CC BY
81
Щ]
оо
оо
Машиностроение и машиноведение
УДК 51 : 621.891
DOI: 10.26731/1813-9108.2018.1(57)31-40
Е. О. Лагунова
Ростовский государственный университет путей сообщения, г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация Дата поступления: 18 января 2018 г.
РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ РАДИАЛЬНОГО ПОДШИПНИКА, ОБУСЛОВЛЕННАЯ РАСПЛАВОМ, В ТУРБУЛЕНТНОМ РЕЖИМЕ С УЧЕТОМ ЗАВИСИМОСТИ ВЯЗКОСТИ НЕНЬЮТОНОВСКОГО СМАЗОЧНОГО МАТЕРИАЛА ОТ ДАВЛЕНИЯ И ТЕМПЕРАТУРЫ
Аннотация. Статья посвящена разработке расчетной модели бесконечного радиального подшипника, смазываемого смазочным материалом, обладающим микрополярными реологическими свойствами и расплавом легкоплавкого покрытия, одновременно учитывая зависимость вязкостных характеристик микрополярного смазочного материала от давления и температуры. Дана оценка влияния параметра К, обусловленного расплавом легкоплавкого металлического покрытия поверхности подшипниковой втулки; параметра N2, характеризующего размер молекул смазочного материала; параметра связи N2; параметра, обусловленного зависимостью вязкости смазочного материала от давления, и параметра, обусловленного зависимостью вязкости смазочного материала от температуры, на основные рабочие характеристики радиального подшипника скольжения.
Предложены новые математические модели, описывающие движение несжимаемого микрополярного смазочного материала в приближении для «тонкого слоя», уравнение неразрывности и выражения скорости диссипации энергии для определения профиля расплавленной поверхности легкоплавкого покрытия подшипниковой втулки с учетом влияния ряда дополнительных факторов. Выполнен сравнительный анализ вновь полученных результатов и уже имеющихся, что подтвердило приближенность новой модели к реальной практике. Разработаны новые многопараметрические выражения для основных рабочих характеристик рассматриваемой пары трения, учитывающих зависимость вязкости микрополярного смазочного материала от давления и температуры при наличии смазочного материла и расплава легкоплавкого покрытия подшипниковой втулки. Дана оценка влияния параметров, учитывающих целую гамму переменных факторов, обусловленных расплавом поверхности легкоплавкого покрытия подшипниковой втулки от удельной теплоты плавления. В предлагаемой работе обобщено влияние пока еще не исследованных факторов, что существенно усложняет задачу, но делает ее решение универсальным и востребованным в современных трибоузлах. Полученные результаты могут быть использованы в машиностроении, авиастроении, приборостроении и т. д. там, где подача смазочного материала связана с трудностями.
Ключевые слова: радиальный подшипник, гидродинамика, микрополярный несжимаемый жидкий смазочный материал, расплавленная поверхность подшипниковой втулки, зависимость вязкости микрополярного смазочного материала от давления и температуры.
E. O. Lagunova
Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, the Russian Federation Received: January 18, 2018
THE FLUX-CONDITIONED DESIGN MODEL OF THE RADIAL BEARING IN TURBULENT MODE WITH ACCOUNT OF THE NON-NEWTON LUBRICANT VISCOSITY DEPENDENCE ON PRESSURE AND TEMPERATURE
Abstract. The article discusses the development of the design model of an infinite radial bearing, lubricated with a medium with micropolar rheological properties, and a flux of low-melting coating, while taking into account the pressure and temperature dependence of the micropolar lubricant viscosity characteristics. The author evaluates the influence of the parameters that are mentioned below, on the basic performance of the radial bearing ofplain friction: the parameter K conditioned by the flux of the low-melting metallic coating of the bearing sleeve surface; the parameter N1 characterizing the size of the lubricant molecule; the coupling parameter N2; the parameter conditioned by the dependence of the lubricant viscosity on the pressure, and the parameter determined by the dependence of the lubricant viscosity on temperature. The article presents new mathematical models that describe the motion of an incompressible micropolar lubricant in the "thin layer" approximation, the equation of continuity and expression of the energy dissipation rate to determine the profile of a molten surface of the melting coating of the bearing sleeve. It also considers influence of a number of additional factors. A comparative analysis of new and already available results has been made, which has confirmed the appropriateness of the new model to real practice.
New multi-parametric expressions for the main operational behavior of the friction pair are developed, taking into account the dependence of the micropolar lubricant viscosity on pressure and temperature (if there if a lubricant material and a flux of the low-melting coating of the bearing sleeve). The author evaluates influence of parameters with allowance for the whole range of variable factors conditioned by the flux of the low-melting coating surface of the bearing sleeve on the specific melting heat. The proposed article generalizes the influence offactors that have not yet been investigated. This complicates the problem but makes its solution universal and popular in modern friction units. The obtained results can be used in mechanical engineering, aircraft engineering, instrument making, etc. where the supply of lubricant is associated with difficulties.
© Е. О. Лагунова, 2018
31
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 1 (57) 2018
Keywords: radial bearing, hydrodynamics, micropolar incompressible liquid lubricant, molten surface of bearing sleeve, dependence of viscosity of a micropolar lubricant on pressure and temperature.
Введение
Одним из методов решения конструктивно-эксплуатационных задач может быть применение смазывания расплавом легкоплавкого покрытия подшипниковых втулок.
