CC BY
26
УДК 533.951.7:532.517.4
JI. В. Аджемян, Л. Ц. Аджемян
Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2003, вып. 4 (№28)
РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОЙ ВЯЗКОСТИ МЕТОДОМ РЕНОРМГРУППЫ*
Применение метода ренормализационной группы в теории развитой турбулентности позволяет обосновать инфракрасный скейлинг и рассчитывать различные физические величины (критические показатели и скейлинговые функции) в виде ^-разложений. Настоящая работа посвящена вычислению одной из важнейших характеристик турбулентного течения — турбулентной вязкости. Поскольку в литературе этим термином часто обозначают близкие по физическому содержанию, но все же отличные друг от друга величины [1, 2], уточним прежде всего определение турбулентной вязкости.
Статистическая модель развитой однородной изотропной турбулентности несжимаемой жидкости (газа) основывается на стохастическом уравнении Навье-Стокса
dfPi + (<pjdj)4>i - vo&<Pi - diP + Fi . (1)
Здесь ipi(t,x.) — поперечное векторное поле скорости, P(i,x) и Fi(t,x)—давление и поперечная внешняя случайная сила в расчете на единицу массы, vо — кинематический коэффициент вязкости. Для F предполагается гауссово распределение с нулевым средним и заданным коррелятором
(Fi{x)F3(x')) = S(t-t')(2n)~d I dk Pij (k)dp(fc) exp[ik(x — x')], (2)
где Ptj(k) = Sij — kikj/k2 — поперечный проектор; dp{k) — некоторая функция к = |k| и параметров модели; d — размерность пространства х.
Стохастическая задача (1), (2) эквивалентна квантовополевой модели с удвоенным числом поперечных векторных полей ф = {<р, ip'} и действием
5(Ф) = <p'DF<¿//2 + <p'[-dtv + иод2? - {ч>д)ф\, (3)
в котором Dp — коррелятор случайной силы (2), необходимые интегрирования по {f,x} и суммирования по векторным значкам подразумеваются. Модели (3) соответствует стандартная диаграммная техника с затравочными пропагаторами
(¥>(tV(t'))o = 9(t - t') exp [-w0k2(t - t')] , <¥>'(t)v'(0)о = 0, (w)o = dF{k) exp [~u0k2\t - t'\] /2щк2
(4)
в i-k представлении; общий множитель Pij (к) в (4) для простоты опущен. Взаимодействие в (3) соответствует тройной вершине —if'(<ßd)ip = ^Vijgtpjtps/i с вершинным множителем Vijs = i(kjSi3+ks5ij), где к — волновой вектор поля .
Нелинейность уравнения (1) приводит к тому, что полная функция отклика {ip(t)<p'(t')) = G(t — t') и полная корреляционная функция {ip(t)ip(t')) затухают во времени намного быстрее, чем соответствующие затравочные функции в (4). Этот эффект естественно описывать с помощью понятия турбулентной вязкости. Чтобы дать однозначное определение последней, рассмотрим асимптотику функции отклика G(k, t) при больших временах.
Согласно уравнению Дайсона, в импульсно-частотном представлении данная функция выражается через массовый оператор S^/ ^fc, ш) соотношением
G{k, ш) = 1 -—- . (5)
-ш + i/o-
Искомая функция G{k, t) находится из (5) преобразованием Фурье:
G(fc,f) = / — G(fc, üj) = f— -„ ^ . (6)
' J 2тг v ; J 2тг -iu + vok2 -S^]V,(/C,cj) v '
В пренебрежении нелинейностью = 0) интеграл в (6) легко вычисляется по вычетам, что при-
водит к соотношению (4) для затравочной функции Go[k,t — t') = (ip(t)ip'(t'))о. Асимптотика t —> оо точной функции G{k, t) определяется, согласно (6), вычетом в точке ш = Шк, соответствующим минимальному корню Шк дисперсионного уравнения:
G-1^,w) = -гш + и0к2 - S^^CA.u) = 0. (7)
* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета Северных стран (грант №FIN-18/2001). © Л. В. Аджемян, Л. Ц. Аджемян, 2003
Закон затухания Cc¡(k, t) ~ ехр(—uok2t) для затравочной функции отклика сменяется при этом для точной на
G(k, t) ~ ехр(—iuJfcí) = ехр(—fturfe2í), t—> оо. (8)
Соотношение (8) и будет использоваться нами для определения турбулентной вязкости:
vtui(k) = iuk/к2. (9)
Дальнейшая часть статьи посвящена расчету методом ренормгруппы величины (9) в инерционном интервале волновых чисел m<fc«cA, где m_1 = L — интегральный масштаб турбулентности (размер наиболее крупных вихрей), а Л-1 — характерный размер диссипирующих вихрей.
