CC BY
19
СТРОИТЕЛЬСТВО
УДК 624.04.001.891.573
РАСЧЕТ ВИСЯЧИХ КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ ПОВЫШЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ ПО ДЕФОРМИРОВАННОМУ СОСТОЯНИЮ
© 2004 г. Н.А. Бузало, И.Д. Платонова
Развитие транспортных сетей ряда регионов связано с организацией перехода через препятствия и водные преграды, имеющие большую протяженность. Во многих случаях эффективным решением могут стать пролетные строения в виде висячих и вантовых систем. Принятие того или иного конструктивного решения должно выполняться на основе технико-экономического сравнения вариантов, которое возможно при наличии доступного способа определения усилий и перемещений в системах различной конфигурации с учетом геометрической нелинейности. Такая задача для висячих и вантовых конструкций с использованием современных методов и средств аппаратного обеспечения не решена.
Предлагается методика расчета комбинированных конструкций с различным типом подвесок, в том числе систем с наклонными подвесками, которые можно классифицировать как системы со связями, наложенными на кабель и балку жесткости. Система наклонных подвесок, снижая деформативность конструкции, вызывает появление переменных распоров в кабеле и переменных продольных усилий в балке, что значительно затрудняет деформационный расчет таких систем. Поэтому известно лишь незначительное число работ, посвященных расчету висячих комбинированных систем с наклонными подвесками по деформированной схеме.
Рассмотрим висячую комбинированную систему, у которой опорные узлы кабеля закреплены упругопо-датливо (точки 0 и п), балка жесткости имеет упру-гоподатливую горизонтальную связь в одной из опор (точка т) и подкреплена упругоподатливыми связями-подвесками в узлах ] = 1,..., т -1 (рис. 1). Определим напряженно-деформированное состояние висячей комбинированной системы, вызванное временной нагрузкой, приложенной в узлах балки жесткости.
Исходное состояние конструкций характеризуется заданной постоянной нагрузкой с известными при этом внутренними усилиями и геометрическим положением всех точек.
При выводе уравнений деформационного расчета откажемся от некоторых допущений, принятых в работе [1]. Учтем в расчете продольные деформации подвесок, горизонтальные перемещения узлов кабеля, вызывающие перекос подвесок, а также продольную силу, возникающую в панелях балки жесткости при отклонении подвесок от вертикального положения при загружении конструкции.
Rox
Rny
Rnx
m
У
Рис. 1. Расчетная схема висячей комбинированной системы
При приложении временной нагрузки на балку жесткости усилия в элементах кабеля, в подвесках являются функциями перемещений их концов и величин предварительного натяжения. Выразим усилия в элементах конструкции через перемещения и запишем уравнения равновесия для каждого узла, таким образом получим систему уравнений относительно неизвестных перемещений.
Под действием временной нагрузки элемент у
перемещается в новое положение /]' (рис. 2). Здесь , и] - горизонтальные перемещения концов элемента, , у] - вертикальные.
Рис. 2. Положение элемента до и после приложения нагрузки
0
x
Следуя методике работы [2], выразим упругое удлинение элемента ] через перемещения его концов
Л, ( ) - Х] ( ) - У]
Ч = ( - и])+( - ^)■
'у 'г]
Продольное усилие, соответствующее этому удлинению,
ЕЛ,,
- ,
11 '«
N,, = 1 I
i
у
(и.- - и1 }
xi- x1
1
1 Vi - У1 ( - v1
1
. (1)
Помимо удлинения элемента, учтем его поворот на угол ф (ввиду малости деформации примем соБф ^ 1). Так как полная продольная сила в элементе I ]' после деформации складывается из известного усилия от постоянной нагрузки N0 и усилия от упругого удлинения элемента N у, то её проекция в направлении начального положения элемента ] составляет (N0 + N ]) соБф, а в направлении, перпендикулярном ], - д = (м0- + N]) вшф.
Запишем проекции усилий N у и д - на оси X и У :
Щ t x i =—1 ( -i
x - xj
1
EA,
l,
1
( - v, )
x i - X1 y i - yj
(( -l
y i - yj
N + N ■■ ij ij
\Xi -x, y, -y, N0 + N
i Y'i "jSi S j " ij ' " ij
-(vi- vj >~
ij
L,
L
Yi =1
EAj ( ^
ij l
EA
ij ij xi -x, уi -y
ij
l
ij
ij
l
yi - y j
ij
xt -xj уi -У, n0 + ni
lij
l
(vi -1
xi - xj
I,
lij
N + N--ij ij
lij
Обозначим в полученных выражениях:
xi - x j
а а =--
ij l
= у, - Уj 'ij lij
, ßj =■
EA,
N + N-ij ij
lij
у у у у
а] = ']а2 , Ъг] =']Р2 , С- = г,-ау Р] .
