна {П7у}^/е2, т. е.
</,,сор)=6м, (fj,Щ) = V?,/ех.
Тогда можно найти числа pj^j^ = (/ ■, ,ш|) V?,Далее также потребуются числа
ЧьГ “= (/?>Щ') / € 2. _
В соответствии с определением, ВЧ>(Х) является пространством Д^-спл айнов третьего порядка на сетке X (см. соотношения (2)):
В1р(Х) =г {ы | й{£) = ^ Ус,- £ Ж1}.
зег
При этом, согласно калибровочным соотношениям (3), справедливо включение
В.:р(Х) С В^(Х). Рассмотрим оператор Р проектирования пространства В^(Х) на подпространство В1р(X), задаваемый формулой Рйа~ а« = Ум € В<р(X), и
введем оператор = I — Р, где /— тождественный оператор.
Пространство И7 = (]В^,(Х) называется пространством вэйвлетов (всплесков), а прямое разложение
ВДХ) = В^(Х) + Ж (4)
- сплайн-вэйвлетным разложением пространства Вч>(X).
Пусть а* и - коэффициенты в разложениях проекций элемента и £ В{р(Х) на пространства В^(Х) и \¥ : Ри — С^й = В соответствии с формулами
(3) и _(4) имеем й = Х); + Ег' Ьг'Щ = ]С*'(£{ а»РМ' + , так что для чисел
су = </.,й) получаем
= .7 € 2. (5)
г
Пусть известны коэффициенты с;' в разложении элемента и £ В1р(Х) по элементам базиса из*,, а именно й = с^йо*,. Используя равенство а* = (/*,«), из формул (5)
имеем bj = С] — ^2гРг^аг = Ч — £г Рг,3 (/* 1 С*'шг') = с.7 — Ха Рг<3 ^2г’ С*' (/*> ) =
= с«'<7м'- Формулы
0*1. — ^ _ Яг,1’ СУ 1 (б)
г'
63 =С3~^2 (^2Р‘,3(1г,А Сг‘ (7)
называются формулами декомпозиции.
Пусть теперь известны коэффициенты «; и Ьг* в разложениях проекций элемента
и £ В^,(Х) на пространства В^(Х) и ТУ, а именно: Ри = Хгагшг*> <3^ = 52? Ь'йЬ.
Найдем формулы, определяющие коэффициенты су, для представления элемента и в виде суммы й = Формулы
с.г = + Э е (8)
г
называются формулами реконструкции.
Здесь для рассматриваемого сплайн-вэйвлетного разложения (4) потребуются формулы декомпозиции и реконструкции (см. (6)-(8)), полученные в работах [10, 11].
Формулы декомпозиции имеют вид
о,- = с^- при у ^ к — 3, а, = с_,+1 при j ^ к, (9)
а-к-2 = Як-2.к-ЗСк-3 + Як-2.к-2Ск-2, (Ю)
а*-1 = Як-1,к-ЗСк-3 + Як-1,к-2Ск-2 + Як-1,к-1Ск-1, (11)
Ъ] = 0 при ] ф к, (12)
Ьк = Ск - Рк-1,к(Чк-1,к-ЗСк-3 + Як-\,к-2Ск-2 + Як-1,к-1 Ск-1) - Рк,кСк+1, (13)
формулы реконструкции:
с^ — aj при ] ^ к — 3, с,- = aj-l при ] ^ к + 1, (14)
Ск-2 = Рк-3,к-2<1к-3 + Рк-2,к-2Пк-2, (15)
Ск-1 = Рк-2,к-\0-к-2 + Рк-\,к-\0.к-\, (16)
Ск = Рк-1,как-1 + Рк,к®к + Ьк- (17)
2. Параллельные формы для вычисления формул декомпозиции и реконструкции. Известно, что один и тот же алгоритм может иметь много параллельных
форм. Формы минимальной высоты называются максимальными. Найденная максимальная форма решает задачу за минимальное число тактов. Одной из основных проблем является увеличение загруженности системы процессоров. Максимальная форма не всегда является экономичной параллельной формой с точки зрения эффективности работы всей системы (ее загруженности).
Приведем примеры экономичных параллельных форм для нахождения коэффициентов из формул декомпозиции и реконструкции на двухъядерном процессоре. Загруженность системы процессоров в данных примерах будет максимальной. Ширина приведенных ниже параллельных форм равна двум. Предположим, что коэффициенты и в формулах реконструкции и декомпозиции известны, так как их вычисление представляет собой отдельную задачу. В действительности это означает, что если рассматривать класс похожих потоков, то сетку можно назначить заранее и рассчитать коэффициенты и } заблаговременно. Если же при поступлении потока сетка строится в режиме реального времени, то коэффициенты и qiJ перевычисляются в процессе обработки потока. Заметим, что тогда возможно эффективное использование параллельной системы. Для этого к описанным ниже параллельным формам следует добавить параллельные формы алгоритмов вычисления коэффициентов piJ и ; более подробно на определении коэффициентов и <3^ останавливаться не будем.
Далее символом ® будем обозначать операцию сложения, проводимую на исследуемом ярусе параллельной формы, а символами 0 и © - операции умножения и вычитания в этой же ситуации.
Рассмотрим формулы декомпозиции и реконструкции. Приведем параллельные формы для вычисления формул (9)—(17).