Входящий в (7) массовый оператор и) может быть найден в модели (3) по теории возму-
щений, однако параметр разложения оказывается для развитой турбулентности (при Л » ш) очень большим. Метод ренормгруппы позволяет осуществить пересуммирование этой прямолинейной теории возмущений. Для его применения необходимо использовать в (2) «функцию накачки» dp{k) специального вида [3]
dF(k) = Dok*"'-2'. (10)
В инфракрасной■ области степенная функция (10) предполагается обрезанной на к < т. Величина Е > 0 в (10) играет при ренормгрупповом подходе роль формально малого параметра разложения, физической модели соответствует значение е = 2.
Обычная теория возмущений является рядом по степеням заряда до = Dq/vq, безразмерного при е = 0 (логарифмическая теория). При е —► 0 в диаграммах возникают ультрафиолетовые расходимости, проявляющиеся в виде полюсов по е. Они устраняются мультипликативной ренормировкой параметров модели [3]
ив =vZu, до = g¡i2e Zg, Zg = Z~3 (D0 = g0u3 = g^'v3) (11)
с единственной независимой константой ренормировки Z„. Величины i/и j в (И) - ренорммрованные аналоги вязкости и константы связи (заряд д безразмерен); ренормировочная масса /л — произвольный параметр ренормированной теории. Диссипативное волновое число Л определяется по до соотношением Л = p¿, его можно также оценивать величиной ¿t, таким образом, интересующий нас инерционный интервал отвечает условию s = к/fx -С 1.
В используемой в дальнейшем схеме минимальных вычитаний константы ренормировки имеют вид 1 + полюсы по е. Для Zv при d = 3 в работе [4) получено
Функции Грина ренормированной теории не содержат полюсов по е. Однако это не облегчает задачу нахождения инфракрасной асимптотики s = fe/д —» 0 , так как соответствующая теория возмущений представляет собой ряд по степеням параметра s~2e, неограниченно растущего в интересующей нас области. Проблема решается переходом к РГ представлению. Чтобы использовать его для функции отклика, запишем й(к,ш) в ренормированных переменных в виде
G-l{k,u,li,v,g) = vk1Rts,g,z), ' (13)
где R — безразмерная функция безразмерных переменных s,g и 2 = iu/uk2. Тогда РГ представление выразится соотношением
uk2R(s,g,z) = í>fe2ñ(l,g,z), z = iu/ük2, (14)
в котором V = ü(s,i>,g) и д = g(s,g) — инвариантные вязкость и заряд [3]. Правая часть (14) зависит от переменной s неявно через v(s) и g(s). Асимптотика этих функций при s —» 0 определяется неподвижной точкой ренормгруппы
S(s,g)-*g„ 0{s,v,9)->u,=v{g/g.s2e)1'3, s —> 0. (15)
Таким образом, в инфракрасной асимптотике s —> 0 РГ представление (13), (14) дает
G-1 (fe, ai, д, f, д) 2¿ v»k2R(\, д,, 2„), 2. =tu)/n»fc2, s —> 0. (16)
Теория возмущений для Я(1,р*,г») представляет собой ряд по степеням заряда <?„, не содержащего растущей величины s~2e. Учитывая, что д, = О(е) (см. ниже формулу (20)), приходим к £-разложению для G-1(fe,üj).
