CC BY
60
УДК 674.21
А. С. Пардаев, старший преподаватель (БГТУ)
РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ МЕХАНИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИИ ДРЕВЕСИНЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В САЕ-СИСТЕМАХ
Представлен сравнительный анализ расчетных схем механической анизотропии древесины. Предложены рекомендации по их применению при назначении свойств древесины в CAE-системах.
The comparative analysis of settlement schemes mechanical anisotropy wood is presented. Recommendations about their application are offered at appointment of properties wood in CAE-systems.
Введение. Характерной особенностью древесины всех пород и многих древесных материалов является явно выраженные различия в упругих свойствах этих материалов по разным направлениям. Анизотропия древесины является следствием ее анатомического строения (макроструктуры) и микростроения составляющих ее клеточных оболочек.
Расположение древесных волокон вдоль оси дерева обусловливает резкое различие механических свойств древесины в направлении вдоль и поперек ствола. Это различие усиливается влиянием ориентации микрофибрилл в клеточных стенках и ориентации части молекул целлюлозы в микрофибриллах.
Модули упругости для направления вдоль волокон почти в 40 раз (ель) больше, чем поперек, а предел прочности при сжатии в 10 раз, при растяжении в 20-30 раз больше. Таким образом, различие в величине характеристик свойств древесины в направлениях вдоль и поперек волокон обусловлено ее макро- и микростроением.
Цель данной работы заключается в сравнительной оценке используемых в проектной практике расчетных схем механической анизотропии древесины и разработке рекомендаций по их применению в системах конечно-элементного анализа (САЕ-системах).
Объектом исследования является древесина и ее механические свойства.
Предметами исследования являются расчетные схемы анизотропии древесины, применяемые при конструкционном анализе столярных изделий.
Основная часть. Различие между свойствами древесины для разных ориентаций, лежащих в плоскости поперек волокон, связано, главным образом с ее анатомическим строением (макроструктурой). Слоистость, обусловленная чередованием в годичных слоях ранней и поздней древесины, определяет различие в механической прочности древесины в радиальном и тангенциальном направлениях, в большинстве своем при сжатии. Поздние трахеиды, у которых размеры в тангенциальном направлении больше, чем в радиальном, а стенки толще, чем у ранних, опре-
деляют при сжатии в тангенциальном направлении механическую прочность древесины. Лиственные породы, в частности береза, обнаруживают при сжатии в тангенциальном направлении меньшую прочность, чем в радиальном, что связано в первую очередь с влиянием сердцевинных лучей, упрочняющих радиальное направление. Этим же влиянием сердцевинных лучей объясняется для лиственных пород меньшая прочность при растяжении в тангенциальном направлении, чем в радиальном. При растяжении в радиальном направлении разрушение идет по слабому слою ранней древесины, а в тангенциальном - разрыву сопротивляются слои ранние и поздние, причем последние воспринимают большую часть нагрузки. Влияние сердцевинных лучей у хвойных пород незначительно и в этом случае [1].
Если взять участок ствола дерева, несмотря на некоторые отступления от геометрически правильных очертаний и включения неодно-родностей, то закономерность изменения физико-механических свойств древесины в стволе соответствует схеме цилиндрической анизотропии (рис. 1) с тремя плоскостями симметрии: поперечной Н, радиальной V и тангенциальной Ж. Линии пересечения этих плоскостей есть оси: а (основная ось, параллельная волокнам), г (ось, совпадающая с радиусом ствола) и t (ось, совпадающая с касательной к выбранному годовому слою, перпендикулярная двум предыдущим осям а и г).
Рис. 1. Главные плоскости упругой анизотропии древесины
162
ISSN 1683-0377. Труды БГТУ. 2011. № 2. Лесная и деревообрабатывающая промышленность
Схема цилиндрической анизотропии механических свойств материалов может быть реализована в расчетном комплексе метода конечных элементов ANSYS. При назначении свойства древесины следует выбрать трехмерный анизотропный элемент (например, SOLID64 или SOLID 186 - используется для моделирования анизотропных твердотельных конструкций) и указать направления анизотропии материала с помощью цилиндрической системы координат.