После преобразований имеем:
Хг] = (аг] + кг]Ъ], 1иг - и] С,, (1 - к,, XV - V] ^ (2)
Уг] = Сг] (1 - к] Ь г -и] )+(Ъг] + к]а] }Уг - V] - . (3)
По рис. 1 номерам узлов кабеля соответствует индекс г, а номерам узлов балки жесткости - индекс ] , тогда все параметры подвески, находящейся между узлами и ] , будут иметь индекс ] , все параметры участка кабеля между узлами г -1 иг - индекс г, а параметры панели балки жесткости между узлами ] -1 и ] - индекс ] .
0
X
Рис. 3. Узел г кабеля
Запишем условия равновесия узла кабеля, применяя уравнения (2) и (3) не только для элементов кабеля, но и для подвесок (рис. 3):
Е X = 0;
-(аг + кгЪг Х«г-1 - иг - - Сг (1 - кг Ъ'г-1 - Vг - + + (аг+1 + кг+1Ъг+1 — - иг+1 — Сг+1 (1 - кг+1 - Уг+1 )-
-(аг] -1 + к,, -1Ъ г]-1 —(иг - и] -1 )-С г]-1 1 - кг]-1 }Уг - V]' -1 + (аг]+1 + кг]+1Ъ г]+1 )(иг -и]+1 )+ Сг]+1 (1-кг]+1 )(^г -Vl+1 )= 0;(4)
Е У = 0;
-Сг (1 - кг Хиг-1 - иг )- (Ъг + кгаг Ъ'г-1 - V ) + + Сг+1 (1 - к г+1 Х«г' - иг+1 )+(Ъг+1 + кг+1аг+1 Уу г - ^+1 ) + + Сг--1 (1 - к г] -1 1иг - и ]-1 )+ (Ъг]-1 + к г] -1а г] -1 г - v^ -1 )+ + Сг]+1 (1-кг]+1 )(иг -и]+1 )+ (Ъг]+1 + кг]+1аг]+1 Ь г -Vl+1 )= 0 .(5)
Преобразуем в^1ражения (4) и (5), при этом учтем, что горизонтальное перемещение точки ] балки соответствует перемещению её как жесткого диска и б .
-(аг + кгЪг )иг -1 +
+ к Ъ + а +1 + к +1 Ъ +1 + Е(а г] + к]Ъ] ) I Щ -] _
- (у +1 + кг+1 Ъг+1 )иг +1 - Е (аг] + кг]Ъг] ) иб - Сг ( - кг )vг-1 +
]
+ С г - С г к г + С г +1 - С г +1 кг+1 + Е С г] ( - кг] ) V -_ 1 _
- Сг+1 (1 - кг+1 ) +1 - Е С г] (1 - к] = 0; (6)
2
+
+
+
l
l
2
l
+
2
+
+
- Сг(1 - К )u,-1 +
Сг - Сгкг + Сг +1 - Сг +\кг +1 + X СЦ ( - kj )
] _
- Сг +1 (l - кг +1 ) иг +1 - X Сг] l1 - kj ) «б - ( + кгаг ) V -1 +
Ьг + кгаг + Ьг +1 + кг+1аг +1 + X ( + kijaij ) V -
] _
- ( +\ + кг +\аг+1 ) V +\ - X (Ьу + jj ) = 0 . (7)
Уравнения (6) и (7) выражают условия равновесия рядового узла кабеля от 1 до п -1 включительно. Узлы 0 и п - пилонные узлы системы. Представим реакции упругоподатливых опор 0 и п в виде:
К0х = Г0хи0, К0у = г0уу0 , Кпх = Гпхип , Кпу = ГпуУп ,
где г0х, г0у, гпх, гпу - жесткости соответствующих
упругоподатливых связей.
Запишем условия равновесия для пилонного узла 0:
X * = 0;
( + )и0 - и] )+ с\ ( - кх Ху0 - у1 ) + + X [((0] + к0Д] )(и0 - иу) + С0]( - к0] )(у0 - у])] -
-R0x = 0;
X Y = 0;
c\(1 - к\Xм0 -u\ ЫЬ\ + k\a\ Xv0 - V\ )+
+ X [c0 j ( - к0 j Хм0 - uj) + (0 j + к0ja0 j Xv0 - Vj )]
]
-R0y = 0.
