Частоты собственных колебаний отрезка эластичной нити с неподвижным концом Текст научной статьи по специальности «Физика»

_Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ_3_

№ 8 2008

РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ МАШИН

539.311

ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ОТРЕЗКА ЭЛАСТИЧНОЙ НИТИ С НЕПОДВИЖНЫМ концом

Кап д. техн. наук. доц. П. Г. РУС А ИОН

Вследствие действия сил тяжести свободно висящая, исходно однородная, гибкая растяжимая нить в состоянии равновесия имеет неравномерное распределение масс и удельной жесткости на растяжение, что усложняет расчет ее спектра собственных частот колебаний в продолы/ом и поперечных направлениях. Численный расчет выполнен на основе дискретной модели метода твердых тел.

Данное исследование дополняет работы [1-3]. посвященные анализу собственных колебаний нити с помотыо дискретных расчетных моделей сплошной среды, сформированных на основе метода твердых тел (МТТ). В задачах динамики гибких стержней М'ГТ имеет неоспоримые преимущества перед МКЭ в технологии формирования математической модели и учета физических условий, а также в точности итоговых результатов.

Объектом исследования является свободно висящий отрезок однородной гибкой нити из эластика с одним закрепленным концом в точке О (рис. ! .а, ось Оу - вертикальна, % - ускорение однородного поля силы тяжести). Из-за действия сил тяжести статическое напряженно- деформированное состояние нити неравномерно. При этом материал верхнего участка нити испытывает наибольшие продольные и поперечные деформации. Тем самым любые два, исходно неде-формированные. участка нити, равной длины, но расположенные в разных частях нити, в статическом состоянии в поле силы тяжести будут иметь различные длины, размеры поперечных сечений и. следовательно, разные жесткости и моменты инерции масс. Несложный опыт с резиновой жилкой, длиной 70 см, диаметром 1,5 мм, подтвердил нелинейность ее статической нагрузочной характеристики Д =Д(Р), т.е. зависимости ее удлинения Д от величины продольной силой Р.

Цель исследования разработать методик) для оценки влияния начального напряженного статического состояния отрезка эластичной нити на низшие частоты плоских собственных ко-

№ 8 2008

лебаний, если заданы: М. I., масса, длина, площадь круглого поперечного сечения; Е, ц =1/2 - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала, который считаем линейно упругим телом.

Следуя идеям В.Л. Бидермана [4] и МТТ. исследуем колебания эластичной нити, заменив ее плоской дискретной моделью (рис. ¡,б). состоящей из одинаковых п - инерционных элементов (ИЭ) и п - упругих элементов (УЭ) - отрезков невесомой эластичной нити, условно изображенных пружинами. ИЭ представим в виде двух сочлененных твердых тел равной массы. Моменты инерции массы ИЭ производим как для тонкого однородного стержня с изменяемой длиной. Масса ИЭ - т = М / п, собственная длина УЭ - / = /-//?, номинальный коэффициент жестко-

сти каждого УЭ в свободном состоянии с = пс\й о'о = - номинальный коэффициент жесткости нити на растяжение. Пары, составленные из УЭ и ИЭ, соединены идеальными шарнирами между собой и с опорой О.

Индивидуальные значения коэффициентов жесткости нелинейно-упругих УЭ в состоянии равновесия дискретной схемы выберем так, чтобы в поле силы тяжести удлинения УЭ были близки к статическим удлинениям соответствующих участков исследуемой эластичной нити. При этом считаем, что в пределах УЭ постоянны £,- величина относительной деформации в продольном направлении и его площадь поперечного сечения. Относительная деформация эластика в продольном направлении нити £> О увеличивает моменты инерции массы ее участков вокруг поперечных осей и вызывает поперечную деформацию ЦС, что ведет к сокращению площади поперечного сечения Я = £0(1 -|1£)~ и снижению £5 - удельной жесткости сечений. Отмеченные особенности статического состояния эластичной нити учитываем в формулах для = т{1 + Д() /12 - момента инерции масс ИЭ вокруг центральной поперечной оси и

_ ДУоО-це,)- _ (1-рд,-) ' . -—

с, — . ~ псо , - коэффициента жесткости УЭ (/ —.1, И ).

/+Д, 1+8,

Здесь А, = £(/ > 0 - статическое удлинение УЭ.