Формулы декомпозиции. Пусть известны коэффициенты cj. Если j ^ к — 3 или j ^ к, то рассчитаем a,j за один такт по формулам (9). Если j = к — 2, то применим схему сдваивания для вычисления ак-2 (см. (10)):
Данные: Як-2,к-з ск-з Як-2,к-1 ск-2
Ярус 1. Як~2,к-3 ©Cfc-З Як-2,к-1 © С к —2
Ярус 2. qk-2,k-3Ck-3 © Як-2,к-\Ск-2
Высота этой параллельной формы равна 2, ширина - 2 (т. е. требуется 2 такта системы с двумя процессорами/ядрами).
Теперь рассчитаем коэффициент ак-\ (см. (11)):
Данные: qk-i,jt—з cfc_3 qk-\,k-2 ск-2 Як-1,к-1 ck-i
Ярус 1. qk-l,k-3 © Cfc-З Як-1,к-2 © Cfc-2
Ярус 2. qk-\,k-3Ck-3 © Як-1,к-2Ск-2 Як-1,к-1 Gl Ск-1
Ярус 3. qk-itk-3Ck-3 + qk~\,k-2Ck-2 © l,*—lc*_i
Высота этой параллельной формы равна 3, ширина - 2.
Из (12) следует, что bj — 0 при j ф к, поэтому будем вычислять только коэффициент Ьк по формулам (13):
Данные: Ск Рк-1,к Як-1,к-3 Ск-З Як-1.к-2 Ск-2 Як-1,к-1 Ск-1 Рк,к Ск+1
Ярус 1. Як-1,к-3 © Ск-З Як — 1,к — 2 © Ск—2
Ярус 2. qk-l,k-3Ck-3 © Як-1,к-2Ск-2 Як-1,k-l G> Ск-1
Ярус 3. qk-l,k-3Ck-3 + Як-1,к-2Ск-2 © Як-1,к-1Ск-1 Рк,к © Cfc+l
Ярус 4. Ск &Рк,кСк+1 Рк-1,к © (Чк-1,к-зСк-з + Як-1,к-2Ск-2 + 4k-i,k-iCk-i)
Ярус 5. Ск — Рк,кСк + 1 © Рк-1,к{Як-1,к-ЗСк-3 + Як-1,к-2Ск-2 + Як-1 ,к-1 Ск-1)
Высота этой параллельной формы равна 5, ширина - 2.
Формулы реконструкции. Пусть известны коэффициенты aj, bj. Если j ^ к — 3 или j ^ к + 1, то определим Cj за один такт по формулам (14). Если j = к — 2, то применим схему сдваивания для вычисления Ск-2 (см. (15)):
Данные: Рк-з,к-2 ак-з Рк-2,к-2 ак-2
Ярус 1. Рк-3,к-2 © йк-3 Рк-2,к-2 Q ак-2
Ярус 2. Pk-3,k-2dk-3 ® Pk-2,k-2dk-2
Высота этой параллельной формы равна 2, ширина - 2. Аналогичный результат получается и при расчете коэффициента Ck-i-
Наконец, остановимся на вычислении коэффициента ск (см. (17)):
Данные: pk-i,k ак-1 Рк,к ак Ък
Ярус 1. Pk-i,k © ак-1 Рк,к © ак Ярус 2. Pk-i,kak-i ®Рк,как
Ярус 3. pk-i'kak-i + Рк.как © Ьк
Высота этой параллельной формы равна 3, ширина - 2.
Summary
Makarov A. A. On paralleling of wavelet methods of data compression.
Economy parallel forms of decomposition and reconstruction algorithms in case of В -splines in respect to effective work of a total system of processors are presented.
Литература
1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / Пер. с англ. Е. В. Мищенко; Под ред. А. П. Петухова. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 464 с.
2. Демьянович Ю. К. Всплески & минимальные сплайны. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 200 с.
3. Чуй К. Введение в вэйвлеты / Пер. с англ. Я. М. Жилейкина. М.: Мир, 2001. 412 с.
4. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов / Пер. с англ. Я. М. Жилейкина. М.: Мир, 2005. 671 с.
5. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков // Успехи матем. наук. 1998. Т. 53, № 6. С. 53-128.
6. Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во С.-Петерб. гос. техн. ун-та, 1999. 132 с.
7. Демьянович Ю. К. Всплесковые разложения в пространствах сплайнов на неравномерной сетке // Докл. РАН. 2002. Т. 382, № 3. С. 313-316.
8. Демьянович Ю■ К. Гладкость пространств сплайнов и всплесковые разложения // Докл. РАН. 2005. Т. 401, № 4. С. 1-4.
9. Демьянович Ю. К., Иванцова О. Н. Гладкость пространств сплайнов третьего порядка // Математические модели. Теория и приложения. Вып. 7. СПб.: ВВМ, 2006. С. 58-64.
10. Демьянович Ю. К., Макаров А. А. Калибровочные соотношения для неполиномиальных сплайнов // Проблемы математического анализа. Вып. 34: Межвуз. сб. / Под ред. Н. Н. Уральцевой. Новосибирск: Изд-во Тамары Рожковской, 2006. С. 39-54.
11. Демьянович Ю. К. Всплесковые разложения на неравномерной сетке // Труды С.-Петерб. матем. о-ва. 2007. Т. 13. С. 27-51.
Статья рекомендована к печати членом редколлегии проф. С. В. Чистяковым.
Статья принята к печати 24 мая 2007 г.
