CC BY
61
УДК 539.3:624.074
РОГАЛЕВИЧ В. В. ТИМАШЕВ С. А.
Приближенный метод расчета гибких пологих оболочек постоянной и переменной толщины
Рогалевич
Виктор
Вячеславович
доктор физикоматематических наук, профессор Научно-инженерного центра «Надежность и ресурс больших систем и машин» УрО РАН
e-mail: [email protected]
Тимашев
Святослав
Анатольевич
доктор технических наук, профессор Научно-инженерного центра «Надежность и ресурс больших систем и машин» УрО РАН
e-mail: [email protected]
В статьях [1], [2] предложен простой эффективный приближенный метод решения линейных и геометрически нелинейных задач изгиба пластин. Приведены результаты расчета круглых, кольцевых, квадратных и прямоугольных в плане пластин постоянной и переменной толщины. В данной статье предложенный метод обобщен на расчет гибких пологих оболочек постоянной и переменной толщины на круглом и квадратном планах.
Ключевые слова: нелинейные задачи, расчеты, пологие оболочки, переменная толщина, корректирующие коэффициенты.
ROGALEVICH V. V.
TIMASHEV S. A.
APPROXIMATE DESIGN METHOD FOR FLEXIBLE SHALLOW SHELLS OF CONSTANT AND VARYING THICKNESS
The authors propose a simple efficient approximate method for solving linear and geometrically nonlinear problems of plate bending [1], [2]. The proposed earlier approximate method for solving geometrically non-linear problems of plates in bending is generalizedfor circular and square shallow shells of constant and varying thickness.
Keywords: nonlinear problems, design, shallow shells, varying thickness, correcting coefficients.
Современное строительство требует от ученых все более точных данных о свойствах используемых материалов. Изучение характеристик гибких пологих оболочек актуально для строительства и архитектуры. Оно может происходить с использованием различных методов, разработке одного из них посвящена данная статья.
Сущность нового приближенного метода, изложенная в работах [1], [2], не изменяется при расчете гибких пологих оболочек. Сказанное позволяет непосредственно приступить к рассмотрению результатов расчета пологих оболочек при среднем изгибе.
Гибкие сферические панели на круглом плане
Уравнения равновесия и совместности деформаций равномерно нагруженных гибких пологих сферических панелей переменной
толщины на круглом плане [3] при осесимметричном изгибе представим в следующем безразмерном виде:
h (x)J •
d3w - , ,1 d2w
— + /і (x—
■N
x dx 2
,. dw)
k x + —I dx I
\ 1 dw
x Ь * — (1)
0,
\h (x)
•d N
dx2
+ /3 (x
dN
'xnt - M
(2)
* dw
+k x-------------------+ 0,5 — і
dx I dx I
0.
—c
-1
© Рогалевич В. В., Тимашев С. А., 2013
71
Здесь х = г/а, г — радиальная координата, а — радиус основания опорного контура; ш = ш/Ло — функция прогиба; Йг = Nга2/ЕЬ^ — функция радиального усилия; р = ра4/ ЕЦ4 — равномерная поперечная нагрузка; k' = а2/ — параметр кривизны; Я — радиус кривиз-
ны сферической панели;
/1 (х) = 1 + 3/ (х) , / (х) = 1 - 3/ (х),
/з (х) = 3 - / (X), /4 (х) = ( -у)/ (х);
(х.= {х)
{ h {х) йх ’ h (х) = h (х)/И0 , h (х) — толщина панели в сечении х;
Е, п — модуль упругости и коэффициент Пуассона; с = 12 (1 -V2 .
В уравнениях (1), (2) (и в дальнейшем) черточки над безразмерными величинами опущены; нелинейные члены и члены, зависящие от кривизны, подчеркнуты.
Интегрирование уравнений (1), (2) произведем при условии неподвижной заделки по внешнему контуру панелей ( х = 1) с учетом осесимметричности деформирования и ограниченности радиального усилия в центре ( х = 0 ).
Соответствующие краевые условия запишутся в виде
ddw = О,
dx
w = О,
dNr п п
—- = 0 при x = 0 , dx dw
-их = °, (-v)N +
+------ = 0 при x = І.
