CC BY
35
УДК 624.04.001.891.573
РАСЧЕТ ВИСЯЧЕИ СИСТЕМЫ ПО КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ МОДЕЛИ
© 2003 г. Н.А. Бузало, И.Д. Платонова
Для расчета висячих и вантовых систем может быть предложено несколько математических моделей: модель с распределенными параметрами, в которой перемещения кабеля и балки жесткости аппроксимируются функциональными рядами со сравнительно малым числом обобщенных координат; конечно-разностная модель, в которой кабель представлен цепью, состоящей из прямых стержней, шарнирно соединенных между собой и подвесками; конечно-элементная модель, в которой неизвестными считаются перемещения всех узлов кабеля и балки жесткости [1].
Рассмотрим конечно-элементную модель одно-пролетной висячей системы. Сделаем следующие допущения [2]:
1) постоянная нагрузка g равномерно распределена по длине пролета. Учитывая, что вес несущей балки составляет небольшую долю от общего веса пролетного строения системы, указанное допущение может быть принято для балок жесткости как постоянного, так и переменного сечения;
2) ось кабеля очерчена по квадратной параболе, изгибающие моменты в балке от постоянной нагрузки равны нулю;
3) рассматриваем только случаи, когда кабель можно отнести к пологим нитям, и поэтому горизонтальными перемещениями точек оси кабеля пренебрегаем;
4) подвески считаем нерастяжимыми.
Цель расчета состоит в определении перемещений балки жесткости в точках прикрепления подвесок при изменении действующей нагрузки, а также вычислении усилий в сечениях элементов системы.
Расчетную схему получаем из заданной системы путем одновременного разрезания всех подвесок (рис. 1). Балку и кабель рассматриваем как отдельные системы с совместными деформациями.
Рис. 1. Расчетная схема висячей системы
Распор и усилия в подвесках от постоянной нагрузки:
Hg =
gl 8 /
N = /-Н
g 12 g
В процессе загружения системы временной нагрузкой усилия в подвесках изменяются на величину X (вектор дополнительных усилий в подвесках от временной нагрузки). Тогда натяжение в подвесках составит Ng + X. В этом случае на балку действуют
силы от собственного веса Ng и временной нагрузки
N (направлены вниз) и натяжения подвесок N и
X (направлены вверх). Суммарные силы, приложенные к балке, составят N = N - X.
Вектор прогибов балки в точках прикрепления подвесок определим с помощью равенства
V = K (N q - X),
(1)
где матрица влияния прогибов К = К'тОКт , Кт -матрица влияния моментов в простой балке; О -матрица упругих грузов; К'т - матрица влияния моментов в фиктивной балке.
Для случая однопролетной системы с балкой постоянного сечения имеет место равенство
Km = K'm = -
l
(n +1)2
-L',
тогда
Km = KL =-
l
L' = П+1 L-1,
-L"1 = L"1.
ё (п +1)
Здесь Ь' - матрица, каждая строка которой состоит из ординат линий влияния моментов в точках
1, 2, ..., п, взятых в масштабе I/(п +1)2; Ь"1 - матрица,
обратная
2 -1 -1 2 -1
Ь = — -1 2 -1
ё
-1 2
Матрицу упругих грузов определяем равенством
ё
G = ■
6EI
-G',
где
4 1
1 4 1
G' = 1 41
14
поэтому
d3
K =-
d3
6(n +1) EI
[6L '2 - (n + 1)L '] =
(n +1)2
6(n +1) EI d
- L-2 d
L"2 - L-
d2 ( 6
6 EI I d
-L"2 - L"
= 0,
(— + X) = H (tgaЛ - tgaf),
(2)
Рис. 2. Узел , после приложения временной нагрузки
Поэтому
(— + X) = H y У,-х - ^t^-v g h 1 d d
+ H (- V-1 + 2V - V+1К d
где i = 1, 2,..., n .
Выражение
yi - У
i - Уг-1 yi +1 - yi
представляет
Произведение двух матриц О' и Ь' представляет собой функцию от матрицы Ь'
О'Ь' = 6Ь' - (п + 1)В ,
где В - единичная матрица размерности п. Тогда
Ь'О'Ь' = 6Ь'2 - (п + 1)Ь',
собой разность тангенсов углов наклона а,0 элементов цепи в узле , до нагружения временной нагрузкой. Для кабеля, ось которого до деформации очерчена по квадратной параболе, эта величина постоянна и равна 8/ё/12 . В векторной форме имеем (82) w, где w - единичный вектор размерности п.
Тогда в векторной форме равенство (2) имеет вид
(n + X)= H f w + HLv .
Между усилиями в подвесках и ординатами оси кабеля после деформации существует следующая зависимость, получаемая проекцией всех сил на ось У :
l2
Из формулы (3) определим вектор X = И ^ w + ИЬу - Nв и подставим в уравнение (1). Получим
(В + НКЬ) = к{N + N -Н/w 1.