Величину £( рассчитаем на основании нелинейной связи между продольной силой и удлинением А„ д

Преобразуя к явному виду, получим | ^ | ^ ^ — — / + 1 / 2) / П ,3

где y = mg/l=Mg/L- погонный удельный вес эластика в свободном состоянии,

80 = у / С() = Д() / £ - номинальная осевая деформация и Д0 = Mg / с0 - номинальное статическое удлинение нити при неизменном коэффициенте жесткости от сосредоточенной продольной силы, равной Щ - весу нити.

№ 8 2008

Последующие расчеты параметров статического состояния, а также аналитическое формирование матриц/I. С и расчеты частот колебаний выполнены с помощью программы Maple при п = 20. Исследованиями (1. 2| установлено, что уже при п > 5 точность результатов M i Г для нити в сходных физических условиях приемлема для инженерной практики. В связи с чтим опускаем вопросы сходимости результатов в зависимости от числа элементов.

Значения к состоянии равновесия, предваряющие анализ частот продольных и поперечных колебаний, рассчитываем для случая 0.4, что соответствует коэффициенту жесткости нити t'o=2.5 Mg/L. Отметим, что при е<) >0.483 численные решения (I) для к, перестают удовлетворять условию неотрицательности величин поперечных размеров сечения: 1 ~ ЦС( > 0 .

Влияние ti>- номинальной осевой деформации нити на i:r деформацию и с\ -коэффициент жесткости верхнего УЭ при п — 20 отражено в табл. 1

Таблица/

Номинальная осевая деформация ни ти

0,4 0.41 0,42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.481 0.482 0.483

Si 0.741 0.786 0.836 0.8« 0.458 1.03 1.13 1.26 1.50 1.55 1.60 1.68

с'\/с* [%] 22.7 20.6 18.4 16.2 13.') 1 1.4 8.85 5.ЧЧ 2.46 2.01 1.51

С ростом номера УЭ монотонно изменяются г., - осевые деформации и отношения с,/с [%| -

коэффициентов жесткости в состоянии равновесия. Закон их распределения виден из табл. 2 на примере нечетных номеров УЭ.

Таблица 2

i 1 J 5 7 9 11 13 15 17 19

s,M 0,741 0,592 0,478 0,385 0.306 0,238 0.178 0,124 0,075 0,031

с/с [%] 22,7 31,1 39.2 47,1 54,9 62.7 70,5 78,3 86,1 94,0

В статике величины продольных сил у самого верхнего и самого нижнего УЭ отличаются в 2/7-1=39 раз, но при этом, из-за значительного снижения коэффициента жесткости о верхнего УЭ, его осевая деформация в 74 раза больше, чем eio =0,0101 у нижнего УЭ.

Найденные значения позволяют рассчитать Л,, с„ .7, - индивидуальные механические характеристики УЭ и ИЭ в состоянии равновесия. Таким образом, исходно однородная сплошная среда - эластик в задаче расчета малых колебаний в однородном поле силы тяжести предстает в образах МТТ как неоднородная дискретная система с конечным числом степеней свободы г-2п.

№8

2008

Исследование ее собственных частот колебаний в вертикальной плоскости Оху сводим к формированию А = (а(/), С = {ctJ) - матриц инерции и жесткости линейной системы ДУ возмущенного движения 1-го приближения

А q + С q - 0 , (2)

где С} - вектор обобщенных координат ¿/„ dimA- dimC—r х г, Jim С( =г,

d2IJ

и -

ч

д'Т

Ci.i

dqßqj

,Т = УТк=Т(д,П

к=I

г г

/=1 j=\

П = П,,. — П(д) — / , / .СнУ.Я! - кинетическая и потенциальная энергии дискретной

А = I М 7=1

системы тел при малых колебаниях.

11оложительные корни уравнения

с1е({-р2А + С) = О (3)

доставляют значения первым г собственным, размерным частотам р,.

В качестве обобщенных координат, задающих положение тел дискретной системы относительно положения статического равновесия, применим (рис. 1,б) Хк~ абсциссы подвижных шарнирных узлов, включая точку В (х„ =хц), и А*-дополнительные удлинения УЭ. Скорости изменения обобщенных координат из этих двух групп инициируют в положении равновесия, соответственно. взаимно перпендикулярные компоненты скоростей точек. Кроме того квадратичная форма Г1 не содержит произведений типа

Тем самым приходим к выводу, что в данных обобщенных координатах система (2) распадается на две несвязанные подсистемы, описывающие, соответственно, продольные или поперечные колебания, т. е. частоты двух этих типов колебаний дискретной системы тел можно рассчитывать раздельно.