100
15
50
25
R1, • • •
10 Ri
8^. 2 l
‘
^ (
0,25
0,5
0,15
Wo
Функцию прогиба, удовлетворяющую краевым условиям (3), (4), примем в виде
w (x) = A - X (x) = A -1 (x)-K (x,
(5)
где I (x) = cos2(0,5nx) — главная часть приближенного решения;
K(xbk) = I1 + Ebkx2k • expІЕbkx
корректирующая часть решения, содержащая шесть корректирующих коэффициентов ( Ь1... Ь6).
Функцию радиального усилия, удовлетворяющую краевым условиям (3), (4), представим в виде
Nr (x) = B Y (x) = B • S (x, c )• T (x, di)
(6)
корректирующая часть решения,
4
(З)
(4)
N
dx
Соотношения (4) — условия отсутствия прогибов, поворотов и радиальных перемещений на внешнем контуре
Иллюстрация 1. Зависимости «нагрузка — прогиб в центре» пологих сферических панелей
где S (x, cj) = cos ((3x) — главная часть решения, в которой в = П c1, с1 — корректирующий коэффициент, обеспечивающий выполнение краевого условия (4) по Nr;
T (x, d ) = 1 + Е dtxъ —
=i
я част
Е di-1 [(2/ _ 1 ~v)c ]
причем d. = — — ,
4 (9 — v)c — \is
с = cos в, s = sin в, d0 = 1, dj ... d4 — корректирующие коэффициенты.
Таким образом, общее количество корректирующих коэффициентов в аппроксимирующих функциях (5), (6) может изменятся от одного ( с ) до одиннадцати (bj... b6 , cj, dj...d4), а искомыми являются коэффициенты A и B . В соответствии с порядком решения, изложенным в [1], подставляем функции (5), (6) в уравнения (1), (2), находим невязки решения, выполняем процедуры орто-гонализации невязок с аппроксимирующими функциями, выражаем коэффициент B через A и A2, интенсивность поперечной нагрузки p — через A , A2, A3 и минимизируем среднеквадратичные интегральные невязки вдоль радиуса.
Расчеты гибких весьма пологих сферических оболочек (панелей) постоянной и переменной h (x) = exp (ax2j толщины выполнены при v = 0,3 и изменении коэффициента Ai (прогиба в центре панели) с различным шагом ( 0,05 ; 0,1; 0,2 ) и в разных диапазонах, в зависимости от безразмерного параметра кривизны к *.
На Иллюстрации 1 приведены зависимости прогиба центра панелей w0 = Ai от нагрузки p = pt. Кривизна к * = 8, коэффициент a = 0 для кривой 1; к * = 8, a = 1,2 для кривой 2; к * = 10, a = 0 для кривой 3; к * = 10, a = 0,8 для кривой 4; к * = 12, a = 0,8 для кривой 5; к * = 16, a = 0,8 для кривой 6.
Прямые 7.10 соответствуют линейным решениям, полученным для панелей переменной толщины при p = 1.
На кривых 3, 4 (Иллюстрация 1) жирными точками показаны результаты решения нелинейных задач при к * = 10, полученные, по просьбе авторов, канд. техн. наук доцентом Д. Е. Черногубовым по программе, разработанной д-ром техн. наук В. В. Чупиным (УрФУ). Имеет место вполне удовлетворительное совпадение результатов вплоть до точек R1, Rj.
2
k=1
k=4
0
№ п Р Д1 Д2 аг,ш (0) аг,и (1) ,м (0) ,м (1)
1 3 82,34 10,0 1,69 3,18 -2,26 -5,18 -1,68
2 10 82,07 4,73 0,035 3,80 -2,45 -5,74 -1,45
В Таблице 1 для двух вариантов решения (п = 3; 10, п — количество корректирующих коэффициентов) приведены значения нагрузки р, среднеквадратичных интегральных невязок Д1, Д2, безразмерных значений радиальных (г), изгибных (и) и мембранных (м) напряжений [3] в двух точках ( = 0, х = 1) пологой сферической панели с кривизной к * = 10 при а = 0,8; А = w (0) = 0,75.
Видно, что с увеличением п навязки решения существенно уменьшаются, а напряжения изменяются при этом на 8-16%.
На Иллюстрации 2 показано распределение прогибов и напряжений вдоль радиуса пологих сферических панелей при к * = 10, р = 90, а = 0 и а = 0,8.