Различие упругих свойств древесины в трех взаимно перпендикулярных направлениях установлено еще в 20-х гг. XIX в. Большой вклад в изучение анизотропии упругих и прочностных свойств древесины внесли такие ученые, как Е. К. Ашкенази, Е. Г. Лехницкий, А. Н. Ме-тинский, А. П. Павлов, В. Н. Глухих и др.
Однако, несмотря на четкое и вполне определенное положение о применимости схемы цилиндрической анизотропии древесины в стволе, выбор характера анизотропии древесины в различных изделиях встречает ряд затруднений ввиду различных размеров и форм изделий, разных соотношений относительных размеров структурных элементов древесины и изделий и их расположения по отношению к осям симметрии изделий.
В изделиях и элементах конструкций древесине можно приписывать ортогональную, цилиндрическую или трансверсальную расчетную схему анизотропии в зависимости от формы, размеров и ориентации сечений [1, 2, 3].
Наиболее распространены изделия из древесины в виде прямых призм различных сечений (стойки, балки, щиты и т. д.). По данным [2], применение схемы цилиндрической анизотропии при решении задач механики твердого деформируемого тела для расчета указанных объектов нецелесообразно и наиболее приемлемой для большинства деталей является схема анизотропии ортотропного тела.
В применении к малым объемам древесины гипотеза об ортогональной анизотропии лучше отвечает ее структуре. Эта гипотеза соответствует результатам испытания малых чистых образцов и лежит в основе государственных стандартов на методы определения физико-механических показателей древесины, в которых различаются образцы трех основных ориентаций: вдоль волокон, поперек волокон в тангенциальном направлении и поперек волокон в радиальном направлении. За плоскости симметрии малого объема при этом принимаются плоскости, перпендикулярные радиальному r и тангенциальному t (по отношению к годичным слоям) направлениям, и плоскость, перпендикулярная направлению волокна a (рис. 2).
Рис. 2. Плоскости упругой симметрии малого объема древесины
Основное соотношение между напряжением и деформацией для упругих анизотропных материалов, в том числе и древесины, в матричной форме имеет вид [1, 4]:
{£} = [Д]{о}5
(1)
где {е} - вектор деформаций; [П] — матрица податливости; {а} — вектор напряжений.
Матрица податливости для ортотропных материалов, имеющих три плоскости упругой симметрии, имеет вид [4]
№
1/Er -Mtr /Er Mar /Er 0 0 0
-Mt /Et 1/E Mat /Et 0 0 0
Mra /Ea -Mta /Ea 1/Ea 0 0 0
0 0 0 1/Gt 0 0
0 0 0 0 1/Gta 0
0 0 0 0 0 1/Ga
(2)
где Е - модуль упругости; ц - коэффициент поперечной деформации; О - модуль сдвига.
В соответствии с ГОСТ 16483.29-73 [5] и ГОСТ 16483.30-73 [6] первый индекс ц указывает направление поперечной деформации е, второй - направление вызвавшего ее напряжения а. Двойные индексы О соответствуют направлениям осей симметрии, между которыми происходит изменение прямого угла. Индекс а указывает направление вдоль волокон древесины, г - радиальное направление поперек волокон, ^ - тангенциальное направление поперек волокон.
Из 12 упругих постоянных, входящих в матрицу податливости (2), только 9 являются независимыми, так как в силу симметрии матрицы правой части [4] для ортотропных тел всегда выполняются следующие условия:
М- ra _ М- ar
Mta _ М a
Mr _ M r.
(3)
Этим соотношениям, с хорошей степенью точности, соответствуют экспериментальные
данные, полученные на малых чистых образцах для сосны [1] и березы [3].
