CC BY
50
№2
Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ
3
2008
РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ М АШИН
539.311
РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ОТРЕЗКА ТЯЖЕЛОЙ НИТИ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ «ИЗ ВЕРТИКАЛЬНОЙ
ПЛОСКОСТИ»
Канд.техн.наук, доц. 77. Г. РУСАНОВ
Методом, твердых тел численно исследованы частоты собственных колебаний отрезка нити с неподвижными концами в однородном поле силы тяжести в направлении «из плоскости покоя нити». Установлено, что частоты этих форм собственных колебании отличны от частот форм собственных колебаний в вертикальной плоскости покоя нити.
Fundamental frequencies of thread piece with fixed ends in homogeneous gravity space in direction "out of stationary plate thread" are numerically analyzed by "Solid Bodies MethodIt is established, spectrum of these oscillation forms is different from spectrum of fundamental oscillations in vertical plate
of stationary thread
Расчет собственных колебаний нити с закрепленными концами в вертикальной плоскости на основе метода твердых тел (МТТ) рассмотрен в [1 ]. Ниже излагается методика расчета собственных колебаний нити в направлении, перпендикулярном к вертикальной плоскости, при сохранении исходных предпосылок и условных обозначений [1].
МТТ позволяет избежать анализа дифференциальных уравнений (ДУ) в частных производных в задачах динамики для систем с распределенными параметрами, ставя в соответствие исходной среде дискретную расчетную схему, инерционные свойства элементов которой тождественны свойствам абсолютно твердых тел. При этом в вектор состояния отдельного элемента МТТ входят лишь параметры положения его главных центральных осей инерции. Модели силовых взаимодействий элементов между собой и с внешними
4 Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ
№2 , 2008
телами зависят от типа среды, но во всех случаях эти модели могут быть выражены через глобальный вектор состояния элементов. В частности (например, для гибкой нити) силовая модель может иметь вид кинематического соотношения. В общем случае МТТ сводит задачу динамики к конечной системе обыкновенных ДУ относительно вектора состояния всей совокупности элементов. Точность МТТ асимптотически связана с числом степеней свободы принятой расчетной схемы. При одинаковой размерности векторов состояний точность результатов МТТ выше, чем у методов физической макро- дискретизации, представляющих тело конечного обьема в виде нескольких точечных масс, и методов математической дискретизации, типа МКЭ [2] .
По определению, математические модели малых колебаний систем с конечным числом степеней свободы - это линейные системы ДУ с постоянными коэффициентами. МТТ позволяет распространить данную технологию анализа и на континуальные системы. При этом, благодаря простоте расчетных схем, особенно для одномерных объектов - таких как нить и стержень, проблема исследования упрощается настолько, что ее решение может быть выполнено с помощью компьютерных программ типа Марк и Ма1ксас1, сочетающих вычисления в символьной и численной формах.
Методика анализа. Оба варианта малых колебаний отрезка нити (в вертикальной плоскости Оху и перпендикулярно к ней) можно рассматривать как независимые, т.е. начальные возмущения покоящейся нити в вертикальной плоскости Оху не вызывают перемещений точек нити в направлении ось Ог. А после возмущения покоящейся нити в направлении горизонтальной оси Ог для любой точки нити проекции ее последующего перемещения на плоскость Оху имеют более высокий порядок малости по сравнению с проекцией на ось Ог .
Для решения задачи воспользуемся дискретной схемой нити [1], состоящей из п (п> 1) абсолютно твердых, одинаковых элементов (прямолинейных стержней), но на этот раз последовательно соединенных между собой и с основанием п+1 идеальными сферическими шарнирами. Заметим, что мы принимаем длины элементов одинаковыми лишь ради упрощения изложения. Применение меньшего шага дискретизации на участке покоящейся нити с повышенной кривизной при сохранении п - общего числа элементов приводит к увеличению точности результатов.
№ 2 2008
Вопросы расчета статического положения дискретной системы тел рассмотрены в [1]. Поэтому методику исследования ее собственных частот колебаний «из вертикальной плоскости» сводим к формированию А = {а~ ), С = (е.. ) - матриц инерции и жесткости линейной системы ДУ возмущенного движения 1-го приближения
Aq +Cq = О , (1)
д2Т
где q - вектор обобщенных координат qp dim A =dimC=r х г, dim q =г, а.. = —г
dqldqj
с, =
7 , ,
" Г Г
'' ( ИJ .{ )fi .