Как видим, изменением толщины вдоль радиуса можно влиять на НДС (напряженно-деформированное состояние) пологих сферических панелей, однако степень этого влияния зависит от кривизны и от нагрузки.
На Иллюстрации 3 приведены некоторые результаты расчета сферической панели при к * = 12, р = 100, а = 0,8, полученные в линейной (л) и геометрически нелинейной (н) постановках. Ясно, что учет нелинейности весьма существенно влияет на НДС панели.
Гибкие пологие оболочки на квадратном плане
Рассмотрим гибкие весьма пологие оболочки, НДС которых симметрично относительно осей х, у и диагоналей, а на контуре обеспечены условия скользящей заделки.
Уравнения равновесия и совместности деформаций, описывающих НДС оболочек переменной толщины в смешанной форме, представим в компактном виде [3]:
Иллюстрация 2. Распределение прогибов и радиальных напряжений вдоль радиуса пологих сферических панелей при к = 10,
р = 90
Д (DAw) — (1 — у)Ь (Б, м) —
—0,25с Дк ф — сЬ (м>, ф) — Ср = 0;
(7)
Д(И Др)-(1 + v)L {И, ф) + +0,25 Дш — 0,5L (ш, ш) = 0.
(8)
Здесь операторы Д, Дк, Ь таковы:
д2 д2
дх2 + ду2 , д2 д2 „ д2
Д = ■
ду2
дх
д2
1 = ^г- 2 ■ 2
дх ду дх ду дхду ду дх
У = у/Ь ; х, у — декартовы координаты; 2а х 2Ь — размеры оболочки в плане; ш = ш/Ло — функция прогиба; ф = ф/Ек0 — функция усилий; р = р (2Ь)4/ЕИ0 -равномерная поперечная нагрузка;^ = (2а) /ЯХЬ> , ку = (2Ь)2/ЯД , Rx, Ry — главные радиусы кривизны оболочки; к (х, у) = к(х, у)/к0 — функция толщины
оболочки, И0 — толщина оболочки в центре; Й = 1/ h, D = h3 — жесткости при растяжении-сжатии и изгибе; С = 12(1 — у2)16; Е, V — модуль упругости и коэффициент Пуассона.
В уравнениях (7), (8) подчеркнуты нелинейные члены и члены, зависящие от кривизны ( = ^) = k'; черточки над безразмерными величинами опущены; искомыми являются функции прогиба = w(х, у) и усилий
ф = ф(X,у .
Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных (7), (8) проинтегрируем при краевых условиях скользящей заделки на контуре Г ( — 1 < х , у < 1):
2
2
д
д
Иллюстрация 3. Прогибы и напряжения вдоль радиуса панели ( к = 12; а = 0,8; р = 100) при решении задач в линейной (л) и нелинейной (н) постановках
I п dw w\r = 0
дп
д2ф дт2
0,
д2ф
дпдт
0,
(9)
(10)
где пи т — нормаль и касательная к сторонам опорного контура.
С учетом двумерности задачи и симметрии НДС функции прогиба и усилий представим в следующем виде:
w (х, у ) = A • X (х) • Y (у ) =
= A • I (х )К (х, Ьк )• L (у )М (у, bk
ip(x, y) = B-Ф(х )• Z (y) =
= B •p(x)R(xck)• 5(y)T^ck)
(11)
(12)
Здесь I, Ь, Р, 5 — главные части аппроксимирующих функций; К, М, Я, Т — корректирующие части, зависящие от корректирующих коэффициентов Ьк, ск.
0
г
Иллюстрация 4. Зависимости «нагрузка — прогиб в центре» гибких пологих оболочек
Краевые условия (9), (10) будут выполнены, если
I (х) = P (х) = (1 - х 2f, L (y) = 5 (y) = (1 - y2)2.
В качестве корректирующих функций примем
• exp ( х4 + b5x8),
K (x, bk
1+ E bkx 2 k=1
R (x ck) = I1 + E ckx 11 і k=i
• exp (c4 x + c5x ), а функции
M(y,bk), T(y,cK) получим путем замены x на y, и, следовательно, функции K (M), R (T) содержат десять (bj... b5, q... c5) корректирующих коэффициентов.