Сегодня существует много различных технологий диффузионной металлизации, при этом большинство из них являются сложными и требуют применения дорогостоящего оборудования. Это их делает промышленно нереализуемыми. На фоне этих технологий выгодно выделяется технология диффузионной металлизации сталей из среды легкоплавких жидкометаллических растворов. Перспективность данной технологии связана с возможностью получения качественных изделий и регулирования свойств данных покрытий при варьировании технологических режимов.
Применение вышеуказанной технологии позволяет получать на поверхности изделий многокомпонентные и однокомпонентные диффузионные покрытия на основе разнообразных металлических элементов.
В большинстве прикладных задач изучалось смазывание расплавом, например, в процессах формоизменения и резания металлов [ 1-7]. Работы [8, 9] посвящены гидродинамическому расчету радиальных подшипников бесконечной длины в условиях отсутствия смазочного вещества и учету зависимости вязкости смазочного материала от давления в условиях применения неньютоновских смазочных материалов. Разработке расчетной модели радиальных и упорных подшипников скольжения, обусловленной расплавом, в случае, когда вязкость смазочного материала зависит от давления, посвящены работы [21-24]. Существенным недостатком рассматриваемой пары трения, работающей на смазывании расплавом, является низкая несущая способность. Также процесс смазывания не является самоподдерживающимся.
Разработка расчетной модели подшипников скольжения, которые работают на смазочных материалах в виде металлических расплавов, в турбулентном режиме трения при учете зависимости вязкости неньютоновского смазочного материала от давления и температуры представляет собой перспективное направление теоретических исследований современной трибологии. Последнее определяет новизну и актуальность полученного решения.
Постановка задачи
Рассматривается модель установившегося движения вязкого несжимаемого смазочного материала, обладающего свойствами микрополярного смазочного материал, в зазоре бесконечного радиального подшипника скольжения, покрытого расплавом легкоплавкого покрытия поверхности подшипниковой втулки.
Вращение вала происходит с угловой скоростью а подшипниковая втулка остается неподвижной. Предполагается, что все пространство между эксцентрично расположенным валом и подшипником полностью заполнено смазочным материалом, а подшипниковая втулка выполнена из материала с низкой температурой плавления.
Рассматриваются условия, когда все выделяющееся тепло в смазочной пленке идет на плавление поверхности материала подшипниковой втулки.
Влияние турбулентности отражаем при помощи коэффициента ]>1. Полагаем, что данный коэффициент ] выражается в виде функции числа
Рейнольдса ] = 0,0139Яв0'657, где Яв = рикЦ^ -
число Рейнольдса - динамическая вязкость;
к0 - толщина пленки в начальном сечении; р -
* 7
плотность; и - скорость движения; I - длина подшипника.
Зависимость вязкостных характеристик микрополярного жидкого смазочного материала от давления и температуры задается следующей формулой:
Ц = ',
к' = Ков-'-вТ', у' = Уов-'-рТ'. (1)
где - коэффициент динамической вязкости смазочного материала; к', у' - коэффициенты вязкости микрополярного смазочного материала; Ц0 - характерная вязкость ньютоновского смазочного материала; р' - гидродинамическое давление в смазочном слое; а - характеризует зависимость вязкости смазочного материала от давления, в ' -характеризует зависимость вязкости смазочного материала от температуры; Т' - температура в смазочном слое.
Исходные уравнения
За исходные уравнения принимаем систему безразмерных уравнений движения смазочного материала, обладающего микрополярными свой-
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2018, Vol 57, no.l
ствами, для случая тонкого слоя и уравнение не- ским расплавом, применяем выражение для скоро-
разрывности:
д2u ' . дu ' 1 dp' —7 + N — =--—,
дг ' 2 ^
сти диссипации механической энергии
г„ + e eos e
дг ' j|' de
av__ul+u+öv2=0
дг '2 = N1 N1 дг ' ' дe дг ' " '
t mr
(2)
1 d x f (e), ji(e) do~
OL ' = 2 r
дг'
dr ',(5)
где L' - удельная теплота плавления на единицу объема.
„ , , Следующими соотношениями связаны раз-
Здесь и , V - компоненты вектора скорости г
г мерные величины с безразмерными:
смазочной среды.
