CC BY
32
УДК 539.3
В.Н. Филатов, А.А. Абросимов
РАСЧЕТЫ ПОДЪЕМИСТЫХ ОБОЛОЧЕК С РАЗНЫМИ СИСТЕМАМИ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ
В высоких приближениях метода Бубнова - Галеркина, с использованием систем аппроксимирующих функций полиномиального вида и функций, базирующихся на системах синусов, исследуется напряженно-деформированное состояние гибких пологих подъемистых оболочек прямоугольного плана, шарнирно закрепленных и жестко защемленных по сторонам несмещаемого прямоугольного контура. Обнаружены новые эффекты.
Аппроксимирующие функции, гибкие пологие оболочки, напряженно-деформированное состояние.
V.N. Filatov, A.A. Abrosimov HIGH CURVATURE SHELLS CALCULATION WITH DIFFERENT SYSTEMS OF APPROXIMATION FUNCTIONS
In high-approximations Bubnova Galerkin methods, using systems of approximation functions polynomial type and functions based on sine systems, research the stress-strain condition of shallow flexible shells of high curvature of rectangular plan merely supported and rigidly restrained on both sides of rectangular contour. New effects were found and presented here.
Approximation functions, flexible flat shells, stress-strain condition.
Пластины и оболочки широко используются в строительстве, авиации, ракетостроении, являются элементами приборов точного машиностроения. Совершенствование расчетов таких конструкций является актуальным. Используемая нами методика расчетов гибких пологих оболочек прямоугольного плана базируется на комбинированном методе линеаризации (КМЛ), когда предварительный расчет выполняется крупными шагами метода последовательных нагружений (МПН) [1], а уточняющий расчет из точек финиша в МПН ведется методом последовательных приближений (МПП), а также на модификации статического метода В.З. Власова [2, 3], дающего возможность подбирать полные системы функций, аппроксимирующих составляющие перемещения. Такая методика позволяет уточнить выполненные ранее решения и решить новые, ранее не решаемые задачи. В частности, такие задачи были решены ранее авторами в работе [4]. Ниже, в настоящей работе, приводятся результаты, уточняющие имеющиеся решения в части шарнирно неподвижно закрепленных по контуру подъемистых оболочек и результаты решения новых задач в части жестко защемленных по контуру пологих оболочек большой кривизны.
В работе [4] приводятся нелинейные разрешающие уравнения в частных производных, описывающие работу гибких пологих оболочек. Вводя в эти уравнения безразмерные переменные и параметры по формулам
£, = (1/а)• х, п = (1/ЬУ у, X = а/Ъ, г = (1/Л) - г,
* = (а7*)*,, К =(Ъ7А)*г, П0 = (!/£*)• 4,, 5, = 0/£Л)• ^2, и =(а/Л2)•£/ , Г = (Ъ/Л2)-У , Ж = 0/*)^, г = (а7ЕЛ)• г, имеем разрешающие уравнения в перемещениях в безразмерной форме
{ [ -[ + 0,5Ж52 + цХ2(V, - кЖ + 0,5Щ,2)]}' + И,х2 {50 ( + V + ИЩ,)} = 0;
{ [ -[ + 0,5^2)2( -*гГ + 0,5Щ,2)]},, + Ц;)() + V + ^Г,)}; = 0;
( + Щ,){5„ [ -[ + 0,5^2 + цх2(V, -кЖ + 0,5Ж,2)](+ (1)
+ (*2 + Щ,) [ - [ + 0,5Ж;2)+Х2 (V - ЕЖ + 0,5Щ,2)]}+ 2ц^2 {]( + V + ЩЖ,))-
- 4 ц х2 ( ж;, ) - [ (+ц*2 ж,,) - х2 [ц (щ+х2 щ, )],'„+(; - ц2)=0.
Безразмерные нормальные оп, а22 и касательное а;2 напряжения вычисляются по формулам
о„ = ^;+цХ2 V, -((; +цх2 *2)+0,5 (Щ2 +цх2 Ж2)-г • Щ+цхЖ;,), а22 = ц и;+х2 V, - ( * + х2к2 )+0,5 (ц Щ2 + х2 Щ,2)- г • (Щ+х2Щ,п),
0;2 = Ц; х[и,+ ^+ ^.Щ,-2 • г Щ],
где соответствующие размерные напряжения
ап =(ЕЛ7(-Ц2 )а" °22 =(ЕЛ7(;-Ц2 ) Ъ" ) • ^22 , 0;2 =(ЕЛ7(-Ц2 ) аЪ) • ^;2 •
В работе [4] также приводится вид функций, базирующихся на синусах, аппроксимирующих составляющие искомых перемещений и, V и Щ.