Сохраняя изложенную в [1] процедуру решения и учитывая симметрию НДС оболочки, минимизируем среднеквадратичную интегральную невязку по нагрузке только вдоль оси x. Корректирующие коэффициенты устанавливаем с точностью 0,001.
На Иллюстрации 4 приведены зависимости «нагрузка — прогиб в центре» оболочек, полученные при к * = 36 (кривые 1, 2) и к * = 48 (кривые 3, 4), v = 0,3 и изменении Ai (прогиба в центре) от 0,25 до 2,5 с шагом 0,5. Кривым 1, 3 соответствует постоянная толщина оболочек, кривым 2, 4 — толщина, изменяющаяся по закону h (x, y) = exp |0,8(2 + y2) ].
Прямые 5, 6 на Иллюстрации 4 — результаты расчета оболочек при к * = 48 в линейной постановке (цифрами даны прогибы в центре при p = 1000).
№ n Дц Д2Х Рх ^ (0;0) а*,и (1;0) Стьм (1;0)
1 0 704,3 20,9 1 353,4 2,86 -9,78 -5,31 4,77
2 10 90,2 2,9 1 202,9 1,99 -10,65 -4,76 5,74
3 МКР сетка 20 * 20 1 214,1 2,0 -10,34 -4,70 5,67
Иллюстрация 5. Поля прогибов и эпюры напряжений в четверти гибкой пологой оболочки при: a — k = 48, w0 = 1, h (x, y) = 1; б — h (x, y) = exp [0,8 (2 + y2)
В Таблице 2 приведены значения нагрузок, невязок и безразмерных напряжений в центре (х = у = 0) и на контуре (х = 1, у = 0) гибкой пологой оболочки ( к * = 48) переменной толщины, соответствующие прогибу в центре •w0 = А = 1 (точка Я на кривой 4). В строках 1, 2 и 3 даны результаты решения предложенным методом при отсутствии ( п = 0), наличии десяти (п = 10) корректирующих коэффициентов и полученные МКР (методом конечных разностей) на сетке 20 х 20.
Несмотря на небольшое количество корректирующих коэффициентов (п = 10) и слабое ограничение невязки по нагрузке (Д1х = 90,2 < 0,075 • рх = 0,075 • 1202,9 = 90,22), невязки в выполнении уравнений (7), (8) уменьшились в среднем в 7,5 раза, а напряжения, полученные при п = 10, мало отличаются от напряжений, полученных весьма трудоемким методом (МКР) на очень густой сетке.
На Иллюстрации 5 для пологих оболочек (к * = 48) постоянной (а) и переменной (б) толщин построены поля прогибов и эпюры напряжений для первой четверти плана [ 0 < х, у < 1 ] при прогибе в центре оболочек
= 1 .
Отчетливо видно, что переменность толщины существенно влияет на НДС оболочки, причем наибольшие изгибные и мембранные напряжения уменьшаются в 2 и 1,57 раза, а нагрузка, при которой w0 = 1, возрастает в 1,82 раза. Ясно, что, изменяя толщину, можно управлять напряженно-деформированным состоянием оболочек, что может учитываться в соответствующих архитектурностроительных конструкциях.
Заключение
Предложенный и реализованный в работах [1], [2] новый приближенный метод решения геометрически нелинейных задач изгиба пластин успешно применен для расчета гибких пологих оболочек (панелей) на круглом и квадратном планах при среднем изгибе. Эти данные могут использоваться в практике современной архитектуры и строительства, способствуя точности конструкторских расчетов.
Список использованной литературы
1 Рогалевич В. В., Тимашев С. А. Новый приближенный метод расчета гибких пластин постоянной и переменной толщины // Академический вестник УралНИИ-проект РААСН. 2012. № 1. С. 67.
2 Рогалевич В. В., Тимашев С. А. Эффективный приближенный метод расчета гибких пластин // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2012. № 3. С. 60.
3 Букша В. В., Машкин О. В., Рогалевич В. В. Расчет пластин и пологих оболочек коллокационными методами. Екатеринбург, 2007.
4 Рогалевич В. В., Тимашев С. А. Эффективный приближенный метода расчета гибких пластин// Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2012. № 1. С. 67.
5 Рогалевич В. В., Тимашев С. А. Эффективный приближенный метода расчета гибких пластин// Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2012. № 3. С. 60.