В

О

а)

б)

1'ис. I

_Известия вузов. MALIIHHOt ТРОЕНИЕ_7

№ 8 200S

Случай продольных колебаний (г~п). Элементы матрицы инерции а„ формируем на основании явного выражения для квадратичной функции Ув равновесном положении дискретной схемы. когда все0. Ал=0. а скорости-^. =0. Хк ^ 0.

В этом случае кинетическая энергия смежных масс, примыкающих к шарниру с номером к

( к = 2, п ), Тк = mvk / 2 ; к = 1. II vk — V/.. | + Хк; V, = 0 . Для нижней дискретной массы

71} = m(vn -1- Хп) /4.1 (отгому элементы симметричной матрицы инерции А: а„ ш(п / ! 1/2),

/ > /', а„ --а,,. i — 1, П .

При смещении дискретной системы тел из положения равновесия изменение се потепци-

II

альной энергии А// определяется лишь дополнительными удлинениями У): ЛП = 0.З^с^Х.д .

I

т.е. матрица Г - диагональпа: Cjt — Cj, l — 1, /7 .

Согласно (3), значения квадратов размерных частот/V продольных колебаний пропорциональны отношению С(/М:- <У(К|)/.). Поэтому, чтобы иметь возможность сравнивать частоты продольных и поперечных колебаний, вместо размерных рассчитываем безразмерные

sk - рк д/ZTg при заданном е0= 0,4.

Расчетный спектр частот продольных колебаний sk: 1,54; 5,34; 8.95; 12,5; 15.9; 19.2; 22,4; 25,4; 28,1; 30,7; 33.2; 35,5; 38.0; 40,4; 43,0; 45,8; 48.7; 51.9; 55.6; 60,8. При гипотетически одинаковых коэффициентах жесткости всех УЭ и равных с* частоты спектра составили бы ряд: 2,48: 7.43; 12,3; 17,2; 21,9; 26,5; 30,9: 35,1; 39,2; 42,9; 46,4; 49.7; 52,6: 55,2: 57.4; 59.3; 60,9; 62,0; 62,8; 63.2. Тем самым приходим к выводу, что учет изменения жесткости участков нити снижает первую частоту на 37,8%, а последующие частоты, вплоть до 1 5-того тона, в среднем, более чем на 25 %.

Случай поперечных колебаний (/•=»). Элементы матрицы инерции сформируем по квадратичной функции Т в равновесном положении дискретной схемы, когда хк 0. Л.*=0, скорости

\>к = Хк ^ 0 . Хк = 0 . Так как Хк — 0, то Тк ( к = 1, /7 ) каждого ИЭ оцениваем, полагая его

однородным стержнем массой т. длиной /+ Ак |!]: Тк = m(vk[2 -I- Vk ]Vk + Vk )/ 6. где v(,=-0.

Тогда матрица А имеет ленточную структуру: a„-2inß, а,, т/6. /=/± I; а„ а,,=0, />/4-1.

Потенциальная энергия тел в данном случае обусловлена только силами однородного поля

силы тяжести. Поэтому сформируем функцию Г1{хг Х2,...,Хп), заменив исходную систему распределенных сил тяжести эквивалентной, в виде п 1 вертикальных сил mg, приложенных в шарнирных узлах с номерами 1, 2. 3... п 1 и двух сил, равных mg/2, в точках О, В. Тогда, с точ-

№ 8 ¿"ОН

ностью до величин второго порядка малости относительно х/(/-Л|),

у}1Р ^L, (х — X )2

/7 = ~ +1/2) ———, т.е. С - симметричная матрица жесткости имеет ленточ-

mg mg

ну ю структуру: С„ = 2{п --/ +1 / 2)-—— С, = -(/7 - / - 1 / 2)—— . 6у=0,./ > /+1, е#7 - с,,.

/ + Д( / -г

Все элементы матриц Л и С имеют общий множитель т. который можно исключить в (3). Однако из этого факта еще не следует независимость частот любых форм собственных поперечных колебаний дискретной системы тел от ее дискретных масс, как это имело место в [1-3], поскольку в с„ входит Д, -статическое удлинение УЭ, которое, в свою очередь, зависит от уровня сил тяжести, т.е. масс ИЭ, и от текущей жесткости УЭ.