(3)
Введем обозначения:
c =
Hd2
(n + 1)EI
(4)
где Н - полный распор от постоянной и временной нагрузок; агл и аг" - углы наклона элементов кабеля слева и справа от узла , в деформированном состоянии. Из рис. 2 видно, что
ШаЛ = 1В + V; - У,-1 - У, -1 ); а
ШаП =1В+1 + У,+1 - У, - У,)-ё
Л =(N+)Lkl = (n +1)( 1L-1 -151;
v' = K(Ng + Nq); u =■
Тогда
8 fEI
(n +1) d3 v = — + cA)-1 — -cu ).
Kw.
(5)
В это уравнение кроме искомого вектора прогибов V входит неизвестный параметр с, зависящий от распора Н .
Составим дополнительное уравнение деформации оси кабеля. По принципу Лагранжа виртуальная работа внешних и внутренних сил от постоянной нагрузки на перемещениях от временной нагрузки равна нулю.
E Nsv -
( Hg H q 2S0 iEjHg Hq Л
cosß cosßEF i=1 cos2af EkF
= 0,
где 8 - длина элемента кабеля между точками , и
п
I -1, ЕкЕ - жесткость кабеля на растяжение, ЕМ^, -
+
работа внешних сил,
ренних сил в оттяжках,
внутренних сил в кабеле.
Г Hg Hq 2S0 Л cosß cosßEF
Г n H H
Е g q
- работа внут-
Л
Si
=1 cos2ai EkF
- работа
8 fd
Учитывая Ng = ~T~ Hg и Hq = H - Hg , получим
8fdH fv. =
,2 gZj i
i=1
Hg(h - Hg) 2So , Hg (H - Hg I
g
Si
cos2ßEkF
EkF
i=i cos a
Здесь
-=Е-
22 =i cos2a. i=i cosa. cos2a.
=Е-
d
H dx
Jo— = M = Ls
10 cos3a
=i cos a
- приведенная длина, ц - табличный коэффициент, зависящий от отношения f ¡1. Тогда
8 fd^
fT Еv = l i =1
((- Hg)
Г
EkF
2So
Л
cos2ß
2n + Ls
(6)
Из уравнения (6) найдем распор H и подставим в выражение (4):
f \
d2
(n + l)EI
Hgd' (n + l)EI
8 fdEkF
Г
l2
V v
2So
-Г" + M
cos2ß
8 fd3 EkF
Е V + Hg
i =1
2S o
-е vi =
lcos2ß
+ M
(n + l)EI
Hgd' (n + l)EI
8 fEkF
2So —2- + M lcos2ß
Hgd2
Обозначим: a = -
(n + l)EI
b =•
Л — е vi.
(n + l)4 EIi =1 8 fEkF
2So —T" + M lcos2ß
тогда
(n +1)4 EI (7)
Полученные уравнения (8) нельзя решить в замкнутом виде, так как они являются нелинейными по отношению к величине c, что характерно для расчета висячих систем по деформированной схеме. Систему решаем методом последовательных приближений. Задав величину ck+1 = ck +Ack (i = 1,2,...,n) и подставив каждое из этих значений в уравнение для v, получим векторы прогибов. Подставив последовательно каждую сумму значений перемещений
n
^vi с соответствующим параметром c в выра-
i=1
жение для f(c), получим ряд значений функции fl(c), f2(c),..., fk(c),... Необходимо отыскать такое значение c, при котором функция f (c) обращается в ноль. Процесс заканчивается, когда первый раз выполняется неравенство f (c )< е , где е - задаваемая точность вычислений. Закончив цикл, определим распор H, усилия в подвесках (Ng + X), вектор изгибающих моментов в сечениях балки жесткости M = Km (Nq - X ) .
По предложенной математической модели составлен проект в программной среде Delphi, который позволяет получить численные значения распора, усилий в подвесках, изгибающих моментов, перемещений в сечениях балки жесткости и представить их графически (рис. 3).
- 0
- -0,1 33
- -0,1 79
- -0,1 43
- -0,082
- -0,032
• 0
200
0
-43 421,993
— -35 050,104
— -7 981,859
— 8 250,624
— 8 839,004
— 0
С = а + Ь^ V,
1=1
Уравнения (5) и (7) являются основными. Представим их в виде:
V = (в + сА)-1 (у' - С и'); /(с) = -с + а + Ь^ у = 0 .(8)
1=1
Совместное решение этих уравнений позволяет найти вектор перемещений, распор, усилия в элементах системы.
б)
Рис. 3. Эпюры перемещений (а) и моментов (б) висячей системы пролетом 200 м, загруженной равномерно распределенной временной нагрузкой на крайней трети пролета
Литература
1. Воронцов Г.В., Бузало Н.А. Математические модели наблюдаемых и управляемых висячих конструкций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2001. № 2. С. 69-73.
2. Смирнов В.А. Висячие мосты больших пролетов. М., 1975.
Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)
27января 2003 г.
1
c =
i=l
3
l