Запишем уравнение контура вала, поверхности подшипниковой втулки, которая покрыта металлическим расплавом, и расплавленной поверхности подшипниковой втулки, которая также покрыта металлическим расплавом, в полярной системе координат (рис. 1) в виде:
г ' = г0 (1+ Н), г ' = т1, г ' = г + Х/ (0), (3)
г' = r1 -ôr, ô = r — r0 ; v = fr0 v; u' = Qôu;
p = p p; p =
а
( 2^о+ко )f 2Ô2 u ' = u;
а = ^*; ß = T *ß'; t ' = t t ; t p
l о f 2 r02
iX
где H = ecos e-1 e2sin2 e + .. 2
e = — ; Го
радиус
i = 10i;
вала; Г\ - радиус подшипниковой втулки, покрытой металлическим расплавом; е - относительный эксцентриситет; е - эксцентриситет; X/(0) -
n2 =
к
21о +ко
к = к о к;
. N = 7it 1
Y = Y 0 y;
ô2 к
12 =
Yl 4l
(6)
Далее в систему дифференциальных уравнений (1) и (4) осуществим подстановку выражений отраниченная функция при 0е [0 ■ 2^] и подлежит (5), аналогично и в вышеуказанные граничные определению. условия (3). В результате приходим к системе
дифференциальных уравнений вида:
д2u Лт2 дu 1 dp
— + N — =--—
дг2 дг j|(e) de
д2u u 1 дu дu + ду дe дг
дг2 N N дг ' — - 0
1 ^(e) ji(e) d e
h(e) 2
= к Г I —
- o(e) V дг У
dr,
(7)
(8)
Рис. 1. Расчетная схема
с соответственными граничными условиями v = 1, u = - nsin 0, u = 0
при r (0) = 1 -ncos 0 = h (0);
v = 0, u = 0, u = 0
при r(0) = 0-Ф(0); p(0) = p(2n) = p-;
(9)
В рассматриваемой задаче граничные условия с точностью до членов 0(е2) записываем в ви- где де:
V = 0, u' = 0, U = 0 при r = r1 +Xf (0);
V = r0Q, u' = -Qe sin0, u'= 0 при r' = r0 + e cos 0; (4) - параметр, обусловленный расплавом и скоро-
n = ô; n = f; ф^Ьп/ (e); к = M
p ' ( 0 ) = p ' ( 2п)
P
P
стью диссипации энергии, и полагаем его малым параметром.
При дальнейшем решении будем учитывать также малость зазора и равенство и = 0 на непо-словленную расплавом поверхности подшипнико- движных и подвижных поверхностях. Второе вой втулки, покрытой легкоплавким металличе- уравнение в системе (7) осредним по толщине
смазочного слоя и получим:
Чтобы найти функцию ф(б) = Х ' f (б), обу-
r
о
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 1 (57) 2018
У d2u
I -Tdr--
J dr
h(e)
| udr-
(10)
Л(0) + ф(0)-ф(е)5г2 "Ж, (А(0) + Ф(0))
+ 1 ? ди^
+N1 (((е)+Ф(е)) _ф|(е)дг г
Для решения вышенаписанного уравнения (10), функцию и запишем в виде:
и = Д(е)г2 (0) + 4(0)г (0) + 4(0). (11)
Для функции и с учетом вышеуказанных граничных условий (9) получим:
и = А1 (0)-(г2(0)_(А(0)_ф(0))г(0)_Ф(0)((0)). (12)
Осуществляя подстановку выражения (12) в уравнение (10), с точностью до членов
O
V Nu
и =
0
1
N
Viv 1
получаем:
2 N1h (0) du 1
dr
( r2 ( 0 )-r (0 ) h (0 )),
-(2r (0)-h (0)), A
1
(13)
2Ж1( (0 ^ у ''' 1 2Ж1( (0 )'
Тогда в принятом нами приближении система уравнений (7, 8), учитывая (13), имеет вид:
1 ёр
^ + —N2r (2r (б) - h (ö)) ßT
dr 2Njh(0)^ V '' jeap-ßT
dö
u =
2Nhe)(rI(e)-r(e)h(e)>' (14)
du dv n — + — = 0
dr se ' jji(e) de
—^'fff d,
с соответствующими граничными условиями v = 1, u = -nsinö, при r(ö) = 1 -neosö;
V = 0, u = 0 при r(e) = 0-Ф(е); (15)
p( 0) = p( 2п) = 4.
p
Будем искать функцию Ф(е) в виде ряда по степеням малого параметра К:
Ф(е) = -кф, (е) - к2ф2 (0) - к3ф3 (0) -... = н. (16)
Можно записать соответствующие граничные условия на контуре r = -Ф(0) для безразмерных компонентов скорости u и v в виде:
V (0 - H (е)) = V (0) -||
• н (е)-
^ö 2v ^
дг'
• H2 (е)-. = 0;
'( 0 - н (е)) = u (0)-\f
н (е)-
^d 2u >
дГ
Vи' у
• н2(е) -
(17)
_... = 0.
Будем искать асимптотическое решение системы дифференциальных уравнений (14), учитывая вышеуказанные граничные условия (15) и (17), в виде:
V = У0 (г, 0) + Щ (г, 0) + К \(г, 0) +...; и = и0 (г, 0) + Ки1 (г, 0) + К 2и2 (г, 0) +...; ф (0) = - К Ф1 (0) - К2 Ф 2 (0 ) - К3 Ф 3 ( 0 ) -...; Т (0) = Т0 (0) + К% (0) + К % (0) + К % (0) +...; ц(0) = ^ ( 0) + М (0) + К 2^2 (0) + К 3^з (0) +...;
р = Р0 + КР1 (0) + К2Р2 (0) + К3рз (0)... (18) Для дальнейшего решения выполним подстановку выражений (18) в систему дифференциальных уравнений (14), учитывая соответствующие граничные условия (15) и (17). В результате получаем следующие уравнения:
- для нулевого приближения:
5 u0 "dr2" 5v„
N2
2 N1h (е)
du = 0
( 2r (е)-h (е)) =
j»0 (е) dе' (19)
dr 5ö с граничными условиями: v0 = 1, u0 = -nsinö, u0 = 0 при r(е) = 1-neosö;
V= 0, u0= 0, u0= 0 при r(ö) = 0;
p( 0) = p( 2n)=P*;
- для первого приближения:
d2u, = 1 dp, » (е) dp0
(20)
j» (е) dö j»2 (е) dö
du,
dr
^ = 0 dr dö
(21)
1
d ф, (е) eos erdu„
=к
j»0 (e) de
с граничными условиями:
dr
dr
оо оо I
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2018, Vol 57, no.l
v =
дг
•Ф (e) ;
•®,(e) ;
v1 = 0; u1 = 0, u1 = 0 при r (0) = 1-Пcos (22)
p1 (0) = p1 (2n) = 0; КФ1 (0) = Ka, Ф(0) = Ф(2n) = a.