Преобразуем:
- r00x + (а\ + к\Ь\) + X (а0 j + к0 jb0 j )
u0 -
- (а1 + к\Ь\) u +
С\( - к\ )+X С0 j ( - к0 j)
- С\( - к\) v\ - X (а0 j + к0 jb0 j ) иб -
j
-X С0 j (1 - к0 j = 0; (8)
(c\ - С\к\ )+X С0 j( - к0 j)
(Ь1 + к1а1 )+ X (b0 j + к0ja0 j )- '0y
0 (c\ c\k\ +
V0 -(Ь\ + к\а\ )v\ -
Аналогично получаем условия равновесия для пи-лонного узла п .
Таким образом, имеем уравнения равновесия для каждого из узлов кабеля, зависящие от вертикальных и горизонтальных перемещений узлов кабеля и балки. Представим уравнения (6) - (9) в матричном виде, полагая в них / = 0,1,2,..., п, ] = 1,2,..., т -1:
[( + кь )(с - кс)-(( - кс)- а] = 0;
[(с - кс) (Ь + ка) -(( - ка) - С ] г = 0.(10)
В уравнениях (10) приняты обозначения:
а\ +X а0 j - r0 x
- а1
а\ + а2 + j
-а
а + > а - r
n "n ' Z-t nj ' nx
;(W)
k\а\ + Xk0 ja0 j k\a\
]
- к1 а1 к1 а1 + к2а2 + X к1 j а1 j - к2
К =
С01 С02 - С
0m-\
С С - С
- knan
Й =
+XK^nj j
cn1 cn2 С
kc =
nm -1
к01 С01 к02С02 к11 С11 к12 С12
0m -1
Ь01 Ь02 - Ь Ь11 Ь12 - Ь1
bn1 Ь n2 Ьnm-\
к 0m-1c 0m -1 - k\m-\С\m-\
к n1c n1 к n2 cn2 knm-\Сnm-\
k а =
к01 а01 к02 а02
к11 а11
к\2 а\2
к 0m-\a0m-\
- к1 m -1 а1 m -1
кn\an\ к n2 an2 к nm-\ anm-\
A =
^ (a0j + к0 Aj
X(a\ j + к\;Ь\j)
j
X(anj + Mnj )
; С =
X(c0 j - к
0 j 0 j
X(c\ j- к\ jc\j)
j
X(fnj - k nj С nj )
- X(c0 j - c0jk0 j ) Мб - X^ j + k0 ja0 j ) Vj = 0 . (9) г = |«0«\...un V0V\...Vn V\V2...Vm -\ МбГ .
-а
-а
2
a =
+
Матрицы Ь, с и кь, кС представляют собой аналогичные (11) трехдиагональные матрицы, состав-
ленные соответственно из элементов Ъ ] , С ]
к]С].
kjbj ■
Полученные уравнения равновесия узлов кабеля (10) учитывают влияние на усилия в элементах висячей системы как удлинения подвесок, так и их перекоса в процессе деформирования.
Балка жесткости висячей комбинированной системы переменного сечения, опертая на ряд упругопо-датливых связей, находится под действием поперечной и продольной нагрузок (рис. 4). Поперечную нагрузку представим в виде вектора узловых сил Р = И Р2 - Рт-1\. Продольная сила, возникающая в балке от горизонтальных составляющих усилий в наклонных подвесках, скачкообразно меняет свою величину в узлах прикрепления подвесок, оставаясь постоянной в пределах панели.
j-1
, lj l,+1
для сжатой панели t- =
3(tgv j - v j)
V 2 tgv
sj = 6
vj- slnvj v2 slnv j
v j =
Nll 2 „ „Д-Лд - и для растянутой панели ti = 3 -
Е1 :
ц2Шц
„ shu - ц
sj = 6-2—' цj =
ц shu
Njl
jj
ei,
; Фа,а-1, Фj,j+1 - бал°ч"
ные углы поворота концевых сечений панелей, свободно опертых в узлах примыкания подвесок, от пролетных нагрузок (можно определить по формулам работы [3]). Если к системе приложена только узловая нагрузка, то эти углы равны единице.