J k~\
/=1 У=1
dq,dqj
Л = YJ Пj — I?(q) ~ " кинетическая и потенциальная энергии п тел при ма-
лых колебаниях;
(1 = 1, г 3 г=п - 1 - число степеней свободы)
Положительные корни частотного уравнения с1е1(—р2 А + С) = 0 доставляют значения первым г собственным, размерным частотам рк.
Чтобы сократить список компонентов глобального вектора состояния, в качестве обобщенных координат в этой простой ситуации вместо традиционных параметров положения главных центральных осей инерции отдельных элементов применим гк - координаты подвижных
шарнирных узлов (к = 2, и) в системе координат Охуг. Элементы матрицы инерции а формируем на основании явного выражения для квадратичной функции Т в равновесном положении дискретной схемы, когдапараллельны скорости Ук2 = ¿к Ф 0 ? кинетическая энергия каждого элемента имеет простой вид: Тк = + + ^к? V ^; и матрица А имеет ленточную структуру: а.=2т/Ъ, а —т/6 9 /=/± 1, а =а= О, />/+1.
Матрица жесткости С обусловлена только силами однородного поля силы тяжести, поэтому для упрощения ее расчета исходную систему распределенных сил тяжести, приложенных ко всем стержням, заменяем эквивалентной в виде п+1 вертикальной силы mg9 приложенной
п
в каждом шарнирном узле. Тогда функция П{гх , ,..2 п ) =
(Ук Уоук ) , гдеур у0к ~ ор-
к-2
динаты узла с номером к в текущем и статическом положениях системы. При этом полагаем, что перемещения всех подвижных узлов, кроме узла с номером к = п, из состояния покоя
№ 2 , 2008
вызваны независимыми малыми углами поворота вокруг вертикальных осей стержней с номерами 1п-2. В этом случае ординаты этих узлов не изменяются и поэтому П = 1Щ(уп - у0 п ) . Оценим кп =уп - у0п изменение координаты уп вследствие указанных поворотов стержней при гп по системе двух уравнений связи узлов с номерами п-1, л, п+1 относительно двух неизвестных Дх , к .
п? п
/7—].Л' /7—1 .у
(/ -Ах)2+(/ . —h )2 + z2 — I2 = I2 +/2 (?)
V /7,Л' /7 ' V /7-1 ,у /7 * /7 ?
где Дх?л изменение хпЛ узла с номером n-1 вследствие поворотов стержней является величиной второго порядка малости по сравнению с /,
д - А ^У ^ ~~ Zk-\)
^n-1 - JZ, 7 , 1 Sm Фа" " z cos 4V
A'=2
2
Решив систему (2) с точностью до величин порядка zk , находим / (z — z Л2+/ , z2 — 2/ , / Дх ,
7 Г /7,Л' V /7 /7-1/ /7-1,X /7 /7-1,^ /7,^ /7-]
/7?—и.j - - - - 5 чхо позволяет рассчитывать в
/7—1,Л" /7,у /?— i,^У /7,.Х
явном виде значения элементов матрицы С по коэффициентам квадратичной функции n(zl,z2,...,zn) = mghn.
Как и в случае малых колебаний нити в вертикальной плоскости (с одной или с двумя опорами) [1], все элементы матриц А и С имеют общий множитель ml. Тем самым приходим к заключению, что в поле силы тяжести частоты любых форм собственных колебаний однородной нити с заданным положением опор не зависят от ее массы и материала и определяются L - длиной нити и g- ускорением свободного падения. Поэтому далее вместо размерных частотрк рассчитываем безразмерные sk = рк .
Основные результаты расчетов. При п > 2 формирование матриц А, С и расчеты частот колебаний, согласно представленной выше методике, выполнены с помощью программы Мар1е. Влияние числа элементов п = 4, 12, 20, 40 дискретной схемы на значения первых 10-ти
№2
Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ
7
2008
безразмерных собственных частот ^ дискретной схемы нити при симметричном варианте расположения опор /?=0 на расстоянии ¿/=0,5 отражено в табл. 1.
На основании данных табл. 1 приходим к следующим выводам.
1. Результаты расчетов имеют более высокую скорость сходимости для низших тонов колебаний.