Точное автомодельное решение
Для задачи нулевого приближения будем искать точное автомодельное решение в следующем виде:
vn + V0 ( r, 0); U0 =-d0f + U 0 ( r, 0);
дг
(2З)
Уо (Г, 0) = ^о ф ; щ ;
У0 (г, 0) = V ®; и о (г, 0) = -ио (£)• И (0).
Выражения (23) подставим в систему дифференциальных уравнений (19) с учетом вышеприведенных граничных условий (20). Приходим к системе дифференциальных уравнений: N2
< = С2; < = С(2£-1); И0 (0 + !^ (9 = 0;
2N
dpo
d e
= jlo(e)
C1 . + . C2
h2 (0) h3 (0) Граничные условия:
u( 0) = 0, (0) = 0, (1) = 0, U (1) = - nsin 0, V0 (1) = 0;
i
u(1) = 0, U0 (0) = 0, V0 (0) = 1, JU0 (£)d£ = 0. (25)
0
Найдем интегрированием решение задачи Коши (24, 25):
v0(S)=f (- §); Ua(^) = cf -
N2 (1 ( N2 C л
(26)
2N
З2
v J у
+1
v12Nl 2 у
£+1; Cl =6.
Воспользуемся условием
P
po (о) = po (2п) = P*.
Получим выражение:
С2 = -
12 (l-n2 )
2 + n2
(27)
гидродинамического
Определение давления
Для определения гидродинамического давления для задачи нулевого приближения
Фо
de
= jlo(e)
C1 . + . C2
и2 (e) и3 (e)
необходимо спер-
ва найти ц0 (0) . Для этого продифференцируем выражение ц0 (0) = еар0-рг° :
"М!) = (0)Га "К-в ^ 1 (28)
d0 оу \ й0 "0)
тт йТ0
Для определения —0 используем формулу й0
для скорости диссипации энергии:
>1
T 24ioio (e)ßfroh(e) J рр (£) + (£)
de = fcfiC, J|2(e) h(e)
v
d£. (29)
Подставляя (29) в (28) и сделав ряд преобразований, получим:
1 dlo (e) I C C
--^^ = а
Л
1 + .
ji0 (e) de Iи2 (e) и3 (e)
+ 24iofoßh (e) V Г y0 (£) + uo (£)* t*cpô2C2 Jo V и2 (e) и(e)
(Зо)
d£,
где С - теплоемкость при постоянном давлении.
Интегрируя (Зо), получим
(24) lo (e)=- 1
1 -a(Cj 2 (e)+c2j3 (e))- D ß[A^J3 (e)+A2 j 2 (e)+vl (e)]
2
(31)
где D =
24|ofro.
С2
; Al=j«(£))2d£ = С2 ;
T cpô2
12
A2 =2/(^0 (£)uo (£))d £
Сл С~>
Лз =}(* (^ = 4; ^ (е)=!ий0).
Подставим значения выражений С1, С2, Л1,
Л2, Л3, J3 (0), J2 (0),J1 (0) в уравнение (31), а
затем полученную функцию |0 (0) заменим ее усредненным интегральным значением:
^12(1 -п2)2 12(1 -Л2)| N4 ^
l = 1- 2Dn2ß
36n2an2
(2 + n2)2 (2 + n2) 720Nl
(З2)
2 + n2
Следовательно, для p0 окончательно получаем
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 1 (57) 2018
p0= J»0
36n2
(2 + nV
-arctg
n
6n sin e
IL
i-n e
+ П 2
(2 + n2 )(1 -neos ö) 6sin e
+ 4. (33) p
(2 + n2 )(1 -neos e)2
Для определения функции Ф, (0) , учитывая уравнения (26), придем к уравнению:
d Ф, (е)_ь,А ü fv 0 (S) + u0 (S)
d е
h (ö)|\
Л2
h2(е) h (е)
d (34)
После интегрирования уравнения (34), по-
лучим:
ф,(0)=/ Ddk+f hm+f
D d0 0 D d0
0((0) 0 (2(0) 0 ((0)' При решении уравнения (35) будем учитывать условие КФ1 (0) = Ка . В итоге получаем:
(35)
ф, (е) =
1
(
I,
.aretg
n
-12
L+ntg e
1-n 2
Л
N4
2 + n2 6n sin e
360 N2
(36)
+
(2 + n2 )(1-neos e) 6 (1-n2) sin e
а
(2 + n2) (1-neosö)2
Ищем для первого приближения точное автомодельное решение в виде:
и = М + U (r, е); V, + V (r, е);
1 de 1V ; 1 de 1V ;
v, (r, e) = v, (S); S =
((0)'
V (г,0) = V(у; и, (г,0) = -и ($)•('(0). (37)
Подставляем (37) в систему дифференциальных уравнений (21). Учитывая вышеуказанные граничные условия (22), приходим к системе дифференциальных уравнений:
= 4 <=С:, и= 0,
1 ёр1 ^ (0) ёр0 _ С
____=__
J^0 (0) d0 J^ (0) d0 h2 (0)' h3 (0
и граничным условиям
(38)
Vi (0) = 0, vi (1) = 0, u, (1) = 0, V, (1) = 0; u, (0) = 0,
i
u, (1) = 0, u, (0) = M, V, (0) = 0, f u, (S) d^ = 0,
0 (39)
p,( 0) = p,( 2n) = 0.