В данной работе решаем задачи отыскания напряженно-деформированного состояния (НДС) квадратных в плане оболочек большой кривизны (подъемистых оболочек), шарнирно неподвижно закрепленных по сторонам прямоугольного контура и жестко защемленных по всему контуру от действия равномерно распределенной нагрузки, перпендикулярной плану оболочки. Результаты решений приводятся ниже. На рис. ! приводятся графики «безразмерная нагрузка г - безразмерный прогиб в центре оболочки Щ(о) = Щ(0,5; 0,5) » для шарнирно неподвижно закрепленных по контуру оболочек с разными безразмерными кривизнами к = к; = к2 = !6;32;64. В качестве аппроксимирующих функций здесь берется система полиномиального вида, подобранная с помощью модификации статического метода В.З. Власова:
X;.(;) = х2.(;) = (2 •; - О”2 - 0,5 ((; - (-;)")(2 •; - о+(;+(-О")), хз. © = (2 •;-1)"+4 +(Vl2){(»r+7.+;2)((-;). - ;)(2 • ;-ц3 - з (.2 + 7.++(-0“)
• (2 •;- ;)2 -(.2+7.+б)((-^ -;)(2 •;-;)+з(.2 + 7.+ю) (1+(- О”)(. (2)
-----к=16 — - к=32 ....к=64
1300 |—
1170 —
1040 —
910 —
780 —
650 — q 520
390 —
260 —
130 —
О —
-0,2
Рис. 1. Графики « q - W(о) » для шарнирно закрепленных по контуру оболочек различной кривизны
В формулах (2) m = 0, 1, 2, ... функции перпендикулярного направления
записываются аналогично. Все нижеприведенные результаты получены в 16-м приближении метода Бубнова - Галеркина. На приводимых графиках видно, сколь значительно отличается конфигурация кривых «q - W (о)» для подъемистых оболочек с к = 32; 64 от классической конфигурации такой кривой для очень пологой оболочки с к = 16. Такого типа петлеобразования, как для кривых с к = 32; 64, отмечались в работах других авторов, в частности в работах В.В. Карпова [5].
На рис. 2 приводятся эпюры безразмерных напряжений оп, на верхней поверхности оболочки (z = -0,5) в верхних критических точках (ВКТ) для оболочек с кривизнами соответственно к = 16; 32; 64. Для оболочки с к = 16 это точка с координатами (q х 210; W(о) = 1,0), для оболочки с к = 32 на рис. 1 точка (q « 790, W(о) « 0,33), для оболочки с к = 64 - ( q х 1170, W(ц) х 0,25 ). Значения напряжений приводятся в точках £ по сечению п = 0,5. Сравнивая качество эпюр, видим, что к моменту потери устойчивости (в ВКТ) оболочка с к = 16 по всему рассматриваемому сечению находилась в сжатой зоне (отрицательные напряжения), при этом максимум сжимающих усилий находился в центре оболочки. В случае подъемистых оболочек с к = 32; 64 у опор имеем напряжения растяжения, и максимум сжимающих усилий сместился в четверти.
^—к=16 - - к=32 ....к=64
15 10
Оп(£,0,5, - 0,5) I-5
-10
-15
-20
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Рис. 2. Эпюры напряжений с11 (^; 0,5; - 0,5 ) в ВКТ для оболочек различной кривизны шарнирно закрепленных по контуру
На рис. 3 приводятся графики «Ц - Ж (б)» для жестко защемленных по контуру оболочек с кривизнами к = к1 = к2 = 16; 32; 64. В качестве аппроксимирующих функций здесь берется система полиномиального вида, у которой Х1т (£), Х2т (£) имеют прежний вид по (2), а Х3т (£) , удовлетворяя граничным условиям жесткого защемления, имеют вид
X3т(х) = (2 (х/а)- 1)""4 + 0,25 {(т + 3) ((- 1)т -1)(2 (х/а)-1)3 -
-(т + 4) ((- 1)т +1)(2(х/а)-1)2 - (3)
- (т +1)((- 1)т -1) (2(х/а) -1) + (т + 2)((- 1)т +1)}.
На этих графиках еще более контрастны конфигурации кривых для оболочек с к = 32; 64 и с к = 16. Эта разница столь велика, что мы, засомневавшись в правильности полученных результатов, сделали дублирующий расчет с аппроксимирующими функциями (6) работы [4], базирующимися на синусах. Результаты расчетов приводятся на рис. 4 и 5. Как видно из приводимых результатов, штриховые кривые при расчетах с функциями, базирующимися на синусах, практически повторяют сплошные кривые, построенные с полиномами.
Для выяснения характера распределения прогибов по плану оболочки на разных этапах нагружения, на рис. 6 построены эпюры прогибов по сечению п = 0,5, соответственно в точках А, В, С и Б сплошной кривой на рис. 4. Из приводимых на рис. 6 кривых видно, что на начальных этапах нагружения наибольший прогиб был в центре оболочки. При последующем деформировании максимум прогибов сместился в четверти, а прогиб в центре стал уменьшаться, приняв в точке С отрицательное значение. Таким образом, за счет провала оболочки в четвертях центр оболочки не опустился, а вспучился.