В расчетный спектр .v* - безразмерных собственных частот поперечных колебаний дискретной схемы входят: 1,04; 2,51; 3,99; 5,52; 7,11; 8,77; 10,5; 12,4: 14,3; 16.5: 18,7; 21,1; 23,7; 26,5; 29.4; 32,6; 36,0; 39,7; 43,8; 48,2. Значения частот этого спектра соответственно на 10 - 15% меньше, чем частоты поперечных колебаний нерастяжимой нити [1], и на 2,5 - 7% меньше, чем собственные частоты условной дискретной схемы с одинаковыми коэффициентами жесткости всех УЭ в состоянии равновесия, равными с . Наибольшие отличия (в %) имеют первые низшие частоты сравниваемых спектров.

На основании проведенного анализа для нити из линейно-упругого эластика с номинальным коэффициентом жесткости со=2,5 Mg/l. приходим к выводам.

1. Нелинейность нагрузочной характеристики Л =А(Р) обусловлена прогрессивным снижением ES - удельных жесткостей участков нити при росте силы. В поле силы тяжести Л\ - статическое удлинение верхнего участка нити более 70% от его начальной длины. Существует ограничение на минимальную величину с0, при которой еще возможно состояние равновесия.

2. Спектры собственных частот поперечных и продольных колебаний перекрывают друг друга. В обоих спектрах частоты распределены достаточно равномерно. Отличия между соседними частотами л* находятся в пределах 1,5 - 3 и 4 - 5 единиц, соответственно для спектров поперечных и продольных колебаний, при этом могут «почти» совпадать частоты из разных спектров. Собственные частоты поперечных колебаний нити из эластика на 10-15% ниже, чем у нерастяжимой нити той же длины и массы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Русанов Г1.Г. Расчет собственных колебаний в вертикальной плоскости отрезка тяжелой нити.//Известия вузов. Машиностроение. -2008. -№1. -С. 3 - 10.

2. Русанов П.Г. Расчет собсч гвенных колебаний отрезка тяжелой нити с закрепленными концами «из

вертикальной плоскости» //Известия вузов. Машиностроение. -2008. -№2. -С. 3 - 9.

Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ 9

№ 8 2008

3. Русанов Г1.Г. Влияние упругого звена на частоты собственных колебаний вертикально располо-

женного отрезка тяжелой нити//Известия вузов. Машиностроение. -2008. -№6. -С'. 3 - 7.

4. Бидерман И.Л. Прикладная теория механических колебаний.- М.: Высшая школа, 1980,- 408 с.

621.01

РАСЧЕТ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ ВОЛНОВОЙ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ КАК УПРУГОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОСТОРОННИМ КОНТАКТОМ ЗВЕНЬЕВ

Канд. техн.. наук. доц. И. EJI10 МИ ПА PC 'КПП. Канд. техн.. паук, доц С \ Е J ПОМ IIIIA14 'КПП

Предложен метод расчета кинематической погрешности волновых чудчатых передач, основанный на расчете силового взаимодействия звеньев передачи как уп/>у,'ой системы с односторонними связями. Получена зависимость наибольшей кинематической погрешности В'Ш-К0 от смешения кулачка. Покачано влияние формы кулачка на кинематическую погрешности волновой передачи.

Кинематическая погрешность (KI1) волновой зубчатой передачи (Bil l) является результатом взаимодействия погрешностей изготовления и установки зубчатых колес. Формальное суммирование результирующих погрешностей дает существенно завышенное значение кинематической погрешности передачи. Это объясняется тем, что в реальной передаче за счет подат-ливостей составляющих передачу звеньев происходит изменение сил в зонах зацепления. Под действием неравных сил в двух зонах зацепления происходят упругие деформации звеньев, в результате чего действующий суммарный вектор погрешности окажется меньше алгебраической суммы результирующих векторов погрешностей узлов. Методики определения кинематической погрешности изложены в [1.2] и других рабо тах. Эти методики учитывают упругие деформации звеньев передачи. Однако в этих работах многопарность и многозонность зацепления учитывается 11риближенно.

В предлагаемой работе рассматривается ме тодика определения кинематической погрешности ВЗП, основанная на расчете силового взаимодействия "элементов ВЗП как упругой системе с односторонними связями |3|.

Применяемая методика учитывает: деформацию гибкого колеса как оболочки вращения: возможность контакта каждой пары зубьев в двух зонах зацепления; возможность двух-кромочного контакта зубьев; изменение положения точек контакта зубьев по их высоте; эволь-