2. С ростом п снижаются значения всех частот, т.е. расчеты с применением дискретной схемы приводят к завышенным значениям частот и дают им оценку сверху. Это соответствует положениям теории о влиянии дополнительных связей на рост значений собственных час-
3. Спектры низших частот собственных колебаний нити двух видов, в вертикальной плоскости [1] и в направлении «из вертикальной плоскости», не содержат одинаковых или «почти совпадающих» частот.
Таблица 1
п Я. Л\ 5)0
4 1.8451 3.6906 5.1429
12 1.8237 3.1747 4.8440 6.5560 8.3673 10.407 12.155 14.980 15.728 20.940
20 1.8208 3.1495 4.7591 6.3479 8.0053 9.7137 11.487 13.332 15.237 17.247
40 1.8195 3.1389 4.7220 6.2598 7.8332 9.4178 11.022 12.647 14.294 15.966
Влияние Ь - ординаты точки В на низшие частоты при и=20, (1= 0,5 отражено в табл. 2. Увеличение к от 0 до 0.8 приводит к прогрессивному росту значений всех частот на 22 ~ 42% от своих «начальных» значений при И= 0. Это объясняется ростом среднего значения силы натяжения по мере подъема точки В и «выпрямления» статической формы нити.
№2
2008
Таблица 2
И •
0 1.821 3.150 4.759 6.348 8.005 9.714 11.49 13.33 15.24 17.25
0.2 1.819 3.199 4.798 6.417 8.087 9.816 11.61 13.47 15.41 17.40
0.4 1.824 3.343 4.951 6.641 8.372 10.16 12.02 13.96 15.97 18.03
0.6 1.872 3.601 5.340 7.153 9.025 10.96 12.97 15.07 17.23 19.47
0.8 2.238 4.464 6.718 9.021 11.39 13.83 16.37 19.00 21.74 24.58
Зависимость низших частот от d - расстояния между опорами при я=20? И=0 отражена в табл. 3. Здесь также прослеживается прогрессивный рост частот при увеличении расстояния между опорами.
Таблица 3
а ъ
0.01 1.701 2.434 3.942 5.166 6.343 8.135 9.000 11.44 12.00 15.16
0.1 1.705 2.473 3.989 5.215 6.459 8.183 9.145 11.48 12.11 15.19
0.5 1.821 3.150 4.759 6.348 8.005 9.714 11.49 13.33 15.24 17.25
0.9 2.559 5.013 7.530 10.10 12.73 15.45 18.25 21.17 24.20 27.35
0.99 4.496 8.999 13.56 18.21 22.97 27.87 32.94 38.20 43.68 49.38
Тестирование. Точность дискретных моделей МТТ оценим на примерах малых колебаний нити симметричной формы (случай /?=0 при различных значениях так как свойство
Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ_ 9
№ 2 2008
симметрии позволяет автономно исследовать симметричные и косо-симметричные формы колебаний.
При минимальном количестве элементов (п = 2) система стержней представляет собой од-ностепенной физический маятник с горизонтальной осью вращения, для которого при d-0,5 значение единственной собственной частоты л1 = л/2л/з =1 ,86120, что согласуется с данными табл.1.
Несмотря на неравномерную плотность распределения масс по вертикали, собственные колебания дискретной схемы симметричной формы физически подобны плоским маятниковым колебаниям отрезка однородной нити с одной закрепленной точкой.
При сближении опор d —> 0 частоты колебаний двухопорной нити длиной L и нити длиной L/.2 с одной опорой должны совпадать. Это подтверждают данные табл. 3 и расчеты [1]. У двух отрезков нити одинаковой длины L (с двумя опорами на расстоянии d—0,01 и с одной опорой) отношение безразмерных частот 1-го тона 1,701/1,2028 = 1,4142 практически равно л/2.
Расчетом спектра частот строго симметричных форм колебаний при d=0,5, по методике, схожей с методом расчета частот нити с одной закрепленной точкой [1], получены значения первых пяти частот sk (1,8208, 4,7591, 8,0053, 11,487, 15,237), совпадающие с точностью до 10"5 с нечетными частотами
(табл. 1 для /7=20). Из этого факта следует, что четные частоты в табл. 1 отвечают кососиммет-ричным формам колебаний.