При достаточно больших размерах сечений деталей и отсутствии правильной их ориентации по отношению к годичным слоям направление волокон древесины условно считается осью симметрии ее строения, а плоскость, перпендикулярная этой оси, - плоскостью изотропии всех ее свойств. В этом случае предполагается, что для всех направлений, лежащих в плоскости, перпендикулярной волокнам, механические свойства одинаковы. Следовательно, учитываются только различия между свойствами вдоль и поперек волокон (рис. 3). На допущении о поперечной (трансверсальной) изотропии основано рассмотрение древесины в строительных деревянных конструкциях и источниках [7, 8]. Эта расчетная схема более проста, чем схема ортогональной анизотропии, и применима к более широкому классу задач, в том числе и ко всем случаям неопределенной ориентации по отношению к направлениям г и Вместе с тем рассмотрение древесины как материала поперечно изотропного приводит к большей схематизации явления, менее полно отражает действительный характер анизотропии древесины и в этом уступает предположению об ортогональной анизотропии.
Рис. 3. Плоскости упругой симметрии большого объема древесины
Следует отметить, что у трансверсально-изо-тропного тела 5 независимых упругих постоянных, входящих в матрицу податливости (2), т. к. выполняются следующие соотношения [1]:
1 ^ ar ^ ra
e; Er Ea Ea
1 _ Gta 1 g: ; Grt _ Er 2(1 + Ц rt)
V
(4)
Схема ортогональной и трансверсальной анизотропии механических свойств материалов
может быть реализована в таких CAE-системах, как ANSYS, COSMOS, MSC/NASTRAN, ИСПА, T-FLEX/Анализ и др. При назначении свойства древесины следует выбрать трехмерный орто-тропный элемент и указать механические свойства материалов в трех направлениях.
Заключение. При расчете большинства столярных конструкций и их элементов наиболее широко используется схема трансверсаль-ной изотропии. Схема ортогональной анизотропии применяется в основном при разработке методов испытаний древесины и определении ее механических показателей. Практическое использование схемы цилиндрической анизотропии при расчете столярных конструкций и их элементов целесообразно в случае, когда нельзя пренебречь кривизной годичных слоев, например, при анализе формоустойчивости изделий из древесины и их конструктивных элементов при усушке и разбухании [9].
Литература
1. Ашкенази, Е. К. Анизотропия древесины и древесных материалов / Е. К. Ашкенази. - М.: Лесная пром-сть, 1978. - 223 с.
2. Соболев, Ю. С. Древесина как конструкционный материал / Ю. С. Соболев. - М.: Лесная пром-сть, 1979. - 248 с.
3. Уголев, Б. Н. Древесиноведение с основами лесного товароведения: учеб. для лесотехнических вузов / Б. Н. Уголев. - 3-е изд. -М.: МГУЛ, 2001. - 340 с.
4. Лехницкий, С. Г. Теория упругости анизотропного тела / С. Г. Лехницкий. - М.: Наука, 1977. - 415 с.
5. Древесина. Метод определения коэффициентов поперечной деформации: ГОСТ 16483.29-73. -Введ. 01.01.1975. - М.: Госстандарт России: Изд-во стандартов, 1999. - 6 с.
6. Древесина. Метод определения модулей сдвига: ГОСТ 16483.30-73. - Введ. 01.01.1975. -М.: Госстандарт России: Изд-во стандартов, 1999. - 6 с.
7. Деревянные конструкции. Строительные нормы проектирования: ТКП 45-5.05-146-2009 -Введ. 01.01.2010. - М.: Минстройархитектуры Респ. Беларусь: Стройтехнорм, 2009. - 63 с.
8. Строительные нормы и правила. Деревянные конструкции: СНиП II-25-80. - Введ. 01.01.1982. - М.: Госстандарт России: ГП ЦПП, 1995. - 34 с.
9. Пардаев, А. С., Обеспечение формоустой-чивости неоднородных массивов древесины с учетом цилиндрической анизотропии их элементов при усушке и разбухании: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.21.05 / А. С. Пардаев; Белорус. гос. технол. ун-т. - Минск, 2008. - 21 с.
Поступила 14.03.2011
r