Исходя из условия неразрывности деформаций, приравняем правые части выражений (12) и (13)
М
+ M
j+1
j-1
ls
6EI
ls
бШ
j+1
+M
lt
Ш
lt
3EI
j+1
((, - а )+(ф (ц -Ф б, ,+i). (14)
Умножим все члены уравнения (14) на произволь-
Е10
ную погонную жесткость -. При этом учтем узло-
10
вой характер приложения нагрузки, введем обозначения: < = , ] = , у; = -1 - и
] ] Е1] '0 1 1 Е1] '0 '] I]
получим
-1 +2(!'] + ^ + 4+1 М]+1 =
Рис. 4. Узел ] балки жесткости
Условие неразрывности деформаций над ] -й промежуточной опорой при переходе системы из исходного состояния в расчетное представим в виде: Ту ]-1 = V, ] +1 (взаимный угол поворота смежных
сечений над опорой равен нулю). Углы поворота концевого сечения ((-1) панели и начального сечения ] -й панели от полной нагрузки в деформированном состоянии определяются равенствами [3]:
к ^ , , ( ^
^аа-1 =-М,\ш I -M,-1
6EI
,1 = М,
3EI
+ М
j+1
j+1
ls
6EI
j+1
+ а, + ф(, -1 ;(12)
+ аа+1 +фб а+1.(13)
Здесь а ] - углы перекоса, определяемые равенст-
V1 - V ] -1
вом а] =-; Sj и t1■ - функции Жуковского,
которые согласно [3] можно вычислить по формулам:
= 6(- г]"]-1 + (] + Г]+1I) - Г]+1^+1). (15) '0
Уравнения вида (15) составим для каждой промежуточной опоры] = 1,2,...,т -1, над которой была удалена связь, препятствующая взаимному повороту двух сечений. В результате имеем матричное уравнение, связывающее прогибы и изгибающие моменты в сечениях балки жесткости
Здесь у =
Б0у v = isM .
(1 + Y 2 ) - Y 2 - Y 2 (( 2 + Y 3) - Y 3
(16)
Y m-1 (( m-1 + Y m
ts =
2(/i +12) s 2
s 2 2(( 2 +13)
Sm-1 2((m-1 + tm /
+
+
lt
v = V\ V 2 - V к
!-\
M = |M\ M2 - Mm-\ Г , B0 = 6
щ l0
В уравнении (16) неизвестными являются изгибающие моменты М у, прогибы балки жесткости у у в
сечениях с упругоподатливыми связями и продольные силы N у. Дополнительные уравнения получим из
условия равновесия сил на упругоподатливых опорах (рис. 4)
М]-1-М]_+М]+1-М] N-+1 (у]+1-у]).
ч+\
ч+wj\- j lj+\
nj (vj - vj -\)
. IV ■ - V ■ _ I j v j j " = p - у
i j j
или
- у М- +(у ] + у ]+1 )м] - у ]+1 М]+1 - у ]^]у] - +
+ (УN + у]+1 N'+1Ь - У]+1 N+1] = И - У]. (17)
Составив уравнения, аналогичные (17), для каждой промежуточной опоры (] = 1,2,..., т -1), найдем матричное выражение, связывающее изгибающие моменты М ] в балке жесткости с вертикальными
реакциями условных упругоподатливых опор балки
У,
Y M + Nv = Р- Y .
(18)
Здесь
N =
(Y\N\ + У2N2 ) - у2N2
- Y 2 N2 (2 N2 + Y3 N3 ) - Уз N3
равновесия узла ] балки жесткости. Вертикальная реакция условной опоры ] равна сумме вертикальных составляющих усилий в подвесках (определим по выражению (3)), сходящихся в узле ]
У] = -Х С](1 - к]) и - X(ь] + к]а]) у +
+V
j X (Ьгу + ку ау )+ U б X С у (1 - ку ).
(20)
Матричное уравнение равновесия для всех узлов балки жесткости получим, записывая выражение (20) для ] = 1,2,... , т -1
( - К )Т - ( - ka )Т B С
г = Y,
(21)
где
B=
X( + к\га\г)
X (Ь2\г' + к2г а2г )
X(Ьm-\i + km-\ г am-1
С=
X С\г (1 - к\г ) X С2г ( - к2г )
X cm-u ( km-\г
Подставим в уравнение (21) выражение (19)
(с-kc )т -(b-ka )т (B+ h+ N) С
г = Р . (22)
Составим горизонтальную проекцию усилий в элементах, сходящихся в узле ] (по выражению (2))
- XX (а] + ]г] ) иг - XX Сг] (1 - кг] ) V +
- Ут-1 Nm-1 (т-Лт-1 + Ут^
Р = И Р2 - Рт-:|Т , У = |У: У2 - Ут-:|т .