Непосредственным интегрированием уравнений (38) получим:
vi (у=f- (s2-S) ,
§
ui (§ ) = c,y -
2 f а
Л
^ + M 2
v у
§ + M, C, = 6M. (40)
Для определения C2 используем условие pi (0) = А (2п) = 0. Имеем:
12M (l -n2)
где
а =-
M = sup
öe[0:2n ]
2 + n
du.
(41)
dr
ф, (ö)
= sup
öe[0:2 n ]
-nsin e N2 (1-neos e)+ 3
1- neos e 12 N,
(2 + n2)
1
n( eos ö-n) + eos e-neos0e-0nsin0e 1-neos ö (l-neos ö)2
f rr~ aA
VL
^aretg
n
-12 2 + n2
i+n e
lL+n tg2
+ 8+-
N4
360N,2
6n sin e
(2 + n2 )(1-neos e)
6 (1-n°) sin e (2 + n2 )2 (1- neos e)°
■ + а.
Для нахождения гидродинамического давления из уравнения
f ~ ~ \
dpi »i(e) Фа. = ,» Jt* 0
h2 (e) h3(e)
de »0 de
сначала определим », (ö) . Для этого выражение », (ö) = eapi-ßJl продифференцируем:
d»i (е)=а» (е)dpf + а» (е)dE± -
= а»0 (е) dö+a»L (е) de (42)
d е
d е
-Р»1 (е) %-ß»0 (е) f.
r=0
оо оо I
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2018, Vol 57, no.1
йТ
Для определения - используем формулу
й0
для скорости диссипации энергии Т __ 24ц0ц, (0)вОгоИ(0) й0 = ~
T cph C2
(43)
<(¡0 uo^YtfOQ, ü'®
( ~ ff /
Л
d
0 IИ2(0) И(0)ЛИ2(0) И(0),
Подставим (43) в (42) и сделав ряд преобразований с точностью до членов О ( Ка^ ( 0 )), получим:
Результаты исследований и их обсуждение
Перейдем к определению основных рабочих характеристик подшипника.
Для составляющей вектора поддерживающей силы и силы трения с учетом выражений (19), (21), (33), (47) получим:
Ry =
( 2ц0 +к0 )Отс
in A (e)| = ßDft 2
3 2гГ P Л - Jl Po - P* + KPi Js
o V
6j ( 2|o + Ko )Qro3nn((l- П2 ) +1)
sin ed e =
CT(Vl (e) + D2J2 (e) + D3J1 (e)) ■ 82(2 + n2W(i-n2)3
(Ao + к (Ai + m A,
+-
C
где
(Di j (e)+Ä2 j (e)+Ä3 j (e)+Ä4 j (e))
R =
( 2Ao + Ko ^
3 2n
(44)
ri P Л Jl p —* +Kpl cos ed e = o; (47)
Ô2 J Г P
o v
2 2n
D =
24ao^rp,
T*cpS2 '
Di =jvo(£)v;(£)d
L* =
( 2Ao +Ko )^ro
J
Ao
duo dr
к Al ^
dr
d e =
D2 =J(vo (£)• U'i (£))d
j ( 2Ao +Ko )^ro2 S
Л3 = {«(£)• и0(£))"£; Л4 = |и0(£)• и[(45) о о
Подставим значения (45) в (44), после чего полученную функцию (0) заменим ее усредненным интегральным значением:
„ п 7+2п2 2+п2 N4 2я2О|10р-, 1 12+
_ N 2л 2MKAi 2n*/i+n -A^—---;-i arctg —, +
+
f
6 Ni i + n 3(Ao + AMK ) ( 2 + П2 )
arctg
n
2 (i _n) +
2+п2 12(1-п2 )1 720 N
Д1 = 1-е \ (46)
Тогда для р1 окончательно получаем выра-
i + n 8n
r arctg
n
i + n
n
жение:
36n2
( 2+n2)V
== arctg
-n2 6sin e
Pi= j(Ai+ М A o)
6nsin e
(2+n2)(i_ncose) (2+n2)(i_ncose)2
i _n e
По результатам численных расчетов построены графики, приведенные на рис. 2-5.
