CC BY
37
Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 832-833
УДК 536.46
РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНОЙ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПЛАМЕНИ НА ОСНОВЕ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ
© 2011 г. А.И. Карпов1, А.В. Кудрин2
'Институт прикладной механики УрО РАН, Ижевск 2Уцмургский госуниверситет, Ижевск
Поступила в редакцию 16.05.2011
Рассматривается задача о расчете стационарной скорости распространения пламени. Для решения краевой задачи применяется метод конечных элементов с использованием двух подходов к получению системы алгебраических уравнений: метод взвешенных невязок для дифференциального уравнения сохранения и вариационная формулировка в виде локального термодинамического потенциала.
Ключевые слова: распространение пламени, стационарное состояние, вариационный принцип.
Уравнение сохранения энергии, описывающее одномерное стационарное распространение пламени по смеси перемешанных газов при макроскопическом учете одностадийной реакции горения в бинарной газовой смеси (реагент ^ продукт) и соответствующие ему граничные условия имеют вид (см., например, [1]):
йт й Т Ст — =Ъ—- + 0рЖ, ах ах
х = -да: Т = Т0,
ат 0
х = -да : ----= 0,
ах
х = 0: — = 0.
ах
(1)
(2)
(3)
(4)
р = р / ят,
ж =
(тг - т ^ т - т
Vт0
к ехр(-Е / Я0т).
(5)
(6)
т=
| рЖёх.
(7)
(8)
Постановка задачи (1)-(4) замыкается уравнением состояния и соотношением для скорости химической реакции соответственно:
Здесь т — температура, С — теплоемкость, X — коэффициент теплопроводности, е — теплота реакции, т — массовая скорость распространения пламени, р — плотность, р — давление, Я — удельная газовая постоянная, Я0 — универсальная газовая постоянная, к — предэкспоненци-альный множитель, Е — энергия активации.
Интегрирование уравнения (1) с граничными условиями (2)—(4) приводит к соотношениям для адиабатической температуры и скорости распространения пламени:
Решение представленной классической задачи давно известно и в таком простейшем модельном случае (рассматривается одна реакция, два компонента реакции, постоянные коэффициенты и т.п.) вряд ли представляет какой-либо интерес в настоящее время. В связи с этим отметим, что сам факт существования стационарного режима распространения пламени предполагает потенциальную возможность рассмотрения задачи на основе экстремального принципа, применение которого позволило бы сформулировать вариационную постановку задачи и представить искомую скорость распространения пламени в виде зависимой переменной. Представленные в [2] расчеты показали физическую адекватность применения принципа минимума производства энтропии для расчета скорости распространения пламени. В настоящем исследовании приводится развитие данного подхода, заключающееся в формулировке термодинамического потенциала.
Решение уравнения (1) методом взвешенных невязок в формулировке Галеркина и его численная реализация методом конечных элементов при аппроксимации линейными базисными функциями приводит к следующей системе квазилинейных алгебраических уравнений:
агтг -1 + Ьгтг + СЪ +1 =
(9)
a = ■
-+-
Cm
Ъ; =■
X
;-1
+
i-l
Cm
d; = -Q
I I +1
j NpWdx + j NpWdx
Vxi -1
JT = -X— + CmT, dx
X d 1 dy
T dx T dx
Lt Jt - XdT/dx + CmT
XT
Lw =
X
W
pW
qy '
a Y i-1 + Ъ Y; + С Yi +1 = 0»
a = -
-‘•J ~-l
jLTdx + Q2 jLWNiNi-1dx,
(x; - x; 1)2 ^ T
V l Z-^ X;- X;
1 xi+1 xl+1
c =-----------——7 jLTdx + Q 2 jLWNiNi +1dx»
( xi +1 - xi ) xi
+
Здесь рассматривается вариационная формулировка задачи, заключающаяся в минимизации функционала Р = |айх ^ тт, где потенциал представляет собой производство энтропии в рассматриваемой термодинамической системе (см., например, [3]) а = . Термодинами-
ческие потоки и обобщенные силы Xj для /-го необратимого процесса, которыми здесь являются теплопроводность и химическая реакция, выражаются соотношениями:
(10)
Jw =рw, Xw = Q/T=Qy
с соответствующими феноменологическими коэффициентами
(11)
Применение концепции локального потенциала [4] приводит к следующему виду обобщенного термодинамического потенциала:
а = Ьт (~)Х2(у) + Ьж (~)Х2(у). (12)
Здесь при получении уравнения Эйлера— Лагранжа варьирование по переменной у не проводится.
Минимизация функционала Р = \айх с потенциалом (12) по значениям искомой функции уг- в узлах конечных элементов ЭР/Эуг- = 0 приводит к системе алгебраических уравнений:
(13)
где
1 Л1+1 1 Л1
Ъ, =--------------- j LTdx +----------------- jLTdx
(x; + 1 - x; )2 j (x; - x,-1 )2 xl
x; X;+1
+ Q2 j LwN2 dx + Q2 j LwN2dx.
Проведенные расчеты показали, что распределения физических переменных (температуры, теплового потока, скорости химической реакции) и значение стационарной скорости распространения пламени, полученные как при решении исходного дифференциального уравнения (1) с дискретным аналогом (9), так и при применении метода локального потенциала (12) с дискретным аналогом (13) совпадают до точности вычислений, что подтверждает адекватность применения метода локального потенциала для решения рассмотренной задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №10-01-96017-р_урал_а.
Список литературы
1. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980. 478 с.
2. Karpov A.I. Minimal entropy production as an approach to the prediction of stationary rate of flame propagation // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics. 1992. Vol. 17, No 1. P. 1-9.
3. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456 с.
4. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973. 280 с.
X
X
1
2
x;+1 x
X
x;+1 j
X; I
PREDICTION OF THE STEADY FLAME SPREAD RATE BY THE VARIATIONAL PRINCIPLES OF NON-EQUILIBRIUM THERMODYNAMICS
A.I. Karpov, A.V Kudrin
The problem of prediction of the steady flame spread rate is considered. The boundary-value problem was analyzed using finite element method with two approaches applied to the formulation of the system of algebraic equations: the weighed residuals for the differential conservative equation and the variational formulation for the local thermodynamic potential.
Keywords: flame spread, stationary state, variational principle.