В указанном расчете вместо координат zk вводились ak(k = l, г ? г =п/2) - углы отклонения от вертикальной плоскости Оху плоскостей расположения синхронно движущихся элементов. Кроме того, для расчета матрицы жесткости вместо функции использовалась скалярная функция S от я - проекций ускорений подвижных шарнирных узлов на вертикальную ось-Оу, вызванных ненулевыми обобщенными скоростями ак ^0 в положении равновесия, когда все координаты ак =0:
п
S = HSk^ 2Sk = mgaky , а^ = + cos ^ , а =0.
к-2
Частные производные второго порядка функпии S по обобщенным скоростям бЛ определяют
d2S
значения элементов матрицы жесткости: с, - - . _ : .
F * 3 ^
ю Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ_
№ 2 ■ 2008
В простом эксперименте с отрезком витой пеньковой веревки (диаметр сечения б мм, длина 1=2.4 м, ¿=0.5, /?=0) первая форма кососимметричных (бифилярных) колебаний устойчиво возникала при кинематическом возмущении одной опоры вдоль оси О! с периодом т « 1 с, что соответствует безразмерной частоте л* Е ¿¡я/ -г3.0. Тем самым подтверждается теорети-
ческий прогноз (табл. 1), согласно которому л'2 «3,14.
При малых статических провисаниях нити, когда й=0 и 1, ее колебания в направле-
нии «из вертикальной плоскости» становятся подобными поперечным колебаниям горизонтально натянутой струны, теоретические значения размерных частот р] которой зависят от полагаемой неизменной проекции силы натяжения на продольную ось согласно формуле
р*к =р к= 1, 2, 3,.... Преобразуем эту формулу к виду , не содержащему
V МЬ у 21
приняв во внимание связь проекций К = /г tgфn и уравнение статики 2¥оу = , где ф0 - угол отклонения струны от вертикали в точке закрепления. В итоге получаем возможность оценивать безразмерные частоты колебаний струны по формуле % = -ккф. Подставив в нее значение угла <р0 = 1,339 рад (используемого в расчете частот колебаний нити при с/. = 0,99 для табл. 3), получаем результаты (табл. 4), демонстрирующие совпадение спектров низших частот колебаний, рассчитанных по теории струны и методом МТТ, даже для сравнительно слабо натянутой нити с провисанием 0,06122 Ь.
Таблица 4
¿/=0.99 3 56
Струна 4.571 9.142 13.71 18.28 22.86 27.43 32.00 36.57 41.14 45.71
Нить 4.496 8.999 13.56 18.21 22.97 27.87 32.94 38.20 43.68 49.38
Далее сделаем замечание о влиянии п - числа элементов и его четности на точность результатов. Практикой расчетов проверено, что при малых числах п (п < 10) более точные результаты дают дискретные схемы с меньшими значениями углов смежности в узлах соединения элементов. Так, при малых углах ср0«1 и (1/1 < 1 схемы с нечетным п имеют заметно более
___Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ__ 11
№ 2 2008
низкую точность, чем с четным п. Если ф0 соизмерим с 1, то отличия результатов у схем с четным и нечетным п незначительны. В то же время в отношении конструкции с п одинаковыми жесткими звеньями (например, для цепи) результаты, получаемые по изложенной методике, следует считать точными при любых реальных п, /?, с/.
Выводы
1. Метод твердых тел позволяет эффективно выполнять анализ собственных колебаний нелинейной одномерной среды (нити).
2. Спектры собственных частот колебаний отрезка нити с закрепленными концами различны для случаев колебаний в вертикальной плоскости и в направлении «из вертикальной плоскости».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Русанов П.Г. Расчет собственных колебаний в вертикальной плоскости отрезка тяжелой нити методом физической дискретизации.//Известия вузов. Машиностроение. -2007. —№10. -С. 3 - 9.
2. Русанов П.Г. Отличия расчетов формы упругой линии гибкого стержня методами дискретизации МКЭ и МТТ //Известия вузов. Машиностроение. -2006. -№7. -С. 3 - 9.
531383
РАЗРАБОТКА КОНСТРУКТИВНОГО ОСНОВАНИЯ СИСТЕМЫ
НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
проф. ПЛ. КОТОВ
Предлагаются возможные варианты формирования и обоснования действительных безрезонансных начальных условий нерелятивистских динамических систем с исследуемыми моделями представимых дифференциальными уравнениями с сосредоточенными параметрами детерминированных задач разработанные с соблюдением основного закона динамики, классического дифференциального и интегрального исчисления функции вещественного переменного.