(47)
)) ;
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 1 (57) 2018
Рис. 2. Зависимость компонента
Рис. 3. Зависимость компонента
поддерживающей силы (Я ) от параметра а, поддерживающей силы (Я ) от параметра связи N
характеризующего зависимость вязкости
от давления, и от параметра в, характеризующего зависимость вязкости смазочного материала от температуры
и от параметра Ж1, характеризующего размер молекул смазочного материала
¿хрИ
Рис. 4. Зависимость силы трения Ьтр от параметра а, характеризующего зависимость вязкости от давления, и от параметра в, характеризующего зависимость вязкости смазочного материала от температуры
Результаты численного анализа полученных аналитических выражений показывают, что нагрузочная способность радиальных подшипников скольжения, рассчитанная для микрополярных смазочных материалов с учетом легкоплавкого металлического расплава, существенно зависит от параметров: параметра Ж1, характеризующего размер молекул смазочного материала; параметра связи Ж2; параметра а, обусловленного зависимостью вязкости смазочного материала от давления. При увеличении этих параметров несущая способность резко возрастает; при возрастании параметра в , обусловленного зависимостью вязкости сма-
0.14-
Рис. 5. Зависимость силы трения Ьтр от параметра Ж1, характеризующего размер молекул смазочного материала, и от параметра связи Ж2
зочного материала от температуры, несущая способность уменьшается. Сила трения, наоборот уменьшается при увеличении параметра Ж1, характеризующего размер молекул смазочного материала; параметра связи Ж2; параметра а, обусловленного зависимостью вязкости смазочного материала от давления; а при увеличении параметра в , обусловленного зависимостью вязкости
смазочного материала от температуры, сила трения резко увеличивается.
Публикация осуществлена в рамках реализации гранта ОАО «РЖД» 2210370/22.12.2016 на
оо ео I
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2018, Vol 57, no.1
развитие научно-педагогических школ в области железнодорожного транспорта.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кропачев, Д.Ю. Способы оперативного измерения температуры расплава металлов для нужд машиностроительных предприятий // Литье и металлургия. 2012. No. 3 (66). С. 126-127.
2. Уилсон Р. Смазка с расплавом // Проблемы трения и смазки. 1976. No. 1. С. 19.
3. Беретта Н. Подшипники скольжения, смазываемые собственным расплавом или продуктом сублимации // Труды Амер. обва инж.-мех. 1992. No. 1. С. 86-90.
4. Физические величины. Справочник. М. : Энергоатомиздат, 1991.
5. Хавин, В.Я. Краткий химический справочник. Л. : Химия, 1991.
6. Перельман, В.И. Краткий справочник химика. М.-Л. : Химия, 1964.
7. Справочник по пайке. М. : Машиностроение, 1984.
8. Котельницкая, Л.И., Демидова Н.Н. Расчет радиальных с эффективной работой на смазке с расплавом в турбулентном режиме // Вестн. Ростов. гос. ун-та путей сообщ. 2002. No. 2. С. 18-23.
9. Приходько В.М., Котельницкая Л.И. Математическая модель гидродинамической смазки при плавлении опорной поверхности радиального подшипника // Трение и износ. 2001. Т. 22. No. 6. С. 606-608.
10. Задорожная Е.А., Мухортов И.В., Леванов И.Г. Применение неньютоновских моделей смазочных жидкостей при расчете слож-нонагруженных узлов трения поршневых и роторных машин // Трение и смазка в машинах и механизмах. 2011. No. 7. С. 22-30.
11. Прокопьев В.Н. Бояршинова А.К., Задорожная Е.А. Динамика сложнонагруженного подшипника, смазываемого неньютоновской жидкостью // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2005. No. 6. С. 108-114.
12. Совершенствование методики расчета сложнонагруженных подшипников скольжения, смазываемых неньютоновскими маслами / В.Н. Прокопьев и др. // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. No. 1. С. 63-67.
13. Working Out of an Analytical Model of a Radial Bearing Taking into Account Dependence of Viscous Characteristics of Micropolar Lubrication on Pressure and Temperature / K.S. Akhverdiev, M.A. Mukutadze, E.O. Lagunova, K.S. Solop // International Journal of Applied Engineering Research ISSN 0973-4562. 2017. Vol. 12. Number 15. pp. 4840-4846.
14. Lagunova E.O. Simulation Model of Radial Bearing, Taking into Account the Dependence of Viscosity Characteristics of MicroPolar Lubricant Material on Temperature / E.O. Lagunova // International Journal of Applied Engineering Research ISSN 0973-4562. 2017. Vol. 12. N 12. pp. 3346-3352.
15. Lagunova E.O. Computation model of radial bearing taking into account the depend-ence of the viscosity of lubricant on pressure and temperature // Global Journal of Pure and Applied Mathematics. ISSN 0973-1768. 2017. Vol. 13. N 7. pp. 3531-3542.
16. Гидродинамический расчет радиального подшипника, смазываемого расплавом легкоплавкого покрытия при наличии смазочного материала / К.С. Ахвердиев и др. // Вестник РГУПС. 2017. No. 2 (66). С. 129-135.
17. Василенко В.В. Лагунова Е.О., Мукутадзе М.А. Гидродинамический расчет радиального подшипника, смазываемого расплавом легкоплавкого покрытия при наличии смазочного материала // Науковедение : интернет-журнал. 2017. Т. 9. No. 5. https://naukovedenie.ru/PDF/20TVN517.pdf. (дата обращения: 22.09.2017).
18. Клиновидные опоры скольжения, работающие на микрополярном смазочном материале, обусловленные расплавом / К.С. Ахвердиев и др. // Вестник РГУПС. 2017. No. 3 (67). С. 8-15.
19. Lagunova E.O. Working Out of an Analytical Model of an Axial Bearing Taking into Account Dependence of Viscous Characteristics of Micropolar Lubrication on Pressure and Tempera-ture / E.O. Lagunova, M.A. Mukutadze, K.S. Solop // International Journal of Applied Engineering Research ISSN 0973-4562. 2017. Vol. 12. N 14. pp. 4644-4650.
