CC BY
43
0УДК 624.011.14:624.042.1/3 Б.В. Лабудин
К ОБОСНОВАНИЮ РАСЧЕТНОЙ МОДЕЛИ КЛЕЕНОЙ ДРЕВЕСИНЫ КАК ОРТОГОНАЛЬНОГО ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
С учетом классических гипотез, в основе которых лежит пакетная гипотеза, и принятых ограничений и допущений для расчета массивных конструкций из клееной древесины обоснована расчетная математическая модель клееной древесины как трансверсально-изотропного материала.
Ключевые слова: клееная древесина, расчетная математическая модель, анизотропия, транс-версально-изотропный материал, эффективный модуль упругости, энергетическая континуа-лизация.
Исследованием физико-механических свойств древесины стали заниматься в XIX в. В своих первых работах Савар (1830) и Сен-Венан (1856) уже рассматривали древесину как неоднородный материал. Нормирование прочностных и упругих свойств, выполненное Д.И. Журавским и В.Г. Шуховым, обеспечивало широкое применение древесины в большепролетных сооружениях и зданиях самого различного назначения. Принципы построения гипотетической двумерной теории многослойных сред базируются на двух подходах: в первом принята пакетная гипотеза для всей толщины массива, во втором - гипотеза ломаной нормали. Реже для построения теории многослойных сред используют аналитический, в том числе асимптотический метод [1, 3, 9 - 11 и др.].
Исходя из физической модели цельной и клееной древесины как анизотропного материала со слоистой структурой при проведении расчетов необходимо ввести ряд ограничений и допущений: клееную древесину рассматривают как однородный (квазигомогенный) материал ввиду малой толщины клеевых прослоек, соединяющих слои заготовок древесины между собой; различие упругих характеристик в отдельных слоях клееной древесины, произвольно ориентированных в поперечном сечении пакета, находится в пределах статистического разброса, т. е. физико-механические свойства в пределах сечения осреднены; влияние локальных дефектов клееной древесины (сучки, косослой, непроклей, зубчато-шиповые стыки и др.), находящихся в пределах норм, не учитывают; компоненты напряжений и деформаций считают связанными линейно, т.е. материал подчиняется обобщенному закону Гука до определенного предела нагружения; начальные напряжения, возникающие при изменении эксплуатационных воздействий (температура, влажность и др.), также не учитывают, так как это предусмотрено, согласно норм [8], на стадии конструктивного расчета.
Общеизвестно, что для малых прямоугольных образцов, которые называют образцами «чистой» древесины, без пороков и ориентированных при отборе так, что их продольная х, тангенциальная z и радиальная у грани совпадают соответственно с осями упругой симметрии а, t, r, справедлива феноменологическая орто-тропная модель (рис. 1). Она использовалась древесиноведами и механиками [2, 4 - 6] и имеет многочисленные экспериментальные подтверждения в работах А.Н. Митинского, А.А. Рабиновича, А.П. Павлова, Е.К. Ашкенази, Н.Л. Леонтьева, Б.Н. Уголева, Ю.С. Соболева и др. При этом кривизной слоев, а также соотношением в них количества ранней и поздней древесины пренебрегают.
Рис. 1. Ориентация элементарного объема «чистой» древесины в декартовых осях х, у, г, совпадающих с осями упругой симметрии а, г, Г, и обозначение напряжений
Рис. 2. Главные направления упругой симметрии клееного пакета как трансверсаль-но-изотропного материала (х0у - плоскость изотропии)
Запишем закон Гука для тел с ортогональной анизотропией в общепринятых обозначениях [2, 5]:
5 д.- = <//,;,: 5\>: " 4то /Еу 9У ~ 1Е2 9,
</£„ ау - <1 , / + </
Б, =-1Ь
/ Е
ху ' Ех
/Е
а,
а.
х
у, / ЕУ
ху = </Оху5ху;
У у, = </Оу,5у,
У 2Х = </ОхЗх
(<)
где £,, уу - линейные и угловые деформации;
Е, - модули продольной упругости (модули Юнга) при растяжении-сжатии в направлении оси / = х, у, г;
Ду - коэффициенты поперечной деформации (коэффициенты Пуассона), характеризующие сокращение тела в направлении осей / при растяжении в направлении ];
О, - модули сдвига в плоскостях упругой симметрии 10] (I = х, у, ] = х, у, г).
С учетом того, что ЕхДху = ЕуДХ ЕхДх, = ЕуДу, = из 12 технических постоянных независимыми будут только 9.
Рассмотрим склеенный пакет заготовок, продольно-ориентированных относительно тонких слоев, волокна которых совпадают с геометрической осью , (рис. 2). Учитывая, что поперечная ориентация слоев в пакете произвольна и специально ее не подбирают, случайное расположение деталей в пакете дает произвольный набор упругих характеристик в смежных слоях. Однако неясно, насколько справедливо использование для деревоклееных элементов модели транстропного тела (плоскость изотропии перпендикулярна оси ,).
Анализ известных отечественных и зарубежных работ [2, 5-7] показал, что значения Е, и О,, связанные с направлением действующих сил (для хвойных пород древесины), в тангенциальном и радиальном направлениях весьма близки. При этом транстропная модель материала клееной древесины успешно реализуется в нормах Австрии, Великобритании, Германии, Канады, Норвегии, США и др. стран.