По уравнениям (16) и (18) запишем в матричном виде зависимость между неизвестными прогибами балки жесткости у ] в сечениях, подкрепленных подвесками, продольными силами в панелях балки N] и вертикальными реакциями условных опор У]
(] = 1,2,...,т -1) Ну + N = Р- У , где к = 50у у . При ] = 1,2,...,т -1 имеем матричное уравнение
равновесия горизонтальных составляющих усилий в подвесках для всех узлов балки жесткости
+ XX Ц + кг,Ьг, ) «б + XX Су (1 - ку ) Vj = 0 .
Преобразуем
- X U г X (а у + к УЬ у )- X V г X С у (1 - к jj )+
г j
г j
X Vj X Су (1 - ку )+ u б XX (Цу + куЬ у )= 0.
] г ] г
Выразим вектор вертикальных реакций условных упругоподатливых опор
У = Р-(к+ N)у . (19)
Выразим усилия в панелях балки жесткости через перемещения узлов системы. Составим уравнения
[- AT - Ст Ст A| г = 0,
ГДе A =XX(aj + КуЬУ ).
j г
т
l
Уравнения (10), (22) и (23) представляют собой условия равновесия всех узлов висячей комбинированной системы. Запишем основное матричное уравнение для определения горизонтальных и вертикальных перемещений всех узлов системы:
Dz = Q
(24)
где
D=
(a+ kь) (c-kc )т
(c- kc)
(b+ ka )
c
-(( -ka T
-(с-kc )T -(b - ka )T (+ A+ ЛТ T
- Aт
- С т
С1
-A 0
- С 0
, Q=
С P
A 0
Матрица жесткости D в уравнении (24) представляет собой симметричную матрицу размерностью 2(п +1)+ т на 2(п +1)+ т, включающую в себя неизвестные параметры кг, к] и N]. Вектор Q в уравнении (24) включает в себя временную вертикальную нагрузку Р , приложенную в узлах балки жесткости.
Полученное основное матричное уравнение расчета висячей комбинированной системы (24) является нелинейным относительно коэффициентов кг , кг] и
продольной силы в балке жесткости N]. При учете
изменения усилий нелинейная задача решается методом последовательных приближений [4]. На первом шаге величины кг, к] и N] примем из расчета по
недеформированной схеме. Решим систему линейных уравнений и определим необходимые параметры напряженно-деформированного состояния рассматриваемой конструкции. По найденным значениям продольных усилий в элементах получим величины кг , кг] на втором шаге итерации. Окончание процесса последовательных приближений определим из усло-
k - k ,w+1 ij ,w\
Ik,.,.
< e, где e - задаваемая относи-
г]
тельная точность вычислений.
После того как перемещения узлов системы найдены решением матричного уравнения (24), изгибающие моменты и поперечные силы в сечениях балки жесткости вычислим из уравнения (16)
M = Bo t -
Y v , Q = Y' M
где y =
- Yi
- Y 2
Y 2
- Y m
Продольные усилия в элементах кабеля и подвесках системы находятся по известным перемещениям из равенства (1).
По предложенной методике составлена программа в среде Delphi, которая позволяет получить численные значения вертикальных и горизонтальных перемещений
узлов кабеля и балки, продольных усилий в элементах системы, изгибающих моментов в балке жесткости при любой комбинации вертикальных и наклонных подвесок (рис. 5). Результаты представлены таблицами численных значений искомых величин, графиком вертикальных перемещений балки жесткости, эпюрой изгибающих моментов.
±0 12 3 45 6 7
Рис. 5. Висячая комбинированная система с наклонными подвесками: а - расчетная схема; б - график вертикальных перемещений балки; в - эпюра изгибающих моментов в балке жесткости
Литература
1. Бузало Н.А., Платонова И.Д. Расчет висячей системы по конечно-элементной модели // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2003. №3. С. 51-53.
2. Gotoh S. Solution of Suspension Bridge with Irregular Inclined Hangers // Proceedings symposium of High-Rise and Long-Span Structures, 1964. Tokyo, 1965. P. 67-79.
3. Корноухов Н.В. Прочность и устойчивость стержневых систем. М., 1949.
4. Ананьин А.И. Основные уравнения строительной механи-
ки в нелинейном расчете гибкой нити// Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций. Вып. 6. Воронеж, 2002. С. 69-75.
Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)
17 февраля 2004 г.
а
в
вия