20. Ахвердиев К.С., Лагунова Е.О., Василенко В.В. Расчетная модель радиального подшипника, смазываемого расплавом, с учетом зависимости вязкости от давления // Вестник ДГТУ. 2017. No. 3 (90). С. 27-37.
21. Lagunova E.O. Wedge-Shaped Sliding Supports Operating on Viscoelastic Lubricant Material Due to the Melt, Taking Into Account the Dependence of Viscosity and Shear Modulus on Pressure // International Journal of Applied Engineering Research ISSN 09734562. 2017Vol. 12 N 19. pp. 9120-9127.
22. Lagunova E.O. Radial Plain Bearings Operating on Viscoelastic Lubricant Caused by the Melt, Taking into Account the Dependence of the Viscosity of the Lubricant and the Shear Modulus on the Pressure / E.O. Lagunova // International Journal of Applied Engineering Research ISSN 0973-4562. 2017. Vol. 12. N 19. pp. 9128-9137.
23. Calculation Model of the Radial Bearing, Caused by the Melt, Taking into Account the Dependence of Viscosity on Pressure / V.V. Vasilenko, E.O. Lagunova, M.A. Mukutadze, V.M. Prikhodko // International Journal of Applied Engineering Research ISSN 0973-4562 2017. Vol. 12. N 19. Рp. 9138-9148.
24. Лагунова Е.О. Клиновидные опоры скольжения, работающие на электропроводящем смазочном материале, обусловленные расплавом // Современные фундаментальные и прикладные исследования. 2017. No. 4 (27). Ч. 1. С. 20-31.
REFERENCES
1. Kropachev, D.Yu. Sposoby operativnogo izmereniya temperatury rasplava metallov dlya nuzhd mashinostroitel'nykh predpriyatii [Methods of operative measurement of the temperature of metal melt for the needs of machine-building enterprises]. Lit'e i metallurgiya [Foundryproduction and metallurgy], 2012, No. 3 (66), pp. 126-127.
2. Uilson R. Smazka s rasplavom [Lubricant with melt]. Problemy treniya i smazki [Journal of Lubrication Technology], 1976, No. 1, p. 19.
3. Beretta N. Podshipniki skol'zheniya, smazyvaemye sobstvennym rasplavom ili produktom sublimatsii [Slip bearings lubricated by their own melt or a product of sublimation]. TrudyAmer. obva inzh.-mekh. [Proceedings of ASME], 1992. No. 1, pp. 86-90.
4. Fizicheskie velichiny. Spravochnik [Physical quantities. Reference book]. Moscow : Energoatomizdat Publ., 1991.
5. Khavin, V.Ya. Kratkii khimicheskii spravochnik [Brief Chemical Handbook]. Leningrad : Khimiya Publ., 1991.
6. Perel'man, V.I. Kratkii spravochnik khimika [Quick reference book of the chemist]. Moscow-Leningrad : Khimiya Publ., 1964.
7. Spravochnik po paike [Handbook of soldering]. Moscow : Mashinostroenie Publ., 1984.
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 1 (57) 2018
8. Kotel'nitskaya, L.I., Demidova N.N. Raschet radial'nykh s effektivnoi rabotoi na smazke s rasplavom v turbulentnom rezhime [Calculation of radial with effective work on lubrication with a melt in turbulent mode]. Vestn. Rostov. gos. un-taputei soobshch. [Vest-nikRGUPS], 2002, No. 2, pp. 18-23.
9. Prikhod'ko V.M., Kotel'nitskaya L.I. Matematicheskaya model' gidrodinamicheskoi smazki pri plavlenii opornoi poverkhnosti ra-dial'nogo podshipnika [A mathematical model of hydrodynamic lubrication during melting of the support surface of a radial bearing]. Trenie i iznos [Friction and wear], 2001, Vol. 22, No. 6, pp. 606-608.
10. Zadorozhnaya E.A., Mukhortov I.V., Levanov I.G. Primenenie nen'yutonovskikh modelei smazochnykh zhidkostei pri raschete slozhnonagruzhennykh uzlov treniya porshnevykh i rotornykh mashin [Application of non-Newtonian models of lubricating fluids in the calculation of complex loaded friction units of piston and rotor machines]. Trenie i smazka v mashinakh i mekhanizmakh [Friction and lubrication in machines and mechanisms], 2011, No. 7, pp. 22-30.
11. Prokop'ev V.N. Boyarshinova A.K., Zadorozhnaya E.A. Dinamika slozhnonagruzhennogo podshipnika, smazyvaemogo nen'-yutonovskoi zhidkost'yu [Dynamics of a complex loaded bearing lubricated by a non-Newton liquid]. Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin [Journal of Machinery Manufacture and Reliability], 2005, No. 6, pp. 108-114.
12. Prokop'ev V.N. et al. Sovershenstvovanie metodiki rascheta slozhnonagruzhennykh podshipnikov skol'zheniya, smazyvaemykh ne-n'yutonovskimi maslami [Improvement of the calculation technique for complex loaded sliding bearings lubricated with non-Newtonian oils]. Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin [Journal ofMachinery Manufacture and Reliability], 2010, No. 1, pp. 63-67.
13. Akhverdiev K.S., Mukutadze M.A., Lagunova E.O., Solop K.S. Working Out of an Analytical Model of a Radial Bearing Taking into Account Dependence of Viscous Characteristics of Micropolar Lubrication on Pressure and Temperature. International Journal of Applied Engineering Research, ISSN 0973-4562, 2017, Vol. 12, No. 15, pp. 4840-4846.