Используем РГ представление, чтобы найти решение дисперсионного уравнения (7) в инфракрасной области. Переходя в нем к ренормированным переменным и учитывая (16), получаем
-2.+ 1-Е(1,д,,2,) =0, (17)
где
£(з,д,г) = у --- 1). (18)
Пусть г» = ( — искомый корень дисперсионного уравнения (17), тогда коэффициент турбулентной вязкости (9) дается, согласно (16), выражением 1/щг(&) = С1'»- Подставляя в него 1/, из (15) и учитывая (11), имеем
*иг(*:) = С<?.1/3оУ3*-2Е/3- . • («О
Соотношение (19) является основным для нахождения турбулентной вязкости в стохастической модели (1), (2), (10). Степенная зависимость от к определена в нем точно, а величины С и <?» могут вычисляться в виде е-разложений. Для заряда д, первые два члена этого разложения рассчитаны в [5, 6], при й = 3 они имеют вид
д. =(40тг2£/3)(1 + Ае) + О(е3), А ~-1,101. (20)
Для нахождения двух слагаемых ^-разложения величины С достаточно учесть входящую в уравнения (17) величину ~£(з,д,г) в однопетлевом приближении, которое определяется следующей 1-неприводимой диаграммой для массового оператора :
(21)
Здесь линиям сопоставляются пропагаторы (4), вершинам — множители Уу., = + ks6ij)■ Пе-
речеркнутым концам линий соответствуют поля <р', неперечеркнутым — поля ¡р. Выполняя в (21) интегрирование по времени, приходим с учетом (18) к такому выражению для Е(з,д, г):
Л 9 Г (1-е2)/ (2^-9^,!) П^+^и
где к = к/А;; £ = кч/кд, 9(х) — функция Хэвисайда. Два последних слагаемых в фигурной скобке (22) представляют собой удобную форму записи вычитательного члена — 1) в (18). Они согласованы с (12) и обеспечивают ультрафиолетовую конечность интеграла, т. е. возможность положить в нем 6 = 0. Переходя в (22) к сферическим координатам, имеем
- а />/>-?.[ ,„ ■ - „(I ■- %) ]•
Будем искать решение 2» = С уравнения (17) в виде е-разложения. Учитывая, что в этом уравнении £(1,5., г.) = 0(д*) = О(е), в главном приближении получаем £ = 1 + О(е). Выделяя в поправке вещественную и мнимую части, запишем £ как £ = 1 + (с-Мс')е:. Подставляя в (23) значение дл из (20) с необходимой линейной по е точностью, приходим к уравнению на с и с':
(23)
• / 5
с + 1С =--
3
ГГ(1 -а^УгЛУ*-+ ^-ц (! + f)] ■ (24)
J о J-1 L(r - 2<?£ + l)(2q2 - 2?£ - ce - гс'е) \2 2q J J
Оно представляло бы собой искомый ответ для с и с', если бы можно было сразу положить е = 0 в его правой части, чему препятствует, однако, сингулярность подынтегрального выражения при q = Правило обхода соответствующего полюса диктуется слагаемым гс'е в знаменателе этого выражения (вещественный вклад се можно сразу отбросить). По теореме Сохоцкого, искомый предел £->0 дается соотношением
+ (25)
2<?2 - 2д£ - с'е 2<? 4 2д2 - 2^
где Р— — интеграл в смысле главного значения. Вычисляя интегралы (24) с учетом (25), получаем х
с = 46/45, с' = ±47г/9. Подставляя ихв( = 1 + (е+гс')Е и используя (19), (20), находим окончательный ответ для турбулентной вязкости
А\ г47те,
]■ (26)
Отметим, что знаки мнимых вкладов в обеих сторонах уравнения () оказались согласованными, в противном случае его решения не было бы.
Соотношение (26) является основным результатом работы. Наиболее интересная его сторона — наличие у эффективной вязкости мнимой части. Это означает, что затухание по времени функции отклика происходит не монотонно, а с осцилляциями. Появление мнимой части в решении дисперсионного уравнения связано с существованием разреза у массового оператора £(1 , c/*,z*) из (23), рассматриваемого как функция комплексной переменной г.. Таким образом, для полного анализа асимптотики функции памяти при больших временах необходимо учесть вклад от скачка подынтегрального выражения в (23) на разрезе. Эту работу мы предполагаем выполнить в будущем.
Авторы благодарят А. Н. Васильева за полезные обсуждения в настоящей работе.
Summary
Adzhemyan L. V., Adzhemyan L. Ts. Calculation of the turbulent viscosity in the renormalization-group approach.
The dispersion equation that determines the long-time asymptotic behaviour of the response function in the stochastic theory of turbulence is studied by means of the renormalization group. In the one-loop approximation, it is shown that the roots of this equation, which determine the turbulent viscosity, are complex. This means that the decay of the response function is not monotonous, but exhibit oscillations.
Литература
1. Мопин А. С., Яглом A. M. Статистическая гидродинамика: В 2 т. СПб., 1996. Т. 2. 2. Frisch U. Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge, 1995. 3. Адмсемян Л.Ц., Антонов H. В., Васильев А. Н. // Успехи физ. наук. 1996. Т. 166. С. 1257-1284. 4. Адмсемян Л. Ц., Васильев А. Н., Письмак Ю. M. // Теор. мат. физика. 1983. Т. 57. №2. С. 268-281. 5. Адмсемян Л. Ц., Васильев А. Н., Кабриц Ю. С., Компаниец М. В. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2000. Вып. 1 (К? 4). С. 3-12. 6. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Kompaniets M. V., Vasiljev A.N. // Acta Physica Slovaca. 2002. Vol. 52. P. 565- 571.
Статья поступила в редакцию 17 апреля 2003 г.