• к=16
- к=32 .......к=64
1300
1170
1040
910
780
650
520
390
260
130
О
у' *
/ \
; — — ■ — —. „ \
; / К ч \
/ / > / \
і \ • 1
V — /
ч ч
Ж (0,5;0,5)
-0,2 -0,1 0,0 0,1
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Рис. 3. Графики « д - Ж (о)» для жестко защемленных по контуру оболочек различной кривизны
Система полиномов — — Система синусов
Рис. 4. Графики « д - Ж (о)» для жестко защемленных по контуру оболочек с кривизной к = 32 , полученные при расчетах с полиномами (сплошная линия) и с образующими синусами (штриховая)
На рис. 7 приводятся эпюры безразмерных напряжений оп, на верхней поверхности оболочки (I = -0,5) в ВКТ для оболочек с кривизнами соответственно к = 16; 32; 64. Для оболочки с к = 16 это точка с координатами (ц « 180; Ж (б)« 0,9), для оболочки с к = 32 точка ( Ц « 700, Ж (б) « 0,2 ) на рис. 3, для оболочки с к = 64 - ( Ц « 1100, Ж (б) « 0,15). Сравнивая качество эпюр при разных кривизнах, видим, что к моменту потери устойчивости (в ВКТ) оболочка с к = 16 в рассматриваемом сечении на опорах растянута, напряжение изменяется по сечению по закону, близкому к параболическому, максимум усилий сжатия находится в центре оболочки. В случае подъемистых оболочек с к = 32; 64 напряжения у опор близки к нулю, максимум сжимающих напряжений сдвинулся в четверти, а в центре оболочка растянута. Таким образом, качество и эпюр прогибов, и эпюр напряжений у очень пологой оболочки с к = 16 и у подъемистых оболочек с к = 32; 64 совершенно разное.
Рис. 5. Графики « д - Ж (о)» для жестко защемленных по контуру оболочек с кривизной к = 64 , полученные при расчетах с полиномами (сплошная линия) и с образующими синусами (штриховая)
Рис. 6. Эпюры прогибов по сечению п = 0,5 на разных фазах нагружения
Основные выводы - при рассмотрении оболочек большой подъемистости у шарнирно закрепленных по контуру оболочек наблюдались эффекты петлеобразования, которые обнаружены другими авторами. В нашей работе произошло уточнение имеющихся в литературе решений. В случае жестко защемленных оболочек эти эффекты наблюдались нами впервые, и они еще более рельефны, чем в случае шарнирно закрепленных оболочек. Сравнение результатов при полиномиальной аппроксимации и аппроксимации с образующими синусами говорит в пользу возможности и эффективности применения и тех и других систем функций. НДС очень пологих и подъемистых оболочек разные.
к=16 — - к=32 ......*=64
Рис. 7. Эпюры напряжений сп ((; 0,5; - 0,5 ) в ВКТ для оболочек различной кривизны,
жестко защемленных по контуру
ЛИТЕРАТУРА
1. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек / В.В. Петров. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. 120 с.
2. Филатов В.Н. Построение систем аппроксимирующих функций с помощью модификации статического метода В.З.Власова, служащих для решения задач теории гибких пластин / В.Н. Филатов; Сарат. политехн. ин-т. Саратов, 1985. 26 с. Деп. в ВИНИТИ 20.10.85. № 7427-В85.
3. Филатов В .Н. Исследование НДС пологих оболочек переменной толщины с
использованием разных систем аппроксимирующих функций / В. Н. Филатов,
А. А. Абросимов, К.В. Молодчиков // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: межвуз. темат. сб. тр. Вып. 11. СПб.: СПбГАСУ, 2005. С. 89-103.
4. Абросимов А. А. Потеря устойчивости и закритическое поведение пологих оболочек, различным образом закрепленных на прямоугольном контуре / А. А. Абросимов, Г. А. Айрапетьянц, В. Н. Филатов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. № 3(26). Вып. 1. С. 7-12.
5. Карпов В.В. Математические модели задач строительного профиля и численные методы их исследования: учеб. пособие / В.В. Карпов, А.В. Коробейников. М.; СПб.: Изд-во АСВ; СПбГАСУ, 1999. 188 с.
Филатов Валерий Николаевич -
доктор технических наук, профессор кафедры «Высшая математика»
Саратовского государственного технического университета
Абросимов Алексей Анатольевич - Abrosimov Aleksey Anatolyevich -
аспирант кафедры «Высшая математика» Post-graduate student of the Department
Саратовского государственного of «Higher Mathematics»
технического университета of Saratov State Technical University
Filatov Valery Nikolaevich -
Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of «Higher Mathematics» of Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 20.01.09, принята к опубликованию 11.03.09
7