14. Lagunova E.O. Simulation Model of Radial Bearing, Taking into Account the Dependence of Viscosity Characteristics of MicroPolar Lubricant Material on Temperature. International Journal of Applied Engineering Research, ISSN 0973-4562, 2017, Vol. 12, N 12, pp. 3346-3352.
15. Lagunova E.O. Computation model of radial bearing taking into account the dependence of the viscosity of lubricant on pressure and temperature. Global Journal of Pure and Applied Mathematics, ISSN 0973-1768, 2017, Vol. 13, N 7, pp. 3531-3542.
16. Akhverdiev K.S. et al. Gidrodinamicheskii raschet radial'nogo podshipnika, smazyvaemogo rasplavom legkoplavkogo pokrytiya pri nalichii smazochnogo materiala [Hydrodynamic calculation of a radial bearing lubricated by a melt of a low-melting coating in the presence of a lubricant]. VestnikRGUPS, 2017, No. 2 (66), pp. 129-135.
17. Vasilenko V.V. Lagunova E.O., Mukutadze M.A. Gidrodinamicheskii raschet radial'nogo podshipnika, smazyvaemogo rasplavom legkoplavkogo pokrytiya pri nalichii smazochnogo materiala [Hydrodynamic calculation of a radial bearing lubricated by a melt of a low-melting coating in the presence of a lubricant]. Naukovedenie : internet-zhurnal [Science studies. Online magazine], 2017, Vol. 9, No. 5. https://naukovedenie.ru/PDF/20TVN517.pdf. (Access date: 22.09.2017).
18. Akhverdiev K.S. et al. Klinovidnye opory skol'zheniya, rabotayushchie na mikropolyarnom smazochnom materiale, obuslovlennye rasplavom [Wedge-shaped sliding supports operating on a micropolar lubricant due to a melt]. Vestnik RGUPS, 2017, No. 3 (67), pp. 8-15.
19. Lagunova E.O., Mukutadze M.A., Solop K.S. Working Out of an Analytical Model of an Axial Bearing Taking into Account Dependence of Viscous Characteristics of Micropolar Lubrication on Pressure and Temperature. International Journal of Applied Engineering Research, ISSN 0973-4562, 2017, Vol. 12, N 14, pp. 4644-4650.
20. Akhverdiev K.S., Lagunova E.O., Vasilenko V.V. Raschetnaya model' radial'nogo podshipnika, smazyvaemogo rasplavom, s uchetom zavisimosti vyazkosti ot davleniya [Calculation model of a radial bearing lubricated by a melt, taking into account the dependence of viscosity on pressure]. VestnikDGTU [Vestnikof DSTU], 2017, No. 3 (90), pp. 27-37.
21. Lagunova E.O. Wedge-Shaped Sliding Supports Operating on Viscoelastic Lubricant Material Due to the Melt, Taking Into Account the Dependence of Viscosity and Shear Modulus on Pressure. International Journal of Applied Engineering Research, ISSN 09734562, 2017,Vol. 12, N 19, pp. 9120-9127.
22. Lagunova E.O. Radial Plain Bearings Operating on Viscoelastic Lubricant Caused by the Melt, Taking into Account the Dependence of the Viscosity of the Lubricant and the Shear Modulus on the Pressure. International Journal of Applied Engineering Research,, ISSN 0973-4562, 2017, Vol. 12, N 19, pp. 9128-9137.
23. Vasilenko V.V., Lagunova E.O., Mukutadze M.A., Prikhodko V.M. Calculation Model of the Radial Bearing, Caused by the Melt, Taking into Account the Dependence of Viscosity on Pressure. International Journal of Applied Engineering Research, ISSN 09734562, 2017, Vol. 12, N 19, pp. 9138-9148.
24. Lagunova E.O. Klinovidnye opory skol'zheniya, rabotayushchie na elektroprovodyashchem smazochnom materiale, obuslov-lennye rasplavom [Wedge-shaped sliding supports operating on an electrically conductive lubricant, caused by a melt]. Sovremennye fundamental'nye iprikladnye issledovaniya [Modern fundamental and applied researches], 2017, No. 4 (27), Part 1, pp. 20-31.
Информация об авторах
Лагунова Елена Олеговна - к. т. н., доцент, кафедра «Высшая математика», Ростовский государственный университет путей сообщения, г. Ростов-на-Дону, e-mail: [email protected]
Для цитирования Лагунова Е. О. Расчетная модель радиального подшипника, обусловленная расплавом, в турбулентном режиме с учетом зависимости вязкости неньютоновского смазочного материала от давления и температуры / Е. О. Лагунова // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. -2018. - Т. 57, № 1. - С. 31-40. - DOI: 10.26731/1813-9108.2018.1(57).31-40
Authors
Lagunova Elena Olegovna - Ph.D. in Engineering Science, Assoc. Prof., the Subdepartment of Higher Mathematics, Rostov State Transport University, Rostov-on-Don,
e-mail: [email protected]
For citation
Lagunova E.O. The flux-conditioned design model of the radial bearing in turbulent mode with account of the non-Newton lubricant viscosity dependence on pressure and temperature. Modern Technologies. System Analysis. Modeling, 2018, Vol. 57, No. 1, pp. 31-40. -DOI: 10.26731/1813-9108.2018.1(57).31-40