В нашем случае к клееной древесине вполне применима модель трансвер-сально-изотропного тела, тем более, что это предположение обосновано в выше перечисленных работах. Обозначим:
Еx = Е0; Еу = Еz = Еь GXy = Gzx = Gl; Gyz = Go; Дху = Дхг= До; Дгх = Д. (2) Запишем обобщенный закон Гука для транстропного материала в более простом виде:
Е* = </Ео - <4 <Е1 Хаг +
е,. = -^0 /Ео + </Еу а„ - IЕх стг; ^ = -4о /Е0 ]?х " 0^1 /Е1)ау + 1Е1 ]?г
У уг =
У гх =
(3)
I ^¡гх'
равно пяти, а
- у ' ' У г'
Здесь число независимых упругих постоянных
Go = Ео / 2 (1+ Д1).
На этих же гипотезах и допущениях может быть построена теория расчета элементов и конструкций из клееной древесины, основанная на принципах энергетической континуализации и разработанная в трудах В.В. Болотина и его школы [3]. Она базируется на предложенном Фойгтом обобщении классической теории упругости в перемещениях следующего вида:
Ьпи + Ь12у + Ьи(й + X2 +Мпу +М13со^+Х = 0;
Ь21и + Ь22У + Ь23а + X2 М2хи +М22у + М23ю^+У = 0; ц,и + + ¿„о + х2 Мзли+М,2у + = 0,
(4)
где Цк и М^ ( = к = 1, 2, 3) - соответственно линейные операторы 2-го и 4-го
порядка;
и, V, ю - компоненты перемещений;
X - формально вводимый параметр длины
X«к^ц/ (1-у) ■ л/е' /Е" ;
\|/ - коэффициент «армирования» (относительное объемное содержание древесины), у|/ ~ 1; Е - продольный модуль упругости древесины; Е" - модуль упругости клеевого композита; к - толщина клеевого шва, мм; X, У, 2 - энергетически «размазанные» компоненты объемных сил.
Например, при толщине слоев древесины 20 мм и клея 0,1 мм у = 0,995. Тогда X = 0,01^0,995(1-0,995) • л/Ю000 / 2500 = 0,01 • 0,07 • 2 « 0,0014 см.
Запишем систему уравнений (4) в более общем виде:
¿и + Х2Ми + X = 0, (5)
где ¿ и М - соответственно линейные операторы 2-го и 4-го порядка; и(х, у, г) - векторное поле перемещений;
X - малый параметр, имеющий размерность длины; Х(х, у, г) - векторное поле объемных сил.
Поскольку толщина клеевого шва по сравнению с толщиной ламелей пренебрежимо мала, т.е. И —> 0, число граничных условий уменьшится, а оставшиеся условия обеспечат существование и единственность решения и0(х, у, г) в новой системе уравнений:
LU0 + X = 0. (6)
Приведенный математический аппарат в сочетании с пакетной гипотезой может быть использован для решения целого ряда задач, где принцип энергетической континуализации позволяет использовать осредненные параметры материала, а порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений не зависит от числа слоев массива клееной древесины.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алфутов, Н.А. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов [Текст] / Н.А. Алфутов, П.А. Зиновьев, Б.Г. Попов. - М.: Машиностроение, 1984. -263 с.
2. Ашкенази, Е.К. Анизотропия конструкционных материалов [Текст]: справ. / Е.К. Ашкенази, Э.В. Ганов. - М.: Машиностроение.- Л., 1980. - 247 с.
3. Болотин, В.В. Механика многослойных конструкций [Текст] / В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков. - М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.
4. Лабудин, Б.В. Расчет плитно-ребристых конструкций с упруго-податливыми связями [Текст] / Б.В. Лабудин // Лесн. журн. - 1992. - № 1. - С. 67 -72. - (Изв. высш. учеб. заведений).
5. Лехницкий, С.Г. Теория упругости анизотропного тела [Текст] / С.Г. Лехницкий. - М.: Наука, 1977. - 416 с.
6. Светозарова, Е.И. Некоторые вопросы совершенствования клееных деревянных конструкций в процессе изготовления [Текст] / Е.И. Светозарова, Е.Н. Серов, Б.В. Лабудин // Лесн. журн. - 1985. - № 2. - С. 65-68. - (Изв. высш. учеб. заведений).
7. Справочное руководство по древесине [Текст] / Лаборатория лесных продуктов США: пер. с англ. - М.: Лесн. пром-сть, 1979. - 544 с.
8. СНиП II-25-80. Деревянные конструкции. Нормы проектирования [Текст]. - М.: Стройиздат, 1982. - С. 65.
9. Ульяшин, А.Н. Напряженно-деформированное состояние слоистых пластин [Текст] / А.Н. Ульяшин // Изв. АН ССР. МТТ. - 1979. - № 1. - С. 145 - 154.
10. Уманский, А.А. Строительная механика самолета [Текст] / А.А. Уманский. - М.: Оборонгиз, 1961. - 529 с.
11. Филин, А.П. Элементы теории оболочек [Текст] / А.П. Филин. - 3-е изд., перераб. и доп. - Л.: Стройиздат, 1987. - 384 с.
Архангельский государственный технический университет
B. V. Labudin
To Substantiation of Estimated Model of Laminated Wood as Orthogonal Transversal-isotropic Material
The estimated mathematical model of laminated wood is substantiated as transversal-isotropic material taking into account classic hypotheses based on packet hypotheses and approved limitations and assumptions for calculation of solid constructions from laminated wood.
